Document

PLAN du cours

Définitions et grandeurs caractéristiques des plasmas




Phénomènes individuels dans les plasmas



Collisions dans les plasmas
Cinétique de réactions
Equation de Boltzmann / Modèle fluide


Classification en fonction des paramètres principaux plasma
Comportement collectif, Grandeurs caractéristiques
Echelle temporelle et spatiale
Equations de conservation (particules, quantité de mouvement,
énergie)
Ondes dans les plasmas


Onde électromagnétique (EM)
Onde électrostatique plasma (EP )
1
Définitions et grandeurs caractéristiques des plasma

Définitions



Neutralité macroscopique
Degré d'ionisation
Plasma - Système thermodynamique : ET, ETL, HETL

Paramètres primaires du plasma





densité
température
Classification des plasmas
Rappel FDEE
Comportement collectif dans les plasmas / Ecart à la
neutralité

Paramètres secondaires



longueur de Debye
fréquence d'oscillation
Hypothèse de Cinétique des gaz
2
Définition et nature essentielle du plasma

Gaz


Particules électriquement neutres : atomes, molécules (état fondamental)
Plasma

Charges électriques (électrons, ions), photons

Macroscopiquement neutre
∑Z j n j
=0
j

Décharge électrique




Particules électriquement neutres (état fondamental ou excité)
Charges (électrons, ions), photons
Décharge = plasma si condition de neutralité respectée
Degré d'ionisation : α =



ni
ni + N
(ni densités d'ions, N densité de neutres)
Gaz ionisé : α < 10-4
Décharge électrique (plasma faiblement ionisé) : 10-4 < α << 1 (10-4, 10-2)
Plasma : α = 1 (gaz complètement ionisé)
3
Définition et nature essentielle du plasma
Gaz ≠ Plasma
⇓
Différence : Nature de collisions
⇓
Gaz : interactions à très courte portée entre particules neutres (F ∝ 1/r7)
 Plasma : interactions coulombiennes à longue portée entre particules chargées

(F ∝ 1/r2) , responsables du comportement collectif et de l'effet d'écran

Décharge : collisions neutre-neutre, charge-charge, charge-neutre
Conséquences

Plasma est un milieu à comportement collectif
(cf. phénomènes collectifs dans les plasmas)
⇓

Plasma (décharge électrique) - milieu macroscopiquement neutre
∑ Z j n j = 0 ne = ni = n (Zi = 1)
j
4
Grandeurs caractéristiques


Paramètres primaires (plasma / système thermodynamique)

Densité plasma (m-3 - cm-3) : ne, ni, nN

Température (K - eV) : Te, Ti, TN
Paramètres secondaires (plasma / comportement collectif)

Pulsation plasma (électronique, ionique) : ωpe, ωpi

Longueur de Debye (électronique, ionique) : λDe, λDi
5
Grandeurs caractéristiques
Paramètres primaires
Densité plasma (m-3 → cm-3) : ne, ni, nN
Température (K → eV) : Te, Ti, TN
n, T – paramètres de description du plasma et des
phénomènes dynamiques
Plasma système thermodynamique
6
Équilibre thermodynamique (ET) complet (global)

ET si micro réversibilité des processus

Collisions élastiques : e + A ⇔ e + A (réversibles)
 Collisions inélastiques : e + A0 → e + Aj ⇔ e + Aj → e + A0 (réversible)
Aj→ hν + A0 (pas réversible)
 Ionisations : e + A0 → e + A+ + e ⇔ A+ + e + e → e + A0 (réversible)
 Absorption/ émission de photons :
A0 + hν → Aj ⇔ Aj = A0 + hν (émission spontanée) - réversible
⇔ Aj + hν = A0 + 2 hν (émission induite)- pas réversible
 Micro réversibilité si milieu dense
 Nombre suffisant de collisions pour que chaque processus voit sont action
compensée par le même type de processus en direction inverse
 ET ⇒ Système complètement caractérisé par température et densité
7
Équilibre thermodynamique (ET) complet (global)

