Exercices de courant continu - Jean

Exercices de courant continu
I.
1) Déterminer e pour que la puissance reçue par la source de tension de fem e soit
maximum.
2) Quel est alors le rendement énergétique, défini comme le rapport de l’énergie reçue
par la source de tension à l’énergie fournie par la source de courant ?
η
R
e
II.
Un générateur de fem E = 20 V et de résistance interne nulle sert à recharger une
batterie électrochimique de fem e et de résistance interne r = 1 Ω .
1) Au début, la batterie est déchargée : e = 0 . Quel courant i traverse la batterie ?
Précisez son sens.
2) Lorsque e n'est pas nul, exprimer i en fonction de E , e, a, b, r .
3) Pour quelle valeur de e le courant i s'annule-t-il ?
4) Décrire qualitativement l'évolution de e et i au cours du temps.
b=3Ω
E
e,r
a=3Ω
III53. Mesure d’une résistance.
On désire mesurer la résistance R à l’aide du montage ci-contre, où le
R1
voltmètre V est équivalent à une résistance Rv.
1) Comment faut-il choisir le voltmètre pour minimiser son influence ? Pour
quelle genre de résistance R cela est-il possible ?
R
V U
2) Exprimer U en fonction des autres grandeurs du schéma dans les deux cas : e,r
a) le courant dans le voltmètre est négligeable ;
b) le courant dans le voltmètre n’est pas négligeable.
3) Désormais, on suppose le courant dans le voltmètre négligeable. La sensibilité du montage est s = dU/dR. Justifier
cette définition.
4) Calculer la sensibilité.
5) Comment faut-il choisir R1 pour maximaliser la sensibilité ?
IV41.
1) Une alimentation de résistance R et de fem E donnés débite dans un dipôle D. Pour quelle
tension u à ses bornes le dipôle D reçoit-il la puissance maximum ?
2) D a une caractéristique rectiligne ; sa résistance est r et sa fem, qui s’oppose au passage du
courant, est e . A quelle(s) condition(s) sur e, r la puissance reçue par D est-elle maximale ?
3) A quelle(s) condition(s) sur e, r la puissance reçue par la fem e est-elle maximale ?
R
D
E
V30.
1) Pour mesurer la fem E d’un générateur à caractéristique rectiligne, on réalise une boucle avec ce générateur, un
autre générateur à caractéristique rectiligne de fem connue E 0 = 2 V inférieure à E , une résistance et un ampèremètre
qui mesure, selon le sens de branchement du générateur de fem inconnue, un courant i1 = 3 mA ou i2 = 1 mA , toujours
dans le même sens et en utilisant le même calibre. Calculer E .
2) On admet que les erreurs commises par l’ampèremètre lors des deux mesures sont indépendantes, que l’incertitude
sur chaque mesure est ∆i = 0,005 mA et que l’incertitude sur E 0 est ∆E 0 = 1 mV . Quelle est l’incertitude sur E ?
VI54.
R
R = 1 M Ω . Quand l’interrupteur est fermé, le voltmètre V, qui équivaut à une résistance
RV , indique U 1 = 11 V ; quand il est ouvert, V indique U 2 = 10 V . Calculer RV .
V
E
i
VII80.
R
Exprimer le courant i en fonction de a, b, R, E1 , E2 .
a
b
a
b
E1
E2
VIII62.
Soit E , a , b et c quatre constantes positives.
1) Exprimer le courant i en fonction de E , e , a , b et c .
2) A quelle(s) condition(s) sur e la source de tension de fem e fonctionne en récepteur ?
3) Pour quelle valeur de e la source de tension de fem e reçoit la puissance la plus grande ?
DS : exercices de courant continu, page 1
a
E
b
e
i
c
IX21. Ligne de quadripôles en Π.
R2
A
1) Exprimer R2 en fonction de R1 et R pour que le groupement de la première
ve
R1
R1
figure ait entre A et B la résistance R . Dans la suite, R2 possède cette valeur. A
B
quelle condition cela est-il possible ?
