interférences - MagnetoSynergie

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INTERFÉRENCES
I) Modèle scalaire de la lumière
1) Ondes lumineuses
Le modèle scalaire de la lumière est une construction indépendante de
la théorie de Maxwell qui permet d’interpréter les résultats expéri-
mentaux d’optique concernant les phénomènes d’interférences et de
diffraction à partir de ses propres postulats.
Dans ce modèle, la lumière est décrite comme la propagation de la va-
riation d’un champ scalaire
(
)
,
M
tψ appelé amplitude lumineuse
instantanée au point M à l’instant t.
L’aspect « lumière » n’est pas déterminant dans le modèle.
Il peut donc s’appliquer à toute onde spatiale, en particulier les ondes
acoustiques, pour lesquelles on évoquera les mêmes phénomènes
(interférences, diffraction…)
Dans le cas d’une source étendue dans l’espace, c’est-à-dire constituée
de plusieurs points indicés par i, le modèle postule que les ampli-
tudes instantanées sont additives:
() ()
,,
i
i
M
tMtψ=ψ
∑.
De plus, l’analyse de Fourier permet de dé-
composer l’amplitude émise par une
source ponctuelle S comme la super-
position d’ondes sinusoïdales de la
forme
(
)
(
)
0
,cosS St t
ψ
=ψ ω +ϕ
y ω est la pulsation de la composante (elle
est différente pour chaque compo-
sante).
y ϕS est la phase à l’origine des temps au
point source S.
En notant τM le retard dû au temps mis par
la lumière pour se propager de la
source S au point d’observation M, on
peut écrire l’amplitude au point M :
(
)
(
)
(
)
0
,cos
M
S
Mt tψ=ψω−τ+ϕ

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Dans le vide, la vitesse de propagation de la lumière est notée c0 et, pour
une onde sinusoïdale de pulsation ω et de longueur d’onde λ0, on a
la relation 00
2
c
π
λ=
ω
.
2) Notion de chemin optique
Dans le modèle scalaire de la lumière, on postule qu’entre les points S et
M, la lumière se propage suivant une courbe de vecteur unitaire
tangent
(
)
uP
G en chaque point, appelée rayon lumineux de S à M.
On postule que dans un milieu différent du vide il existe un champ sca-
laire n(P) caractéristique de ce milieu, appelé indice de réfraction
du milieu, tel que la vitesse de la lumière dans le milieu est
0
() ()
c
cP nP =.
L’indice dépend en général de la pulsation ω de l’onde, c’est-à-dire de sa
longueur d’onde dans le vide λ0.
Le retard de propagation entre deux points S et M d’un rayon lumineux
est M
M0
t
tdt
=τ
=
τ=
∫.
Si l’on note s l’abscisse curviligne le long de ce rayon orienté de S vers
M, on peut écrire :
M
M0
t
tdt
=τ
=
τ=
∫ M
S
dt ds
ds
=∫
()
1
M
Sds
cP
=∫ soit
()
M
0
1M
SnPds
c
τ= ∫.
Déf: On appelle chemin optique entre S et M la grandeur
() ()
:M
S
SM n P ds=∫.
n(P) étant sans dimension, (SM) est homogène à une longueur.
Interprétation
On constate que l’on a 0M ()SM c
=
τ: le chemin optique entre S et M est
donc la longueur qui serait parcourue par la lumière, pendant la
même durée τM, si elle se propageait dans le vide.
L’expression de l’onde lumineuse est alors
() ()
0
0
,cos S Mt t SM
c
⎛⎞
ω
ψ
=ψ ω − +ϕ
⎜⎟
⎝⎠
M
ds
S
S
M
(
)
uP
G
y P
(
)
(
)
(
)
0
,cos
M
S
Mt tψ=ψω−τ+ϕ

