Exercices de courant continu - Jean

Exercices de courant continu
I.
1) Déterminer e pour que la puissance reçue par la source de tension de fem e soit
maximum. R e
η
2) Quel est alors le rendement énergétique, défini comme le rapport de l’énergie reçue
par la source de tension à l’énergie fournie par la source de courant ?
II.
E e,r
a = 3 Ω
b
= 3
Ω
Un générateur de fem E = 20 V et de résistance interne nulle sert à recharger une
batterie électrochimique de fem e et de résistance interne r = 1 Ω .
1) Au début, la batterie est déchargée : e = 0 . Quel courant i traverse la batterie ?
Précisez son sens.
2) Lorsque e n'est pas nul, exprimer i en fonction de . ,,,,Eeabr
3) Pour quelle valeur de e le courant i s'annule-t-il ?
4) Décrire qualitativement l'évolution de e et i au cours du temps.
III53. Mesure d’une résistance.
On désire mesurer la résistance R à l’aide du montage ci-contre, où le
voltmètre V est équivalent à une résistance Rv.
U
V
R
R1
e,r
1) Comment faut-il choisir le voltmètre pour minimiser son influence ? Pour
quelle genre de résistance R cela est-il possible ?
2) Exprimer U en fonction des autres grandeurs du schéma dans les deux cas :
a) le courant dans le voltmètre est négligeable ;
b) le courant dans le voltmètre n’est pas négligeable.
3) Désormais, on suppose le courant dans le voltmètre négligeable. La sensibilité du montage est s = dU/dR. Justifier
cette définition.
4) Calculer la sensibilité.
5) Comment faut-il choisir R1 pour maximaliser la sensibilité ?
IV41.
RD
E
1) Une alimentation de résistance et de fem R
E
donnés débite dans un dipôle D. Pour quelle
tension u à ses bornes le dipôle D reçoit-il la puissance maximum ?
2) D a une caractéristique rectiligne ; sa résistance est
r
et sa fem, qui s’oppose au passage du
courant, est e. A quelle(s) condition(s) sur
r
e, la puissance reçue par D est-elle maximale ?
3) A quelle(s) condition(s) sur
r
e, la puissance reçue par la fem est-elle maximale ? e
V30.
1) Pour mesurer la fem
E
d’un générateur à caractéristique rectiligne, on réalise une boucle avec ce générateur, un
autre générateur à caractéristique rectiligne de fem connue V2
0
=
E inférieure à E, une résistance et un ampèremètre
qui mesure, selon le sens de branchement du générateur de fem inconnue, un courant mA3
1
=
i ou , toujours
dans le même sens et en utilisant le même calibre. Calculer mA1
2=i
E
.
2) On admet que les erreurs commises par l’ampèremètre lors des deux mesures sont indépendantes, que l’incertitude
sur chaque mesure est et que l’incertitude sur est mA005,0=∆i0
EmV1
0
=
∆
E. Quelle est l’incertitude sur
E
?
V
R
E
VI54.
1MR=Ω. Quand l’interrupteur est fermé, le voltmètre V, qui équivaut à une résistance
, indique ; quand il est ouvert, V indique . Calculer .
V
R111VU=210 VU=V R
DS : exercices de courant continu, page 1
VII80.
Exprimer le courant i en fonction de .
12
,, , ,abRE E
VIII62.
Soit , a, b et c quatre constantes positives. E
1) Exprimer le courant i en fonction de , e, a, b et c. E
2) A quelle(s) condition(s) sur e la source de tension de fem e fonctionne en récepteur ?
3) Pour quelle valeur dee la source de tension de fem e reçoit la puissance la plus grande ?
b b
E2
a
i
a
R
i
E e
a b c
E1

IX21. Ligne de quadripôles en Π .
1
R 1
R
2
R
R
A
B s
v
1) Exprimer en fonction de et pour que le groupement de la première
figure ait entre A et B la résistance R. Dans la suite, possède cette valeur. A
quelle condition cela est-il possible ?