2) Exprimer alors le rapport des tensions à la sortie et à l’entrée H = vs / ve .
3) Montrer que la résistance entre C et D du groupement de la seconde
R2
R2
C
figure est égale à R .
ve
4) Exprimer en fonction de R1 et R le rapport des tensions à la sortie
R1
R1 / 2 R1
D
et à l’entrée H ′ = vs′ / ve .
5) Que vaut H ′′ = vs′′/ ve pour la troisième
figure ?
R2
ve
R1
R2
R2
R1 / 2
R1 / 2
X43.
i
Exprimer i en fonction de a, b, c, d ,E et I dans la figure ci-contre.
R vs
R vs′
R2
R vs′′
R1 / 2 R1
a
b
E
c
I
d
XI41. d’après ENAC pilotes 1999.
1) A l'aide d'un fil métallique homogène de section constante, on réalise un circuit
constitué de deux conducteurs (figure 4) :
– l'un a la forme d'un cercle de centre O ;
– l'autre est un diamètre AB du cercle.
Le conducteur diamétral possède une résistance 2r . Dans toute la suite, on conservera
le nombre π dans les expressions des différents courants et résistances à calculer.
Calculer la résistance r ′ d’un demi cercle.
2) On ajoute sur l’un des demicercles AB, comme
l'indique la figure 5, une source de tension continue de f.é.m. E. Calculer l'intensité IAB
du courant qui circule dans le conducteur diamétral
AB.
3) On considère le circuit de la figure 6 obtenu en
ajoutant à celui de la figure 4 :
– un autre conducteur diamétral CD perpendiculaire à
AB et relié à lui en 0, fait du même fil métallique ;
– deux sources de tension continue de f.é.m. E (figure
6). Quelles sont les opérations de symétrie ou d’antisymétrie qui laissent invariant ce
montage ? Calculer les intensités IAD = I et IDB qui circulent respectivement dans les
arcs AD et DB.
4) On ajoute cette fois ci quatre sources de tension identiques et non plus deux
(figure 7). Quelles sont les opérations de symétrie ou d’antisymétrie qui laissent
invariant ce montage ? Calculer les intensités des courants IAD et ID0 .
XII57. Recherche d’un défaut d’isolement.
1) MONTAGE DIVISEUR de TENSION.
Une pile de fem e et de résistance r alimente deux résistances R1 et R2 disposées en série.
a) Exprimer la tension u = V(A) – V(B) aux bornes de R2 en fonction de e, r, R1 et R2.
A
B
R2
R1
b) Que devient u si R1 est infini et R2 fini ?
c) Que devient u si R1 est fini et R2 infini ?
2) RECHERCHE d'un DEFAUT d'ISOLEMENT.
e,r
Un appareil comporte trois réseaux formés de fils de très faibles résistances, qu'on peut
schématiser par trois points A, B et C. Si l'appareil est en bon état, ces trois points sont isolés. Mais il peur y avoir aussi
un défaut d'isolement, que l'on peut schématiser par une résistance finie située entre deux de ces points :
DS : exercices de courant continu, page 2
A
B
C
appareil en bon état
A
B
C
défaut 1
A
A
B
C
défaut 2
B
C
défaut 3
Pour rechercher s'il existe un ou plusieurs de ces défauts d'isolement, on branche entre deux des points A, B et C un
générateur de force électromotrice e = 2,2 volts et de résistance interne r = 0,1 ohm et un voltmètre de résistance RV =
30 000 ohms et on lit la tension u affichée par le voltmètre :
a) si le générateur est branché entre A et B, tandis que le voltmètre l’est entre B et C, alors u = 0,2 volt ; que peut-on
en déduire sur la position des défauts d'isolement possibles ?
b) si le générateur est branché entre A et B, tandis que le voltmètre l'est entre A et C, alors u = 0 ; que peut-on en
déduire sur la position des défauts d'isolement possibles ?
c) si le générateur est branché entre B et C, tandis que le voltmètre l'est entre A et C, alors u = 0 ; que peut-on en
déduire sur la position des défauts d'isolement possibles ?
d) En déduire où se trouve le (ou les) défaut d'isolement et sa (ou ses) valeur.
