INTERPRETATION DU ROTATIONNEL EN TERME DE ROTATION
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INTERPR ETATION EN I TERME DU DE ROTATIONNEL ROTATION PRESENTATION DU PROBLEME Considérons un fluide en mouvement. Le champ des vecteurs vitesses est V(M) . Immergeons dans ce fluide une sphère constituée d’un treillis de tiges métalliques rectilignes régulièrement espacées dans les trois dimensions. Elles constituent un découpage de l’espace en petits volumes cubiques. .O Le fluide pénètre donc à l’intérieur de la sphère. On peut considérer le pas de ce treillis comme infiniment petit. Le champ des vecteurs vitesses des points de la sphère est U(M). Supposons que la présence de la sphère ne modifie en rien le champ des vecteurs vitesses du fluide. Supposons un frottement visqueux du fluide sur la sphère de telle manière que, au point M, l’élément de volume dτ de la sphère soit soumis à la force : df = k u 1 1 1 m o V(M) - U(M)1 dτ . Nous nous posons la question de savoir quel va être le mouvement de la sphère. II EQUATIONS DU MOUVEMENT ΓO est l’accélération du centre de gravité de la sphère qui est le point O. UO est la vitesse de O (lié à la sphère). Les équations s’écrivent : m ΓO m 0 0 k ⌠⌠⌠ ⌡⌡⌡ u 1 m V(M) - U(M) ⇒ puisque ΓO reste fini : ⌠⌠⌠ 1 u ⌡⌡⌡ m V(M) - U(M) I I = dΩ dt ------------- = ⌠⌠⌠ --------L ⌡⌡⌡ OM ∧ k u 1 m ⇒ puisque dΩ/dt reste fini : 1 o 1 . dτ = o 1 . dτ 0 V(M) - U(M) o 1 . dτ ⌠⌠⌠ --------L ⌡⌡⌡ OM ∧ III u 1 m V(M) - U(M) o 1 . dτ = 0 LA MATRICE DIFFERENTIELLE Cherchons V(O) = U(O) suffisamment pour que l’on une solution à ces équations. Supposons que . Supposons que le champ des vecteurs vitesse varie peu sur les dimensions de la sphère, qui est petite, puisse adopter l’approximation linéaire. V ( M) = X i + Y j + Z k V(O) = XO i + YO j + ZO k --------L OM = x i + y j + z k 0 ------------- 0 0 0 ------------ 0 ∂ Y - ------------∂X ------------ ∂ x ∂y ∂X ∂ Z - ------------ ------------∂z ∂x ∂Y ∂y ∂X ∂Y ------------- - ------------∂y ∂x 0 ∂ Z - ------------∂Y ∂y ∂z ------------- Nous appelons ce terme A, et il antisymétrique de la matrice différentielle. 2 0 ∂Z ∂z ∂X ∂ Z ------------- - ------------∂z ∂x ∂ Y - ------------∂Z ∂z ∂Y ------------- 0 correspond y z x x y z 1 2 --------------- 0 à la + ∂X ------------∂x s’appelle la matrice différentielle. ZO + = YO 3 × 3 x y z XO La matrice ∂X/∂x ∂X/∂y ∂X/∂z + ∂Y/∂x ∂Y/∂y ∂Y/∂z ∂ Z/∂x ∂ Z/∂y ∂ Z/∂z X XO Y = YO Z ZO partie 0 ∂Z ∂X ∂ x + ------------∂z ∂ Y + ------------∂Z ∂z ∂Y ------------- ∂ Z + ------------∂Y ∂y ∂z ------------- ------------- ∂ Y + ------------∂X ∂x ∂y ------------- ∂ X + ------------∂Z ∂z ∂x ------------- x y z 0 Nous appelons ce terme S, et il correspond à symétrique de la matrice différentielle, privée de sa trace. 1 2 --------------- + ∂ X + ------------∂Y ∂y ∂x ------------- 0 la partie Interprétons ces différents termes de la matrice différentielle. ROTATION A = 1 2 --------------- On voit que : A 1 2 --------------- = ------------∂X ∂Y y + ∂ y - ------------∂x ------------∂X ∂ Z z ∂ z - ------------∂x ------------∂Y ∂X x + ∂ x - ------------∂y ------------∂Y ∂ Z z ∂ z - ------------∂Y ------------∂ Z - ------------∂Y y ∂y ∂z ∂X x + ------------∂ Z - ------------ ∂x ∂z ---------L --------L --------L ro t V(M) ∧ OM = Ω ∧ OM IV avec 1 ---------L Ω = --------------ro t V(M) 2 A priori, cette structure du champ des vecteurs vitesses, doit avoir pour conséquence de faire tourner la sphère avec le vecteur rotation Ω . V DILATATION Envisageons le terme correspondant à la trace de la matrice différentielle, et supposons qu’il agit seul. Considérons un parallélépipède rectangle solidaire du fluide, et voyons comment il se déforme au cours du mouvement. La déformation est due au fait que les sommets sont animés de vitesses différentes à cause des gradients des composantes de la vitesse. u-----------------------------------------------------------------------------o 1 u-----------------------------------------------------------------------------o 1 1 1 l1 . 