algorithme de Dijkstra

Algorithmique et Programmation
Projet : plus courts chemins à origine unique par l’algorithme de Dijkstra
Ecole normale supérieure
Département d’informatique
[email protected]
2014-2015
Pour ce projet, nous cherchons à trouver le chemin le plus court entre deux sommets d’un graphe
oriénté et pondéré dont lse poids représentent les longueurs d’arc.
L’algorithme de Dijkstra nous permet de calculer le plus chemin entre une source s et tous les autres
sommets du graphe. Cet algorithme emploie à la base une file de priorité comme structure de donnée.
Cette structure permet d’inserer des éléments pondérés, de retrouver l’élément de poids minimum et
d’éffacer ce élément de poids minimum de la file.
La file de priorité peut être implémentée de différentes façons. Pour cet exercise vous utiliserez des
Tas de Fibonacci.
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Algorithme de Dijkstra
L’algorithme de Dijkstra recherche la distance à partir de la source s de manière gloutonne. Il trouve
les sommets du graphe orienté G = (S, A, w) donné en entré (ainsi que le chemin le plus court vers ces
sommets) en order croissant de leur distance de s. Notons pas ds (t) la distance (du plus court chemin)
de s à t.
Au départ, seulement la distance de s vers s est connue (cette distance ds (s) est 0).
À chaque étape, l’algorithme choisi un arc (u, v) d’un sommet u dont la distance est connue à un
sommet v dont la distance (de s) est inconnue. Cet arc est choisi à minimiser la distance totale de s à
v si (u, v) est le dernier arc utilisé. C’est-à-dire l’arc (u, v) minimisant ds (u) + w(u, v) est choisi et ce
chemin utilisant le plus court chemin de s à u et l’arc (u, v) est déclaré comme (un) plus court de s à v.
Par conséquent, on inscrit ds (u) + w(u, v) pour ds (v).
Et on continue choissisant un nouvel arc pour la prochaine étape et ainsi de suite.
Quelques astuces sont utile pour trouver rapidement l’arc (u, v) minimisant ds (u) + w(u, v) à chaque
étape. Nous maintenons une liste d’arrêtes non-vus provenant d’un sommet dont la distance est connue.
Si une arrête (minimisante) entre deux sommets à distances connue est choisie, nous marquons cette
arrête comme vue et passont simplement à l’étape suivante (nous pouvons prouver qu’elle nous servira
pas dans un chemin le plus court). Finalement, plutôt que de maintenir une liste d’arcs, nous utilisons
une file de priorité d’arcs non-vus pour pouvoir rapidement trouve l’élément minimisant la distance
totale.
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File de priorité
Une file de priorité est simplement un ensemble d’objets pondérés (dans notre cas les objets seront des
arcs du graphe dont le poids est la distance totale de s si on utilise cet arc comme dernier arc du chemin)
qui permet les opérations suivantes:
• insérer(objet,poid) qui ajoute un objet avec poid.
• extraire-min() qui enlève l’objet de poids minimum de l’ensemble et retourne cet objet avec son
poid.
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3.1
Pseudo-code
Algorithme de Dijkstra
Voir [1, §25.2]
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Entrée:
1. Un graphe orienté G = (S, A)
2. Poids w sur les arcs A (i.e., w : A → R+ .
3. Un sommet source s ∈ S.
Sortie: Un tableau ds indexé par S tel que ds [t] est la longueur du plus court chemin de s à t dans G.
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function Dijkstra(G, w, s)
Soit P une file de priorité vide.
Soit ds un tableau de taille |S| initialisé à «non définie»
Soit Vus un ensemble vide de sommets.
ds [s] ← 0
Ajouter v à Vus
for all arc a sortant de s do
longueur ← ds [s] + wa
insérer(P, a, longueur)
end for
while P est non-vide. do
(u, v), poid ← extraire-min(P )
if v 6∈ Vus then
ds (v) ← poid
Ajouter v à Vus
for all arc a sortant de v do
longueur ← ds [u] + wa
insérer(P, a, longueur)
end for
end if
end while
end function
Temps de calcul
Si la file de priorité est implantée à l’aide de la structure de données des tas de Fibonacci (voir [1, §21]),
les fonctions Extraire-Min et P (v) = δs (v) (qui ne peut que diminuer la priorité d’un nœud) se font
respectivement en O (log |S|) et O (1). On obtient un coût total O (|A| + |S| log |S|) pour l’algorithme
de Dijkstra.