Réponses
I. 1) e = Rη / 2 ; 2) 0,5.
aE − (a + b)e
aE
aE
II. 1) i =
= 4 A mesuré en sens contraire de e ; 2) i =
; 3) e =
= 10 V .
r (a + b) + ab
a +b
ab + (a + b)r
Re
e
ou U =
;
III. 1) RV >> R possible si R n’est pas trop grand ; 2) U =
⎛1
1 ⎞⎟
r + R1 + R
1 + (r + R1 ) ⎜⎜ +
⎝ R RV ⎠⎟
r + R1
4) s =
e ; 5) si R < r , l’optimum est R1 = 0 , sinon R1 = R − r .
(r + R1 + R)2
IV. 1) u = E / 2 ; 2) 2Re + rE = RE ; 3) r = 0 , e = E / 2 .
∆E
∆E 0
2∆i1
i1 + i2
=
+
= 5, 5.10−3 ∆E = 22 mV .
= 4 V ; 2)
E
E0
i1 − i2
i1 − i2
R
VI. RV =
= 10 M Ω .
U 1 /U 2 − 1
b ( E1 − E 2 )
VII. i =
.
2ab + R ( a + b )
cE − ( a + c )e
cE
cE
VIII. 1) i =
; 2) e <
; 3) e =
.
(
( a + b )c + ab
a +c
2 a + c)
R −R
2R R2
v′
vs′′ ⎛ R1 − R ⎞⎟4
⎛ R − R ⎞⎟2
IX. 1) R2 = 2 1 2 ; R1 > R ; 2) H = 1
; 4) s = ⎜⎜ 1
;
5)
.
= ⎜⎜
⎝ R1 + R ⎠⎟⎟
⎝ R1 + R ⎠⎟⎟
R1 + R
ve
ve
R1 − R
E + cI
E − dI
+
X. i =
.
a +c
b +d
E
XI. 1) r ′ = πr ; 2) I AB =
; 3) la bissectrice de COA est un axe de symétrie, celle de DOA est un axe
( 4 + π )r
2E
; 4) la droite CD est une axe de
d’antisymétrie et O est un centre d’antisymétrie ; I DB = 0 ; I AD =
( π + 4 )r
symétrie, la droite AB est un axe d’antisymétrie et O est une centre
2E
4E
I DO =
d’antisymétrie ; I AD =
.
( π + 4 )r
( π + 4 )r
R2e
XII. 1.a) u = R2i =
; 1.b) u = 0 ; 1.c) u = e ; 2.a) Il y a une résistance finie entre A et C ; 2.b) Les
r + R1 + R2
bornes B et C sont isolées ; 2.c) Les bornes A et B sont isolées ; 2.d) défaut du type 1 : R = 300000 Ω .
V. 1) E = E 0
DS : exercices de courant continu, page 3
Corrigé
i
j
I.
1) Loi des nœuds : η = i + j
Loi des mailles e = Rj
D’où :
e
e2
i =η−
P = ei = e η −
R
R
dP
2e
Rη
=η−
> 0 si e <
de
R
2
Rη
P est maximum quand e =
2
e
η−
ei
R . Il vaut 1/ 2 quand P est maximum.
2) Le rendement est
=
eη
η
η
R
e
II.
1)
• Résolution en prenant pour inconnues les courants
ri
Maille de droite : ri − aj = 0 ⇒ j =
a
b
C
E
r
Maille de gauche : b(i + j ) + aj = E ⇒ i[b + (a + b) ] = E
a
aE
i =
= 4A
ab + (a + b)r
a
r
j
• Résolution en prenant pour inconnues les potentiels
Le potentiel étant en bas 0 et en haut E , appliquons le théorème de Millman au point C :
E
V
E
b
VC =
⇒i = C =
1 1 1
br
r
+ +
b +r +
a b r
a
2) Prenons comme inconnues les courants, avec la même notation qu’à la question précédente.