2
R1 R R
2
Re
v
2) Exprimer alors le rapport des tensions à la sortie et à l’entrée . /
se
Hvv=
3) Montrer que la résistance entre C et D du groupement de la seconde
figure est égale à R.
1
R
2
R
R
1
R
2
R
C
D1/2R s
v′
e
v
4) Exprimer en fonction de et R le rapport des tensions à la sortie
et à l’entrée .
1
R
/
se
Hvv
′′
=
5) Que vaut pour la troisième
figure ?
/
se
Hvv
′′ ′′
=
1/2R
2
R
1/2R
2
R
1
R1/2R
2
R
R
2
R
1
R s
v′′
e
v
E i b
a
I
c d
X43.
Exprimer i en fonction de a, b, c, d ,E et I dans la figure ci-contre.
XI41. d’après ENAC pilotes 1999.
1) A l'aide d'un fil métallique homogène de section constante, on réalise un circuit
constitué de deux conducteurs (figure 4) :
DS : exercices de courant continu, page 2
– l'un a la forme d'un cercle de centre O ;
– l'autre est un diamètre AB du cercle.
Le conducteur diamétral possède une résistance 2. Dans toute la suite, on conservera
le nombre π dans les expressions des différents courants et résistances à calculer.
Calculer la résistance r d’un demi cercle.
r
′
2) On ajoute sur l’un des demicercles AB, comme
l'indique la figure 5, une source de tension continue de f.é.m. E. Calculer l'intensité IAB
du courant qui circule dans le conducteur diamétral
AB.
3) On considère le circuit de la figure 6 obtenu en
ajoutant à celui de la figure 4 :
– un autre conducteur diamétral CD perpendiculaire à
AB et relié à lui en 0, fait du même fil métallique ;
– deux sources de tension continue de f.é.m. E (figure
6). Quelles sont les opérations de symétrie ou d’antisymétrie qui laissent invariant ce
montage ? Calculer les intensités IAD = I et IDB qui circulent respectivement dans les
arcs AD et DB.
4) On ajoute cette fois ci quatre sources de tension identiques et non plus deux
(figure 7). Quelles sont les opérations de symétrie ou d’antisymétrie qui laissent
invariant ce montage ? Calculer les intensités des courants IAD et ID0 .
XII57. Recherche d’un défaut d’isolement.
1) MONTAGE DIVISEUR de TENSION.
Une pile de fem e et de résistance alimente deux résistances et disposées en série. r1
R2 R
a) Exprimer la tension u = V(A) – V(B) aux bornes de R2 en fonction de e, r, R1 et R2.
b) Que devient u si R1 est infini et R2 fini ?
c) Que devient u si R1 est fini et R2 infini ?
2) RECHERCHE d'un DEFAUT d'ISOLEMENT.
Un appareil comporte trois réseaux formés de fils de très faibles résistances, qu'on peut
schématiser par trois points A, B et C. Si l'appareil est en bon état, ces trois points sont isolés. Mais il peur y avoir aussi
un défaut d'isolement, que l'on peut schématiser par une résistance finie située entre deux de ces points :
e,r
R1A
R2B

DS : exercices de courant continu, page 3
A
B C
A
B C
défaut 1
A
B C
défaut 2 B
défaut 3 C
appareil en bon état
A
Pour rechercher s'il existe un ou plusieurs de ces défauts d'isolement, on branche entre deux des points A, B et C un
générateur de force électromotrice e = 2,2 volts et de résistance interne r = 0,1 ohm et un voltmètre de résistance RV =
30 000 ohms et on lit la tension u affichée par le voltmètre :
a) si le générateur est branché entre A et B, tandis que le voltmètre l’est entre B et C, alors u = 0,2 volt ; que peut-on
en déduire sur la position des défauts d'isolement possibles ?
b) si le générateur est branché entre A et B, tandis que le voltmètre l'est entre A et C, alors u = 0 ; que peut-on en
déduire sur la position des défauts d'isolement possibles ?
c) si le générateur est branché entre B et C, tandis que le voltmètre l'est entre A et C, alors u = 0 ; que peut-on en
déduire sur la position des défauts d'isolement possibles ?
d) En déduire où se trouve le (ou les) défaut d'isolement et sa (ou ses) valeur.
