Cours défauts et statistique

Initiation par des défauts
et
traitements statistiques
Frank Wagner
et les auteurs de tous
les articles cités
Formation CNRS 2013
Introduction
Comment extraire des informations sur le mécanisme
d’endommagement des mesures en fonction de la
fluence ?
D(F)
P(F)
Formation CNRS 2013
Introduction
On propose un modèle physique.
On calcule P(F) ou D(F) en se basant sur ce modèle.
On compare la courbe (modèle) et les mesures.
Questions ouvertes:
• Intervalles de confiance
(incertitudes) pour P ?
• Intervalles de confiance
(incertitudes) pour F ?
• Incertitudes des paramètres
de fit du modèle ?
• Modèle unique ?
Formation CNRS 2013
Plan de la présentation
Introduction
Le modèle de base (modèle de présence)
- Définitions et exemples
- Variantes du modèle
Incertitudes
- En fluence, en probabilité, en paramètres du modèle
Vrai faisceaux et faisceaux Gaussiens
- Comparaison et caractérisation
Résumé
Formation CNRS 2013
Les précurseurs d’endommagement
Les origines du postulat
Champ optique au seuil << Champ pour le claquage diélectrique *
Morphologie près du seuil dans les couches minces
[2,6]
La pente des courbes p(F) dépend de la taille du faisceau laser.
[3]
[4]
L’endommagement ns est
causé par des précurseurs
d’endommagement
nanométriques présents
dans le matériau.
KTP
* Introduction de [1] et références
Formation CNRS 2013
Les précurseurs d’endommagement
Modèles de présence de précurseurs
Idée : Un endommagement apparaît de manière déterministe si un
précurseur est touché par une fluence au-dessus de son seuil.
P = Probabilité qu’un
précurseur soit irradié
au-dessus de son seuil
Formation CNRS 2013
[3]
Probabilité de rencontre I
Expression générale:
 F

P( F ) = 1 − exp − ∫ g (T ) V (T / F ) dT 
 0

[5]
V(T/F) : le volume qui est irradié à une fluence plus haute que T si
la fluence crête du faisceau est de F.
(Volume de la zone de haute fluence)
Expressions analytiques connus pour le faisceau Gaussien.
Surface
[6]
Volume infini
[6]
Volume restreint
V(T/F) est défini par les conditions de la mesure.
Formation CNRS 2013
[7]
Probabilité de rencontre II
Expression générale:
 F

P( F ) = 1 − exp − ∫ g (T ) V (T / F ) dT 
 0

g(T) : la densité volumique des défauts qui causent un dommage
entre T et T+dT
Donc la densité volumique des dommages D (que l’on peut mesurer)
est obtenue par :
F
D( F ) = ∫ g (T ) dT
0
g(T) et D(F) sont définis par le type de précurseurs et la
physique de l’interaction lumière - matière.
Formation CNRS 2013
Probabilité de rencontre III
g(T) : la densité volumique des défauts qui causent un dommage entre T et T+dT
EXEMPLE: MODELE THERMIQUE SUR INCLUSIONS ABSORBANTES
Pour une fluence près du seuil…
les toutes petites particules ne cassent pas parce
qu'elles absorbent trop peu le lumière.
les très grandes particules ne cassent pas parce
qu'elles ne montent pas assez haut en température
g(F)
Plus qu’on augmente la fluence, plus la fourchette de tailles de particules
qui causent un endommagement s’élargit.
[8]
Formation CNRS 2013
Modèles de populations de précurseurs
Plusieurs distributions de seuil g(T) sont utilisés:
Gaussien
Dégénéré (Dirac)
g (T ) = d δ (T − T0 )
3 param.:
d, 'T0', ∆T
2 param.:
d, T0
[3]
Porteus, Seitel
[3]
3 param.:
d, T0, p
[5]
Loi de puissance
2 param.:
α, β
[9, 10]
g (T ) = αβ F β −1
Formation CNRS 2013
Probabilité de rencontre
 F