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Conclusion : L’amplitude de l’onde lumineuse émise par un point S s’écrit au point
M :
() ()
0
0
2
cos S
MtSM
⎛⎞
π
ψ=ψ ω− +ϕ
⎜⎟
λ
⎝⎠
.
3) Éclairement
a) définition
Compte tenu des fréquences élevées rencontrées en optique (f ≈ 1015 Hz),
un détecteur d’ondes lumineuses ne peut être sensibles qu’à des
moyennes temporelles.
Les grandeurs étant sinusoïdales après décomposition de Fourier, cela ne
peut être la moyenne de ψ(M, t) qui est nulle.
Les détecteurs optiques sont donc de type quadratiques, tels que photo-
piles, photodiodes, photorésistances, photomultiplicateurs, plaque
photo, …
C’est donc
(
)
2,
M
tψ qui intervient.
Comme la grandeur à laquelle les détecteurs sont sensibles n’est pas pré-
cisée, il existe une constante multiplicative inconnue entre elle et
(
)
2,
M
tψ.
Déf: On appelle éclairement en M la fonction du point
(
)
(
)
2
:,
M
kMt=ψE où k
est une constante caractéristique du capteur.
L’éclairement est évidemment proportionnel à l’intensité de l’onde au
sens électromagnétique. Les deux notions sont souvent confondues,
en omettant la constante multiplicative entre les deux.
Pour une onde sinusoïdale, on trouverait
()
(
)
22
0cos O
Mk tkr=ψ ω−⋅+ϕE
GG
donc
(
)
2
0/2Mk=ψE.
b) représentation complexe
L’onde étant sinusoïdale, il est commode d’utiliser sa représentation
complexe
(
)
,
M
tψ telle que
(
)
(
)
(
)
,Re ,
M
tMtψ=ψ .
On peut écrire
()
(
)
(
)
0
,exp O Mt i t krψ=ψ ω−⋅+ϕ
GG et l’amplitude com-
plexe de l’onde est
()
(
)
(
)
0exp O
Mikr
ψ
=ψ − ⋅ −ϕ
GG .
On peut donc écrire
(
)
2
0/2Mk
=
ψE
()
2/2kM=ψ .

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En notant /2
K
k=, on utilise le plus souvent la relation
(
)
(
)
(
)
*
M
KM M=ψ ψE .
4) Surface d’ondes
Déf: On appelle surface d’ondes relative à la source ponctuelle S un ensemble de
point M tels que (SM) est uniforme.
Déf: Un milieu est homogène si l’indice de réfraction n est uniforme.
a) ondes sphériques
On constate expérimentalement que dans un milieu homogène, la lu-
mière se propage en ligne droite entre deux points.
()
M
S
SM n ds=∫ par définition
P
S
nds=
∫
parce que l’indice est uniforme
||nSM= car le rayon est un segment.
On vérifie que le chemin optique n’est pas la longueur géométrique du
rayon lumineux entre S et M.
Si S est une source ponctuelle, les surfaces d’ondes ont alors pour équa-
tion | |nSM Cte=
(
)
||SM n SM
=
Si S est une source ponctuelle, les surfaces
d’ondes ont alors pour équation
||nSM Cte= soit, puisque l’indice est uni-
forme, ||SM R= : les surfaces d’onde sont
donc des sphères de centre S.
Du fait de la forme des surfaces d’ondes dans le
cas présent, les ondes correspondantes sont
appelées ondes sphériques.
S
M
M
’
surface d’onde
τ
M =
τ
M’
S
M
M
S

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Leur expression peut s’écrire
() ()
0
0
2
,cos||
S
Mt M t nSM
⎛⎞
π
ψ=ψ ω− +ϕ
⎜⎟
λ
⎝⎠
.
b) ondes planes
Lorsque la sources S est à l’infini par rapport à la zone d’observation, les
rayons lumineux au voisinage du point d’observation M sont paral-
lèles entre eux.
Remarque : Un point source S’ différent de S donne au voisinage de M
des rayons parallèles entre eux mais pas parallèles aux rayons issus
de S.
S
S’
y M
M
S
y M