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Travail demandé
Vous écrirez une fonction C qui calcule le plus court chemin à origine unique par l’algorithme de Dijsktra.
L’argument de la fonction sera un graphe de taille arbitraire sous forme de listes d’adjacence (efficace
pour représenter les graphes peu denses) ainsi qu’un nœud s. Les poids seront de type int. La sortie
sur écran sera, pour chaque t ∈ S, la liste ordonnée des sommets formant un chemin de poids minimum
entre s et t ainsi que son poids, ou +∞ si t n’est pas accessible depuis s.
1. Implémenter une fonction qui test si un graphe est connexe.
2. Implémentation l’algorithme que Dijkstra avec une file de priorité naïve représenté par un tableau
où le extraire-min regarde tous les poids pour trouver l’élément min (et ensuite déplace tous les
élément après le min vers l’avant).
3. Implémenter une file de priorité utilisant les tas de Fibonacci.
4. Implémentation l’algorithme que Dijkstra avec une file de priorité représenté par des tas de Fibonacci.
5. Comparer les différentes implémentation pour des valeurs variés de |A| et |S| pour vérifier expérimentalement le coût théorique (attention au coût de la génération du graphe et de la sortie sur
écran).
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Bonus
Téléchargez les donnés géographique de OpenStreetMap (www.openstreetmap.org) pour la région Parisienne et trouver les chemins les plus courts de l’ENS. Quel est la distance de l’ENS vers l’intersection du
boulevard Brune et l’avenue Jean Moulin? Vous pouvez supposez que la Terre est localement plate.
Téléchargez l’emplacement des stations de bus, métros et trains de la rubique Open Data du site de
la RATP: http://data.ratp.fr/fr/les-donnees.html. Quel est l’entrée de métro la plus proche de
l’ENS pour chaque ligne? La station de train? De bus?
Donnez aussi le chemin le plus court vers ces stations. Comparez vos résultats avec ceux des programmes de navigation (par exemple, Google maps).
6.1
Format des données
Une des difficultés du bonus est d’extraîre le graphe pondéré des données réels. Alors que nous avons
qu’il doit y avoir un graphe quelque part, ces données servent à des buts diverses et contiennent donc
beaucoup plus d’informaton. Pour commencer, regardé la description donné pour OpenStreetMap
http://wiki.openstreetmap.org/wiki/OSM_XML
et pour la RATP
http://data.ratp.fr/?eID=ics_od_datastoredownload&file=65
Bien nous indiquer quel interpretation vous avez pris des données (quels sont les noeuds et arêtes du
graphe).
6.2
Liens directs
Pour le plan de Paris, peut être téléchargé directement de cette page en choisissant une région.
http://www.openstreetmap.org/export#map=12/48.8588/2.3468
ou bien vous pouvez obtenir la ville entière sur un site alternatif:
http://download.geofabrik.de/europe/france/ile-de-france.html
avec lien direct pour Paris
http://download.geofabrik.de/europe/france/ile-de-france-latest.osm.bz2
Pour la RATP, les données sont à
http://data.ratp.fr/fr/les-donnees.html
Voici un lien direct vers le ficher ZIP des données pour les arrêts
http://data.ratp.fr/?eID=ics_od_datastoredownload&file=64
et la note explicatif des données en PDF
http://data.ratp.fr/?eID=ics_od_datastoredownload&file=65
References
[1] Charles E Leiserson, Ronald L Rivest, Clifford Stein, and Thomas H Cormen. Introduction to algorithms. The MIT press, 2001.
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