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Chapitre II LES EQUATIONS D'ECHANGE
II-1 DEFINITION DES COEFFICIENTS D'ECHANGE
II-1.1 Coefficients locaux particuliers et coefficient global d'échange
Considérons un échangeur tubulaire dans lequel on fait circuler deux fluides. Supposons, par
exemple, que le fluide chaud circule à l'intérieur des tubes. En régime permanent, les débits
massiques de fluides sont constants et la température en un point de l'appareil est constante.
θf
Fluide
Fluide
chaud
θc
x
x+dx
Définissons un élément de volume de l'appareil pris entre deux sections droites perpendiculaires aux
tubes, situées à des distances x et x+dx de l'extrémité par laquelle entre le fluide chaud. Soient θc et
θf les températures moyennes respectives des deux fluides dans cet élément de volume.
Le transfert de chaleur met en jeu trois résistances :
- une résistance à la convection entre le fluide et la surface interne des tubes (1)
- une résistance à la conduction dans la paroi des tubes (2)
- une résistance à la convection entre la surface externe des tubes et le fluide (3)
Soient hi et he les coefficients superficiels d'échange respectifs correspondant aux résistances (1) et
(3) et dAi et dAe les surfaces correspondantes. Appelons λt la conductivité thermique du matériau
constituant les tubes.
Le flux de chaleur dQ échangé entre les deux fluides est tel que
dQ =
θc − θf
1
e
1
+
+
h i dA i λ t dA m h e dA e
(1)
- 21 -
dAm est la moyenne logarithmique des aires dAi et dAe.
En fait, dans le calcul des échangeurs la résistance à la conduction dans la paroi des tubes n'est pas
la résistance prépondérante. Aussi, il est d'usage et justifié d'assimiler la moyenne logarithmique à
la moyenne arithmétique.
dA m =
dA i + dA e
2
(2)
NEWTON a proposé d'écrire
dQ = UdA(θ c − θ f )
(3)
Que l'on peut écrire
dQ =
donc
(θ c − θ f )
1
UdA
1
1
e
1
=
+
+
UdA h i dA i λ t dA m h e dA e
(4)
hi est appelé le coefficient local interne particulier d'échange
he est appelé le coefficient local externe particulier d'échange
U est appelé le coefficient local global d'échange
Ces coefficients sont des coefficients locaux car leur valeur est susceptible de varier le long des
tubes. Ils s'expriment en kcal/h m2 °C Btu/hr ft2 °F ou W/m2 K.
Il s'agit de choisir pour dA une valeur de référence pratique, bien que l'échangeur calculé ne
dépende pas de ce choix. Il est d'usage de choisir comme aire de référence celle qui correspond à la
résistance thermique la plus grande. Nous avons donc trois possibilités :
dA = dA i
dA = dA e
(5)
dA = dA m
ce qui définit trois coefficients globaux d'échange tel que :
UdA = U i dA i = U e dA e = U m dA m
(6)
Les trois coefficients n'ont de signification que par rapport à ces aires de références.
On a alors
1
1
=
+
Ui h i
e
1
+
dA m
dA e
λt
he
dA i
dA i
1
1
=
+
Soit encore U
hi
i
e
λt
De + Di
2D i
+
(7)
1
D
he e
Di
Ou De et Di dont respectivement le diamètre extérieur et le diamètre intérieur des tubes.
- 22 -
(8)
De même
1
1
e
1
=
+
+
D
D
+
D
Ue h i λ e
he
i
i
t
De
2D e
Et
1
=
Um
(9)
1
e
1
+ +
2D i
2D e
λt
hi
he
De + Di
De + Di
(10)
Remarques:
- Dans le cas de surfaces planes parallèles et le cas des échangeurs à plaques, les
surfaces de convection sont identiques et il n'existe donc qu'un seul coefficient global d'échange U
tel que
1
1
e
1
=
+
+
U hi λt he
II-1.2 Coefficient d'encrassement
Très souvent, durant le fonctionnement d'un échangeur avec la plupart des liquides et parfois aussi
des gaz, un film d'encrassement se dépose graduellement sur les surfaces d'échange. Ces dépôts ont
pour effet d'ajouter au cours du temps des résistances thermiques supplémentaires au transfert,
abaissant ainsi la performance de l'échangeur.
C'est pourquoi un nettoyage périodique s'avère indispensable pour maintenir des performances
correctes de l'appareil. La période dépend du type d'industrie et de la faculté des fluides mis en jeu
dans l'échangeur à déposer plus ou moins rapidement sur les tubes ou les plaques.
Ces dépôts sont éliminés soit par démontage et nettoyage, soit par traitement chimique
Dans les industries chimique ou pétrolière, on calcule en général l'échangeur pour que son
nettoyage n'intervienne que lors des grands arrêts de l'unité (souvent tous les cinq ans).
Dans l'industrie agroalimentaire, on peut nettoyer tous les jours un échangeur.
Le calcul de l'appareil sera donc effectué, en général, avec la valeur limite de l'épaisseur de ce
dépôt. Bien que ces dépôts correspondent à une résistance au transfert conductif dans un solide, on
l'exprime sous forme d'une résistance à la convection. On définit donc des coefficients
d'encrassement (coefficient de dépôt) hdi et hde, des facteurs d'encrassement 1/ hdi et 1/ hde et des
résistances limites d'encrassement :
R di =
1
h di dA i
(11)
1
R de =
h de dA e
On peut alors écrire :
dQ =
θc − θf
1
1
e
1
1
+
+
+
+
h i dA i h di dA i λ t dA m h e dA e h de dA e
En appelant Us le coefficient global d'échange de l'échangeur encrassé, on obtient
- 23 -
(12)
1
1
1
e
1
1
=
+
+
+
+
U s dA h i dA i h di dA i λ t dA m h e dA e h de dA e
(13)
On peut donc définir trois coefficients globaux d'échange pour l'échangeur encrassé suivant l'aire de
référence :
1
1
1
=
+
+
U si h i h di
e
1
1
+
D
D
h e e h de e
Di
Di
(14)
1
=
U se
1
1
e
1
1
+
+
+
+
Di
Di
D e + D i h e h de
hi
h di
λt
De
De
2D e
(15)
1
=
U sm
1
1
e
1
1
+
+
+
+
2D i
2D i
2
D
2D e
λt
e
hi
h di
he
h de
De + Di
De + Di
De + Di
De + Di
(16)
λt
De + Di
2D i
+
On remarque que :
1
1
1
1
−
=
+
U s dA UdA h di dA i h de dA e
(17)
Des ordres de grandeurs des coefficients globaux d'échanges et des coefficients d'encrassement pour
certains couples de fluides sont donnés dans les tableaux suivant.
ORDRE DE GRANDEUR DES COEFFICIENTS GLOBAUX D'ECHANGE Us
Fluide chaud
Gaz
Gaz
Gaz
Liquide visqueux
Liquide peu visqueux
Liquide visqueux