ET complet : les quatre lois d'équilibre sont satisfaites simultanément
 m
f (w )= n
 2π k T
B

nj
nN
Iν =
=




3/2
 mw 2
exp  −
 2k T
B





 E j − E0 

exp −
g0
k BT 

gj
2hν 3
c
2
1
 hν 
 −1
exp 
k T
 B 
3/2
 Ei 
n e n i 2g i (2π m e k B T )

=
exp  −
3
nN
g0
h
 k BT 
Maxwell (distribution en vitesses)
Boltzmann (répartition en densité des états j
excités par rapport à l'état 0 fondamental)
g = 2 J+1 (dégénérescence)
Planck (distribution spectrale du rayonnement
de fréquence ν)
Saha (équilibre ionisation-recombinaison)
Système complètement caractérisé par T (température) et N = ni + nN (densité des
noyaux)
 T suffit pour caractériser la distribution en énergie des particules et des photons

8
Ecart à l'ET : Equilibre thermodynamique local (ETL)

Perte de photons (pas de densité suffisante ou volume trop petit)
 Processus Aj → A0 + hν (direct) et A0 + hν ⇔ Aj (inverse) irréversible si
hν est perdu pour le système
 Processus compensatoire e + A0 → e + Aj (compensation impropre)
 La loi de Planck n'est plus satisfaite mais les trois autres lois d'équilibre
s'appliquent localement ⇒ ETL : on peut définir localement T(r), N(r)
 Exemple : flux de photons suffisamment faible pour que, localement, la
perte locale en énergie reste faible par rapport à l'énergie totale
 Perte de particules (diffusion, convection)
 ETL ⇒ on peut définir localement T(r), N(r) à condition d'avoir un temps de
relaxation court (temps nécessaire à la particule du sous-système en r1 et
de T1 de se mettre en équilibre avec le sous-système en r2 et de T2)

Système caractérisé par les valeurs locales T (r) et N (r)
9
Système HETL (hors équilibre thermodynamique)
Si transfert d'énergie collisionnel pas suffisant (plasma peu dense) ⇒ les particules
(électrons, ions, neutres) n'ont pas toutes la même énergie moyenne ⇒ pas de notion
de "température" du système
 Si collisions entre les particules d'un même type suffisamment nombreuses ⇒
équipartition d'énergie ⇒ distribution Maxwell-Boltzmann ⇒ température pour chaque
type α de particules : Te, Ti, T0
 Cas Te >> Ti ≈ T0 (plasma à deux températures) ⇒ système caractérisé par :
ne= ni= nplasma, Te, Ti
3/2
nN, T N
 m

 m w2 

α

fα (w )= nα 
 2π k T 
B α 

α

exp  −
 2k T 
B α 

3/2
 Ei 
n e n i 2g i (2π m e k B Te )