Maille de droite : ri − aj = −e
Maille de gauche : b(i + j ) + aj = E ⇒ bi + (a + b)j = E
Multiplions la première équation par a + b , la seconde par a et ajoutons membre à membre :
aE − (a + b)e
[r (a + b) + ab ]i = −(a + b)e + aE ⇒ i =
r (a + b) + ab
i+j
On vérifie cette formule en observant qu’elle redonne celle de la question précédente si e = 0 .
aE
= 10 V
3) i = 0 si e =
a +b
4) Au début de la charge, e = 0 et i = 4 A .
Au cours de la charge, e augmente et i diminue.
A la fin, l’évolution s’arrête alors que e = 10 V et i = 0 .
L’énoncé ne permet pas de déterminer la durée, finie ou infinie, de la charge.
Autre calcul du courant de charge
Le circuit équivaut aux circuits suivants :
i
E
b
b
i
e
a
r
E
b
a &b
e
r
DS : exercices de courant continu, page 4
e
a &b
(a & b)E
b
r
i
aE
(a & b)E
−e
−e
aE − (a + b)e
a
b
D’où i =
= +b
=
ab
(a + b)r + ab
r + (a & b)
r+
a +b
III. Mesure d’une résistance.
1. Pour minimiser l’influence du voltmètre, il faut qu’il ait une résistance beaucoup plus grande que R. Cela n’est
possible que si R n’est pas trop grand.
2. Le théorème de Millman donne :
V =e
V =U
e
R1
r + R1
e
Re
U =
=
=
1
1
r + R1
r + R1 + R
R
V
+
1+
e,r
r + R1
R
R
V =0
e
r + R1
e
.
U =
=
1
1
1
⎛1
⎞
⎜⎜ + 1 ⎟⎟
+ +
1
(
)
r
R
+
+
1 ⎜
r + R1
R RV
⎝ R RV ⎠⎟
U
3. Le montage est sensible si dU est grand pour dR petit.
u ′
u ′v − uv ′
4. En utilisant
=
v
v2
r + R1 + R − R
r + R1
dU
s =
=
e.
2 e =
dR
(r + R1 + R)
(r + R1 + R)2
( )
u ′
u ′v 2 − u 2vv ′
u ′v − 2uv ′
=
=
2
4
v
v
v3
R − (r + R1 )
(r + R1 + R) − 2(r + R1 )
ds
=
e=
e
dR1
(r + R1 + R)3
(r + R1 + R)3
5. En utilisant
( )
ds
> 0 ⇔ R1 < R − r
dR1
Si R < r , l’optimum est R1 = 0 (la fonction est décroissante sur tout son intervalle de définition) ;
si R > r , l’optimum est R1 = R − r .
On peut aussi faire le même calcul en utilisant la dérivée logarithmique :
R − r − R1
d ln s
1
2
=
−
=
> 0 si R1 < R − r
(r + R + R1 )2
dR1
r + R1 r + R + R1
IV.
1) La puissance reçue par D est P = ui = u
E −u
qui est maximum pour u = E / 2 . Cela se montre de plusieurs
R
façons :
• Le maximum du produit de deux nombres u et E − u de somme E déterminée a lieu quand ces nombres sont
égaux.
dP
E − 2u dP
E
=
> 0 si u < .
•
du
R
du
2
• Le graphe de P (u ) a la forme d’une parabole ; comme P (0) = P (E ) = 0 , P (u ) est maximum en u = E / 2 .
E −e
E −e
Re + rE
E
=
= . Donc la condition est 2Re + rE = RE . Alors
u = e + ri = e + r
2) i =
R +r
R +r
R +r
2
2
E
P =
, qui ne dépend pas de e, r .