Réponses
I. 1) ; 2) 0,5. /2eR=η
II. 1) 4A
()
aE
iab a b r =
++ = mesuré en sens contraire de e ; 2) ()
()
aE a b e
ira b ab
−+
=++ ; 3) 10 V
aE
eab ==
+.
III. 1) possible si R n’est pas trop grand ; 2)
V
R>> R
1
Re
UrR R =++
ou
1
11
1( )
V
e
U
rR
RR
=⎛⎞
⎟
⎜
++ + ⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
;
4) 1
2
1
()
rR
se
rR R
+
=++ r< ; 5) si R, l’optimum est , sinon .
10R=1
RRr=−
IV. 1) ; 2) 2 ; 3) . /2uE=Re rE RE+= 0, /2reE==
V. 1) 12
012
4V
ii
EE
ii
+
==
− ; 2) 01 3
012
25, 5.10 22 mV EE i E
EEii
−
∆∆ ∆
=+ = ∆=
−.
VI.
12
10 M
/1
V
R
RUU ==Ω
−.
VII.
()
()
12
2
bE E
iab R a b
−
=++
.
VIII. 1)
()
()
cE a c e
iabcab
−+
=++
; 2) cE
eac <+ ; 3)
()
2
cE
eac =+.
IX. 1) 2
1
222
1
2RR
RRR =− ; ; 2)
1
RR>1
1
RR
HRR
−
=+ ; 4) 2
1
1
s
e
vRR
vRR
′⎛−⎞
⎟
⎜
=⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
+ ; 5) 4
1
1
s
e
vRR
vRR
′′ ⎛−⎞
⎟
⎜
=⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
+.
X. EcI EdI
iac bd
+−
=+
++
.
XI. 1) rr ; 2)
′=π
()
4
AB
E
Ir =+π ; 3) la bissectrice de COA est un axe de symétrie, celle de DOA est un axe
d’antisymétrie et O est un centre d’antisymétrie ; ;
0
DB
I=
()
2
4
AD
E
Ir =π+ ; 4) la droite CD est une axe de
symétrie, la droite AB est un axe d’antisymétrie et O est une centre
d’antisymétrie ;
() ()
24
44
AD DO
EE
II
rr
==
π+π+.
XII. 1.a) 2
212
Re
uRirR R ==
++ ; 1.b) ; 1.c) u ; 2.a) Il y a une résistance finie entre A et C ; 2.b) Les
bornes B et C sont isolées ; 2.c) Les bornes A et B sont isolées ; 2.d) défaut du type 1 : .
0u=e=
300000R=Ω

Corrigé
η
ji
R e
I.
1) Loi des nœuds : ijη=+
Loi des mailles eR j=
D’où :
2
20 si 2
ee
iPeie
RR
dP e R
e
de R
ηη
η
η
=−==−
=−><
P est maximum quand 2
R
eη =
2) Le rendement est
e
ei R
e
η
ηη
−
=. Il vaut 1/ quand est maximum. 2P
C b
a
E
j i
ij+
r
II.
1)
• Résolution en prenant pour inconnues les courants
Maille de droite : 0ri
ri aj j a −=⇒=
Maille de gauche : () [( )]
r
bi j aj E ib a b E
a
++ = ⇒++ =
4A
()
aE
iab a b r ==
++
• Résolution en prenant pour inconnues les potentiels
Le potentiel étant en bas 0 et en haut , appliquons le théorème de Millman au point C : E
111
C
C
E
VE
b
Vi
br
rbr
abr a
=⇒==
++ ++
2) Prenons comme inconnues les courants, avec la même notation qu’à la question précédente.