Expression générale: P ( F ) = 1 − exp − ∫ g (T ) V (T / F ) dT 
 0

À F fixée
T
F
Formation CNRS 2013
Problèmes des modèles de
populations de précurseurs
Probabilité de
dommage
Probabilité de
dommage
Mauvaise sélectivité par rapport g(T)
Fluence
Fluence
Peu de chances d'identifier les processus physiques
par ces modèles (à partir d’une seule courbe).
Formation CNRS 2013
Un début de solution
En effectuant des mesures avec différents tailles de faisceau on arrive à
augmenter la dynamique des mesures. Ci-dessous un exemple où le fait
d’avoir deux mesures avec deux tailles de faisceau différentes permet
d’identifier le bon modèle
Modèle
Dirac
Fit fait sur
données grand
faisceau
Modèle
puiss.
Modèle
Gauss.
Mêmes
paramètres
appliqués aux
données petit
faisceau
Malgré le fait que le
modèle de puiss. n’a que
deux paramètres il décrit
le mieux les mesures
En effet des mesures en densité de dommages (prochaine page) ont montré
que la silice en surface à 355 nm s’approche d’une loi de puissance.
Formation CNRS 2013
Mesures de D(F)
g(F)
KDP
(volume)
Densités de dommages observés
Le modèle thermique
reproduit la forme de la
mesure
[8]
F
∫ g(F
C
) dFc
0
[9]
Silice
(surface)
F
[11]
Formation CNRS 2013
[12]
Plan de la présentation
Introduction
Le modèle de base (modèle de présence)
- Définitions et exemples
- Variantes du modèle
Incertitudes
- En fluence, en probabilité, en paramètres du modèle
Vrai faisceaux et faisceaux Gaussiens
- Comparaison et caractérisation
Résumé
Formation CNRS 2013
Incertitude en fluence
[11]
Dans un même montage la fluence est connu avec une
erreur standard d’environ 10%.
Formation CNRS 2013
Incertitude en probabilité
On teste n sites dont k cassent.
On veut estimer la probabilité d’endommagement p.
On veut avoir des barres d’erreur ∆p- et ∆p+ pour p, qui
correspondent à un niveau de confiance conf choisi.
D’un point de vue statistique la mesure correspond à un
tirage de n billes dans une urne. Elle est donc gouverné
par la loi binomiale
Formation CNRS 2013
Estimation de p par la méthode du
maximum de vraisemblance
On a une probabilité inconnue p de tirer une bille rouge.
La probabilité d’obtenir k billes rouges sur les n tirages est:
n k
pM ( p, n, k ) =   p (1 − p ) ( n − k )
k 
(Distribution Binominale)
Une mesure est entièrement caractérisée par n et k.
En supposant une certaine probabilité p, on calcule la
probabilité pM de mesurer la valeur expérimentale
observée.
(pM est la proba de réaliser la mesure sous hypothèse p)
On choisi l’hypothèse qui maximise pM (maximum de vraisemblance)
La meilleure hypothèse p, pest, est donné par pest = k/n
Formation CNRS 2013
Calcul des barres d’erreur
[13]
1
On peut normaliser pM tel que
∫ pMnorm dp = 1
0
n k
( n−k )
pMnorm( p, n, k ) = (n + 1)  p (1 − p )
k 
Calcul de l’intervalle
de confiance par
itération numérique
Formation CNRS 2013
Fitter des mesures de probabilité
avec un modèle
On cherche l’estimateur du paramètre α du modèle pFit(F,α).
On cherche son erreur ∆α- et ∆α+
On cherche à savoir si le modèle est adapté ou non à la
mesure. La mesure est caractérisée par les mesures ki, ni
aux fluences Fi.
Dans le meilleur des cas, le fit traverse tous les points de
mesure ki/ni. La probabilité d’obtenir cette courbe (ensemble
de mesures) est alors :
L
pMCoptimal = ∏ pM ( , ni , ki )
i =1
ki
ni
(Les mesures aux différentes fluences sont statistiquement indépendantes.)
Formation CNRS 2013
Chercher le paramètre optimal
(estimateur de α)
L
pMC (α ) = ∏ pM ( pFit ( Fi , α ), ni , ki )
i =1
Probabilité de produire la mesure (courbe) en supposant que les
probabilités d’endommagement aux fluences Fi sont données par
le modèle pFit(Fi, α).
Selon le principe de Maximum-Likelyhood le α qui
maximise pMC est la valeur cherchée αEst.
Formation CNRS 2013
[12]
Différence au fit au moindre χ2
Un fit au moindre χ2 est un fit au maximum de vraisemblance pour une