Liquide visqueux
Liquide peu visqueux
Vapeur se condensant
Vapeur se condensant
Vapeur se condensant
Fluide froid
Gaz
Liquide visqueux
Liquide peu visqueux
Gaz
Gaz
Liquide visqueux
Liquide peu visqueux
Liquide peu visqueux
Liquide visqueux
Liquide peu visqueux
Liquide en ébullition
- 24 -
Us(W/ m2 °C)
10 - 50
20 - 50
20 - 80
20 - 50
20 - 80
100 - 200
100 - 300
700 - 1800
200 - 400
1000 - 2000
700 - 1500
COEFFICIENT D'ENCRASSEMENT hd
hd (W/ m2 °C)
10000
5000 - 10000
2500 - 5000
2500 - 5000
1500 - 2500
1000
5000
5000
2500
500
Fluide
Eau distillée
Eau de mer
Eau de ville
Eau de rivière filtrée
Eau de rivière non filtrée
Mazout
Liquides organiques
Saumure
Air industriel
Résidu de crackage
II-2 NOMBRES SANS DIMENSION - ANALYSE DIMENSIONNELLE
Il existe trois types de méthodes permettant de déterminer les coefficients d'échange de chaleur par
convection :
- Les solutions mathématiques exactes ou approchées des équations de continuité, de quantité de
mouvement et d'énergie thermique qui s'appliquent principalement à un écoulement en régime
laminaire
- Les analogies entre les transferts de chaleur et de quantité de mouvement
- L'analyse dimensionnelle du phénomène en appui d'expériences
L'analyse dimensionnelle contribue peu à la compréhension du phénomène, elle est inutile sans les
expérimentations correspondantes, par contre elle permet de limiter le nombre d'expériences à faire
et regroupe les données expérimentales sous forme de nombres adimensionnels plus pratiques à
manipuler. Il existe différentes techniques pour déterminer les groupes adimensionnels :
- la méthode de BUCKINGHAM (Théorème de π BUCKINGHAM)
- la méthode de RAYLEIGH
- La méthode de réduction des équations différentielles de bilans lorsque les phénomènes peuvent
être traduit mathématiquement. Cette dernière méthode est celle qui conduit à des nombres
adimensionnels qui ont une signification physique. Les deux autres nécessitent une compréhension
physique pour être mise en œuvre correctement.
Rappelons ici la nomenclature utilisée pour ce chapitre et les suivants :
D
Diamètre intérieur ou extérieur de la canalisation
L
v
vitesse moyenne du fluide
LT-1
ρ
masse volumique du fluide
ML-3
µ
viscosité dynamique du fluide
ML-1T-1
ν
viscosité cinématique du fluide
L2T1
L
dimension caractéristique de la surface
L
g
accélération de la pesanteur
LT-2
β
coefficient de dilatation volumique à pression constante θ-1
∆θ
différence entre deux températures (paroi et fluide)
θ
- 25 -
Cp
λ
h
U
W
α
L2T-2θ-1
MLT-3θ-1
MT-3θ-1
MT-3θ-1
MT-1
L2T-1
chaleur spécifique du fluide
conductivité thermique du fluide
coefficient local d'échange
coefficient global d'échange
débit massique de fluide
diffusivité thermique
Dans le cadre des transferts thermiques on est souvent conduit à utiliser les nombres adimensionnels
suivant :
Dvρ
- le nombre de REYNOLDS Re =
µ
qui mesure le rapport des forces d'inertie aux forces de viscosité pour la convection forcée
L3ρ 2 gββ∆
- le nombre de GRASHOF Gr =
µ2
qui caractérise le mouvement du fluide provoqué par les variations de température pour la
convection naturelle et joue un rôle analogue au nombre de Reynolds
C pµ
- le nombre de PRANDTL Pr =
λ
 C p ρ  µ  ν
  = et qui est le rapport de deux diffusivités (quantité
que l'on peut écrire encore Pr = 
 λ  ρ  α
de mouvement et thermique).
Pour les gaz, Pr est inférieur à 1 et ne varie pas avec la température, pour les liquides usuels, Pr est
supérieur à 1. Pour les métaux liquides, Pr est très petit.
Dvρv p
= Re Pr
- le nombre de PECLET Pe =
λ
que l'on peut considérer comme le rapport du flux d'énergie thermique transporté par degré par le
fluide en mouvement au flux d'énergie thermique transféré par conduction.
hD
- le nombre de NUSSELT Nu =
λ
qui représente le rapport du flux de chaleur globalement transféré au flux de chaleur transféré par
conduction et que l'on peut interpréter aussi comme le rapport du diamètre du tube à l'épaisseur du
film de fluide dans lequel se trouverait concentré le gradient de température
Nu
h
- le nombre de STANTON St =
=
Re Pr C p vρ
qui mesure le flux de chaleur globalement transféré dans le fluide au flux de chaleur transporté par
le fluide en mouvement.
Notons que tout produit ou rapport de nombre sans dimension est un nombre sans dimension, la
plupart de ces nombres ont un équivalent lorsqu'on s'intéresse au transfert de matière et qu'il existe
également des nombres sans dimension résultant du rapport de deux nombres sans dimension
équivalent pour le transfert de chaleur et le transfert de matière.
Exemple d'application au transfert de chaleur en convection forcée à l'intérieur d'un tube :
- 26 -
Considérons un fluide s'écoulant à l'intérieur d'une canalisation de diamètre D et de longueur L. Le
coefficient d'échange de chaleur à la surface tube h est une fonction
- des propriétés physiques du fluide ρ, µ, Cp, λ
- de sa vitesse moyenne v
- des caractéristiques de la canalisation D, L
On peut donc écrire
h = f(ρ, µ, Cp, λ, v, D, L)
(18)
Bien sûr, si l'on oublie des propriétés physiques ayant une influence sur le coefficient ou d'autres
paramètres, le résultat de l'analyse dimensionnelle sera faux.
RAYLEIGH admet que la fonction peut se développer en série de la forme :
∞
h = ∑ a i ρ αi µ βi C pγ i λ δi v ε i D ν i Lσi
(19)
i =1
Chaque terme de la série a la dimension de h, soit :
[MT θ ] = [ML ] [ML T ] [L T
[LT ] [L] [L]
−3
−3 α i
−1
−1 ε i
νi
−1
1 βi
2
−2
θ −1
] [MLT
γi
−3
θ −1
]
δi
(20)
σi
Cette équation aux dimensions doit être vérifiée pour chacune des unités fondamentales, soit :
[M ] : 1 = α i + β i + δ i
[L] : 0 = −3α i − β i + 2γ i + δ i + ε i + ν i + σ i
[T] : −3 = −β i - 2γ i − 3δ i − ε i
[θ] : −1 = − γ i − δ i
(21)
7 inconnues et 4 équations, on peut donc calculer 3 variables par rapport aux autres
βi = γi − αi
δi = 1 − γ i
(22)
εi = αi
νi = αi − σi −1
αi
γi
 Cpµ   L 

