énoncé

Spé ψ 2011-2012
Devoir n°2
ÉLECTROMAGNÉTISME
Partie I
DISTRIBUTIONS ORTHORADIALES DE COURANT ÉLECTRIQUE.
On cherche à déterminer le champ magnétique créé par diverses distributions orthoradiales de courant électrique continu circulant dans un cylindre
de rayon a et de hauteur H.
On suppose que a est très petit devant H (a << H) ; de ce fait :
H
y On négligera les effets de bords ( ce qui revient à considérer le
cylindre comme illimité dans la direction z).
JG
y Le champ magnétique B EXT à l’extérieur du cylindre est nul.
G G G
On utilisera les coordonnées cylindriques ( r , θ, z ) et la base e r , eθ , e z .
(
z
a
G
ez
r
G
e
G r
⊗ eθ
)
Dans toute la suite, on considérera que les propriétés électromagnétiques de l’air sont identiques à celles du vide.
Les données sont : a, H et la perméabilité du vide μ0 .
I-1°) Distribution volumique orthoradiale de courants
Le courant électrique circule dans le cylindre ; la densité de courant volumique en un point
JG
G
M(r, θ, z) intérieur au cylindre est : J 1 = α r eθ ; elle n’est donc pas uniforme. Cette distribution
JG
crée, au point M, le champ magnétique B1 .
JG
a) Par des considérations qualitatives précises, déterminer la direction de B1 puis la
(ou les) coordonnée(s) dont dépend la valeur algébrique B1 de ce champ.
b) Déterminer B1 en fonction de α, r et des données, pour tout r inférieur ou égal au
rayon a .
I-2°) Distribution surfacique orthoradiale.
À présent, le courant électrique ne circule que sur la surface latérale du cylindre, l’intérieur
JG
G
étant « vide ». Il est caractérisé par le vecteur densité de courant surfacique J S = J S eθ , JS étant uniJG
JG
forme et constant. Cette distribution crée, à l’intérieur, le champ B 0 ( rappelons que B EXT est nul ).
JG
a) Montrer qu’un champ uniforme B 0 satisfait aux équations de Maxwell à
l’intérieur du cylindre.
b) Rappeler les relations de passage relatives aux composantes du champ magnétique
à une interface.
JG
c) En déduire l’expression de B 0 .
Partie II
FOUR À INDUCTION.
Un four à induction est constitué d’une bobine cylindrique formée
de N spires régulièrement espacées, de rayon a, réparties sur une couche de
hauteur H noyée dans une matrice réfractaire. Un courant électrique
d’intensité i ( t ) = I m cos ( ωt ) circule dans chaque spire.
On se place dans le cadre d’un régime électromagnétique quasi
stationnaire : les expressions des champs trouvées à la question I restent
valables.
II-1) Champ magnétique à l’intérieur du four « vide »
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a
z
i
H
G
ez
i
Devoir
z’ n°2
On assimile cette distribution de courant formée par les N spires à une distribution surfaciJG
G
que orthoradiale de courant, de densité surfacique J S = J S eθ , JS étant uniforme. Les données sont :
N, i, H, a, μ0.
a) Évaluer JS en fonction de i, N et H.
JG
b) Déterminer le champ magnétique B 0 à l’intérieur. On met sa valeur algébrique
sous la forme B0 = K I m cos ( ωt ) ; donner l’expression de K.
II-2) Terme principal du champ électromagnétique du four « chargé ».
L’intérieur de la bobine est complètement rempli du matériau non ferreux à fondre. Dans la
suite, on fera les hypothèses suivantes :
y Ce matériau est conducteur électrique : il obéit localement à la loi d’Ohm avec la
conductivité électrique γ constante et uniforme.
y Les champs électrique et magnétique dans le matériau obéissent aux mêmes équations de Maxwell que dans le vide sauf la relation de Maxwell-Ampére qui s’écrit :
JG
JJG JG
⎡ JG
∂E ⎤
rot B = μ0 ⎢ J + ε 0
⎥ . On est en régime électromagnétique quasi stationnaire.
∂t ⎦
⎣
On néglige le champ magnétique crée par les courants induits, de sorte que le champ maJG
gnétique dans le matériau vaut B 0 (avec B0 = K I m cos ( ωt ) trouvé en II-1°b ) .
