Transition ferromagnétique

Préparation Transition Para-Ferromagnétique
On s'intéresse à un métal placé dans un thermostat à la température T et dont on étudie la transition
−
→
ferromagnétique - paramagnétique. On appelle ferromagnétique un métal dôté d'une aimantation M
non nulle en l'absence de champ extérieur et paramagnétique un métal qui ne présente pas d'aimantation
en l'absence de champ extérieur.
Lev Davidovitch Landau a proposé une expression pour le potentiel thermodynamique volumique d'un
tel métal à température proche de la température de Curie Tc :
f (T, M) = u − T s = f0 (T ) + 12 a (T − Tc ) M2 + 41 bM4
où f0 (T ) est l'énergie libre volumique en l'absence d'aimantation dénie par f0 = u0 − T s0 et a et b
sont deux constantes positives.
On se place pour l'instant en l'absence de champ extérieur.
1. Tracez la forme de f (T, M) en fonction de M pour diérentes valeurs de T et commentez.
2. Déterminez la valeur MS prise spontanément par l'aimantation pour une
température
T donnée
β
T
et montrez que, pour T < Tc cette aimantation est proportionnelle à 1 − Tc , où β est une
constante à déterminer.
3. Etablir l'identité thermodynamique de l'énergie libre volumique f (T, M) et montrez que l'entropie
prend une forme diérente pour T > Tc et T < Tc . Commentez.
4. Montrez que la capacité thermique volumique du matériau subit un saut ni lors de la transition
de phase ferro - para.
Suite
−−→
On imagine à présent le matériau plongé dans un champ Bext uniforme.
1. Le travail volumique innitésimal à fournir un métal paramagnétique pour augmenter son moment
−−→
−−→ −−→
magnétique de dM de façon réversible vaut δwmag = Bext .dM.
(a) Rappelez la dénition d'un potentiel thermodynamique.
(b) Exprimez le potentiel thermodynamique volumique g ∗ du métal pour une transformation
monotherme et monomagnétique
(c) En déduire le potentiel thermodynamique volumique g du métal pour une transformation
isotherme et isomagnétique
(d) Montrez l'identité thermodynamique dg = −MdB − sdT .
2. Déterminez l'équation traduisant l'équilibre du système sous T et Bext xé.
Evaluation
Connaissance du cours
(/10)
• Identités thermodynamiques (du = δw + δq , du = cdT , δq rev = T ds)
• Potentiel thermodynamique
Calcul (erreurs, rapidité, homogénéïté, vérications) (/4)
Sens physique (contextualisation, analyse) (/4)
Comportement (/2)
• Prise en compte des indications
• Adaptation au contexte de l'exercice
• Mojo
1
Daniel Suchet - 2012
Correction
1.
∂f
∂M
T
= a (T − Tc ) M + bM 3 = M b
a
b
(T − Tc ) + M 2
Tableau de variation
Pour T > Tc
a
b
a
b
−∞
Mb
(T − Tc
) + M2
∂f
∂M
T
T
−
+
-
0
0
+
-
Mb
(T − Tc
) + M2
∂f
∂M
Pour T < Tc
−∞
pa
b Tc
0 : eq stable
(1 − T /Tc )
+
0
0, eq stable
2. L'aimantation spontannée prend la valeur MS = ±
3. df = du − T ds − sdT = −sdT donc s = −
∂f
∂T
M
+∞
pa
b Tc
+
+
+
pa
0
0
0 instable
+
-
b Tc
(1 − T /Tc )
0
0 eq stable
+∞
+
+
+
(1 − T /Tc )β = 1/2
= −f00 (T ) − 21 aMs2 ; donc
(a) pour T < TC , s = −f00 (T ) − a2b (Tc − T )
(b) pour T > Tc , s = −f00 (T )
2
∂s
= −f000 (T ) + a2b T si T < Tc
4. D'après le premier principe, du = cdT = δq = T ds donc cv = T ∂T
2
et = f000 (T ) si T > Tc : saut de a2b Tc .
5. Un potentiel thermo est une fonction d'état qui diminue lors de l'évolution spontanée du système
et est minimale à l'équilibre.
(a) Pour un transfo monotherme et monomagnétique du = δwmag + δq = µ0 Hext dM + δq et
ds = Tδq
+ δsc ≥ Tδq
donc 0 ≥ du − µ0 Hext dM − Text ds = d (u − µ0 Hext M − Text s) = dg ∗ .
ext
ext
(b) Pour une transformation isotherme et isomagnétique, g = u − µ0 HM − T s = f − µ0 HM et
dg = du − µ0 HdM − µ0 M dH − T ds − sdT donc
2
dg = −µ0 M dH − sdT
6. Equilibre :
∂g
∂M
T,H
= 0 ⇔ Bext = a(T − Tc )M + bM 3 .
2
Daniel Suchet - 2012