  
λ

  D
par suite
λ  Dvρ 

h = ∑ a i 
D  µ 
i =1
ou
 Dvρ C p µ L 
hD
= g
,
, 
λ
µ
λ
D

∞
σi
(23)
(24)
Suivant le choix des variables, nous aurions pu obtenir d'autres nombres sans dimension avec
éventuellement aucune signification physique.
Plus simplement on aurait pu dire qu'il existe h fonction de 7 variables (au total 8) avec 4 unités
fondamentales. Il existe donc une relation entre 4 (8-4) nombres sans dimension représentant le
phénomène. L'analyse dimensionnelle ne prédit pas le type de relation que l'on va trouver.
- 27 -
En étudiant un nombre adimensionnel par rapport aux trois autres, on cherche ensuite une "bonne"
relation traduisant les résultats expérimentaux dans une plage donnée de variations des nombres
sans dimension.
Pour
104 < Re < 12.104
0,6 < Pr < 120
L/D > 60
Mc ADAMS effectuant une synthèse de nombreux résultats expérimentaux, a trouvé que la relation
 Dvρ 
hD

= 0,023 
λ
 µ 
0 ,8
 Cpµ 


λ


0. 4
(25)
rendait compte des résultats avec une précision de l'ordre de 10%
II-3 DETERMINATION DE L'AIRE D'ECHANGE - UTILISATION DE LA
DIFFERENCE DE TEMPERATURE MOYENNE LOGARITHMIQUE DANS
LES ECHANGEURS TUBULAIRES
Considérons un fluide chaud et un fluide froid s'écoulant dans un échangeur tubulaire. En régime
permanent, les températures des deux fluides sont fixes en un point mais varient tout au long de
l'échangeur.
L'allure des profils de températures est représenté sur les figures suivantes. Par convention nous
noterons 1 les températures des fluides à l'extrémité par laquelle entre le fluide chaud et 2 les
températures des fluides à l'autre extrémité.
θ
θ
θ c1
θ c1
θ c2
θ f2
θ f1
θ c2
θ f2
θ f1
- 28 -
On constate que, dans les échangeurs à co-courant, la température la plus basse du fluide chaud
dans l'appareil est nécessairement supérieure à la température la plus élevée du fluide froid.Par
contre, dans les échangeurs à contre-courant, la température de sortie du fluide chaud peut être
inférieur à la température de sortie du fluide froid.
Le fonctionnement à contre-courant est donc plus efficace que celui à co-courant.
Dans le cas des échangeurs multipasses, le fontionnement est moitié à co-courant, moitié à contre
courant et les profils de températures sont plus complexes.
θ f1
θ f1
θ c2
θ c1
θ c2
θ c1
θ f2
θ f2
contre-courant
co-courant
- 29 -
II-3.1 Echangeurs à une seule passe
Nous traiterons dans ce cours uniquement les appareils à contre courant. Les appareils à co-courant
se traitent de manière similaire et nous n'en donnerons que les résultats.
θf2
Fluide froid
Fluide chaud θc1
WcCc
θf
θf+d θf
θc
θc+d θc
θf1
- 30 -
WfCf
θc2
Considérons un échangeur tubulaire et supposons que le fluide chaud circule à l'intérieur des tubes.
Soient Wc son débit massique et Cc sa chaleur spécifique. Appelons Wf et Cf respectivement le
débit et la chaleur spécifique du fluide froid. Nous supposerons que les chaleurs spécifiques sont
constantes dans l'échangeur. Considérons un élément de volume de cet échangeur limité par deux
sections droites situées respectivement à x et x+dx de l'entrée du fluide chaud (l'extrémité 1).
Soit dQ le flux de chaleur échangé entre les deux fluides à travers la surface dA
On peut écrire
dQ = UdA (θ c − θ f ) = UdA (∆θ )
Le problème à résoudre pour obtenir l'aire d'échange de l'appareil est l'intégration de cette équation
en remarquant que ∆θ et le coefficient global d'échange U varie avec x (U dépend des coefficients
locaux d'échange eux-même fonction des températures par l'intermédiaire des propriétés physiques.
Le flux de chaleur dQ est cédé par le fluide chaud :
dQ = − Wc C c dθ c
(26)
Il est gagné par le fluide froid
dQ = − Wf C f dθ f
(27)
Soit en combinant les deux équations
dQ = −
d(∆θ )
(28)
1
1
−
Wc C c Wf C f
Posons
Ψ=
1
1
−
Wc C c Wf C f
(29)
On en déduit
dQ = −
d (∆θ )
Ψ
(30)
En combinant les équations on obtient
−
d (∆θ )
= ΨUdA
∆θ
(31)
- 31 -
1er cas U constant le long de l'appareil
Considérons que le coefficient global d'échange ne varie pas avec la distance (U Constant)
Les équations s'intègrent entre les extrémités 1 et 2 de l'échangeur
d (∆θ )
−∫
= ΨU ∫ dA
∆θ
1
1
2
2
2
2
∫ dQ = − ∫
1
1
(32)
d∆∆
Ψ
(33)
2
2
1
1
2
2
∫ dQ = − Wc C c ∫ dθ c
∫ dQ = − W C ∫ dθ
f
f
1
Soit
(35
f
1
Ln
∆θ1
= ΨUA
∆θ 2
Q=
D'ou
(34)
(∆θ1 − ∆θ 2 )
Ψ
Q = UA
(36)
= Wc C c (θ c1 − θ c2 ) = Wf C f (θ f1 − θ f2 )
(37)
(∆θ1 − ∆θ 2 )
Ln
(38)
∆θ1
∆θ 2
Ou A est l'aire d'échange
∆θ 1 = θ c1 − θ f1
(39)
∆θ 2 = θ c2 − θ f2
L'équation 38 peut encore s'écrire :
Q = UA∆Aml
(40)
Bien sûr la moyenne logarithmique est symétrique
Q = UA
(∆θ1 − ∆θ 2 ) = UA (∆θ 2 − ∆θ1 )
∆θ
Ln 1
∆θ 2
∆θ
Ln 2
∆θ1
- 32 -
(41)
Si ∆θ1=∆θ2 on peut démontrer que Q = UA∆A1
(42)
θf2
Fluide froid
Fluide chaud
θc1
θf
θf+d θf
θc
θc+d θc
WfCf
θc2
WcCc
θf1
Pour un co-courant la démonstration conduit à
Q = Wc C c (θ c1 − θ c2 ) = Wf C f (θ f2 − θ f1 )
(43)
et
Q = UA∆Aml
(44)
Exemple : 10 T/h d’huile s’écoulant dans un tube est refroidie de 100 à 40 °C par de l’eau liquide
passant de 20 à 40 °C. Le coefficient global d’échange Us est égal à 300 W/m2 K
Fluide
Masse volumique (kg/m3)
Chaleur Spécifique (J/kg °C)
Eau
992
4185
Huile
902
1520
Calculer l’aire d’échange nécessaire à contre courant et co courant.
Q=WCp∆θ soit Q=10000/3600*1520*(100-40) = 253333W
A contre courant
Q = UA
∆θ 2 − ∆θ 1
 ∆θ 
Ln 2 
 ∆θ 1 
soit
- 33 -
∆θ ml =
(40 − 20) − (100 − 40) = 36.41 °C
 40 − 20 
Ln

