version PDF - INP Toulouse

- 21 -
Chapitre II LES EQUATIONS D'ECHANGE
II-1 DEFINITION DES COEFFICIENTS D'ECHANGE
II-1.1 Coefficients locaux particuliers et coefficient global d'échange
Considérons un échangeur tubulaire dans lequel on fait circuler deux fluides. Supposons, par
exemple, que le fluide chaud circule à l'intérieur des tubes. En régime permanent, les débits
massiques de fluides sont constants et la température en un point de l'appareil est constante.
Définissons un élément de volume de l'appareil pris entre deux sections droites perpendiculaires aux
tubes, situées à des distances x et x+dx de l'extrémité par laquelle entre le fluide chaud. Soient θ
c
et
θ
f
les températures moyennes respectives des deux fluides dans cet élément de volume.
Le transfert de chaleur met en jeu trois résistances :
- une résistance à la convection entre le fluide et la surface interne des tubes (1)
- une résistance à la conduction dans la paroi des tubes (2)
- une résistance à la convection entre la surface externe des tubes et le fluide (3)
Soient h
i
et h
e
les coefficients superficiels d'échange respectifs correspondant aux résistances (1) et
(3) et dA
i
et dA
e
les surfaces correspondantes. Appelons λ
t
la conductivité thermique du matériau
constituant les tubes.
Le flux de chaleur dQ échangé entre les deux fluides est tel que
eemtii
fc
dAh
1
dAλ
e
dAh
1
θθ
dQ
++
−
=
(1)
θ
f
θ
c
Fluide
x
x+dx
Fluide
chaud

- 22 -
dA
m
est la moyenne logarithmique des aires dA
i
et dA
e
.
En fait, dans le calcul des échangeurs la résistance à la conduction dans la paroi des tubes n'est pas
la résistance prépondérante. Aussi, il est d'usage et justifié d'assimiler la moyenne logarithmique à
la moyenne arithmétique.
2
dAdA
dA
ei
m
+
=
(2)
NEWTON a proposé d'écrire
(
)
fc
θθUdAdQ −= (3)
Que l'on peut écrire
(
)
UdA
1
θθ
dQ
fc
−
=
donc
eemtii
dAh
1
dAλ
e
dAh
1
UdA
1++= (4)
h
i
est appelé le coefficient local interne particulier d'échange
h
e
est appelé le coefficient local externe particulier d'échange
U est appelé le coefficient local global d'échange
Ces coefficients sont des coefficients locaux car leur valeur est susceptible de varier le long des
tubes. Ils s'expriment en kcal/h m
2
°C Btu/hr ft
2
°F ou W/m
2
K.
Il s'agit de choisir pour dA une valeur de référence pratique, bien que l'échangeur calculé ne
dépende pas de ce choix. Il est d'usage de choisir comme aire de référence celle qui correspond à la
résistance thermique la plus grande. Nous avons donc trois possibilités :
m
e
i
dAdA
dAdA
dAdA
=
=
=
(5)
ce qui définit trois coefficients globaux d'échange tel que :
mmeeii
dAUdAUdAUUdA === (6)
Les trois coefficients n'ont de signification que par rapport à ces aires de références.
On a alors
i
e
e
i
m
t
ii
dA
dA
h
1
dA
dA
e
h
1
U
1+
λ
+=
(7)
Soit encore
i
e
e
i
ie
t
ii
D
D
h
1
D2
DD
e
h
1
U
1+
+
λ
+=
(8)
Ou D
e
et D
i
dont respectivement le diamètre extérieur et le diamètre intérieur des tubes.

- 23 -
De même
e
e
ie
t
e
i
i
e
h
1
2D
DD
λ
e
D
D
h
1
U
1+
+
+= (9)
Et
ie
e
e
t
ie
i
i
m
DD
D2
h
1e
DD
D2
h
1
U
1
+
+
λ
+
+
=
(10)
Remarques:
- Dans le cas de surfaces planes parallèles et le cas des échangeurs à plaques, les
surfaces de convection sont identiques et il n'existe donc qu'un seul coefficient global d'échange U
tel que
eti
h
1e
h
1
U
1+
λ
+=
II-1.2 Coefficient d'encrassement
Très souvent, durant le fonctionnement d'un échangeur avec la plupart des liquides et parfois aussi
des gaz, un film d'encrassement se dépose graduellement sur les surfaces d'échange. Ces dépôts ont
pour effet d'ajouter au cours du temps des résistances thermiques supplémentaires au transfert,
abaissant ainsi la performance de l'échangeur.
C'est pourquoi un nettoyage périodique s'avère indispensable pour maintenir des performances
correctes de l'appareil. La période dépend du type d'industrie et de la faculté des fluides mis en jeu
dans l'échangeur à déposer plus ou moins rapidement sur les tubes ou les plaques.
Ces dépôts sont éliminés soit par démontage et nettoyage, soit par traitement chimique
Dans les industries chimique ou pétrolière, on calcule en général l'échangeur pour que son
nettoyage n'intervienne que lors des grands arrêts de l'unité (souvent tous les cinq ans).
Dans l'industrie agroalimentaire, on peut nettoyer tous les jours un échangeur.
Le calcul de l'appareil sera donc effectué, en général, avec la valeur limite de l'épaisseur de ce
dépôt. Bien que ces dépôts correspondent à une résistance au transfert conductif dans un solide, on
l'exprime sous forme d'une résistance à la convection. On définit donc des coefficients
d'encrassement (coefficient de dépôt) h
di
et h
de
, des facteurs d'encrassement 1/ h
di
et 1/ h
de
et des
résistances limites d'encrassement :
ede
de
idi
di
dAh
1
R
dAh
1
R
=
=
(11)
On peut alors écrire :
edeeemtidiii
fc
dAh
1
dAh
1
dAλ
e
dAh
1
dAh
1
θθ
dQ
++++
−
= (12)
En appelant U
s
le coefficient global d'échange de l'échangeur encrassé, on obtient