 −
exp
=
3
nN
g0
h
 k B Te 
 E j − E0 

= exp −
n N g0
 k B Te 
nj
gj
(α = e, i, n0)
(cinétique d'ionisation contrôlée par les électrons )
(équilibre Boltzmann partiel : uniquement pour les niveaux
excités proches du niveau d'ionisation ; pour les niveaux bas
le peuplement/dépeuplement des niveaux j est radiatif)
 Si pas de M-B : fonction de distribution ⇒ énergie moyenne (on ne peut plus
parler de température)
10
Classification des plasmas en fonction de la température
Plasmas chauds
Réactions thermonucléaires : étoiles, soleil, tokamaks
Te = Ti ≈ 20 × 107 K (20 keV)
Plasmas froids
Plasmas thermiques (ETL) : plasmas très collisionnels
(torches, arcs)
Te ≈ Ti = Tg = 20 000 K (2 eV)
Plasmas froids (hors ETL) : plasmas peu collisionnels
Te ≈ 30 000 K >> Ti = Tg = 300 K
11
Classification des plasmas en fonction de
paramètres primaires (densité, température)
PLASMAS GAZEUX
log10 ne (cm-3)
Gaz fortem ent ionisé
Gaz interstellaires
T=10-2 eV
≈0
Vent solaire
T=10-2 keV
0,5
Ionosphère, couche F (altitude 250 km)
T=0,1 eV
5,7
Couronne solaire
T=0,1 keV
7
Machine à fusion de type Tokamak (thermonucléaire)
T = 10 keV
13-15
Plasma produit par un laser sur une cible solide
T = 0,1 keV
19 - 23
Centre du soleil
T = 10 keV
26
Gaz faiblem ent ionisé
Ionosphère, couche D (altitude 70 km)
Décharge en laboratoire, à pression réduite
3
Te = Ti =1-5 eV ( T0 = 10-2 eV)
Décharge en laboratoire, à pression atmosphérique
T=1 eV
10 - 12
14 - 15
P LASM A DE M ATI ÈR E DENSE
Électrons dans les métaux
T=10-2 eV
23
Intérieur des étoiles
27
Intérieur des naines blanches
32
12
Rappel : Fonction de distribution des vitesses et des énergies
Equilibre thermodynamique
0
2
4
6
ε (eV)
8
10
12
Maxwell (isotropie)

m
f(w) = n 
 2π k T

B
14
1,0




3/2
 mw 2
exp  −
 2k T

B




1,0

m
F(w) = 4π n 
 2π k T

B
F(w)/n
0,8
0,8
0,6
0,6
f(ε)/n
0,4
0,4
0,2
0,2
0,0
0,0
0,0
5
5,0x10
6
1,0x10
6
1,5x10
w (m × s-1)
6
2,0x10
f (ε )=
3/2
 mw 2
w exp  −
 2k T

B
2

ε
exp  −
 k T
π

B
ε
2n
( k B T ) 3/2
Condition de normalisation
n=
∞
∞
0
0
 W p (r)
n(r) = n ( r →∞ ) exp  −

k BT





∫∫∫ f ( w ) d
−∞
Boltzmann (distribution spatiale en champ conservatif)
f(r, w) = n ( r →∞ )




 W p (r)
exp  −

k BT


m

  2π k T
B





3/2
3
w=




∫ F ( w ) dw = ∫ ε ( ε ) dε
 mw 2
exp  −
 2k T
B





Maxwell : plasma stationnaire, homogène, absence de forces extérieures
13




Grandeurs macroscopiques - Moyennes statistiques
∞
∞
∫ Af ( w ) d
A =
3
∫ AF ( w ) dw
w
−∞
=
∞
∫f ( w )d
3
∞
=
0
∞
∫F( w )
w
−∞
∫ Af ( ε ) dε
dw
0
0
∞
∫ f ( ε ) dε
0
F(w)/n
1,0x100
Te=1 eV
mv 2th
Te=4 eV
=
k
2
B
T
-1
8,0x10
m w
6,0x10-1
=
2
m w2
4,0x10-1
2
2,0x10-1
0,0
0,0
2
5
6,0x10
6
1,2x10
6
1,8x10
6
2,4x10
6
3,0x10
w (m× s-1)
Flux aléatoire (flux thermique) Γ =
n w
= εc
4
π
k BT
=
3
2
k BT
AN : vth-é, i (Ar, H) ?
Te = 1 eV, Ti = 300 K
(m-2s-1)
4
Densité de puissance correspondant au flux thermique P = 2 K B T Γ
(Wm-2)
14
Grandeurs caractéristiques
Paramètres secondaires
longueur de Debye λD = f (n, T)
oscillation plasma ωp = f (n)
associés aux
Phénomènes collectifs dans les plasmas
⇓
Plasma milieu macroscopiquement neutre
λD, ωp : description du régime de fonctionnement
Échelles caractéristiques des réponses collectives
15
Perturbation électronique - Ecart temporel à la neutralité
fréquence propre d’oscillation
Perturbation → séparation de charges → Champ de charge d'espace (Poisson) → Force de
rappel vers l’état d’équilibre (dynamique de déplacement)
E
Conservation du nb. de particules
∂ξ


