Cours n°10 : Electrocinétique des courants continus Introduction L
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Cours n°10 : Electrocinétique des courants continus Introduction L’électrocinétique est la branche de l’électromagnétisme qui étudie le transport des charges électriques dans les circuits conducteurs. Ses applications, de l’électrotechnique à l’électrocinétique, ont révolutionné la société humaine à tel point que l’on peut placer l’invention du circuit électrique au même niveau que celles de l’agriculture, de la roue ou de l’écriture dans l’histoire de l’humanité. Elle a envahi tous les secteurs de l’économie et de la vie quotidienne et jamais une société n’a été autant tributaire d’une technologie. Il suffit d’imaginer ce qu’il nous arriverait si la terre était privée de tout courant électrique pendant vingt-quatre heures… Nous allons, dans ce chapitre, étudier les lois qui régissent le fonctionnement des circuits électriques en courant continu. 1) Caractéristiques générales des circuits électriques 1.1) Définitions Pour pouvoir écrire les équations régissant la physique des circuits électriques, il est nécessaire de rappeler quelques définitions. Un circuit électrique est un ensemble simple ou complexe de conducteurs et de composants électriques ou électroniques parcouru par un courant électrique. Un dipôle est un élément de circuit connecté au reste du circuit par deux bornes et dans lequel peut circuler un courant électrique. La caractéristique d’un dipôle est la courbe représentant la tension aux bornes du dipôle en fonction de l’intensité qui le traverse : 𝑈 = 𝑓(𝐼) . Un nœud est un point de connexion d’au moins trois dipôles. On dit que deux dipôles sont montés en série lorsqu’ils sont connectés bout à bout. Une branche est une partie d’un circuit composée d’un ou plusieurs dipôles en série. On dit que deux branches sont en parallèle ou en dérivation si elles sont connectées au même nœud. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 1 Une maille est constituée d’une ou plusieurs branches contiguës formant une boucle fermée. Une maille est tout simplement un circuit fermé. 𝑅1 𝑀 + 𝑅 𝑅2 + 𝑀 − − Circuit série : - 0 nœud - 1 branche - 1 maille Circuit parallèle : - 2 nœuds - 3 branches - 3 mailles 1.2) Courant électrique 1.2.1) Définitions Conducteurs électriques Certains matériaux contiennent des particules chargées libres de se déplacer à l’intérieur de ces matériaux. Il existe différents types de matériaux conducteurs : - Les métaux pour lesquels les électrons de valence faiblement liés, dits électrons libres ou de conduction, sont susceptibles de se déplacer librement à l’intérieur de la structure cristalline sans voir les ions du réseau. Il y a un à deux porteurs de charge par atome. - Les semi-conducteurs qui ont une conductivité intermédiaire entre les métaux et les isolants. Il y a un électron pour 105 atomes. - Les solutions ioniques ou électrolytes dans lesquelles la conduction est effectuée par les ions. Les plasmas ou gaz ionisés (tubes néon). Courant électrique En l’absence de champ électrique, les porteurs de charge sont animés d’un mouvement aléatoire. Le conducteur est dit en équilibre électrostatique. Quand on applique un champ électrique, le mouvement des porteurs de charge devient partiellement ordonné. On observe alors l’apparition d’un courant électrique. Le courant électrique peut être défini par un flux ordonné de porteurs de charges à travers un conducteur. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 2 1.2.2) Intensité du courant électrique L’intensité du courant électrique en un point du circuit est définie comme le débit de charge électrique traversant une section droite de conducteur au point considéré. On a ainsi : 𝑖= 𝑑𝑞 𝑑𝑡 où 𝑑𝑞 est la quantité de charge traversant la section droite de conducteur pendant la durée élémentaire 𝑑𝑡. En régime stationnaire (pour lequel les phénomènes envisagés ne dépendent pas du temps), l’intensité est constante. Δ𝑞 Q ⇒ 𝑖= = =𝐼 Δ𝑡 Δ𝑡 La mesure de l’intensité se fait à l’aide d’un ampèremètre et s’exprime en Ampères de symbole 𝐴. Cet ampèremètre doit être monté en série. 𝐴 𝑖 1.2.3) Sens du courant Les scientifiques ont historiquement pensé que les porteurs de charge dans les métaux étaient chargés positivement et ont défini le sens conventionnel du courant en se basant sur le sens de ce déplacement. Le sens conventionnel du courant dans un circuit est défini, à l’extérieur du générateur comme allant de la borne positive vers la borne négative du générateur. Actuellement, on sait que le courant est, dans les métaux, transporté par les électrons libres chargés négativement. Le sens du courant est opposé au sens réel de déplacement des porteurs de charge. 𝑖 + 𝑒− − Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 3 Dans la pratique, il sera dans de nombreux cas difficile de connaître le sens réel du courant. On choisira donc un sens conventionnel puis on adoptera la convention algébrique : - si 𝑖 > 0 ⇒ le courant circule dans le sens choisi - si 𝑖 < 0 ⇒ le courant circule dans le sens opposé au sens choisi. 1.2.4) Propriétés Unicité de l’intensité L’intensité du courant reste constante le long d’une même branche quels que soient les dipôles montés en série sur cette branche. Loi d’additivité des intensités ou loi des nœuds La somme algébrique des intensités des courants qui entrent par un nœud est égale à la somme algébrique des intensités des courants qui en partent. ∑ 𝐼𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡 = ∑ 𝐼𝑠𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡 Exemple : 𝑖1 𝑖2 + 𝑖4 = 𝑖1 + 𝑖3 𝑖3 𝑖4 𝑖2 1.3) Tension électrique 1.3.1) Définition La tension électrique est par définition la différence de potentiel électrique ou DDP entre deux points d’un circuit électrique. 𝐵 𝐴 𝑈𝐴𝐵 𝑈𝐴𝐵 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 La tension s’exprime en Volt de symbole . La mesure de la tension se fait entre deux points donnés d’un circuit à l’aide d’un voltmètre branché en parallèle. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 4 𝑉 𝐴 𝐵 𝑈𝐴𝐵 Oscilloscope Le voltmètre ne permet pas l’étude des régimes transitoires. Pour cela, on utilise un oscilloscope qui permet l’enregistrement de plusieurs tensions simultanément. 𝐴 𝑌1 Sur la voie 1 on mesure 𝑈𝐴𝐵 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 𝑌2 Sur la voie 2 on mesure 𝑈𝐶𝐵 = 𝑉𝐶 − 𝑉𝐵 𝑅 𝑈𝐴𝐵 𝐵 + 𝑈𝐶𝐵 𝑀 − 𝐶 1.3.2) Propriétés Loi d’additivité des tensions (ou relation de Chasles) 𝑈𝐴𝐵 + 𝑈𝐵𝐶 = 𝑈𝐴𝐶 𝑈𝐴𝐴 = 0 Loi d’unicité des tensions La tension aux bornes de deux branches en dérivation est identique. 