 100 − 40 
A=23,2 m2
A co courant
(40 − 40) − (100 − 20) = 0°C
∆θ ml =
 40 − 40 
Ln

 100 − 20 
Il nous faudrait donc une aire d'échange infinie, ce qui montre bien que le co courant est moins
efficace que le contre courant
2ème cas U varie le long de l'appareil
Les coefficients locaux d'échange hi et he dépendent des propriétés physiques des fluides et sont
donc fonction de leurs températures. En intégrant les équations 26 et 27 entre l'extrémité 1 de
l'appareil et une abscisse variable on peut déduire la relation entre θc et θf en chacun des points de
l'appareil. On peut également déterminer le coefficient global d'échange de l'appareil U en fonction
de ∆θ = (θc - θf). On peut diviser cette courbe en segments que l'on assimilera à des droites
Ui+1
i
Ui
∆θ
∆θi+
i
Soit U=Uci (1+ni ∆θ ) l'équation de la droite sur le segment i
L'équation s'écrit donc
−
d (∆θ )
= ΨU ci (1 + n i ∆θ )dA
∆θ
(45)
Qui intégrée entre les extrémités i et i+1 s'écrit
Ln
∆θ i (1 + n i ∆θ i +1 )
= ΨU ci A i
∆θ i +1 (1 + n i +1∆θ i )
(46)
- 34 -
Ou Ai est l'aire du tronçon i de l'échangeur.
En éliminant Ψ entre les équations, il vient
Q i = U ci A i
(∆θ i − ∆θ i+1 )
∆θ i (1 + n i ∆θ i +1 )
Ln
∆θ i +1 (1 + n i +1∆θ i )
(47)
En remarquant que
U ci (∆θ i − ∆θ i +1 ) = U i +1∆θ i − U i ∆θ i +1
(48)
On en déduit que
Qi = A i
(U i+1∆θ i − U i ∆θ i+1 )
Ln
(49)
∆θ i U i +1
∆θ i+1 U i
Il suffit donc de calculer la surface pour chaque tronçon et d'ajouter les surfaces correspondantes.
Remarques : si l'on considère un seul segment sur tout le domaine, on obtient
Q = Ai
(U 1∆θ 2 − U 2 ∆θ 1 )
Ln
(50)
∆θ 2 U 1
∆θ 1 U 2
Ce qui est la plupart du temps suffisant
Exemple : 10 T/h d’huile s’écoulant dans un tube est refroidie de 100 à 40 °C par de l’eau liquide
s’écoulant à contre courant dans l’espace annulaire d’un échangeur double tube et passant de 20 à
40 °C. Le coefficient global d’échange Us varie avec la différence de température entre l’huile et
l’eau comme suit :
Différence de température(°C)
Us (W/m2 K)
Fluide
Masse volumique (kg/m3)
Chaleur Spécifique (J/kg °C)
20
223
Eau
992
4185
30
256
Huile
902
1520
Calculer l’aire d’échange nécessaire.
- 35 -
40
289
50
322
60
355
Q=WCp∆θ soit Q=10000/3600*1520*(100-40) = 253333W
380
Coefficient d'échange
360
340
320
300
280
260
240
220
200
20
25
30
35
40
45
50
55
60
Différence de température
La courbe U=f(θc-θf) est une droite. Nous pouvons donc calculer l’aire d’échange :
Q=A
355 * 20 − 223 * 60
U 1 ∆θ 2 − U 2 ∆θ1
soit 253333 = A
 U ∆θ 2 
 355 * 20 
Ln


