Thermodynamique du rayonnement, gaz de photons
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Physique statistique (PHY433) Le contrôle… Amphi 8 Le contrôle (3 h) aura lieu le lundi 27 mars de 14h à 17 h Thermodynamique du rayonnement, gaz de photons Aucun document autorisé. Tablette, ordinateur et téléphone interdits. Calculatrice recommandée. Un formulaire sera joint au problème. Gilles Montambaux Planck (1900) 1 Dictionnaire papier autorisé pour les EV2 et EV3 « Planck » (2013) 20 mars 2017 2 Thermodynamique du rayonnement électromagnétique Thermodynamique du rayonnement gaz de photons Rayonnement et transferts d’énergie Plan du cours ex: équilibre thermique de la terre I. Lasers Densité d’énergie du rayonnement électromagnétique rayonnement cosmologique Loi de Planck Spectre du corps noir Effet photoélectrique Planck 1900 Einstein 1905 « spectre du corps noir » II. Équilibre soleil-terre, constante solaire, effet de serre III. Aux origines de la mécanique quantique IV. Rayonnement fossile de l’univers 1918 Débuts de la révolution quantique 1921 3 4 Thermodynamique du rayonnement électromagnétique Thermodynamique du rayonnement électromagnétique Quelle est la distribution d’équilibre du champ électromagnétique dans une « boîte » à la température T ? « corps noir » : cavité qui absorbe parfaitement le rayonnement et le réémet en équilibre à la température T Kirchhoff (1859) Quelle est la distribution d’équilibre du champ électromagnétique dans une « boîte » à la température T ? « corps noir » : cavité qui absorbe parfaitement le rayonnement et le réémet en équilibre à la température T Kirchhoff (1859) T T 5 Thermodynamique du rayonnement électromagnétique Thermodynamique du rayonnement électromagnétique Quelle est la distribution d’équilibre du champ électromagnétique dans une « boîte » à la température T ? « corps noir » : cavité qui absorbe parfaitement le rayonnement et le réémet en équilibre à la température T Kirchhoff (1859) La densité d’énergie est une fonction universelle qui ne dépend que de la fréquence et de la température expérience Wien (1893) T Quelle est la distribution d’équilibre du champ électromagnétique dans une « boîte » à la température T ? « corps noir » : cavité qui absorbe parfaitement le rayonnement et le réémet en équilibre à la température T Kirchhoff (1859) Inexplicable par la physique classique Planck 1900 Einstein 1905 T Modes du rayonnement électromagnétique dans une cavité Spectre du corps noir Densité d’énergie par unité de volume et de fréquence à la température T Champ électromagnétique : solution de « Mode propre » contient deux « ingrédients » distincts Énergie moyenne d’un mode de fréquence , à la température avec Un « mode propre » d’oscillation du champ dans une boîte est caractérisé par Densité de modes du rayonnement à la fréquence son vecteur d’onde 9 Énergie moyenne d’un mode de fréquence Le potentiel vecteur sa fréquence Rappel : quantification de l’oscillateur harmonique , à la température Énergie d’un mode propre d’oscillation obéit à l’équation d’onde Énergies propres Energie associée à un mode avec Rappel : énergie moyenne de l’oscillateur harmonique à température T Formalisme canonique cf. amphi 3, p.23 Chaque mode propre est un oscillateur harmonique de pulsation Quantification de l’oscillateur harmonique 11 Modèle d’Einstein Rappel : quantification de l’oscillateur harmonique Chaque mode propre du champ électromagnétique est un oscillateur harmonique de pulsation = État d’excitation de l’oscillateur Un photon , d’énergie est un degré d’excitation de l’oscillateur harmonique État d’excitation moyen de l’oscillateur à la température T classique = Nombre de photons dans le mode est l’état moyen d’un oscillateur d’énergie à température T Identique au facteur de Bose pour un gaz de particules d’énergie C’est aussi le nombre moyen de photons d’énergie à température T en contact avec un réservoir à Énergie moyenne d’un mode e.m. photons Planck (1900), Einstein (1905) M oscillateurs harmoniques 13 Bose (1924) Spectre du corps noir bosons en nombre indéterminé dans M états quantiques (oscillateurs) Densité d’énergie par unité de volume et de fréquence à la température T X X X Microétat = ensemble des états d’excitation des oscillateurs Formalisme canonique contient deux « ingrédients » distincts Microétat Énergie moyenne d’un mode de fréquence , à la température = nombre de photons dans un chaque état quantique Formalisme grand-canonique Densité de modes du rayonnement à la fréquence cf.amphi 5, p. 51 État d’excitation moyen d’un