Maille de droite : ri aj e−=−
Maille de gauche : () ( )bij ajE biabjE++ = ⇒++ =
Multiplions la première équation par a, la seconde par a et ajoutons membre à membre : b+
()
[( ) ] ( ) ()
aE a b e
ra b abi a be aE i ra b ab
−+
++ =−++ ⇒=++
On vérifie cette formule en observant qu’elle redonne celle de la question précédente si . 0e=
3) si 0i=10 V
aE
eab ==
+
4) Au début de la charge, et . 0e=4Ai=
Au cours de la charge, e augmente et i diminue.
A la fin, l’évolution s’arrête alors que et . 10 Ve=0i=
L’énoncé ne permet pas de déterminer la durée, finie ou infinie, de la charge.
Autre calcul du courant de charge
Le circuit équivaut aux circuits suivants :
i i
r
b a
r
()abE
b
&
ab&e
ab&e
r
e
E
b E b
DS : exercices de courant continu, page 4

D’où
()
()
() ( )
aE
abE e
eaE a b e
ab
b
iab
rab abrab
rab
−
−−+
+
===
++
++
&
&+
III. Mesure d’une résistance.
1. Pour minimiser l’influence du voltmètre, il faut qu’il ait une résistance beaucoup plus grande que R. Cela n’est
possible que si R n’est pas trop grand.
2. Le théorème de Millman donne :
U
e,r
R1
R V
0V=
Ve=VU=
1
11
1
11
1
e
rR eRe
UrR rR R
rR R R
+
===
+++
++
+
1
1
1
111 11
1( )
VV
e
rR e
U
rR
rR RR RR
+
==
⎛⎞
⎟
⎜
++ ++ + ⎟
⎜⎟
+⎟
⎜
⎝⎠
.
3. Le montage est sensible si dU est grand pour dR petit.
4. En utilisant
()
2
uuvuv
vv
′′
′−
=
11
22
11
()()
rR RR rR
dU
se
dR r R R r R R
++−+
== =
++ ++ e
.
5. En utilisant
()
2
24 3
22uuvuvvuvuv
vv v
′′′′
′−−
==
11
33
11 1
1
1
()2()(
()(
0
rR R rR R rR
ds ee
dR r R R r R R
ds RRr
dR
++−+−+
==
++ ++
>⇔<−
1
)
)
=
Si R, l’optimum est R (la fonction est décroissante sur tout son intervalle de définition) ; r<10
si R, l’optimum est . r>1 RRr=−
On peut aussi faire le même calcul en utilisant la dérivée logarithmique :
1
2
11 1 1
ln 1 2 0
()
RrR
ds
dR rR rRR rRR
−−
=−=>
+++ ++ si RR
1r<−
IV.
1) La puissance reçue par D est Eu
Pu qui est maximum pour uE. Cela se montre de plusieurs
façons :
iu
R
−
== =/2
• Le maximum du produit de deux nombres u et de somme E déterminée a lieu quand ces nombres sont
égaux. Eu−
• 20 si 2
dP E u dP E
u
du R du
−
=><
E== =
.
• Le graphe de Pu a la forme d’une parabole ; comme PP , Pu est maximum en uE. () (0) ( ) 0 () /2
2) 2
Ee Ee RerE E
iuerier
Rr Rr Rr
−−+
==+=+=
++
=
+
. Donc la condition est . Alors 2Re rE RE+=
2
4
E
PR =, qui ne dépend pas de er. ,
3) (eE e
Pei Rr
−
== +
)= qui est une fonction décroissante de , donc maximum pour r. Alors r0()eE e
P
est maximum pour eE. Donc la condition est .
R
−
=
=/2 0, /2reE==
V.
1) Soit R le total de la résistance extérieure, des résistances des deux générateurs et de la résistance de
l’ampèremètre (qui est la même dans les deux montages, puisque l’ampèremètre est sur le même calibre).
DS : exercices de courant continu, page 5