Ln 1
223
*
60
U
∆θ


 2
1 
A=25,56 m2
Les équations d'échanges sont valables également dans le cas ou l'un des fluides change d'état si
toutefois ce changement se passe à température constante (condensation d'une vapeur pure saturée
par exemple)
- 36 -
II-3.2 Echangeurs multipasses
Dans ce cas, le problème est plus complexe. Les auteurs ont cherché des solutions analytiques
représentant le flux échangé. Ils ont exprimé le flux sous la forme :
Q = U AY ∆θ ml
ou ∆θml représente la différence de température à contre courant et Y est un coefficient correctif qui
est inférieur à 1. Notons que dans la conception des échangeurs on fera en sorte que ce coefficient
correctif soit supérieur à 0,8 pour garantir que la surface d'échange utilisée le soit avec une bonne
efficacité.
Examinons le cas d'un appareil 1-2, soit avec une passe côté calandre et 2 passes côté tubes
θA2
θB1
θAII
θAII + dθAII
θB
θB + dθB
θAI
θAI + dθAI
dA
θA1
θB2
Soit WA, CpA, WB, CpB les débits massiques et les capacités calorifiques des courants A et B
respectivement. On supposera que :
-Le régime est permanent
-Les chaleurs spécifiques et le coefficient global d'échange sont constant
-Les températures sont uniformes sur une section droite de l'écoulement.
Effectuons les bilans thermiques entre les plans a et b, globalement, sur la surface dA.
Entre a et b : Entrée - Sortie = 0
Posons
WA Cp A (θ AI − θ AII ) + WB Cp B (θ B − θ B2 ) = 0
(51)
WB Cp B (θ B − θ B2 ) = WA Cp A (θ AII − θ AI )
(52)
R=
WA Cp A
WB Cp B
(53)
- 37 -
On obtient (θ B − θ B2 ) = R(θ AII − θ AI )
(54)
Sur l'aire dA on écrit un bilan sur le fluide AI, un sur le fluide AII et un sur le fluide B
WA Cp A dθ AI = U
dA
(θ B − θ AI )
2
(55)
WA Cp A dθ AII = U
dA
(θ AII − θ B )
2
(56)
WB Cp B dθ B = U
Posons
dα =
dA
dA
(θ B − θ AI ) + U
(θ B − θ AII )
2
2
U
dA
WA Cp A
(57)
(58)
On obtient donc :
dθ AI 1
= (θ B − θ AI )
dα
2
(59)
dθ AII
1
= − (θ B − θ AII )
dα
2
(60)
1 dθ B
1


= − θ B − (θ AI + θ AII )
R dα
2


(61)
et
En différentiant cette dernière expression et en remplaçant les dθA à l'aide des équations
précédentes on obtient :
dθ
1 d 2θ B
1
= − B + (θ AII − θ AI )
2
R dα
dα R
(62)
En utilisant la première équation, il vient :
d 2θ B
dθ
(θ − θ B2 )
+R B − B
=0
2
dα
4
dα
Posons
Θ=
(63)
θ B − θ B2
θ B1 − θ B2
(64)
- 38 -
Il vient donc l'équation avec les deux conditions aux limites suivantes :
 d 2Θ
dΘ Θ
− =0
 2 +R
dα 4
 dα

α = 0 Θ = 1

UA
α =
= αT Θ = 0
WA Cp A

(65)
La solution générale de cette équation est
Θ = ue r1α + ve r 2α
r1 et r2 étant solution de
Soit
r1 =
(66)
r 2 + Rr −
− R + R2 +1
2
1
=0
4
r2 =
− R − R 2 +1
2
(67)
Les deux conditions aux limites donnent
α = 0 u + v = 1

−

u e r 2αT
α = α T Θ = 0 ⇒ − =
=e

v e r1αT
R 2 +1
UA
W Cp
A A
(68)
D'où l'on pourrait tirer u et v
L'équation 61 pour α=0 s'écrit
1 dθ B
1


= − θ B1 − (θ A1 + θ A 2 ) = 0
R dα
2


(69)
Soit en remplaçant dθB par sa valeur :
−
R
θ B1 − θ B2
1


θ
−
(θ A1 + θ A2 ) = ur1 + vr2
B1

2


(70)
−
1
− θ A1
1


θ B1 − 2 (θ A1 + θ A2 ) = ur1 + vr2


(71)
θ A2
1  θ A2 − θ B1 θ A1 − θ B1 
+

 = ur1 + vr2
2  θ A2 − θ A1 θ A2 − θ A1 
- 39 -
(72)
Posons
E=
θ A2 − θ A1
θ B1 − θ A1
(73)
1 1
1 1
1
− + 1 −  = ur1 + vr 2 soit − + = ur1 + vr 2

E 2
2 E
E
(74)
Que l'on peut multiplier par u+v qui est égal à 1 pour obtenir :
u (2r1E − E + 2) + v(2r 2E − E + 2) = 0
−
r 2α T
UA
W Cp
A A
2 − E (1 − 2r 2 )
2 − E(1 − 2r1)
(76)
2 − E R + 1 − R 2 + 1 


Ln
2
2
R +1
2 − E R + 1 + R + 1 


(77)
u e
=
=e
v e r1α T
UA
=
WA Cp A
− R 2 +1
(75)
=
1
On peut écrire le flux de chaleur quel que soit le fluide chaud :
Q = UAY
(θ B1 − θ A2 ) − (θ B2 − θ A1 ) = W Cp (θ − θ )
A
A
A2
A1
(θ − θ A2 )
Ln B1
(θ B2 − θ A1 )
(78)
(θ A2 − θ A1 )
(θ − θ A2 )
UA
Y=
Ln B1
(θ B1 − θ A2 ) − (θ B2 − θ A1 ) (θ B2 − θ A1 )
WA Cp A
(79)
Or
(θ B1 − θ A2 )
(θ − θ A2 )
1 + A1
(θ B1 − θ A2 ) (θ B1 − θ A1 )
(θ B1 − θ A1 )
1− E
=
=
=
(θ B2 − θ A1 ) (θ B2 − θ A1 ) (θ B2 − θ B1 ) (θ A2 − θ A1 ) + 1 1 − RE
(θ B1 − θ A1 ) (θ B1 − θ A1 ) (θ A2 − θ A1 )
(80)
Et
(θ A2 − θ A1 )
(θ A2 − θ A1 )
1
=
=
(θ B1 − θ A2 ) − (θ B2 − θ A1 ) (θ B1 − θ B2 ) − (θ A2 − θ A1 ) R − 1
(81)
- 40 -
(1 − E ) =
UA
1
Y=
Ln
WA Cp A
R − 1 (1 − RE )
R 2 + 1 Ln
D'où l'on tire Y =
2 − E R + 1 − R 2 + 1 
1

Y
Ln
R2 +1
2 − E R + 1 + R 2 + 1 


(82)
(1 − E )
(1 − RE )
2 − E R + 1 − R 2 + 1 


(R − 1)Ln
2 − E R + 1 + R 2 + 1 


(83)
Reprenons l'équation 82 et montrons que les courants A et B joue un rôle symétrique.
En inversant A et B il vient
Posons
R' =
WB Cp B 1
=
WA Cp A R
et E' =
θ B2 − θ B1 E
=
θ A1 − θ B1 R '
(84)
On remplace donc dans l'équation
UA
=
WA Cp A
1

1
2 − E ' R '  + 1 −
+ 1 
2
R'
1
 R'