distribution normale (pas une distribution binomiale comme nous l’avons)
Max. de vraisemblance:
Min χ2:
Un fit au moindre χ2 donne des courbes légèrement trop raides, car il
suppose des incertitudes symétriques même proche de P = 0 et de P = 1.
Formation CNRS 2013
Les incertitudes des paramètres α
Le concept le plus simple pour les obtenir est la simulation Monte-Carlo.
(Bootstrapping en anglais)
1.
2.
3.
4.
5.
On fitte les données expérimentales
paramètres α
On simule des mesures en se basant sur α. (α
p(F)
ki,s)
On fitte les données simulés (ki,s / ni)
paramètres αs
On établi ainsi l’histogramme des αs
On déduit l’intervalle de confiance pour la confiance choisi.
(Pas encore implémenté chez nous)
Formation CNRS 2013
[12]
Plan de la présentation
Introduction
Le modèle de base (modèle de présence)
- Définitions et exemples
- Variantes du modèle
Incertitudes
- En fluence, en probabilité, en paramètres du modèle
Vrai faisceaux et faisceaux Gaussiens
- Comparaison et caractérisation
Résumé
Formation CNRS 2013
L’importance du profil spatial du
faisceau de test
Ce faisceau n’est pas du tout Gaussien…
10µm
20µm
10µm
Mais son volume au dessus du seuil V(T/F) peut s’approximer par celui d’un faisceau
Gaussien pour 0.33 < T/F < 0.95.
volume
surface
intervalle d'ajustement
intervalle d'ajustement
Formation CNRS 2013
Recommandations pour la
caractérisation de faisceau
On peut calculer le volume au dessus du seuil V(T/F) aussi à partir d’images de la
région focale du faisceau. Par exemple en comptant les « voxels » au dessus du
seuil. Pour obtenir une bonne précision (erreur relatif de V(T/F)), il faut aller assez
loin en z lors de la caractérisation (précision pour petit T/F) et faire des tout petits
pas près du plan focal (précision pour grand T/F).
Question ouverte: Comment le mieux considérer les fluctuations dans le profil?
Formation CNRS 2013
Plan de la présentation
Introduction
Le modèle de base (modèle de présence)
- Définitions et exemples
- Variantes du modèle
Incertitudes
- En fluence, en probabilité, en paramètres du modèle
Vrai faisceaux et faisceaux Gaussiens
- Comparaison et caractérisation
Résumé
Formation CNRS 2013
Résumé
Les modèles de présence de précurseurs qui causent un
endommagement s’ils sont irradiés au dessus de leur seuil ont permis de
comprendre la variation de P(F) avec la taille du faisceau.
Une seule courbe de P(F) permet rarement d’identifier le modèle physique
approprié. Des mesures « multi-échelle » ou des mesures en densité de
dommages donnent plus d’informations.
Pour le calcul des incertitudes sur les probabilités mesurés, il faut utiliser
la statistique binomiale. Un fit au maximum de vraisemblance avec cette
statistique permet de mettre un poids sur différents points de mesure
examiné avec des précisions différentes.
Puisque ces modèles ne dépendent que de V(T/F) la forme exacte du
faisceau n’est pas importante.
Formation CNRS 2013
Références
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
G. Duchateau, M. D. Feit et al., J. Appl. Phys. 111, 093106 (2012).
L. Gallais, J. Capoulade et al., Opt. Comm. 272, 221-226 (2007).
J. O. Porteus and S. C. Seitel, Appl. Opt. 23, 3796-3805 (1984).
F. R. Wagner, A. Hildenbrand et al., Opt. Eng. 51, 121806 (2012).
H. Krol, L. Gallais et al., Opt. Comm. 256, 184-189 (2005).
J. Y. Natoli, L. Gallais et al., Appl. Opt. 41, 3156-3166 (2002).
H. Akhouayri, personal communication (2005).
L. Gallais, J. Capoulade et al., J. Appl. Phys. 104, 053120 (2008).
C. W. Carr, M. D. Feit et al., Meas.Sci. Technol. 17, 1958-1962 (2006).
J. J. Adams, J. A. Jarboe et al., SPIE 6720, 72014-72014 (2008).
L. Lamaignere, M. Balas et al., J. Appl. Phys. 107, 023105 (2010).
T. A. Laurence, J. D. Bude et al., Opt. Express 20, 11561-11573 (2012).
A. Hildenbrand, F. R. Wagner et al., Opt. Eng. 47, 083603 (2008).
Formation CNRS 2013
Fin
i
c
r
e
M
e
r
t
o
v
pour
Formation CNRS 2013
!
n
o
i
t
atten