Classicalité du calcul quantique David Poulin - EPIQ

Universit´e de Montr´eal
Classicalit´e du calcul quantique
Par
David Poulin
D´epartement de Physique
Facult´e des Arts et des Sciences
M´emoire pr´esent´e `a la Facult´e des ´etudes sup´erieures
en vue de l’obtention du grade de
Maˆıtre `es Sciences (M.Sc.)
en Physique
D´ecembre 2001
c
David Poulin 2001

Universit´e de Montr´eal
Facult´e des ´etudes sup´erieures
Ce m´emoire intitul´e
Classicalit´e du calcul quantique
pr´esent´e par
David Poulin
a ´et´e ´evalu´e par un jury compos´e des personnes suivantes :
Richard MacKenzie
pr´esident-rapporteur
Gilles Brassard
directeur de recherche
Raymond Laflamme
membre du jury
i

Sommaire
Plusieurs indices nous portent `a croire que la th´eorie quantique de la mati`ere
offre un potentiel de calcul sup´erieur `a la th´eorie classique. En raison de la fra-
gilit´e de l’information quantique, toutes tentatives d’implantation exp´erimentale
de calculateur quantique utile ont rencontr´e des obstacles technologiques jusqu’`a
ce jour insurmontables. Pour cette raison, l’utilisation de calculateurs quantiques
doit ˆetre r´eserv´ee aux tˆaches «classiquement impraticables».
Dans ce m´emoire, nous ´etudions la possibilit´e de substituer certaines parties
d’une proc´edure quantique par une dynamique classique. Lorsqu’une telle sub-
stitution est possible, cela signifie que le processus original n’est pas fondamen-
talement quantique, donc qu’il y a «gaspillage »de ressources quantiques. La
l´egitimit´e d’une substitution nous est dict´ee par des r`egles de consistance ; lorsque
les conditions de consistance sont satisfaites, la substitution peut se faire en toute
qui´etude.
Au premier chapitre, nous pr´esentons les concepts g´en´eraux de la th´eorie quan-
tique et, plus sp´ecifiquement, de l’informatique quantique. Au second chapitre,
nous d´ecrivons, sans entrer dans le d´etail de son interpr´etation, le formalisme
des histoires consistantes qui nous servira `a d´efinir les r`egles de consistance men-
tionn´ees ci-haut. Le troisi`eme chapitre fusionne le calcul quantique et la th´eorie des
histoires consistantes. On y montre comment certaines modifications du forma-
lisme permettent d’utiliser les histoires consistantes afin d’´etudier la classicalit´e
d’un calcul quantique. Finalement, le chapitre quatre analyse les cons´equences
d’une telle ´etude de classicalit´e. En particulier, on y montre comment une ´etude
de classicalit´e pourrait permettre d’augmenter la r´esistance au bruit des calcula-
teurs quantiques. De plus, nous tirons certaines conclusions sur la classicalit´e du
calcul avec ´etats mixtes, sujet grandement d´ebattu au cours des derni`eres ann´ees.
Pour un r´esum´e plus complet, voir [73].
Mots cl´es : Calcul quantique, domaine classique, histoires consistantes, transi-
tion quantique-classique, r´esonance magn´etique nucl´eaire, interpr´etation de la
m´ecanique quantique, d´ecoh´erence.
ii

Abstract
For a wide variety of reasons, it is believed that quantum theory offers a greater
computational power that its classical analog. Nevertheless, every experimental
attempt to implement a “useful” quantum computer has failed up to now, for
both theoretical and practical reasons. Therefore, quantum computing devices
should be restricted to those problems that are classically intractable.
In this thesis, we investigate the possibility of substituting part of a quantum
algorithm by classical dynamics. If such a substitution is possible, it would indi-
cate that the original quantum process wasn’t fundamentally quantum, at least
not from a computational point of view. This would imply a waste of precious
quantum resources. How and when these substitutions can take place is dictated
by consistency rules, borrowed from the consistent histories formalism.
In chapter one, we introduce the basic concepts of quantum computing. We
then describe the consistent histories formalism, without paying any attention to
their interpretation. The third chapter brings these two ideas together : Consistent
histories in quantum information processing. Finally, chapter four analyses the
consequences that can be drawn from a classicality analysis. Interesting results
are increase of noise robustness and new insights on the quantumness of mixed-
state quantum computing.
For a more detailed summary, see [73].
Key words : Quantum information processing, classical domain, consistent histo-
ries, quantum classical transition, nuclear magnetic resonance, interpretation of
quantum mechanics, decoherence.
iii

Table des mati`eres
1 Pr´eliminaires 1
1.1 Postulats de la m´ecanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 ´ Enonc´e des postulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 ´ Etat .............................. 3
1.1.3 Observable et projecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Unitarit´e............................ 6
1.2 Mod`ele de calcul & notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Calculclassique........................ 6
1.2.2 Lequbit............................ 7
1.2.3 Mod`eledecalcul ....................... 8
1.2.4 Initialisation.......................... 10
1.2.5 Unitarit´e............................ 10
1.2.6 Mesure............................. 11
1.3 Algorithme de Simon & autres exploits . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Algorithme de Simon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Calcul `a oracle quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Factorisation ......................... 16
1.3.4 Simulation de syst`emes physiques quantiques . . . . . . . . 16
1.3.5 Communication quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Enchevˆetrement & m´elange statistique . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Matrice de densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2 Enchevˆetrement........................ 21
1.4.3 Mesure d’enchevˆetrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.4 T´el´eportation quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
iv