oscillateur de pulsation Nombre moyen de photons d’énergie en nombre indéterminé 16 cf. amphi 6, p.16-21 Densité de modes du rayonnement à la fréquence D(ν)dν dν = nombre de modes dans une tranche de fréquence N<(ν) = nombre de modes ν [ν, ν + dν] N<(ν) = 2 V On définit aussi dN<(ν) D(ν) = dν de fréquence inférieure à N<(ν) = ν = µ car dans une boîte de taille L, les valeurs de L 2π ¶3Z Volume de l’espace des ~k |ν~k < ν (2π)3 ( x 2 polarisations) V 4πk 3 8π ν 3 N<(ν) = 2 V = (2π)3 3 3 c3 Θ(ν − νk ) k (N<(ν)s’appelle aussi densité intégrée ) Dans la limite du continuum, N<(ν) N<(ν) = V X cf. amphi 6, p.16-21 Densité de modes du rayonnement à la fréquence cf. amphi 6, p.21 D(ν) ∝ ν d−1 3~ ν(~ k)<ν d k ~k sont multiples de 2π D(ν) = L Volume de l’espace des ~k |ν~k < ν (2π)3 17 Spectre du corps noir dN<(ν) dν D(ν) = V 8π 2 ν c3 Densité de modes électromagnétiques dans une cavité de volume V, (physique classique) Rayleigh (1900) 18 Spectre du corps noir Densité d’énergie par unité de volume et de fréquence à la température T Densité d’énergie par unité de volume et de fréquence à la température contient deux « ingrédients » distincts Énergie moyenne d’un mode Énergie moyenne d’un mode de fréquence , à la température D(ν) = V 8π 2 ν c3 Densité de modes Densité de modes du rayonnement à la fréquence Loi de Planck D(ν) = V 8π 2 ν c3 19 rayonnement du corps noir T hν ¿ kT Rayleigh-classique u(ν, T ) = 1 8π D(ν) kT = 3 ν 2 kT V c est une fonction universelle densité de modes x énergie moyenne / mode (équipartition de l’énergie) Loi du déplacement de Wien Planck Wien Loi de Planck Loi de Planck Thermodynamique du rayonnement Fonction universelle Densité totale d’énergie Loi du déplacement de Wien Loi de Stefan-Boltzmann T4 Wien Puissance émise par unité de surface constante de Stefan Loi de Stefan-Boltzmann Loi de Planck Pression Entropie 24 Thermodynamique du rayonnement, puissance émise Puissance émise par unité de surface Thermodynamique du rayonnement, pression et entropie cf. poly, eq. 9.45 Energie émise à travers un orifice de surface S par unité de temps Rappel (amphi 6) : pour un gaz quantique de particules α dont l’énergie varie comme ² ∝ k , alors la densité d’états intégrée varie comme PV = Z N<(²) ∝ kd ∝ ²d/α N<(²)f (²)d² U= S c R= 2 Z π/2 sin θ cos θdθ 0 Z ∞ cf. amphi 6, p. 25 d PV α La pression est donc simplement proportionnelle à l’énergie totale u(ν)dν Pour un gaz d’électrons ( = 2) en dimension 3 U= 0 Pour un gaz de photons ( = 1) en dimension 3 c R = utot = σT 4 4 U = 3P V Grand potentiel : Entropie 25 Thermodynamique du rayonnement 3 PV 2 S=− ∂A ∂P 1 ∂U 4U =V = = ∂T ∂T 3 ∂T 3T Le soleil, la terre et nous… Loi du déplacement de Wien ~ 6000K Le soleil émet dans le visible Nous, la terre, émettons dans l’IR 28 Le soleil , la terre et nous… bilan thermique Le soleil , la terre et nous… bilan thermique Puissance totale émise par le soleil reçue sur terre puissance reçue par u. surface au niveau de l’orbite terrestre 30% est réfléchi (albedo) puissance émise par u. surface Constante solaire : puissance reçue sur terre / u.surface, au-dessus de l’atmosphère Constante solaire : puissance reçue sur terre / u.surface au-dessus de l’atmosphère Puissance totale réémise par la terre rayon du soleil Equilibre thermique : distance soleil-terre constante de Stefan L’effet de serre . En fait, la température moyenne de la terre est Joseph Fourier (1768 – 1830) Svante Arrhénius (1858-1927) Explication : l’effet de serre « De l'influence de l'acide carbonique dans l'air sur la température de la terre » (1896) Le soleil, corps noir à T ~ 6000K émet dans le visible, autour de 0.5 m La terre, corps noir à T ~ 300K, réémet autour de 10-20 m Un doublement du taux de CO2 causerait un réchauffement de ~ 5 °C Une partie de ce rayonnement infrarouge est absorbée par l’atmosphère : (eau, CO2 et autres gaz dits à effet de serre) « A cause de cette augmentation de gaz carbonique dans l’atmosphère, on peut espérer bénéficier de climats plus cléments, surtout pour les régions les plus froides de la terre, de récoltes plus abondantes qui subviendront aux besoins de toute l’humanité » (2 à 4,5 °C selon GIEC) L’effet de serre est d’abord bénéfique … Arrhenius s’attendait à ce que le taux de CO2 double dans 3000 ans au rythme de la fin du 19ème siècle 31 rythme actuel (données GIEC), doublement en ~ 100 ans !! 