Comportement des Matériaux : Grandes Déformations - mms2
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Introduction Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Comportement des Matériaux : Grandes Déformations Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Mars 2013 Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification Cantournet Sabine [email protected] hyper.1 Intérêt des Grandes Def ? Introduction Quelques dommaines d’applications Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations • Les instabilités de structures Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification hyper.2 Intérêt des Grandes Def ? Introduction Quelques dommaines d’applications Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations • Les instabilités de structures • Le crash (dynamique rapide) Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification hyper.2 Intérêt des Grandes Def ? Introduction Quelques dommaines d’applications Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants • Les instabilités de structures • Le crash (dynamique rapide) • La mise en forme (emboutissage, ....) Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification hyper.2 Intérêt des Grandes Def ? Introduction Quelques dommaines d’applications Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 • Les instabilités de structures • Le crash (dynamique rapide) • La mise en forme (emboutissage, ....) • Les polymères, les tissus, les bio-matériaux, . . . Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités • ... Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification hyper.2 C’est quoi les grandes defs ? Introduction Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Points clés et difficultés : • Le choix d’une configuration pour décrire le milieu : • Référence=Lagrangien • Courante=Eulérien • Mixte=mélange des deux Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité • Plusieurs mesures de contraintes et de déformations • La notion d’objectivité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification hyper.3 Origine entropique Introduction Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants • pour un processus isotherme : (∂F )T = (∂W )T = (σ : d)T • déformation deux origines : Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 σ= ∂F ∂ = T ∂U ∂ −T T ∂S ∂ Propriétés Equations d’équilibre T Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie • relation de maxwell : Loi de comportement ∂σ ∂T =− ∂S ∂ Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles T Isotropie Incompressibilité Identification • hypotèse : si l’on a une variation de température le volume reste constant hyper.4 Origine entropique Introduction Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité • Généralités σ= ∂U ∂ ∂σ ∂T +T T ∂σ ∂T Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification • si T> Tg σ=T = −T ∂S ∂ T hyper.5 Cinématique Introduction Configuration et Transformation Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique 1 Ω0 un milieu continu dans son état initial et X la position d’un point matériel. Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité 2 Ωt le même milieu à l’instant t et x la position du même point matériel à t. Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification définition 1 on note φ(X , t) l’application (vectorielle), bijective, tq. : x = φ(X , t) φ est appelée la transformation. hyper.6 Cinématique Introduction Configuration et Transformation Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre définition 1 Thermodynamique on note φ(X , t) l’application (vectorielle), bijective, tq. : Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement x = φ(X , t) Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles φ est appelée la transformation. Isotropie Incompressibilité Identification définition 2 Localement, autour du point x on a : dx = (∇X φ(X , t)) · dX = F (X , t) · dX ∼ F est le gradient de la transformation. ∼ hyper.6 Cinématique Introduction Configuration et Transformation Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Propriétés de F ∼ Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 • Si on introduit le champ de déplacement u , Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre x = X + u (X , t) Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement on a F = ∼I + ∇X u (X , t) ∼ • Transformation infinitésimale de volume : Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification dv = detF dV0 = JdV0 ∼ hyper.6 Cinématique Introduction Composition de transformation Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations V R Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy F Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique U R Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Décomposition polaire Isotropie On défini de manière unique R , U et V tel que : ∼ ∼ ∼ Incompressibilité Identification F =V ·R =R ·U ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ R est un tenseur orthogonal qui définit la rotation. U et V sont ∼ ∼ ∼ des tenseurs de déformations pures droit et gauche. hyper.7 Cinématique Introduction Composition de transformation Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire V R Déformations Invariants Sthénique F Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre R U Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Propriétés de la décomposition polaire Généralités U et V ont les mêmes valeurs propres : λi > 0. Si on note Ni ∼ ∼ les vecteurs propres de U et ni ceux de V on a : ∼ ∼ U = ∼ 3 X i=1 λi Ni ⊗ Ni et V = ∼ 3 X Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification λi ni ⊗ ni i=1 de plus on a : ni = R Ni . Les λi sont appelés dilatations ∼ principales. hyper.8 Cinématique Introduction Déformation Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Dans la configuration de référence T 2 • C =F ·F =U est le tenseur de Cauchy-Green droit. ∼ ∼ ∼ ∼ • E = ∼ 1 ∼ 2 (C − ∼I ) le tenseur de Green-Lagrange. Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification hyper.9 Cinématique Introduction Déformation Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Dans la configuration actuelle 2 • B =F FT = V est le tenseur de Cauchy-Green gauche. ∼ ∼∼ ∼ • A = ∼ 1 − ∼ 2 (I B ∼ −1 ) le tenseur de Euler-Almansi. Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification hyper.10 Cinématique Introduction Composition de transformation Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition X1 F1 F2 Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre X Thermodynamique x Clausius Duhem Bilan d’énergie F Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Décomposition multiplicative Incompressibilité Identification On a : dx = F · dX ∼ d’ou : et dX 1 = F · dX ∼1 et dx = F · dX 1 ∼2 F =F ·F 6= F ·F ∼ ∼2 ∼1 ∼1 ∼2 hyper.11 Cinématique Introduction Composition de transformation Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants X1 F1 F2 Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 X Propriétés x Equations d’équilibre Thermodynamique F Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Décomposition multiplicative On a : dx = F · dX ∼ d’ou : et dX 1 = F · dX ∼1 Symétries Matérielles et dx = F · dX 1 ∼2 Isotropie Incompressibilité Identification F =F ·F 6= F ·F ∼ ∼2 ∼1 ∼1 ∼2 exo. Calculer E en fonction de E et E . ∼ ∼1 ∼2 hyper.11 Cinématique Introduction Composition de transformation Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire X1 F1 Déformations F2 Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 X Contraintes de Piola 2 x Propriétés Equations d’équilibre F Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Décomposition multiplicative Hyperélasticité Généralités On a : dx = F · dX ∼ d’ou : et dX 1 = F · dX ∼1 et dx = F · dX 1 ∼2 Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité F =F ·F 6= F ·F ∼ ∼2 ∼1 ∼1 ∼2 Identification exo. Calculer E en fonction de E et E . ∼ ∼1 ∼2 T E =E +F ·E ·F ∼ ∼1 ∼1 ∼2 ∼1 hyper.11 Cinématique Introduction Invariants de la déformation Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Principaux invariants Sthénique Définition "Quantité scalaire invariante par changement de base" Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 I1 (Z ) = tr(Z ) ∼ ∼ 1 2 )2 − tr(Z )) I2 (Z ) = (tr(Z ∼ ∼ ∼ 2 I3 (Z ) = det(Z ) ∼ ∼ Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités avec Z =B , C, . . . ∼ ∼ ∼ Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification remarque Il existe une infinité d’invariants (par exemple les λi sont des invariants) hyper.12 Cinématique Introduction Ce qu’il faut retenir... Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Tenseur des dilatations Tenseur des déformations Lagrangien C ,U ∼ ∼ Eulérien B ,V ∼ ∼ E ∼ A ∼ Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification hyper.13 Sthénique Introduction Contraintes Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Une définition... Contraintes de Piola 1 Le champ de contrainte traduit les efforts de cohésion interne s’exerçant à travers un élément de surface interne, virtuel. Propriétés Contraintes de Piola 2 Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie En grandes déformations • Choix de l’élément de surface (Configuration actuelle ou de référence) • Choix de la configuration des efforts (idem). Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification hyper.14 Sthénique Introduction Contraintes Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations dT Invariants dt N n Sthénique Définition Contraintes de Cauchy dS ds Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Dans la configuration actuelle (Ct ) • Soit dt le vecteur contrainte, c.a.d les efforts intérieurs à travers n ds. Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification Dans la configuration de référence (C0 ) • Soit dT le vecteur contrainte transporté, c.a.d les efforts intérieurs à travers N dS (sens physique ?). hyper.15 Sthénique Introduction Contraintes de Cauchy Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations dT Invariants dt N n Sthénique Définition Contraintes de Cauchy dS ds Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Description Eulérienne (Ct ) Généralités • On défini σ (x , t) tel que ∼ Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité dt = σ · n ds ∼ Identification • Il caractérise les efforts de cohésions, dans la configuration actuelle et qui s’exercent à travers un élément de surface déformé. hyper.16 Sthénique Introduction Contraintes de Piola Kirchhoff 1 Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire dT Déformations dt N n Invariants Sthénique Définition dS ds Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Description "Mixte" Hyperélasticité • On défini S (X , t) tel que ∼ Généralités Symétries Matérielles Isotropie · N dS dt = S ∼ Incompressibilité Identification • Il caractérise les efforts de cohésions, dans la configuration actuelle et qui s’exercent à travers un élément de surface non-déformé. • Contrainte de l’ingénieur : «simple d’accès par la mesure» hyper.17 Sthénique Introduction Contraintes de Piola Kirchhoff 2 Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire dT Déformations dt N n Invariants Sthénique Définition dS ds Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Description Lagrangienne (Ct ) • On défini Π (X , t) tel que ∼ Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie dT = Π · N dS ∼ Incompressibilité Identification • Il caractérise les efforts de cohésions, dans la configuration de référence et qui s’exercent à travers un élément de surface non-déformé. • Sens physique ? hyper.18 Sthénique Introduction Quelques propriétés Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants dT dt N Sthénique Définition n Contraintes de Cauchy dS Contraintes de Piola 1 ds Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Remarques Généralités • En petites déformations tous les tenseurs de contraintes sont équivalents. Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification Relation liant σ , S, Π ∼ ∼ ∼ T T Jσ =S ·F =F ·Π ·F ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ hyper.19 Sthénique Introduction Equations d’équilibre Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique T t Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 0 Contraintes de Piola 2 0 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Configuration actuelle • Généralités ∂Ωft surface d’application des efforts extérieurs, surface d’application des déplacements, avec : ∂Ωt = ∂Ωft ∪ ∂Ωut et ∂Ωut Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification ∂Ωft ∩ ∂Ωut = ∅ • t efforts extérieurs surfaciques dans la configuration actuelle • D un sous-domaine de Ωt et τ les efforts intérieurs sur ∂D hyper.20 Sthénique Introduction Equations d’équilibre Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique T t Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 0 Contraintes de Piola 2 0 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Configuration de référence • Généralités ∂ΩF0 surface d’application des efforts extérieurs, surface d’application des déplacements, avec : ∂Ω0 = ∂ΩF0 ∪ ∂ΩU 0 et ∂ΩU 0 Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification ∂ΩF0 ∩ ∂ΩU 0 =∅ • T efforts extérieurs surfaciques transportés dans la configuration de référence. • D0 un sous-domaine de Ω0 et ∂D0 sa frontière. hyper.20 Sthénique Introduction Equations d’équilibre Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 T Contraintes de Piola 2 t Propriétés Equations d’équilibre 0 Thermodynamique 0 Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Equation bilan Incompressibilité Identification • Conservation de la masse ρD = ρ0 D0 =⇒ Jρ = ρ0 hyper.21 Sthénique Introduction Equations d’équilibre Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy T Contraintes de Piola 1 t Contraintes de Piola 2 Propriétés 0 Equations d’équilibre 0 Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Description Eulérienne Isotropie Incompressibilité • Equilibre local Identification divx σ +f ∼ σ ·n =ts ∼ v =0 sur dans Ωt ∂Ωft hyper.22 Sthénique Introduction Equations d’équilibre Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy T Contraintes de Piola 1 t Contraintes de Piola 2 Propriétés 0 Equations d’équilibre 0 Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Description Mixte Isotropie Incompressibilité • Equilibre local Identification divX S +f ∼ S ·N =tS ∼ V =0 sur dans Ω0 ∂Ωft hyper.23 Thermodynamique Introduction Clausius Duhem Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations en Eulerien Invariants • Le premier principe : Sthénique Définition Contraintes de Cauchy • ρe = σ :D + ρr − divx q ∼ ∼ Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre • Le second principe : Thermodynamique Clausius Duhem 1 ρT s − ρr + divx q − q · ∇x T ≥ 0 T • Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités • Energie libre de Helmoltz : Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité ψ = e − Ts Identification Clausius Duhem (en Eulerien) • • Φ=σ :D − ρ(ψ + sT ) − ∼ ∼ 1 q · ∇x T ≥ 0 T hyper.24 Thermodynamique Introduction Clausius Duhem Cinématique Définitions Déformations en Lagrangien Décomposition polaire Déformations • Le premier principe : Invariants Sthénique • • Définition ρ0 e = Π :E + ρ0 r − divX Q ∼ ∼ Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés • Le second principe : Equations d’équilibre Thermodynamique • ρ0 T s − ρ0 r + divX Q − 1 Q · ∇X T ≥ 0 T Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité • Energie libre de Helmoltz : Généralités Symétries Matérielles Isotropie ψ = e − Ts Incompressibilité Identification Clausius Duhem (en Lagrangien) • • • 1 Q · ∇X T ≥ 0 T • • • 1 Φ0 = S :F − ρ0 ( ψ + s T ) − Q · ∇ X T ≥ 0 ∼ ∼ T Φ0 = Π :E − ρ0 ( ψ + s T ) − ∼ ∼ hyper.25 Thermodynamique Introduction Bilan d’énergie Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Sources de Dissipations Définition Contraintes de Cauchy • Par dérivation en chaine : ∂ψ • ∂ψ • ∂ψ • ψ̇ = :E + T+ ·G ∼ ∂E ∂T ∂G ∼ Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie • en ordonnant les termes, la dissipation devient Loi de comportement Hyperélasticité • • ∂ψ ∂ψ ∂ψ • G − ρ0 ( Φ0 = (Π − ρ0 ):E + s)T − ρ0 ·G−Q· > 0 ∼ ∼ ∂E ∂T ∂G T ∼ Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification • avec G = ∇X T ∼ hyper.26 Introduction Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Lois de comportements dites "hyperélastiques" Invariants Sthénique • pour les contraintes Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 ∂ψ Π = ρ0 ∼ ∂E ∼ Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem • pour l’entropie Bilan d’énergie ∂ψ s=− ∂T ∂ψ =0 ∂G Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification hyper.27 Thermodynamique Introduction loi de comportements Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Principes généraux • La loi de comportement doit fournir l’état de contrainte en fonction des variables thermodynamiques. • Une loi de comportement doit vérifier le principe d’objectivité (indifférence matérielle). Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification hyper.28 Hyperélasticité Introduction Généralités Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Dissipation intrinsèque Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 • En eulérien : • En mixte : Contraintes de Piola 2 ∂ψ σ = 2ρB ∼ ∼ ∂B ∼ Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie ∂ψ S = ρ0 ∼ ∂F ∼ Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie • En lagrangien : Incompressibilité ∂ψ Π = ρ0 ∼ ∂E ∼ Identification hyper.29 Hyperélasticité Introduction Généralités Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Dissipation intrinsèque Définition Contraintes de Cauchy • En eulérien : σ = 2JB ∼ ∼ • En mixte : ∂W ∂B ∼ Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem ∂W S = ∼ ∂F ∼ Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités • En lagrangien : Symétries Matérielles ∂W Π = ∼ ∂E ∼ Isotropie Incompressibilité Identification • avec ρ0 ψ = W hyper.29 Hyperélasticité Introduction Généralités Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Traction sur un élastomère (en statique) Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Constats : • pas de dissipation • comportement non-linéaire • très grandes déformations (>400%) Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification hyper.30 Hyperélasticité Introduction Généralités Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Définition • On considère des comportements réversibles (pas de dissipation mécanique). • Le comportement mécanique est défini par la donnée d’une énergie de déformation. Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification hyper.31 Hyperélasticité Introduction Généralités Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Propriétés de l’énergie Définition Contraintes de Cauchy • Pas d’énergie pour une déformation nulle : Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés W (F = ∼I ) = 0 ∼ Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem • Etat de référence libre de contraintes : Bilan d’énergie Loi de comportement ∂W |F =I = 0 ∂F ∼ ∼ ∼ ∂W |B =I = 0 ∂B ∼ ∼ ∼ ∂W |E =0 = 0 ∂E ∼ ∼ Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité • Polyconvexité (existance de solutions du pb d’équilibre) : ? Identification ? W (F ) = W (F , CofF , detF ) avec W ∼ ∼ ∼ ∼ convexe hyper.32 Hyperélasticité Introduction Symétries Matérielles Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Isotropie Equations d’équilibre Invariance matérielle pour toute rotation Q de la configuration ∼ de référence. Se traduit par : W (F ·Q ) = W (F ) ∼ ∼ ∼ ∀Q tenseur orthogonal ∼ Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification hyper.33 Hyperélasticité Introduction Symétries Matérielles Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Théorème de représentation Une fonction scalaire isotrope W (X ), ou X est un tenseur ∼ ∼ symétrique, peut-être représentée par les invariants de X : ∼ Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 W (X ) = W (I1 , I2 , I3 ) ∼ Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique avec Clausius Duhem I1 (X ) = tr(X ) ∼ ∼ 1 2 )2 − tr(X )) I2 (X ) = (tr(X ∼ ∼ ∼ 2 I3 (X ) = det(X ) ∼ ∼ Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification Propriétés • Hyperélasticité isotrope : X =B ou X =C ∼ ∼ ∼ ∼ • Ce théorème est généralisable à W (X , Y , . . .) ∼ ∼ hyper.34 Hyperélasticité Introduction Hyperélasticité isotrope Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Loi de comportement Sthénique Définition • en eulérien : Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 2 σ = 2J (W1 + W2 I1 )B − W2 B + W3 I3∼I ∼ ∼ ∼ Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique • en mixte : Clausius Duhem Bilan d’énergie S = 2 (W1 + W2 I1 )F − W2 F ·C + W3 I3 F ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ −T Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles • en lagrangien : Isotropie Incompressibilité Identification −1 + W3 I3 C Π = 2 (W1 + W2 I1 )I∼ − W2 C ∼ ∼ ∼ avec Wi = ∂W ∂Ii hyper.35 Hyperélasticité Introduction Hyperélasticité isotrope Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Loi de comportement (autre approche) • en eulérien : Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy σ =2 ∼ 3 X a=1 ∂W (na ⊗ na ) λa ∂λa Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem • en mixte : S = ∼ 3 X ∂W a=1 ∂λa Bilan d’énergie Loi de comportement (na ⊗ Na ) Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie • en lagrangien : Incompressibilité Identification Π =2 ∼ 3 X a=1 1 ∂W (Na ⊗ Na ) λa ∂λa avec Na et na les vecteurs propres de U et V. hyper.36 Hyperélasticité Introduction Hyperélasticité incompressible Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Incompressibilité Propriétés Equations d’équilibre On impose J = 1, ou encore I3 (B ) = I3 (C ) = 1, à l’aide d’un ∼ ∼ multiplicateur de Lagrange p tel que : Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement ) − 1) W = W (X ) − p(det(F ∼ Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification hyper.37 Hyperélasticité Introduction Hyperélasticité incompressible Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Incompressibilité Déformations Invariants On impose J = 1, ou encore I3 (B ) = I3 (C ) = 1, à l’aide d’un ∼ ∼ multiplicateur de Lagrange p tel que : Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 ) − 1) W = W (X ) − p(det(F ∼ Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem • Dans chaque configuration on a : ) 2 ∂W (B ∼ B − pI∼ ∼ J ∂B ∼ ∂W (F ) ∼ − pcofF S = ∼ ∼ ∂F ∼ ∂W (C ) −1 ∼ Π =2 − pJC ∼ ∼ ∂C ∼ σ = ∼ Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification • p est assimilable à une pression. hyper.37 Hyperélasticité Introduction Hyperélasticité isotrope Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Loi de comportement Sthénique Définition • en eulérien : Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 2 σ = 2J (W1 + W2 I1 )B − W2 B + p ∼I ∼ ∼ ∼ Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique • en mixte : Clausius Duhem Bilan d’énergie S = 2 (W1 + W2 I1 )F − W2 F ·C +pF ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ −T Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles • en lagrangien : Isotropie Incompressibilité Identification −1 Π = 2 (W1 + W2 I1 )I∼ − W2 C +pC ∼ ∼ ∼ avec Wi = ∂W ∂Ii hyper.38 Hyperélasticité Introduction Hyperélasticité isotrope Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Loi de comportement (elongation principale) Déformations Invariants • en eulérien : Sthénique Définition σ =2 ∼ 2 X a=1 ∂W (na ⊗ na ) + p ∼I λa ∂λa Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique • en mixte : Clausius Duhem Bilan d’énergie S = ∼ 2 X ∂W a=1 ∂λa Loi de comportement (na ⊗ Na ) + p F ∼ −T Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité • en lagrangien : Π =2 ∼ Identification 2 X 1 ∂W −1 (Na ⊗ Na ) + p C ∼ λa ∂λa a=1 avec Na et na les vecteurs propres de U et V. hyper.39 Hyperélasticité Introduction Quelques Modèles pour les élastomères Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Modèles statistiques Sthénique • N EO -H OOKE (1943) Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 W = −T ∆S Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre 1 W (I1 ) = NkT (I1 − 3) 2 N : nombre de chaines par unité de volume, k : constante de Boltzmann. Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles z Isotropie Incompressibilité Identification 1111111111 0000000000 00 11 r 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0 1 0000000000 1111111111 0 1 0000000000 1111111111 y dr x hyper.40 Hyperélasticité Introduction Quelques Modèles pour les élastomères Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Modèle phénoménologique incompressible Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Le modèle de M OONEY & R IVLIN (1940) Equations d’équilibre Thermodynamique W (I1 , I2 ) = C10 (I1 − 3) + C01 (I2 − 3) Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités • Valable jusqu’à 100% de déformation. Symétries Matérielles • Linéaire en cisaillement. Incompressibilité Isotropie Identification hyper.41 Hyperélasticité Introduction Quelques Modèles pour les élastomères Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Modèle phénoménologique incompressible Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Le modèle de R IVLIN & S AUNDERS (1951) Propriétés Equations d’équilibre W (I1 , I2 ) = ∞ X Cij (I1 − 3)i (I2 − 3)j i,j=0 Thermodynamique avec C00 = 0 Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités • En pratique i, j ≤ 3. • Valable pour de grandes déformations. Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification • Modèle très (trop) riche. hyper.42 Hyperélasticité Introduction Quelques Modèles pour les élastomères Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Modèle phénoménologique incompressible Le modèle de G ENT & T HOMAS (1958) Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique I2 W (I1 , I2 ) = C1 (I1 − 3) + C2 ln 3 Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles • Valable pour des déformations ≤ 200%. Isotropie Incompressibilité • Non linéaire en cisaillement. Identification hyper.43 Hyperélasticité Introduction Quelques Modèles pour les élastomères Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Modèle phénoménologique incompressible Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Le modèle de O GDEN (1972) W (λ1 , λ2 , λ3 ) = N X µp αp α α (λ + λ2 p + λ3 p − 3) avec µp αp > 0 αp 1 p=1 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles • Valable pour de grandes déformations. • Paramètres difficiles à identifier. Isotropie Incompressibilité Identification hyper.44 Hyperélasticité Introduction Identification de lois Hyperélastiques Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Les essais courants Invariants • La traction uni-axiale Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie l2 Loi de comportement l2 Hyperélasticité l Généralités Symétries Matérielles λ 0 F = ∼ 0 S11 = 2 ∂W ∂I1 0 √1 λ 0 0 0 Isotropie Incompressibilité Identification √1 λ 1 1 ∂W λ− 2 +2 1− 3 λ ∂I2 λ hyper.45 Hyperélasticité Introduction Identification de lois Hyperélastiques Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Les essais courants Déformations Invariants • Extension equi-biaxiale Sthénique Définition l Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre l Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles S11 = S22 = 2 λ 0 F = ∼ 0 0 λ 0 1 λ5 ∂W ∂I1 λ− 0 0 Isotropie Incompressibilité Identification 1 λ2 +2 ∂W ∂I2 λ3 − 1 λ3 hyper.45 Hyperélasticité Introduction Identification de lois Hyperélastiques Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Les essais courants Sthénique • Le glissement simple Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie g Loi de comportement Hyperélasticité Généralités 1 0 F = ∼ 0 S12 = 2γ( γ 1 0 0 0 1 Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification ∂W ∂W + ) ∂I1 ∂I2 hyper.45 Hyperélasticité Introduction Identification de lois Hyperélastiques Cinématique Définitions Déformations Les essais courants Décomposition polaire Déformations • Le cisaillement pur Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 l Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem l2 Bilan d’énergie Loi de comportement λ 0 F = ∼ 0 S11 S22 ∂W =2 λ− ∂I1 ∂W =2 1− ∂I1 0 1 0 0 0 1 λ Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification 1 ∂W 1 +2 λ− 3 λ3 ∂I2 λ 1 ∂W 2 +2 λ −1 λ2 ∂I2 hyper.45 Introduction Modèle NEO-HOOKEEN W (I1 ) = µ (I1 − 3) 2 Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification hyper.46 Modèle MOONEY Introduction Cinématique W (I1 ) = C10 (I1 − 3) + C20 (I1 − 3)2 + C30 (I1 − 3)3 + ... Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification hyper.47 Modèle HART-SMITH Introduction Z W (I1 , I2) = h1 I2 exp (h3 (I1 − 3)2 )dI1 − 3h2 ln 3 Cinématique Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification hyper.48 Modèle OGDEN Introduction Cinématique N X p µp αp αp W = λ1 + λα 2 + λ3 p α p=1 Définitions Déformations Décomposition polaire Déformations Invariants Sthénique Définition Contraintes de Cauchy Contraintes de Piola 1 Contraintes de Piola 2 Propriétés Equations d’équilibre Thermodynamique Clausius Duhem Bilan d’énergie Loi de comportement Hyperélasticité Généralités Symétries Matérielles Isotropie Incompressibilité Identification hyper.49
