Exercice révision 2

Exemple révision 2
Soit un long solénoïde parcouru par du courant alternatif et entouré
d’une bobine circulaire
rb
rs
B
La bobine circulaire a un rayon de 10 cm et comporte 30 spires de fil
de cuivre de 1,0 mm de diamètre. La résistivité du cuivre est de 1,7 x
10-8 Ωm.
Le solénoïde pour sa part a un rayon de 5,0 cm et comporte 500
spires par mètre et est parcouru par un courant alternatif donné
par I(t)=10sin(120π)t A
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Exemple révision 2
B
La bobine circulaire a un rayon de 10 cm et comporte 30 spires de fil
de cuivre de 1,0 mm de diamètre. La résistivité du cuivre est de 1,7 x
10-8 Ωm.
Le solénoïde pour sa part a un rayon de 5,0 cm et comporte 500
spires par mètre et est parcouru par un courant donné par
I(t)=10sin(120π)t A
a) Déterminez la puissance moyenne perdue en chaleur dans
la bobine.
b) Déterminez le champ électrique maximal induit dans la
bobine Eind (max).
2
Exemple révision 2
B
Problème : a) Déterminez la puissance moyenne perdue en chaleur dans
la bobine.
Solution possible :
Nous pouvons montrer que cette puissance est
donnée par
Pmoy = Rieff
2
W
Nous devons donc trouver R et i eff
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Exemple révision 2
Commençons par R
B
Solution possible :
Nous pouvons montrer que la résistance de la bobine
est donnée par
R=
r
Données de
la bobine :
ρl
A
∆V EL ρL
=
=
R=
I
jA
A
E = ρJ
La bobine circulaire a un rayon de 10 cm et comporte 30
spires de fil de cuivre de 1,0 mm de diamètre. La
résistivité du cuivre est de 1,7 x 10-8 Ωm.
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Exemple révision 2
R=
rb
Données de
la bobine :
ρl
A
La bobine circulaire a un rayon de 10 cm et comporte 30
spires de fil de cuivre de 1,0 mm de diamètre. La
résistivité du cuivre est de 1,7 x 10-8 Ωm.
La longueur du fil est donnée par :
l = 30 x 2πr = 30 x 2πx0,1 = 18,85
m
La section A du fil est donnée par
d 2
−3 2
−7
2
A = π ( ) = π (0,5 x10 ) = 7,854 x10 m
2
5
Exemple révision 2
R=
rb
ρl
A
La bobine circulaire a un rayon de 10 cm et comporte 30
spires de fil de cuivre de 1,0 mm de diamètre. La
résistivité du cuivre est de 1,7 x 10-8 Ωm.
Données de
la bobine :
Résultat probable :
La résistance du fil sera donc :
ρl
−8
1,7 x10 x18,85
−1
=
= 4,08 x10 Ω
R=
−7
A
7,854 x10
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Exemple révision 2
Déterminons maintenant la valeur du courant efficace.
Solution possible:
imax
ieff =
2
Nous pouvons montrer que le courant
efficace est donné par
Puisque la puissance moyenne est égale à la
moitié de la puissance maximale.
De plus, on sait que dans la bobine,
Selon la loi de Faraday, on
sait que
ε ind
ieff =
ε eff
R
dΦ B
= −N
dt
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Exemple révision 2
Nous devons donc trouver la f.é.m. induite en premier.
ε ind
dΦ B
= −N
dt
B
On remarque que la variation du flux dans la bobine vient en fait de la
variation du flux dans le solénoïde
Le flux dans le solénoïde est donné
par
 