( )
Les données sont K, a, H, Im, γ et α.
a) On cherche le champ électrique induit en un point M du matériau à la distance r de
JG
G
JG
l’axe de la bobine sous la forme E1 = E1 ( r , t ) eθ . En exprimant la circulation de E1 sur un contour
que l’on précisera, trouver E1 ( r , t ) en fonction de r, t et des données.
b) Rappeler la loi locale d’Ohm. En déduire l’expression de la densité volumique de
JG
courant induit J 1 au point M.
II-3) Puissance transférée.
a) Donner l’expression de la puissance volumique locale pV cédée par le champ
électrique aux porteurs de charge.
b) Évaluer la puissance instantanée totale transférée au matériau conducteur contenu
dans le four.
c) En déduire la puissance moyenne P (on donnera l’expression en fonction des données et du volume V occupé par le matériau ). Montrer que le modèle explique pourquoi dans le
chauffage par induction, on choisit une fréquence de 20 kHz plutôt que le 50 Hz directement accessible.
d ) On évalue les fuites énergétiques par rayonnement à η = 15% de l’énergie requise
pour la fusion. Déterminer littéralement puis calculer numériquement la durée τf de cette fusion ; on
donne : f = 4000 Hz ; Im = 150 A ; K = 10–5 T⋅A–1 ; a = 15 cm ; γ = 1,6×106 S⋅m–1 ; l’enthalpie
massique de fusion du matériau est ΔhFUS = 350 kJ⋅kg ; Au départ, le matériau est solide à la température de fusion ; sa masse est M = 80kg et il occupe un volume V = 0,03 m3 supposé quasi invariant
pendant toute la fusion.
Partie III
ALIMENTATION ÉLECTRIQUE DU FOUR À INDUCTION.
III-1) On maintient une tension u = Um cos(ωt) aux bornes d’une bobine inductive de résistance R et d’auto-inductance L. L’intensité du courant électrique est alors i = Im cos(ωt + ϕ).
Les données sont : L, R, Um. Pour les applications numériques, on prendra :
R = 100 Ω ; Lω = 400 Ω lorsque f = 4000 Hz ; Um = 1,50V .
a) Déterminer littéralement :
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y l’amplitude Im et la valeur efficace IEFF , en fonction de ω et des données ;
y la puissance électrique moyenne P transférée à la bobine ;
y la valeur maximale PMAX de P, pour R, L et Um fixés ;
b) Déterminer littéralement le taux de transfert de puissance TP = P / PMAX puis calculer numériquement sa valeur pour la fréquence f = 4000 Hz.
III-2) On ajoute un condensateur de capacité C en série avec la bobine précédente. Cet ensemble est alimenté par la tension précédente u = Um cos(ωt).
a) Donner l’expression littérale du taux de transfert TP, PMAX étant le même qu’en
III-1-a et P la puissance moyenne fournie par la source d’alimentation.
b) Établir l’expression littérale de la valeur C0 de C permettant un transfert optimal
de puissance électrique à la bobine, à la fréquence imposée f = 4000 Hz. Calculer numériquement
C0 et TP(C0). Conclure.
c) Tracer, après une étude asymptotique, une représentation graphique de TP en
fonction de C.
d) Lorsque C = C0, donner l’expression littérale de Im et ϕ.
III-3) On réalise le circuit ci contre, avec Um = 1,50 V, r = 30 Ω Y2
C
i
et f = 4000 Hz. La sensibilité verticale sur les deux voies est de
0,5 V/division.
a) La bobine étant « vide », on règle la valeur de la capaGBF u = Um cos(ωt)
cité à C = 37,5 nF pour obtenir l’oscillogramme n°1 (rappel : VPP est la
tension crête à crête). Déduire de l’oscillogramme n°1 les valeurs de la
résistance RV de cette bobine et de son inductance « à vide » LV lorsr
que la bobine est « vide ».
Bobine
Oscillogramme n° 1
VPP(1) = 1,734 V ;
VPP(2) = 3,000 V ;
f = 4000 Hz ;
base de temps: 50μs/division
b) On insère un morceau d’aluminium (substance non ferreuse) dans la bobine ; on
observe alors un décalage des courbes ( oscillogramme n°2 ). Déterminer le déphasage de i par rapport à u.
Oscillogramme n°2
VPP(1) = 0,470 V ;
VPP(2) = 3,000 V ;
f = 4000 Hz ;
base de temps: 50μs/division
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Y1
c) Pour obtenir l’oscillogramme n°3, on doit faire passer la capacité à la valeur
C’ = 43,7 nF. Déterminer les valeurs de sa résistance RC et de son inductance LC lorsque la bobine
contient un morceau d’aluminium.