Ln
1

1
1
 +1+

+
1
2
−
E
'
R
'
+
1
2
 R'

R '2
R
'


(85)
UA
=
WA Cp A
2 − E ' 1 + R '− R '2 +1 


Ln
2
2

R ' +1
2 − E ' 1 + R '+ R ' +1 


(86)
UA
=
WBCp B
2 − E ' 1 + R '− R '2 +1 


Ln
2
2

R ' +1
2 − E ' 1 + R '+ R ' +1 


(87)
R'
1
On voit donc que la formule est symétrique en A et B ce qui est vrai également pour le Y.
Des abaques ont été établis pour les principales configurations d'échangeurs de chaleur. Ils donnent
la valeur du coefficient Y en fonction de E avec pour paramètre R.
- 41 -
Coefficient correctif pour un échangeur 1-n
1,00
0,95
0,90
0,85
Y
0,80
0,75
0,70
0,65
0,60
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,5
3
4
6
8
10
15
20
0,55
0,50
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
E
- 42 -
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Coefficient correctif d'un échangeur 2-n
1,00
0,1
0,95
0,90
0,85
Y
0,80
0,75
0,70
0,65
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
3
4
6
8
10
15
20
2,5
0,60
0,55
0,50
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
E
- 43 -
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Coefficient correctif d'un échangeur 3-n
1,00
0,1 0,2
0,3
0,95
0,90
0,4
0,85
0,5
Y
0,80
0,75
0,70
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,5
3
4
6
8
10
15
20
0,65
0,60
0,55
0,50
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
E
- 44 -
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Coefficient correctif d'un échangeur 4-n
0,1 0,2
1,00
0,95
0,3
0,90
0,4
0,85
0,80
Y
0,5
0,75
0,70
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,5
3
4
6
8
10
15
20
0,65
0,60
0,55
0,50
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
E
- 45 -
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Coefficient correctif courant croisés
1
0,95
0,9
0,85
Y
0,8
0,75
0,7
0,65
0,8
0,9
(WC)max mélangé
(WC)min non mélangé
0,1
0,2
0,3
0,5
0,4
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,5
3
4
6
8
10
15
20
0,7
0,6
0,55
0,5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
E
- 46 -
0,6
1
Coefficient correctif courants croisés
1
0,95
0,9
0,1
0,85
Y
0,8
0,75
0,7
0,65
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,5
3
4
6
8
10
15
20
0,6
0,55
0,5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
E
- 47 -
0,6
0,7
0,8
0,9
(WC)max non mélangé
(WC)min mélangé
1
II-4 EFFICACITE D'UN ECHANGEUR DE CHALEUR
II-4.1 Définition
Les équations 37 et 38 sont d'une utilisation simple lorsque l'on souhaite calculer la surface
d'échange nécessaire pour réaliser un chauffage ou un refroidissement d'un fluide donné. La
première ou la seconde nous permet de calculer le flux de chaleur, la seconde ou la première la
température de sortie ou le débit de l'utilité. La dernière, enfin nous sert à calculer l'aire d'échange.
L'utilisation de ces équations pour la simulation d'un échangeur existant, c'est à dire lorsque
l'appareil est fixé ainsi que les températures d'entrée et les débits des fluides, est plus délicate. Les
inconnues (les températures de sorties et le flux de chaleur) sont telles que nous avons un système
non linéaire à résoudre. Il est alors plus commode d'utiliser une méthode basée sur la notion
d'efficacité thermodynamique d'un échangeur.
Cette efficacité E est définie comme le rapport du flux de chaleur réellement échangé dans l'appareil
Q, au flux maximum qui pourrait être échangé dans un appareil de surface infinie fonctionnant à
contre courant (c'est à dire la limite thermodynamique du flux) Qmax. Les débits et températures
d'entrée des deux fluides restent bien sûr identiques et donc le coefficient global d'échange U.
L'échangeur initial pouvant être quelconque nous appellerons θfe la température d'entrée du fluide
froid et θfs la température de sortie du fluide froid.
Définissons le flux maximum Qmax
Les équations d'échanges sont :
Q = Wc C c (θ c1 − θ c2 )
(88)
Q = Wf C f (θ fs − θ fe )
(89)
Q = UA
(θ c1 − θ fs ) − (θ c2 − θ fe )
(θ − θ fs )
Ln c1
(θ c2 − θ fe )
(90)
Pour un fonctionnement à contre courant, la surface A tendant vers l'infini et le flux tendant vers
une valeur finie, une des différences de températures de la moyenne logarithmique doit tendre vers
zéro. Envisageons les deux schémas suivant :
θc1
θc1
θfs
θfs
θc2
θfe
θc2
θfe
- 48 -
Lorsque l'on augmente l'aire pour la faire tendre vers l'infini, la température θc2 diminue et la
température θfs augmente tout en vérifiant les deux équations 88 et 89. On voit donc que dans le
premier cas θc2 diminuera plus vite que n'augmentera θfs et dans le second cas, l'inverse se produira.
On en déduit que A tendant vers l'infini, θc2 tends vers θfe dans le premier cas et θfs tends vers θc1
dans le second cas.
Dans le premier schéma, (θ c1 − θ c2 ) > (θ fs − θ fe ) donc Wc C c < Wf C f
Dans le second schéma les inégalités sont inversées. On peut donc écrire dans les deux cas que :
Q max = (WC)m (θ c1 − θ fe )
(91)
où (WC)m représente le plus petit des (WC).
Ainsi, l'efficacité d'un échangeur est :
E=
Wc C c (θ c1 − θ c2 )
Wf C f (θ fs − θ fe )
=
(WC)m (θ c1 − θ fe ) (WC)m (θ c1 − θ fe )
(92)
et le flux de chaleur échangé
Q = E (WC )m (θ c1 − θ fe )
(93)
II-4.2 Détermination de l'efficacité
On supposera le coefficient global d'échange constant le long de l'échangeur
Nous démontrerons uniquement l'efficacité à contre courant.
Dans ces conditions, la température d'entrée du fluide froid devient θf2 et la température de sortie θf1
On a donc :
Q = Wc C c (θ c1 − θ c2 ) ⇒ (θ c1 − θ c2 ) =
Q
Wc C c
(94)
Q = Wf C f (θ f1 − θ f2 ) ⇒ (θ f1 − θ f2 ) =
Q
Wf C f
(95)
Q = E (WC)m (θ c1 − θ f2 ) ⇒ (θ c1 − θ f2 ) =
- 49 -
Q
E(WC )m
(96)
Q = UA
(θ c1 − θ f1 ) − (θ c2 − θ f2 )
(θ − θ f1 )
Ln c1
(θ c2 − θ f2 )
(97)
Déterminons la valeur des différences de températures aux extrémités
(θ c1 − θ f1 ) = (θ c1 − θ f2 ) + (θ f2 − θ f1 ) =
Q
Q
−
E (WC )m Wf C f
(θ c2 − θ f2 ) = (θ c2 − θ c1 ) + (θ c1 − θ f2 ) = −
Q
Q
+
Wc C c E (WC )m
(98)
(99)
Remplaçons dans la dernière équation