n 0 dx = n ( x , t )  dx +
dx 
∂x


F = - eE
t = 0 tranche x0, x0 + dx
équilibre : n0
t
tranche x, x + dx (1( +∂ξ/∂x )
n(x, t)
x0
x0+dx
x0+ξ (x0,t)
x0 +ξ
+dx + dx ∂ξ/∂x
Oscillateur → Fréquence propre d’oscillation
d2ξ
dt 2
+ω ξ=0
2
p
ω=
n0e2
meε0
Poisson
e(n(x, t) − n 0 (x 0 , t = 0) )
∂E ρ
=
=−
∂x ε 0
ε0
Dynamique du mouvement
d2ξ
F=m
= − eE
dt 2
τp = 1/ωp - échelle de temps caractéristique à la
réponse électronique (collective) à une perturbation
initiale ⇒ temps de rétablissement d'équilibre (neutralité
du plasma)
Oscillations = Fluctuations en densité par rapport à la densité n0 d’équilibre
16
Ecart temporel à la neutralité : Fréquence plasma
•Pulsation d’oscillation des électrons
ω = ω pe =
n0 e2
meε0
= 56400
n(cm −3 )
•Fréquence du plasma électronique : fpe ≅ 9000 [n0 (cm-3)]1/2
•Pulsation d’oscillation des ions
ω pi =
n0e2
miε0
•Les oscillations ioniques << que les oscillations électroniques ωpi << ωpe (mi >> me)
n0 = ni = ne = densité du plasma à l'équilibre (neutralité)
•Te = 0 : les oscillations ne se propagent pas
•Te ≠ 0 : équation de dispersion ω2 = ωpe2 + β 2 (γ kBTe/me) (cf. ondes dans les plasmas)
17
Echelle spatiale - Effet d’écran dans les plasmas
Potentiel et Longueur de Debye
Q = e dans le vide
V(r) = potentiel Coulombien
V(r) =
e 1
4πε 0 r
Q = e (charge test) dans le plasma
Le potentiel V(r) induit par la charge ???
V(r)
ne (r) ≠ ni (r)
Q dans le plasma
⇓
Séparation de charges ⇒ Champ de
charge d'espace = ORGANISATION de
charges (effet collectif)
ne(∞) = ni(∞) = n
Dans la zone perturbée
ne (r) ≠ ni(r)
Zone non-perturbée
ne(∞) = ni(∞) = n0 = n
DESORDRE = mouvement thermique (kT)
tend à lisser l'accumulation de charges
Phénomènes antagonistes : ordre-désordre ⇒ zone perturbée est limitée sur la
longueur d'action du champ induit par Q.
Au-delà de la zone d'action du champ, la neutralité du plasma est respectée
(équilibre Boltzmann pour n)
18
Echelle spatiale - Effet d’écran dans les plasmas
Potentiel et Longueur de Debye
Calcul du potentiel induit par la charge test et de la zone d'action
• Poisson ∇.E = e(ni-ne)/ε0 +
champ de force conservatif E = - ∇V
• Distribution Boltzmann (phénomènes antagonistes)
•Hypothèse Cinétique des gaz : eV << kBT(e,i)
n i (r) ≅ n i∞

eV(r)
 1−

k B Ti





 eV(r)
n i (r) = n i∞ exp  −
 k T

B i




 eV(r) 