Oscillogramme n° 3
VPP(1) = 1,078 V ;
VPP(2) = 3,000 V
f = 4000 Hz
base de temps: 50μs/division
III-4) La charge mise à fondre dans le four change les paramètres électriques R et L de ce
four. En particulier, l’inductance L baisse en cours de chauffe. On désire que le four travaille constamment à puissance optimale. Dans la pratique, on choisit C de manière à optimiser le transfert de
puissance « à froid », puis on régule en cours de chauffe en jouant sur un autre paramètre. Préciser
quel est ce paramètre et quel doit être le sens de son évolution en cours de chauffe. Justifier votre
réponse.
Partie IV
ÉTUDE DES COURANTS DE FOUCAULT
Dans cette partie est proposée une autre modélisation qui permettra d’exprimer la puissance
dissipée par les courants de Foucault de la plaque.
IV-A - Modélisation
IV.A.1) On considère une spire de rayon R parcourue par un courant I. On note O son centre
et Oz son axe et on travaille en coordonnées cylindriques d’ axe Oz.
a) Montrer par des considérations de symétrie et d’invariance clairement explicitées
que le champ magnétique en un point M ( r , θ, z ) quelconque de l’espace s’écrit :
JG
G
G
B ( M ) = Br ( r , z ) u r + Bz ( r , z ) u Z
b) On se limite ici aux points de l’axe . Après avoir précisé la direction du champ
dans ce cas particulier, l’exprimer en fonction de z, R et I.
IV.A.2) On assimile le matériau conducteur à une plaque métallique cylindrique de rayon a,
d’épaisseur e. Cette plaque est posée au-dessus de l’inducteur (voir figure 1).
On supposera pour simplifier que l’inducteur est une bobine plate constituée de N spires de
rayons voisins pris tous égaux à R, chacune parcourue par un courant I. On supposera que l’on s’est
placé dans des conditions telles que le champ magnétique créé par l’inducteur au niveau de la base
inférieure de la plaque avant qu’on ne mette la plaque, peut être considéré comme uniforme, égal à
celui que créeraient les spires en leur centre. Dans toute cette partie, on prendra comme origine de
l’axe des z, le point Ω centre de la base inférieure de la plaque (voir figure 2).
La plaque est constituée d’acier magnétique de conductivité électrique γ. On supposera ici
que cet acier est un milieu magnétique linéaire, homogène et isotrope de perméabilité magnétique
μ, c’est à dire que les équations de Maxwell dans ce milieu s’écrivent :
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JG
JJG JG
∂B
rot E = −
[ M .1]
[ M .2]
∂t
JG
JG
JJG JG
JG
∂E
div B = 0 [ M .3]
rot B = μ J + ε 0μ
[ M .4]
∂t
JG
JG
JG
avec E champ électrique, B champ magnétique dans le milieu, J vecteur densité volumique de
courant et μ=μ0μr, perméabilité magnétique de l’acier. On supposera en outre que la loi d’Ohm locale est vérifiée dans l’acier.
a
z
JG
div E = 0
( )
( )
( )
( )
figure 1
figure 2
Plaque
e
Ω
I
Inducteur (N spires)
Données : N = 10 ; R = 16,0 cm ; a = 4,0 cm ; e = 5,0 mm ; I = 5,0 A ; γ = 5,0×106 Ω–1⋅m–1 ;
1
μr = 100 ; ε 0 =
F⋅m–1 ; μ0 = 4π×10–7 H⋅m–1.
9
36π 10
a) Quelle
équation de Maxwell permet d’affirmer qu’il y a continuité de la compoJG
sante normale de B à l’interface entre le vide et les bases inférieures et supérieures de la plaque
étudiée ?
Étant constituée d’acier magnétique, la plaque s’aimante et modifie à son tour le champ magnétique dans le vide. On supposera dans la suite que ce phénomène JGet le respect de la continuité
vue en ci-dessus donnent pour valeur de la composante normale de B au niveau de la base inférieure de la plaque (en z = 0+), la valeur du champ créé en ce point dans le vide avant introduction
de la plaque multipliée par une constante appelée perméabilité relative μr de la plaque.
b) Écrire Bz ( r , θ, z = 0 + ) , composante axiale du champ magnétique au niveau de la
base inférieure de la plaque en fonction de N, R, I, μ0 et μr.