Q
Q  
Q
Q 

−

−
−
 E(WC)
  E(WC)

W
C
W
C
f f  
c c
m
m
Q = UA 

Q
Q 


−
 E(WC)

W
C
f
f
m

Ln 

Q
Q 


 E(WC) − W C 
c c
m

(100)
Remarquons tout d'abord que cette formule est symétrique pour les deux fluides, en remplaçant les
indices f et c nous obtenons la même formule, ce qui signifie que nous pouvons choisir le fluide qui
a le plus petit WC. Que ce soit le fluide chaud ou froid, nous obtiendrons le même résultat.
Choisissons par exemple (WC)m = WfCf et donc appelons (WC)M = WcCc , simplifions par Q

1
1  
1
1

−
−
−
 E(WC)


m (WC )m   E (WC )m (WC )M
1 = UA 

1
1 


 E(WC) − (WC) 
m
m

Ln


1
1


−
 E(WC)

(
)
WC

m
M
- 50 -




(101)

 (WC )m 
1
1 


1 −

 (WC ) − (WC ) 
 (WC ) 
UA
M
m
M


1 = UA
=−
(
1 − E)
(1 − E )
(WC)m Ln
Ln
 (WC )m 
 (WC )m 
1 −

1 −

E
 (WC )

 (WC ) E 
M 
M 






1− E
UA


Ln
=−

(WC)m
(WC)m
1−

E

(WC)M 

 (WC )m
1 −
 (WC )

M




(102)
(103)
On en déduit donc

UA  (WC )m  
1 −

1 − exp −
 (WC )  (WC )  
m
M 

E=
(WC)m  UA  (WC)m
1−
exp −
1−
(WC)M  (WC )m  (WC)M
Nous définissons
E=
R=
(WC)m
(WC)M
et
NUTmax =
(104)




UA
(WC)m
pour obtenir
1 − exp(− NUTmax (1 − R ))
1 − R exp(− NUTmax (1 − R ))
(105)
(106)
Pour un échangeur à co-courant, on peut montrer de la même manière que
E=
1 − exp(− NUTmax (1 + R ))
1+ R
(107)
Pour un appareil à 2 passes coté tubes nous avons déjà établit la relation entre NUTA, R et E et
montré sa symétrie sur les deux fluides et donc en supposant que le fluide A correspond au (WC)m
il vient :
- 51 -
UA
=
(WC)m
2 − E R + 1 − R 2 + 1 


Ln
R 2 +1
2 − E R + 1 + R 2 + 1 


1
(108)
d'où nous tirons
 UA
exp
 (WC)m
2 − E R + 1 − R 2 + 1 



R 2 + 1  =
 2 − E R + 1 + R 2 + 1 


 UA
2 exp
 (WC )m
E=
 R + 1 + R 2 + 1  exp UA


 (WC )



m

R 2 + 1  − 2


R 2 + 1  −  R + 1 − R 2 + 1 

 
(109)
(110)
ou bien
E=
2

UA
1 + exp −
 (WC )m
 R + 1 + R 2 + 1





UA
1 − exp −
 (WC )m

R + 1 


R 2 + 1 

2
(111)
Il est possible de définir 2 nombres d'unités de transfert pour un échangeur :
NUTc =
UA
Wc C c
et
NUTf =
UA
Wf C f
(112)
Sachant que
Wc C c (θ c1 − θ c 2 ) = Wf C f (θ f 1 − θ f 2 ) = UA
(θ c1 − θ f 1 ) − (θ c2 − θ f 2 )
= UAY∆θ ml
(θ c1 − θ f 1 )
Ln
(θ c2 − θ f 2 )
(113)
on obtient :
NUTc =
(θ − θ c2 )
UA
= c1
et
Wc C c
Y∆θ ml
NUTf =
- 52 -
(θ − θ f 2 )
UA
= f1
Wf C f
Y∆θ ml
(114)
Le nombre d'unités de transfert d'un échangeur représente donc le rapport entre la différence de
température sur le fluide considéré à la différence de température moyenne d'échange.
Vu sa définition, les nombres d'unités de transfert de deux échangeurs en série sur un fluide
s'ajoutent.
Efficacité de deux échangeurs en série :
θc1
θc2
θc3
E1
E2
θf1
θf2
θf3
Les échangeurs sont en série mais chaque échangeur est quelconque.
Nous allons supposer que Wc C c = WC m
donnerait la même solution.
et
Wf C f = WC M tout en notant que l'inverse nous
R=
Wc C c θ f2 − θ f3 θ f1 − θ f2 θ f1 − θ f3
=
=
=
Wf C f θ c2 − θ c3 θ c1 − θ c2 θ c1 − θ c3
(115)
E=
θ c1 − θ c3
θ c1 − θ f3
(116)
E1 =
θ c1 − θ c2
θ c1 − θ f2
E2 =
θ c2 − θ c3
θ c2 − θ f2
Calculons ;:
θ c1 − θ c3
θ c1 − θ f3
1− E
=
θ − θ f3 θ c1 − θ c3
1 − RE
1 − f1
θ c1 − θ c3 θ c1 − θ f3
1−
(117)
θ c1 − θ c3 θ c1 − θ f3 − θ c1 + θ c3
θ c1 − θ f3
θ c1 − θ f3
θ − θ f3
=
=
= c3
θ − θ f3
θ c1 − θ f3 − θ f1 + θ f3 θ c1 − θ f1
1 − f1
θ c1 − θ f3
θ c1 − θ f3
1−
1 − E1 θ c2 − θ f2
=
1 − RE1 θ c1 − θ f1
et
θ − θ f3
1 − E2
= c3
1 − RE2 θ c2 − θ f2
1 − E1 1 − E 2
1− E
x
=
1 − RE1 1 − RE 2 1 − RE
(118)
(119)
que l'on peut généraliser pour n échangeurs en série
- 53 -
n
1 − Ei
1− E
=∏
1 − RE i =1 1 − RE i
(120)
Cette relation nous permet donc de déduire l'efficacité d'un appareil à 2 passes côté calandre à partir
de celle d'un appareil à une passe côté calandre.
Résumé des formules d'efficacité pour différents échangeurs
co courant
contre courant
E=
1 − exp(− NUTmax (1 + R ))
1+ R
E=
1 − exp(− NUTmax (1 − R ))
1 − R exp(− NUTmax (1 − R ))
E=
1-2
n passes côté calandre
E=
(121)
(122)
2