4R
e(E − e)
e(E − e)
3) P = ei =
qui est une fonction décroissante de r , donc maximum pour r = 0 . Alors P =
R +r
R
est maximum pour e = E / 2 . Donc la condition est r = 0 , e = E / 2 .
V.
1) Soit R le total de la résistance extérieure, des résistances des deux générateurs et de la résistance de
l’ampèremètre (qui est la même dans les deux montages, puisque l’ampèremètre est sur le même calibre).
DS : exercices de courant continu, page 5
E + E 0 = Ri1
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
E − E 0 = Ri2
⎪
⎩
soit en prenant le rapport membre à membre :
E + E0
i
i + i2
= 1 ⇒ E = E0 1
= 4V
E − E0
i2
i1 − i2
2) Différentions :
ln E = ln E 0 + ln ( i1 + i2 ) − ln ( i1 − i2 )
dE
dE 0 d ( i1 + i2 ) d ( i1 − i2 ) dE 0
⎡ 1
⎡ 1
1 ⎤
1 ⎤
=
+
−
=
+ di1 ⎢
−
+
⎥ + di2 ⎢
⎥
E
E0
i1 + i2
i1 − i2
E0
i1 − i2 ⎥⎦
⎢⎣ i1 + i2 i1 − i2 ⎥⎦
⎢⎣ i1 + i2
En tenant compte de ce que les erreurs sur i1 et i2 peuvent être de sens contraires :
∆E
∆E 0
1
1
⎡ 1
1 ⎤
∆E 0
2∆i1
10−3
2 × 0, 005
=
+ ∆i1
−
+ ∆i2 ⎢
+
+
=
+
= 5, 5.10−3
⎥=
2
3−1
E
E0
i1 + i2 i1 − i2
i1 − i2 ⎦⎥
E0
i1 − i2
⎣⎢ i1 + i2
∆E = 4 × 5, 5.10−3 V = 22 mV
VI.
Quand l’interrupteur est fermé, E = U 1 .
Quand l’interrupteur est ouvert, le même courant i traverse R et V (montage diviseur de tension) :
E
U
R
i =
= 2 ⇒ RV =
= 10 M Ω
R + RV
RV
U 1 /U 2 − 1
VII.
Résolution en prenant comme inconnues les courants.
Notons les courants comme l’indique la figure. La loi de nœuds est
satisfaite. La loi de mailles s’écrit :
E + bi
aj + b ( j − i ) = E1 ⇒ j = 1
a +b
E − bi
ak + b ( k + i ) = E2 ⇒ k = 2
a +b
Ri + b ( k + i ) − b ( j − i ) = 0
i
j
a
k
R
b
b
a
j–i
k+i
E1
E2
⎡ E2 − bi E1 + bi ⎤
−
⎥=0
a +b ⎦
⎣ a +b
b ( E1 − E2 )
b ( E1 − E 2 )
=
i =
2
2ab + R (a + b )
( R + 2b )( a + b ) − 2b
( R + 2b ) i + b ⎢
V =u
Résolution en prenant comme inconnues les potentiels.
Notons les potentiels comme l’indique la figure et appliquons le
théorème de Millman aux deux bornes de R :
a
V = E1
b
R
V =v
b
E1
E1
v
E2
u
+
+
a
R
a
R
u =
v =
1 1
1
1 1
1
+ +
+ +
a b R
a b R
E1 − E2
v −u
+
a
R
u −v =
1 1
1
+ +
a b R
E1 − E2
bR ( E1 − E2 )
a
=
u −v =
1 1
2
2ab + R (a + b )
+ +
a b R
u −v
b ( E1 − E2 )
=
i =
2ab + R ( a + b )
R
E2
V =0
DS : exercices de courant continu, page 6
a
V = E2
Résolution par équivalences entre modèle de
Thévenin et modèle de Norton.