32 Pression de radiation Variation du taux de CO2 depuis 800 000 ans pression puissance au niveau du soleil au niveau de la terre, réduction Orientation de la queue des comètes pression de radiation vent solaire Hale-Bopp, 1997 EPICA (European Project for Ice Coring in Antarctica) Pression de radiation pression 33 34 Energie solaire - ordres de grandeur puissance Sur terre Moyenne sur l’année en France Au sol, à midi au niveau du soleil au niveau de la terre, réduction Nouvelle centrale de Cestas Tchouri, 2015 Moyenne sur l’année crête vent solaire Ordres de grandeur : Hale-Bopp, 1997 * environ 1 à 2 % est converti en électricité 2015 Voiles solaires IKAROS (Interplanetary Kite-craft Accelerated by Radiation Of the Sun) 2010 260ha Rendement ~ 12% Orientation de la queue des comètes pression de radiation 300M Wc * une tranche centrale classique 1000MW 70 km2 panneaux Cestas 350 GW h par an Retour à la loi de Planck Planck expérience de Planck aux photons 1900 1924 Wien (1893) 1905 Planck, Einstein, Bose 37 Planck 1900 , devant la société allemande de physique 38 1921 Einstein 1905, effet photoélectrique C’est le rayonnement lui-même qui est constitué de grains d’énergie quantifiée, les « quanta de lumière », interprète l’effet photoélectrique (Hertz, Lenard) 19 octobre 1900, propose une formule empirique qui décrit parfaitement bien les données expérimentales e confirmation Millikan 1916 14 décembre 1900, Interprétation statistique (« acte de désespoir ») Le rayonnement ne peut échanger de l’énergie avec la matière que par paquets d’énergie ² = hν Il introduit deux constantes k = R/NA L’énergie cinétique des électrons émis ne dépend pas de l’intensité du rayonnement mais de sa fréquence. Bose 1924 Statistique d’un gaz de particules de masse nulle (les quanta de lumière) qu’il baptise « constante de Boltzmann » en nombre indéterminé hilfsgröße = quantité auxiliaire 1918 Ces grains d’énergie sont baptisés photons (Lewis 1926) 40 Une belle histoire… Expansion de l’univers 1964 : A. Penzias et R. Wilson 1927 : Hubble aux laboratoires Bell (New-Jersey) Les galaxies s’éloignent les unes des autres d’autant plus rapidement qu’elles sont éloignées transforment une antenne de communication du réseau Telstar pour mesurer le rayonnement radio (ondes centimétriques) de la voie lactée. Temps caractéristique : 1947 âge de l’univers Gamow, Alpher, Herman (abondance des éléments) 1964 : Penzias-Wilson « rayonnement fossile » Ils découvrent un bruit de fond isotrope, indépendant du temps. Constante de Hubble 1992 : COBE La dépendance en fréquence de ce bruit de fond correspond à un rayonnement de corps noir à une température d’environ 3 K 2013 : « Planck » C’est le rayonnement « fossile » de l’univers !! 41 Rayonnement « fossile » Rayonnement « fossile » « Big bang » Au temps Matière et photons en équilibre à la température Expansion d’un facteur f entre et maintenant formation des atomes - découplage photons-matière On mesure maintenant : Ensuite, la distribution thermique du rayonnement n’évolue plus (fossile) et elle reste celle d’un corps noir à conservation de l’énergie Que l’on peut noter sous la forme : T = Pourquoi parle-t-on de rayonnement à 3K ? 43 T0 f 44 Penzias, Wilson 1964 Rayonnement « fossile » : l’univers au temps COBE 1992 COBE 1992 « Planck » 2013 T = T0 = 2.735..K f L’univers s’est dilaté d’un facteur Inhomogénéités de température f ' 1000 ∆T ' 10−5 K Scénario de formation des galaxies 45 La découverte du rayonnement fossile de l’univers A. Penzias et R. Wilson (1964) La découverte du rayonnement fossile de l’univers A. Penzias et R. Wilson (1964) chercheurs aux Bell Laboratories (USA) Un exemple de sérendipité ! Réalisation d’une découverte inattendue grâce au hasard et à l'intelligence, au cours d'une recherche dirigée initialement vers un objet différent de cette découverte. En 1957… 46 1880 – American Bell Telephone Company 1927 – Nature ondulatoire des électrons 1947 – Transistor 1948 – Théorie de l’information 1956 – Localisation d’Anderson 1959 – MOSFET 1960 – Epitaxie par jets moléculaires 1964 – Rayonnement cosmologique 1969 – Unix, C 1970 – Capteur CCD 1978 – Dopage modulé 1983 – Effet Hall quantique fractionnaire 1985 – Refroidissement laser 2000 - Lucent-Alcatel et ~25 000 brevets… 1876 A.G. Bell (1847- 1922) 48 Physique statistique : Planck « Pour un système isolé à l’équilibre, tous les microétats accessibles sont équiprobables » Boltzmann Isolants, semiconducteurs, supraconducteurs Etoiles à neutrons Suprafluidité Rayonnement Fond cosmologique Condensation de Bose, Lasers… Matière condensée Magnétisme Transitions de phases Théorie de l’information Physique statistique 2 Physique quantique et physique statistique deux piliers de la physique moderne « Planck »