IV.B - Calcul des courants de Foucault dans la plaque
Le courant circulant dans l’inducteur est maintenant sinusoïdal de fréquence f = 20 kHz :
i ( t ) = I cos ( ωt ) avec ω = 2πf.
Comme on se limitera à l’étude du régime sinusoïdal établi, on pourra utiliser les représenJG
tations complexes des grandeurs. Ainsi, à tout champ vectoriel A ( r , θ, z , t ) dans la plaque, on asJG
JG
JG
G
G
G
sociera A = Ar eiωt e r + Aθ eiωt eθ + A z eiωt e z , où i2 = –1 et A = Re A ; Ar , Aθ , A z sont des fonc-
( )
tions complexes des seules variables r, θ et z.
IV.B.1) Montrer que pour la fréquence utilisée, l’équation de Maxwell-Ampère [M.4] peut
être simplifiée. Donner le nom de l’approximation ainsi faite. Dans toute la suite, on travaillera avec
la forme simplifiée.
JJJJG
JG
JG G
IV.B.2) Montrer que J vérifie l’équation différentielle : Δ J − i γωμ J = 0
(5)
IV.B.3) Donner des arguments qui permettent de justifier que l’on cherche les courants inJG
G
duits dans la plaque sous la forme : J = J ( r , z ) eiωt eθ .
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Pour la suite, on admettra qu’il existe une solution de la forme J ( r , z ) = r g ( z ) où g ( z )
est une fonction complexe de la seule variable z. On se propose de déterminer g ( z ) .
IV.B.4) En utilisant (5), montrer que g ( z ) vérifie l’équation différentielle :
d2 g ( z)
= i γωμ g ( z ) (6)
dz 2
IV.B.5) Donner la solution générale de (6) en utilisant la grandeur
δ=
2
.
γωμ
(7)
On supposera que l’épaisseur e de la plaque est suffisamment grande pour pouvoir assimiler
la plaque conductrice au demi-espace des z positifs.
IV.B.6) Donner, à une constante d’intégration près, l’expression de J ( r , z ) .
IV.B.7) Calcul de la constante d’intégration restante :
JG
a) En utilisant l’équation [M.2], déterminer le champ magnétique B ( M , t ) à partir
de l’expression de J ( r , z ) .
b) En utilisant la condition aux limites explicitée en IV.A.2), déterminer la constante
d’intégration en fonction de γ, ω, N, R, I, μ0 et μr.
JG
IV.B.8) En déduire la grandeur réelle J ( r , θ, z , t ) .
IV.B.9) Quelle est la dimension de δ ? Donner sa signification physique et la calculer. Comparer la valeur trouvée à celle de e et conclure quant à la validité de l’approximation faite au
IV.B.5).
Formulaire
G G G
Dans la base cylindrique ( u r, u θ, u Z)
JJJJG
∂f (r , θ, z ) G 1 ∂f (r , θ, z ) G ∂f (r , θ, z ) G
ur +
uθ +
uZ
grad ( f ) =
r
∂r
∂θ
∂z
1 ∂ ⎛ ∂f ⎞ 1 ∂ 2 f ∂ 2 f
Δf =
+
⎜r ⎟+
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 ∂θ2 ∂z 2
JG 1 ∂ ( rAr (r , θ, z ) ) 1 ∂A (r , θ, z ) ∂A (r , θ, z )
θ
+
+ Z
div A =
∂r
∂θ
∂z
r
r
JJG JG ⎛ 1 ∂A ∂ ( A ) ⎞ G ⎛ ∂A ∂A ⎞ G 1 ⎛ ∂ (rA ) ∂A ⎞ G
θ
θ
Z
r
rot A = ⎜
−
− Z ⎟ uθ + ⎜
− r ⎟ uZ
⎟ ur + ⎜
r
z
z
r
r
r
∂θ
∂
∂
∂
∂
∂θ ⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
JJJJGG ⎡
∂A ⎞ ⎤ G ⎡
∂A ⎞ ⎤ G
1⎛
1⎛
G
Δ A = ⎢ ΔAr − 2 ⎜ Ar + 2 θ ⎟ ⎥ ur + ⎢ ΔAθ − 2 ⎜ Aθ + 2 r ⎟ ⎥ uθ + ΔAz uZ
r ⎝
r ⎝
∂θ ⎠ ⎦
∂θ ⎠ ⎦
⎣
⎣
JJJ
JJG JJG JG
JJJJG
JG
JG
rot rot A = grad div A − Δ A
( )
( )
( ( ))
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( ( ))
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