Remplaçons les groupements { E1, a } et { E2 , a } par
leurs modèles de Norton, groupons les résistances en
parallèle et enfin remplaçons les deux groupements
formés d’une source de courant et d’une résistance en
parallèle par leurs modèles de Thévenin ; ceci montre
l’équivalence des quatre montages dessinés à droite. Le
dernier montre que
b ( E1 − E 2 )
b ( E1 − E 2 )
a +b
=
.
i =
2ab
R ( a + b ) + 2ab
R+
a +b
i
a
R
b
a
b
E2
E1
i
a
E1/a
R
b
a
b
E2/a
i
R
ab/(a+b)
ab/(a+b)
E1/a
i
E2/a
R
ab/(a+b) ab/(a+b)
bE1/(a+b)
bE2/(a+b)
VIII.
1) Cette question peut être résolue :
• en prenant comme inconnue u le potentiel du nœud d’en haut et en appliquant le
V =u
E e
+
b = c (bE + ae ) , d’où
a
b
théorème de Millman : u = a
c
1 1 1
ab + bc + ca
V =E
i V =e
+ +
a b c
E
e
u −e
c (bE + ae )
cE − ( a + c )e
=
− e /b =
i =
;
V =0
b
ab + bc + ca
ab + bc + ca
• en remplaçant la branche de gauche par son modèle de Norton, en groupant sa résistance avec la branche de droite
et en revenant au modèle de Thévenin :
(
)
E
a
d’où i =
b
a
e
i
c
E
a
b
ac
i
a +c e
cE
a +c
ac
b
a +c
i
e
( acE+ c − e )/ ( a ac+ c + b ) = cEab −+ bca ++ ccae .
(
)
• ou en prenant comme inconnues les courants, comme ci-contre et en appliquant la loi des mailles :
E − e = a ( i + j ) + bi e = −bi + cj
i+j
e + bi
a (e + bi )
cE − ( a + c )e
E − e = (a + b )i +
i =
d’où j =
.
( a + b )c + ab
c
c
2) P = ei > 0 ⇒ 0 < e <
3) P = ei =
pour e =
j
cE
.
a +c
cEe − ( a + c )e 2
dP
cE − 2 (a + c )e
⇒
=
( a + b )c + ab
( a + b )c + ab
de
dP
cE
> 0 ⇒e <
donc P est maximum
de
2 (a + c )
cE
.
2 (a + c )
DS : exercices de courant continu, page 7
IX.
1) R1 & ( R2 + ( R1 & R ) ) = R ⇒
R2 +
R1R
R1R
=
R1 + R
R1 − R
R2 =
1
+
R1
1
R1R
R2 +
R1 + R
=
1
R
1
R1R
R2 +
R1 + R
=
1
1
R −R
−
= 1
R R1
R1R
2R1R2
.
R12 − R2
Comme une résistance est positive, ce n’est possible que si R1 > R .
2) Le même courant i traverse successivement R2 et R1 & R :
⎛ 1
⎛
⎛ 1
v − vs
1⎞
1 ⎞⎞
i = e
= vs ⎜⎜
+ ⎟⎟⎟ ⇒ ve = vs ⎜⎜ 1 + R2 ⎜⎜
+ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟
⎝
⎠
⎝
⎝
R2
R1
R
R1
R ⎠⎠
ve
v
1
R2
⇒ s =
Cette relation s’obtient aussi par le théorème de Millman : vs =
1
1
1
⎛1
1 ⎞⎟
ve
+ +
1 + R2 ⎜⎜ +
R2
R R1
⎝ R R1 ⎠⎟
1
1
1
R −R
=
=
= 1
2
2
R
1 ⎞⎟
⎛ 1
R
2
1
1
R
R
⎛
⎞
1 +R
1 + R2 ⎜⎜
+ ⎟ 1+ 2 1 2⎜
+ ⎟⎟ 1 + R − R
⎜
⎝ R1
R⎠
⎝
⎠
R
R
1
R1 − R
1
3) La résistance R1 / 2 équivaut à deux résistances R1 disposées en parallèle. le montage est constitué de l’ensemble
H =
de la résistance R et du quadripôle en Π de la question 1, équivalent à une résistance R , le tout précédé d’un autre
quadripôle en Π, qui est équivalent avec ce qui le suit à une résistance R .
v
R − R vs′
R −R
,
, d’où
4) Si vs est la tension entre les deux quadripôles en Π, d’après la question 2, s = 1
= 1
ve
R1 + R vs
R1 + R
vs′
⎛ R − R ⎞⎟2
.