𝑈𝐴𝐵 𝑈𝐶𝐷 𝐵 Dr A. Sicard 𝐸 𝐶 𝐴 𝑈𝐴𝐵 = 𝑈𝐶𝐷 = 𝑈𝐸𝐹 𝑈𝐸𝐹 𝐷 𝐹 CapeSup Grenoble Page 5 Loi des mailles La somme algébrique des tensions effectuée en parcourant une maille dans un sens donné est nulle. 𝑈𝐵𝐶 𝐵 𝐶 𝑈𝐴𝐵 𝑈𝐶𝐷 𝐴 𝐷 𝑈𝐷𝐴 𝑈𝐴𝐵 + 𝑈𝐵𝐶 + 𝑈𝐶𝐷 + 𝑈𝐷𝐴 = 𝑈𝐴𝐴 = 0 Cette loi découle donc directement de la loi d’additivité des tensions. Les loi des mailles et loi des nœuds sont appelées lois de Kirchhoff 2) Dipôles électriques Les dipôles électriques peuvent être classés en deux catégories : - Les générateurs qui vont fournir de l’énergie au circuit électrique Les récepteurs qui vont consommer l’énergie électrique disponible. 2.1) Récepteurs Par définition, un récepteur est un dipôle consommant de l’énergie dans le circuit. 2.1.1) Généralités Convention récepteur Par convention, on oriente la tension aux bornes d’un récepteur en sens inverse de l’intensité qui le traverse. Puissance et énergie reçue La puissance reçue 𝑃𝑟 par un récepteur est : 𝑃𝑟 = 𝑈 𝐼 Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 6 𝑃𝑟 : puissance électrique reçue (𝑊) 𝑈 : tension aux bornes du dipôle (𝑉) 𝐼 : Intensité du courant (𝐴) En adoptant la convention récepteur, on a nécessairement 𝑃 > 0 On a : 𝑃𝑟 = 𝑑𝑊𝑟 𝑑𝑡 En régime stationnaire, l’énergie reçue pendant l’intervalle de temps ∆𝑡 s’écrit 𝑊𝑟 = 𝑃𝑟 ∆𝑡 On sait également que 𝑃𝑟 = 𝑈 𝐼 , donc : 𝑊𝑟 = 𝑈 𝐼 ∆𝑡 = 𝑈 𝑄 car 𝑄 = 𝐼 ∆𝑡 avec 𝑄 la charge traversant le récepteur pendant ∆𝑡. 2.1.2) Résistance électrique La résistance électrique d’un conducteur représente sa propriété de s’opposer au passage du courant électrique. La résistance électrique s’exprime en Ohm de symbole Ω. Tous les conducteurs (à l’exception des supraconducteurs mais à très basse température) offrent une certaine résistance au passage du courant électrique. La résistance dépend de la forme et du type de matériau. Pour un conducteur filiforme, on a : 𝑅=𝜌 𝑙 𝑆 𝑅 : résistance du matériau (Ω) 𝜌 : résistivité du matériau (Ω ∙ m) 𝑙 : longueur du fil (𝑚) 𝑆 : section du fil (𝑚2 ) Par définition, la conductance 𝐺 d’un conducteur est l’inverse de sa résistance 𝑅. 𝐺= 1 𝑆 =𝜎 𝑅 𝑙 1 avec 𝜎 = 𝜌 la conductivité du matériau. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 7 𝐺 s’exprime en Siemens de symbole 𝑆 avec 1 𝑆 = 1 Ω−1 Effet Joule Tout conducteur parcouru par un courant électrique est le siège d’un transfert d’énergie vers le milieu extérieur sous forme de chaleur appelé effet Joule. La puissance 𝑃𝐽 dissipée par effet Joule vaut : 𝑃𝐽 = 𝑅 𝐼 2 𝑃𝐽 : puissance dissipée (𝑊) 𝑅 : résistance du matériau (Ω) 𝐼 : intensité du courant (𝐴) 2.1.3) Conducteur ohmique Par définition, un conducteur ohmique (ou résistor, ou résistance) est un dipôle obéissant à la loi d’Ohm. Loi d’Ohm La tension aux bornes d’un conducteur ohmique est proportionnelle à l’intensité du courant qui le traverse. 𝐼 𝑈=𝑅𝐼 = 𝐺 𝑈 : tension aux bornes du conducteur (𝑉) 𝑅 : résistance du conducteur (Ω) 𝐼 : intensité du courant (𝐴) La caractéristique du conducteur ohmique est une droite passant par l’origine. 𝑈 𝑂 Dr A. Sicard 𝐼 CapeSup Grenoble Page 8 Puissance et énergie reçue 𝑃𝑟 = 𝑈 𝐼 = 𝑅 𝐼 2 = 𝑈2 = 𝑃𝐽 𝑅 La puissance reçue est intégralement transformée en chaleur. 