- 24 -
edeeemtidiiis
dAh
1
dAh
1
dA
e
dAh
1
dAh
1
dAU
1++
λ
++= (13)
On peut donc définir trois coefficients globaux d'échange pour l'échangeur encrassé suivant l'aire de
référence :
i
e
de
i
e
e
i
ie
t
diisi
D
D
h
1
D
D
h
1
D2
DD
e
h
1
h
1
U
1++
+
λ
++=
(14)
dee
e
ie
t
e
i
di
e
i
i
se
h
1
h
1
D2
DD
e
D
D
h
1
D
D
h
1
U
1++
+
λ
++=
(15)
ie
e
de
ie
e
e
t
ie
i
di
ie
i
i
sm
DD
D2
h
1
DD
D2
h
1e
DD
D2
h
1
DD
D2
h
1
U
1
+
+
+
+
λ
+
+
+
+
=
(16)
On remarque que :
edeidis
dAh
1
dAh
1
UdA
1
dAU
1+=−
(17)
Des ordres de grandeurs des coefficients globaux d'échanges et des coefficients d'encrassement pour
certains couples de fluides sont donnés dans les tableaux suivant.
ORDRE DE GRANDEUR DES COEFFICIENTS GLOBAUX D'ECHANGE U
s
Fluide chaud Fluide froid U
s
(W/ m
2
°C)
Gaz
Gaz
Gaz
Liquide visqueux
Liquide peu visqueux
Liquide visqueux
Liquide visqueux
Liquide peu visqueux
Vapeur se condensant
Vapeur se condensant
Vapeur se condensant
Gaz
Liquide visqueux
Liquide peu visqueux
Gaz
Gaz
Liquide visqueux
Liquide peu visqueux
Liquide peu visqueux
Liquide visqueux
Liquide peu visqueux
Liquide en ébullition
10 - 50
20 - 50
20 - 80
20 - 50
20 - 80
100 - 200
100 - 300
700 - 1800
200 - 400
1000 - 2000
700 - 1500

- 25 -
COEFFICIENT D'ENCRASSEMENT h
d
Fluide h
d
(W/ m
2
°C)
Eau distillée
Eau de mer
Eau de ville
Eau de rivière filtrée
Eau de rivière non filtrée
Mazout
Liquides organiques
Saumure
Air industriel
Résidu de crackage
10000
5000 - 10000
2500 - 5000
2500 - 5000
1500 - 2500
1000
5000
5000
2500
500
II-2 NOMBRES SANS DIMENSION - ANALYSE DIMENSIONNELLE
Il existe trois types de méthodes permettant de déterminer les coefficients d'échange de chaleur par
convection :
- Les solutions mathématiques exactes ou approchées des équations de continuité, de quantité de
mouvement et d'énergie thermique qui s'appliquent principalement à un écoulement en régime
laminaire
- Les analogies entre les transferts de chaleur et de quantité de mouvement
- L'analyse dimensionnelle du phénomène en appui d'expériences
L'analyse dimensionnelle contribue peu à la compréhension du phénomène, elle est inutile sans les
expérimentations correspondantes, par contre elle permet de limiter le nombre d'expériences à faire
et regroupe les données expérimentales sous forme de nombres adimensionnels plus pratiques à
manipuler. Il existe différentes techniques pour déterminer les groupes adimensionnels :
- la méthode de BUCKINGHAM (Théorème de π BUCKINGHAM)
- la méthode de RAYLEIGH
- La méthode de réduction des équations différentielles de bilans lorsque les phénomènes peuvent
être traduit mathématiquement. Cette dernière méthode est celle qui conduit à des nombres
adimensionnels qui ont une signification physique. Les deux autres nécessitent une compréhension
physique pour être mise en œuvre correctement.
Rappelons ici la nomenclature utilisée pour ce chapitre et les suivants :
D Diamètre intérieur ou extérieur de la canalisation L
v vitesse moyenne du fluide LT
-1
ρ masse volumique du fluide ML
-3
µ viscosité dynamique du fluide ML
-1
T
-1
ν viscosité cinématique du fluide L
2
T
1
L dimension caractéristique de la surface L
g accélération de la pesanteur LT
-2
β coefficient de dilatation volumique à pression constante θ
-1
∆θ différence entre deux températures (paroi et fluide) θ