Φ B = ∫ B • dA = BA
8
Exemple révision 2
L
N
 
Φ B = ∫ B • dA = BA
B
À partir du théorème d’Ampère,
BL = µ o NI
∫
 
B • dl = µ o I net
n= N/L
nous pouvons montrer que le champ magnétique à l’intérieur du
solénoïde est donné par :
B = µ o nI
Par conséquent le flux sera
Φ B = BA = µ 0 nIA = µ 0 nA10 sin(ωt )
Tm
2
9
Exemple révision 2
Φ B = µ 0 nA10 sin(ωt )
B
La f.é.m induite dans la bobine sera donc
ε ind
dΦ B
d sin(ωt )
= − Nµ 0 nA10
ε ind = − N
dt
dt
d sin(ωt )
= − Nµ 0 nA10
= − Nµ 0 nA10ω cos(ωt )
dt
ε ind = −ε max cos(ωt )
ε max = Nµ 0 nA10ω
10
Exemple révision 2
ε max = Nµ 0 nA10ω
B
ε eff =
On peut montrer que
ε max
2
Finalement,
ε eff
Nµ 0 nA10ω
ieff =
=
R
R 2
A
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Exemple révision 2
ε eff
B
Nµ 0 nA10ω
ieff =
=
R
R 2
Avec les données de la bobine N = 30 tours et R= 0,408 Ω
solénoïde
A
et celles du
Le solénoïde pour sa part a un rayon de 5,0 cm et comporte 500
spires par mètre et est parcouru par un courant alternatif donné
par I(t)=10sin(120π)t A
On obtient
30x4πx10 −7 x500 xπ (5 x10 −2 ) 2 x10 x120 xπ
ieff =
−1
(4,08 x10 ) 2
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Exemple révision 2
ε eff
Nµ 0 nA10ω
ieff =
=
R
R 2
B
A
30x4πx10 x500 xπ (5 x10 ) x10 x120 xπ
ieff =
−1
(4,08 x10 ) 2
−7
ieff = 0,967
−2
2
A
Résultat probable : La puissance moyenne dissipée en
chaleur sera
Pmoy = Rieff = 0,408(0,967) 2 = 0,382 W
2
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Exemple révision 2
rb
rs
B
b) Déterminez le champ
électrique maximal induit
dans la bobine Eind (max).
Problème : Eind(max) ??
Solution possible :
Nous avons, selon la loi de
Faraday,


dΦ
ε = ∫ E • dl = − N
dt
ind
B
ind
Puisque le champ électrique induit est constant dans la bobine,
on peut écrire
ε ind
dΦ B
= Eind N 2πrb = − N
dt
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Exemple révision 2
ε ind
B
dΦ B
= Eind N 2πrb = − N
dt
Puisque la variation du flux se fait à travers le solénoïde, nous avons
comme dans la partie a)
ε ind
ε ind
dΦ B
d sin(ωt )
= −N
= − Nµ 0 nA10
dt
dt
d sin(ωt )
= − Nµ 0 nA10
= − Nµ 0 nA10ω cos(ωt )
dt
ε ind = −ε max cos(ωt )
ε max = Nµ 0 nA10ω
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Exemple révision 2
dΦ
ε = E 2πr = − N
dt
ind
B
Par conséquent,
ind
b
Eind N 2πrb = −ε max cos(ωt )
ε max
Eind (t ) =
cos(ωt )
2πrb N
Ou encore
Eind (max) =
ε max
2πrb N
Nµ 0 nA10ω
Eind (max) =
2πrb N
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B
Exemple révision 2
rb = 0,10 m
µ 0 nA10ω
Eind (max) =
2πrb
B
Finalement,
µ 0 nA10ω
Eind (max) =
2πrb
4πx10 x500 xπ (5 x10 ) x10 x120 xπ
Eind (max) =
2π 0,10
−7
−2 2
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Exemple révision 2
rb = 0,10 m
B
µ 0 nA10ω
Eind (max) =
2πrb
4πx10 −7 x500 xπ (5 x10 −2 ) 2 x10 x120 xπ
Eind (max) =
2π 0,10
Eind (max) = 29,6 mV/m
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Exemple révision 2
rb = 0,10 m
µ 0 nA10ω
Eind (max) =
2πrb
B
Résultat probable:
Le champ électrique induit maximal
dans la bobine sera de
Eind (max) = 29,6 mV/m
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