n e (r) = n e∞ exp  +
 k T 
B e 

(validation -voir plus loin) → linéarisation
n e (r) ≅ n e∞

eV(r)
 1+

k B Te

•Neutralité du plasma à l’extérieur de la zone perturbée
e [ n i (r) − n e (r) ]
1 d  2 dV(r) 
 r
 = −
2
dr 
ε0
r dr 




ne∞ = ni∞ = n0 = n
V(r) =
e
4πε 0 r
exp( −
r
λD
)
19
Effet d’écran dans les plasmas. Potentiel et Longueur de Debye
Potentiel de Debye-Hückel (potentiel coulombien × facteur d’écran)
où
1
λ
2
D
=
1
λ
2
Di
+
1
λ
2
De
Longueur de Debye
V(r) =
Q
λ Dα =
4πε 0 r
Q
4π ε 0 r
exp ( −
2λD
-1
0
1
4πε 0 r
exp( −
r
λD
)
ε 0 k B Tα
n 0e2
(r < λD potentiel ≈ coulombien)
V(r) =
-2
V(r) =
Q
2
r / λD
r
λD
)
r >> λD V(r) ≈ 0
La perturbation Q n’agit plus les
autres charges du plasma.
Les charges accumulées autour
de Q font écran à la charge
perturbatrice
Conclusion
• Toute particule chargée d'un plasma agit sur le plasma par un potentiel coulombien corrigé
par le facteur exponentiel « facteur d’écran » qui diminue son effet perturbateur au-delà de la
distance λD (distance d’écran)
• λD délimite la zone non-neutre (accumulation de charges) de la zone neutre (plasma)
• Sphères de Debye : structuration statistique (Q = toute charge) et dynamique
20
Remarques sur la longueur de Debye
1
λ
=
2
D
1
λ
2
Di
+
1
λ
2
De
λD indépendante du signe de la charge perturbatrice Q ; λD ∝ T1/2, n-1/2
• Ti << Te (HETL) λ D = λ Di =
•Ti = Te = T (ET), λDe = λDi, λ
D
ε 0 k B Ti
ne
=
2
2
2
λ De
les charges les plus froides font écran à Q
λ De ( cm ) = 6,9
T(K)
n (cm −3 )
= 740
T(eV)
n (cm −3 )
Généralisation de l’écrantage
• Quel que soit l’agent perturbateur placé dans le plasma, la perturbation est isolée suit à la
réponse collective : effet d’écran par les particules « extraites » du plasma
• L’agent perturbateur peut être aussi un corps diélectrique ou conducteur (à un potentiel V par
rapport au potentiel du plasma) : perturbation - gaine - plasma
• Gaine formée autour du "perturbateur" est celle de charges de signe contraire à la polarité du
perturbateur : gaine ionique (quand V< 0) ou gaine électronique (V > 0)
• L’ordre de grandeur de la gaine (ionique ou électronique) est donné par la longueur de
Debye électronique (toujours électronique)
21
Condition d’existence d’un plasma / Hypothèse cinétique du gaz
Neutralité macroscopique du plasma : L >> λD
Z α e nα
∑
α
Approximation du gaz parfait (statistique classique) si eV << kBT
e2
<< k B T ⇒ N >> 1
• eVD << kBT où VD = VC (r = λD) ⇒
D
4πε 0 λ D
Longueur Landau : longueur eV = kBT ⇒
e2
4πε 0 λ L
=k BT
=0
ND = nD 4π/3 λD3
nombre de
particules dans la
sphère de Debye
Distance entre 2 particules d (n ≈ 1/d3)
Approximation du gaz parfait (eV << kBT ) : λL << d << λD
Cinétique du gaz parfait (eV << kBT) : λL << d << λD
pα = nα kBTα où α = e, i, N
Valeurs n, T qui satisfont la condition eV << kBT
p = ∑pα
α
n (cm-3) < 1,6 × 1020 T3 (eV)
n (m-3) < 1,6 × 1014 T3 (K)
22
Condition d’existence d’un plasma
Cas extrêmes
a) Gaz ionisé : si n faible et/ou kBT élevé ⇒ λD devient très grande (plus grande que les
dimensions de l’enceinte contenant le plasma)
• Pas de neutralité macroscopique du plasma ⇒ le milieu se comporte comme un gaz ionisé
avec des particules en mouvement indépendant
b) Plasma de matière condensée : si le plasma est très dense (ou kBT très faible), λD devient très
petite
• Pas assez de particules dans la sphère de Debye pour faire un écran efficace ⇒ les effets
collectifs sont prépondérantes ⇒ il faut utiliser d’autres théories que celle des gaz parfaits
(interactions binaires) pour l’étude de ce plasma « collectif »!!!!!
Conclusion
La théorie du gaz parfait s’applique pour tout plasma qui satisfait
n (cm-3) < 1,6 × 1020 T3 (eV)
n (m-3) < 1,6 × 1014 T3 (K)
23
Paramètres plasma
Exemple de plasma
ne (m-3)
T (K)
ωpe (s-1)
λDe (m)
Milieu interstellaire
5×106
102
6×104
0,7
Ionosphère terrestre
(250 km)
1012
103
6×104
2×10-3
Centre du soleil
(fusion naturelle)
1032
107
calculer
calculer
1016 - 1019
∼ 1020
Te ≅ 104 (Tg = 102)
Te ≅ Tg = 104
∼ 109
6×1011
∼ 10-4
7×10-7
Tokamak (fusion
« artificielle »)
1019
107
6×1011
7×10-5
Couronne solaire
1012
106
6×107
0,07
Décharges de
laboratoire
paramètres du 1er ordre
paramètres du 2ème ordre
Grandeurs caractéristiques