UA
1 + exp −
 (WC )m
 R + 1 + R 2 + 1





UA
1 − exp −
 (WC )m
 1 − E1 

1 − 
 1 − RE 1 

R 2 + 1 


R 2 + 1 

(123)
n
 1 − E1 

1 − R 
 1 − RE 1 
(124)
n
E1 étant l'efficacité d'un échangeur à 1 passe côté calandre
Echangeur à courants croisés
(
les deux fluides non mélangés
E = 1 − exp NUTmax 0.22Γ
Echangeur à courants croisés
E=
)
avec Γ =
[exp(− R NUT
max
0.78
)− 1]
R
(WC)max fluide mélangé (WC)min fluide non mélangé
1 − exp(− R Γ )
avec Γ = 1 − exp(− NUTmax )
R
Echangeur à courants croisés
(125)
(WC)min fluide mélangé (WC)max fluide non mélangé
- 54 -
(126)
 Γ
E = 1 − exp −  avec Γ = 1 − exp(− RNUTmax )
 R
(127)
Les équations correspondantes ont été traduites sous forme d'abaques que l'on trouve dans la
littérature consacrée aux échangeurs de chaleur. Dans ce polycopié, nous ne donnerons que certains
de ces abaques
Exemple: Déterminer l’efficacité d’un échangeur , en supposant le coefficient global d’échange
indépendant de la température, permettant de refroidir une huile de 80 à 30 °C à l’aide d’eau qui
passe de 20 à 35 °C.
En supposant que cet échangeur fonctionne à contre courant déterminer son Nombre d’Unité de
Transfert Maximum.
En supposant que cet échangeur est un échangeur 1-2 déterminer le coefficient correctif Y de
l’équation Q=UAY∆θml .
L’efficacité d’un échangeur est donnée par :
E=
Q
WcCc(θce − θcs )
WfCf (θfs − θfe )
=
=
Q max (WC)m (θce − θfe ) (WC)m (θce − θfe )
Dans notre cas la différence de température du fluide chaud est plus grande que celle du fluide
froid, le (WC)m est donc celui du fluide chaud soit
WcCc(θce − θcs ) (θce − θcs ) (80 − 30)
=
=
= 0,8333
(WC)m (θce − θfe ) (θce − θfe ) (80 − 20)
1 − e−(1− R )NUT max
A contre courant, E =
1 − Re −(1− R )NUT max
1
(1 − E )
Ln
soit NUT max =
(1 − RE )
1− R
R est égal au rapport des différences de températures
(WC)m (θfs − θfe ) (35 − 20)
R=
=
=
= 0,3
(WC)M (θce − θcs ) (80 − 30)
E=
1
(1 − 0,833) = 2,15
Ln
(1 − 0,3 * 0,833)
1 − 0 .3
coefficient correctif Y :
NUT max =
E=
(θce − θcs ) = (80 − 30) = 0,8333 et
(θce − θfe ) (80 − 20 )
R=
(θfs − θfe ) = (35 − 20) = 0,3
(θce − θcs ) (80 − 30)
Sur l’abaque, il n’est pas possible de trouver une valeur de Y car elle est inférieure à 0,5 (0,47 par la
formule). Cela montre que cet échangeur n’est pas intéressant !!!
- 55 -
Efficacité d'un échangeur à co courant
1,0
R=0
0,9
0,8
R=0,25
R=0,50
0,6
R=0,75
0,5
R=1
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
R=Wcmin/Wcmax
NUTmax
Efficacité d'un échangeur à contre courant
1,00
R=0
0,90
R=0,25
0,80
R=0,50
R=0,75
0,70
R=1
0,60
Efficacité
Efficacité
0,7
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0
0,5
1
1,5
2
- 56 -
2,5
NUTmax
3
3,5
4
4,5
R=Wcmin/Wcmax
5
Efficacité d'un échangeur à courants croisés fluides non mélangés
1,00
0,90
R=0
R=0,25
0,80
R=0,50
R=0,75
0,70
R=1
Efficacité
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
NUTmax
4,5
R=Wcmin/Wcmax
5
4,5
5
Efficacité d'un échangeur à courants croisés
1,00
0,90
R=0
0,80
R=0,25
R=0,50
0,70
R=0,75
Efficacité
0,60
R=1
0,50
Wcmin non mélangé
Wcmax mélangé
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0
0,5
1
1,5
-2 57 -
2,5
NUTmax
3
3,5
4
R=Wcmin/Wcmax
Efficacité d'un échangeur à courants croisés
1,00
0,90
R=0
R=0,25
0,80
R=0,50
0,70
R=0,75
R=1
0,50
0,40
Wcmin mélangé
Wcmax non mélangé
0,30
0,20
0,10
0,00
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
R=Wcmin/Wcmax
NUTm ax
Efficacité d'un échangeur 1-2
1,00
R=0
0,90
R=0,25
0,80
R=0,50
0,70
R=0,75
0,60
Efficacité
Efficacité
0,60
R=1
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0
0,5
1
1,5
2
- 58 -
2,5
NUTmax
3
3,5
4
4,5
5
R=Wcmin/Wcmax
Nom du document : ECHANGEURS DE CHALEURV_DHET.doc
Répertoire :
C:\Documents and Settings\Denis.Barreteau\Mes
documents\Enseignement\formation continue
Modèle :
C:\Documents and Settings\barretea\Application
Data\Microsoft\Modèles\A7.dot
Titre :
ECHANGEURS DE CHALEUR
Sujet :
Auteur :
BARRETEAU
Mots clés :
Commentaires :
Date de création :
26/10/2006 16:01:00
N° de révision :
3
Dernier enregistr. le : 26/10/2006 16:04:00
Dernier enregistrement par : Denis Barreteau
Temps total d'édition :18 Minutes
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26/10/2006 16:05:00
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