1 1 1 m-----------------------------------------------------------------------------. k h 3 ∂ X h dt ∂------------x ∂Y k’ = k + ------------- k dt ∂y ∂Z l ’ = l + ------------- l dt ∂z h’ = h + X ∂ Y dt l 1 + ∂-----------Z V’ = h’k’l’ = h 1 + ∂------------∂ x dt k 1 + ------------∂y ∂ z dt u 1 1 1 m = h k l 1 + ∂------------X ∂ Y + ∂-----------Z ∂ x + ------------∂y ∂ z dt o 1 1 1 . V’ = V + V div V dt Ainsi, la variation de volume d’un élément du fluide au cours du mouvement fait intervenir la trace de la matrice différentielle, qui est ce qu’on appelle la divergence. La sphère étant rigide et de volume fixé, cette aspect du champ des vecteurs vitesses ne doit avoir à priori aucune influence. VI DEFORMATION Considérons maintenant la partie symétrique. Considérons par exemple le terme ∂X/∂y + ∂Y/∂x . Il va agir sur un carré de côtés parallèles aux axes des x et des y. X - X0 u------------L 1 1dα1 1 y1 1 1 1 1 I 1 1 1 dα 21 . -----------------------------------------------------------. O x 1 ∂X ∂Y ------------- + ------------ X - XO = --------------2 ∂y ∂x y Y - YO 1 ∂X ∂Y x Y - YO = --------------------------- + ------------2 ∂y ∂x (Y - Y O ) dt 1 dα2 = ------------------------------------------------------------- = --------------x 2 dα1 = dα = (X - X O ) dt ------------------------------------------------------------y = ------------∂X ∂ Y dt ∂ y + ------------∂x u---------------------------o 1 1 α 1 1 1 1 1 1 1 m---------------------------. 1 2 --------------- ∂------------X ∂Y ∂ y + ------------∂x ∂------------X ∂Y ∂ y + ------------∂x α = π/2 - dα Déforma t i on du c ar r é au cours du t emps De nouveau, cette déformation ne doit avoir aucune influence sur la sphère. En résumé, on a décomposé les actions du fluide en une translation (vitesse V(O)), une rotation, une dilatation, et des 4 déformations, et seul la translation et la rotation doivent agir. VII SOLUTION POUR LE MOUVEMENT Nous faisons donc l’hypothèse que la solution pour le mouvement de la sphère est UO = VO avec une rotation de la sphère sur ---------L elle-même avec Ω = 1/2 ro t V . Vérifions le : ⌠⌠⌠ ⌡⌡⌡ ⌠⌠⌠ = ⌡⌡⌡ u 1 ∂X 1 ------------1 ∂x m x + 1 2 --------------- u 1 m VX(M) - UX(M) o 1 . dτ ------------∂X ∂ Y y + --------------1 ∂X ∂Z ------------- + ----------- ∂ y + ------------∂x 2 ∂z ∂x z o 1 1 1 . dτ = En effet, les facteurs devant x, y, et z, sont constants, et on intègre autant pour des x positifs que pour des x négatifs. Idem pour y et z. La première équation est donc vérifiée. V(M) - U(M) = --------L OM ∧ + 1 2 --------------- u 1 m -------------∂X ∂Z z ∂ z + ------------∂x x ∂ Y 1 ∂Y ∂ Z + -------------- y + ---------------------------- + ------------ ∂y 2 ∂z ∂Y z x + --------------1 ∂Z ∂Y y ∂Z -------------- + ------------+ ------------- z 2 ∂y ∂z ∂z + 1 ∂X -------------- + 2 ∂y --------------- ∂Y + ∂x ------------- 1 2 --------------- ∂X -------------- x ∂x 1 ∂Y ∂X ------------- + ------------ --------------2 ∂x ∂y 1 ∂Z ∂X --------------------------- + ------------2 ∂ x ∂z o . V(M) - U(M)1 x = 1 2 --------------- ∂------------Y ∂ Z (y2- z2) ∂ z + -----------∂y ∂-----------Z ∂ X x y - --------------1 ∂Y ∂ X x z + ∂-----------Z ∂Y z y ------------- + ------------ ∂ x + ------------∂z 2 ∂x ∂y ∂ z y z - ∂------------y Chaque terme donne une intégrale triple nulle sur le volume de la sphère. En effet : ⌠⌠⌠ y2 dτ = ⌠⌠⌠ z2 dτ par symétrie. ⌡⌡⌡sp h èr e ⌡⌡⌡sphèr e 5 0 Il est facile de voir, par contre, que si la sphère ne tourne pas sur elle-même à la vitesse angulaire Ω, on aura un terme en 2 2 y + z dont l’intégrale ne sera pas nulle. On peut donc conclure en disant que le rotationnel du champ des vecteur vitesses d’un fluide est, au facteur 1/2 près, le vecteur rotation que prend un petit corps solide immergé dans le fluide. ==================================================================================================== 6