Paramètres primaires (plasma / système thermodynamique)
Densité plasma (m-3 - cm-3) : ne, ni, nN
 Température (K - eV) : Te, Ti, TN
 Permettent de caractériser le plasma
 Production d'espèces (cinétique de réactions)
 Décrire les processus dynamiques (transport de particules, de
quantité de mouvement, d'énergie)


Paramètres secondaires (plasma / comportement collectif)
Pulsation plasma (électronique, ionique) : ωpe, ωpi
 Longueur de Debye (électronique, ionique) : λDe, λDi
 Permettent de définir le régime de fonctionnement du plasma (cf. suite)
 Processus lents ou rapides ?
 Quelles approximations sont possibles ?
 Quelle approche utiliser pour l’étude du plasma ?

25
Echelle temporelle (1 / fréquence)
1 KHz
10
100
1 MHz
10
100
1 GHz
10
ω
ωpi
CC (ω = 0)
BF
ωpe
RF
(pulsation champ)
MO
les ions ne répondent pas aux
électrons et ions répondent aux
variations temporelles du champ E variations temporelles du champ E
(ils ne voient que la moyenne)
ω<<ωpi <<ωpe
ωpi << ω <<ωpe
ωpe<< ω
Temps de processus >> 1/ωpe : processus lents
- neutralité considérée
- relaxation électronique (équilibre Boltzmann, plasma équipotentiel,...)
Remarque
Autre échelle temporelle à prendre en compte pour comparaison ⇒ temps entre deux collisions
τ = 1/ν (ν = fréquence de collisions)
revenir à l'échelle temporelle après l'étude des collisions
26
Echelle spatiale
λD << L (neutralité du plasma)
λL << d << λD
Remarque
Autre grandeur à prendre en compte pour comparaison ⇒ libre parcours moyen (distance entre
deux collisions successives)
Revenir à l'échelle spatiale après l'étude des collisions
λD et ωp paramètres qui définissent le régime du plasma
27
Echelle temporelle (1 / fréquence)
1 KHz 10
100
1 MHz 10
100
1 GHz 10
ω
ωpi
CC (ω = 0)
BF
électrons et ions répondent aux
variations temporelles du champ E
ω<<ωpi <<ωpe
(pulsation champ)
ωpe
RF
MO
les électrons ne répondent pas
les ions ne répondent pas
aux variations temporelles
aux variations temporelles
du champ E (ils répondent au ⟨E⟩T) du champ E (ils répondent au ⟨E⟩T)
ωpi << ω<<ωpe
ωpe<< ω
Temps d'un processus >> 1/ωpe : processus lents
- neutralité considérée
- relaxation électronique (équilibre Boltzmann, plasma équipotentiel,...)
Autre échelle temporelle à prendre en compte pour comparaison ⇒ 1/ ν