2.1.4) Récepteurs actifs Un dipôle est dit actif s’il convertit une partie de l’énergie reçue en une énergie autre que thermique, sinon il est dit passif. Exemples de récepteurs actifs : moteur, électrolyseur. Caractéristique La tension aux bornes d’un récepteur actif est de la forme : 𝑈 = 𝐸′ + 𝑟′ 𝐼 𝑈 : tension (𝑉). 𝐸 ′ : force contre électromotrice (𝑉). 𝑟 ′ : résistance interne (Ω). 𝐼 : intensité du courant (𝐴). Un récepteur actif peut être modélisé comme suit : 𝑈 𝑟 𝐼 ′ 𝐸′ 𝑟′𝐼 𝐸′ 𝐼 Puissance, énergie et rendement Puissance reçue 𝑃𝑟 : 𝑃𝑟 = 𝑈 𝐼 = (𝐸 ′ + 𝑟 ′ 𝐼) 𝐼 = 𝐸 ′ 𝐼 + 𝑟 ′ 𝐼 2 = 𝑃𝑈 + 𝑃𝐽 𝑃𝑈 : puissance utile. 𝑃𝐽 : puissance perdue par effet Joule. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 9 Energie reçue 𝑊𝑟 : 𝑊𝑟 = 𝑃𝑟 ∆𝑡 = 𝐸 ′ 𝐼 ∆𝑡 + 𝑟 ′ 𝐼 2 ∆𝑡 = 𝑊𝑈 + 𝑊𝐽 Rendement 𝜂 : 𝜂= 𝑃𝑈 𝐸 ′ = 𝑃𝑟 𝑈 2.2) Générateurs Un générateur est un dipôle fournissant de l’énergie au circuit. 2.2.1) Généralités Convention générateur Par convention, on oriente la tension aux bornes du générateur dans le même sens que l’intensité le traversant. + − 𝐺 𝐼 𝑈 Puissance et énergie fournie au circuit Puissance fournie 𝑃𝐺 : 𝑃𝐺 = 𝑈 𝐼 𝑃𝐺 > 0 d’après la convention générateur. Energie fournie 𝑊𝐺 : 𝑊𝐺 = 𝑃𝐺 ∆𝑡 = 𝑈 𝐼 ∆𝑡 2.2.2) Générateurs de tension continue La tension aux bornes d’un générateur est de la forme : 𝑈 = 𝐸−𝑟𝐼 𝑈 : tension aux bornes du générateur (𝑉). 𝐸 : force électromotrice (𝑉). 𝑟 : résistance interne (Ω). 𝐼 : intensité du courant (𝐴). Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 10 𝑈 𝐸 𝐼 Puissance fournie 𝑃𝑈 au circuit : 𝑃𝑈 = 𝐸 𝐼 − 𝑟 𝐼 2 = 𝑃𝑟 − 𝑃𝐽 𝑃𝑟 : puissance reçue en entrée (créée à l’intérieur du générateur). 𝑃𝐽 : puissance perdue par effet Joule dans le générateur. Rendement 𝜂 : 𝜂= 𝑃𝑈 𝑈 = 𝑃𝑟 𝐸 Différence entre force électromotrice (f.é.m.) et force contre électromotrice (f.c.é.m.) Une tension peut être vue comme une énergie par unité de charge (𝑈 = 𝑊 ). 𝑄 f.é.m. = énergie électrique par unité de charge fournie par le générateur s’il est parfait ou parcouru par aucun courant. f.c.é.m. = énergie électrique par unité de charge dissipée dans le récepteur autrement que par effet Joule. 2.2.3) Générateurs de courant Un générateur de courant constant garantit comme étant constante l’intensité 𝐼0 d’un circuit fermé. La tension est donc variable et dépend du circuit qui y est connecté. 2.3) Association de résistances 2.3.1) Résistances en série Plusieurs résistances en série se comportent comme un unique conducteur ohmique de résistance équivalente égale à la somme des résistances. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 11 Résistances en série : 𝑅𝑒𝑞 = ∑ 𝑅𝑖 𝑖 2.3.2) Résistances en parallèle Plusieurs résistances en parallèle se comportent comme un unique conducteur ohmique de conductance équivalente égale à la somme des conductances. 𝐺𝑒𝑞 = ∑ 𝐺𝑖 1 1 =∑ 𝑅𝑒𝑞 𝑅𝑖 𝑜𝑢 𝑖 𝑖 Pour deux résistances : 𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 𝑅2 𝑅1 + 𝑅2 2.4) Loi de Pouillet L’intensité dans un circuit série en maille simple est égale au quotient de la somme de toutes les f.é.m. 𝐸𝑖 du circuit diminuée de la somme de toutes les f.c.é.m. 𝐸𝑖′ par la somme de toutes les résistances (internes et externes). 𝐼= ∑ 𝐸𝑖 − ∑ 𝐸𝑖′ ∑ 𝐸 − ∑ 𝐸 ′ = ∑ 𝑅𝑖 + ∑ 𝑟𝑖 ∑𝑅 + ∑𝑟 Exemple : 𝑈𝐺 = 𝐸 − 𝑟 𝐼 + − 𝐺 𝐼 𝑀 𝑈𝑀 = 𝐸 ′ + 𝑟 ′ 𝐼 𝑈𝑅 = 𝑅 𝐼 𝐼= Dr A. Sicard 𝐸 − 𝐸′ 𝑅 + 𝑟 + 𝑟′ CapeSup Grenoble Page 12