= ⎜⎜ 1
⎝ R1 + R ⎠⎟⎟
ve
5) A présent, on a interposé quatre quadripôles en Π ; chacun, placé devant une résistance R , donne à l’ensemble la
même résistance R et multiplie la tension par H ; d’où :
vs′′ ⎛ R1 − R ⎞⎟4
= ⎜⎜
.
⎝ R1 + R ⎠⎟⎟
ve
X.
Loi des mailles pour ( E , a, c ) et ( E , b, d ) :
E + cI
E = aj + c ( j − I ) ⇒ j =
a +c
E − dI
E = bk + d ( k + I ) ⇒ k =
b +d
E + cI
E − dI
Loi des nœuds : j + k = i =
.
+
a +c
b +d
j
i
E
j–I
I+k
c
XI.
k
b
a
I
d
1) Si R est le rayon, les longueurs du diamètre et du demi cercle sont 2R et πr . Comme la résistance est
r′
πR
proportionnelle à la longueur,
=
⇒ r ′ = πr .
2r
2R
2) Une carte des potentiels pour un montage équivalent est représentée ci-contre : l’origine des deux
E
flèches est au potentiel nul, tandis que leurs extrémités sont aux potentiels E et u . Le théorème de
πr
E
u
E
πr
.
Millman donne u = V ( A ) − V ( B ) =
⇒ I AB =
=
2r
1
1
1
( 4 + π )r
2r
+
+
πr
πr
2r
πr
3) La bissectrice de COA est un axe de symétrie. Celle de DOA est un axe d’antisymétrie. O est un
centre d’antisymétrie.
u
La première symétrie montre que V ( B ) = V ( D ) , donc que I DB = 0 , et de même I AC = 0 .
π
2E
+ 2 rI ⇒ I AD =
La loi des mailles appliquée à la maille ADOA donne : E =
.
( π + 4 )r
2
(
)
DS : exercices de courant continu, page 8
4) La droite CD est une axe de symétrie, la droite AB est un axe d’antisymétrie et O est une centre
d’antisymétrie.
Les points A, O et B, situés sur un axe d’antisymétrie sont à un potentiel nul, donc la branche AB
est parcourue par un courant nul et peut être supprimée sans perturber le montage. La carte des
courants est celle ci-contre.
La loi des mailles appliquée à la maille ADOCA donne :
2E
4E
2E = πri + 2r .2i ⇒ I AD =
I DO =
.
( π + 4 )r
( π + 4 )r
XII.
1.a) e = ( r + R1 + R2 ) i
u = R2 i =
R2e
r + R1 + R2
i
i
2i
A
2, 2 V
R
1.b) u = 0
0, 2 V
1.c) u = e
2.a) Il y a donc une résistance finie entre A et C.
B
C
2.b) Les bornes B et C sont isolées.
RV = 30000 Ω
2.c) Les bornes A et B sont isolées.
2.d) On déduit des trois essais qu’il y a un défaut du type 1 : il y a un défaut d’isolement, qui se traduit par la
résistance R . Le montage lors de l’essai a) est un diviseur de tension :
i =
u
e
=
⇒ R = RV
RV
R + RV
( ue − 1 ) = 30000 ⎛⎜⎜⎝ 2,0, 22 − 1 ⎞⎠⎟⎟⎟ = 300000 Ω .
DS : exercices de courant continu, page 9