- ν > ω plasma basse fréquence (pas de fluctuations en densité, JD négligeable);
• MHD à fluide unique : E propre au plasma provient : a) fluide en mouvement ⇒ J ⇒ E ; b) B appliqué
est B(t)
• E propre au plasma provient ∇n ≠ 0 (MHD à deux fluides)
- ν << ω << ωp plasma haute fréquence (ωp = oscillations plasma dues aux fluctuations en densité)
20/01/2011
28
Echelle temporelle (1 / fréquence)
1 KHz 10
100
1 MHz 10
100
1 GHz 10
ω
ωpi
CC (ω = 0)
BF
électrons et ions répondent aux
variations temporelles du champ E
RF
MO
les ions ne répondent pas
aux variations temporelles
du champ E
(ils ne voient que la moyenne)
ω <<ωpi << ωpe
ωpi << ω << ωpe
milieu résistif
(ν >> ω, ων < ωpe2)
δ = c / ωpe(2ν/ω)1/2
milieu réactif
(ν << ω, ω < ωpe)
δ = c / ωpe
pas de séparation de charge
 MHD à 1 fluide unique
 MHD à 2 fluides (Ech ∝ - ∇n)
(pulsation champ)
ωpe
séparation de charge (fluctuations en densité)
∇Ech = e(ni – ne)/ε0
les électrons ne répondent pas
aux variations temporelles
du champ E
(ils ne voient que la moyenne)
ωpe << ω
ν << ω
milieu dispersif, milieu dilué
δ >> λ / 2π
Propagation d’onde sans ou
avec très faible atténuation
MHD 1 fluides électronique
(fluide électronique, ions comme fond continu)
20/01/2011
ν>ω
29
Exercice : Fréquence propre d’oscillation / Approche fluide
Calcul de la fréquence propre d’oscillation (modèle fluide des électrons, ions uniformément distribués ni0)
∂n e
+ ∇(n e v ) = 0
∂t
men e
• Fréquence de collisions faible (ν = 0) par rapport à la fréquence
d'oscillation des électrons (ν << ωpe ⇒ comportement collectif)
•B=0
dv e
= −en e E - e(v e × B ) − n e m e ν v e − ∇p e
dt
∇ •E =
ρ e(n i0 − n e )
=
ε0
ε0
Perturbation ⇒ Fluctuations en densité par rapport à l’équilibre ⇒ écart spatial et temporel (1/ωp) à la
neutralité
− i ωt
− i ωt
n (r, t ) = n + n (r )e − iωt
E(r, t ) = E1 (r )e
v e (r, t ) = v e 0 (r )e
e1
0e
e1
Faible perturbation : négliger les termes d’ordre 2 en (iω), c’est-à-dire e-2iωt → 0
• Solution (Te ≠ 0) : équation de dispersion ω2 = ωpe2 + β 2 (γ kBTe/me)
• Te = 0 (mouvement thermique négligé : v th << v E): les oscillations ne se propagent pas
Rappel :
•β et le module du vecteur k de propagation (nombre d’onde k = 2π /λ)
•Vitesse de phase v ϕ = ω/k et vitesse de groupe v g = ∂ω/∂k
•γ = cp/cv coefficient adiabatique (transformation isotherme γ = 1)
30