these doctorat en sciences - Université Ferhat Abbas

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’enseignement supérieur
Et de la Recherche scientifique
UNIVERSITE FERHAT ABBAS - SETIF 1
THESE
Présentée à la faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Pour l’obtention du diplôme de
DOCTORAT EN SCIENCES
Option : Mathématiques appliquées
Par
BEROUAL Nabil
Thème
Modèles Mathématiques Appliqués à la Dynamique des Populations
Soutenue le : 30 Mai 2015
Devant le jury
Président: M. DRABLA Salah Pr. Univ. Sétif 1
Rapporteur : M. BENDJEDDOU Ahmed Pr. Univ. Sétif 1
Examinateurs: M. BENHAMIDOUCHE Noureddine Pr. Univ. M’sila
M. BERBOUCHA Ahmed Pr. Univ. Bejaia

Je dédie ce travail…
A mes chers parents
A mes frères et sœurs
A ma petite famille : Amel, Safaa et Raouf
A la mémoire de « Mama Djamila »

REMERCIEMENTS
Je remercie tout d’abord mon Directeur de thèse, le professeur Ahmed
Bendjeddou qui a accepté de diriger cette thèse. La con…ance qu’il m’a ac-
cordée ainsi que ses qualités humaines et scienti…ques ont été pour beaucoup
dans l’élaboration de cette thèse.
Je remercie vivement le professeur Salah Drabla pour avoir accepté de pré-
sider le jury de soutenance.
Je voudrais adresser tous mes remerciements aux professeurs Nouredine
Benhamidouche et Ahmed Berboucha pour l’honneur qu’ils m’ont fait en
acceptant d’être les examinateurs de cette thèse.
En…n, Je voudrais exprimer ma reconnaissance et gratitude à tous ceux qui
ont contribué de près ou de loin à la réalisation de ce travail.
i

Table des matières
REMERCIEMENTS i
Introduction générale iv
1 Notions de bases en écologie des populations 1
1.1 Dé…nitions............................... 2
1.1.1 L’individu........................... 2
1.1.2 Lapopulation......................... 2
1.1.3 L’écosystème ......................... 3
1.1.4 La dynamique des populations . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Principaux types d’interactions entre populations . . . . . . . . . 3
1.2.1 Modèles de compétition entre espèces . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Modèles de coopération entre espèces (symbiose) . . . . . . 5
1.2.3 Modèles de prédation (proie-prédateur) . . . . . . . . . . . 6
2 Bases de la modélisation de systèmes proies-prédateurs 8
2.1 Les bases de la modélisation en écologie . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Le modèle exponentiel de Malthus . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.3 Le modèle logistique de Verhulst . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Modèles à deux espèces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Le modèle de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Critiques du modèle de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . 24
2.2.3 La réponse fonctionnelle du prédateur . . . . . . . . . . . . 26
2.2.4 Proportionnalité entre réponses fonctionnelle et numérique 31
2.2.5 Le modèle de Lotka-Volterra avec réponse fonctionnelle de
Holling de type II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.6 Le modèle de Lotka-Volterra avec croissance logistique des
proies ............................. 34
ii

TABLE DES MATIÈRES iii
2.2.7 Le modèle de Rosenzweig-MacArthur : modèle de Lotka-
Volterra avec croissance logistique des proies et réponse
fonctionnelle de Holling type II . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.8 Le modèle de Lotka-Volterra avec croissance logistique des
proies et réponse fonctionnelle de Holling de type III . . . 41
2.3 Formulation générale du modèle de Lotka-Volterra . . . . . . . . . 44
2.3.1 Le modèle de Gause généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.2 Le modèle de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Système proie-prédateur avec cycle limite 47
3.1 L’histoire des cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Le système de Liénard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.2 L’existence de cycles limites pour le système de Liénard . . 50
3.1.3 L’unicité de cycles limites pour le système de Liénard . . . 51
3.2 Existence de cycles limites pour le système de Gause généralisé . . 56
3.2.1 Analyse du portrait de phase du système de Gause . . . . 57
3.2.2 Existence de cycles limites pour le système (3:10) ..... 63
3.2.3 La stabilité globale de Eet la non existence de cycles limites 64
3.3 Unicité de cycles limites pour le système de Gause généralisé . . . 66
3.3.1 L’unicité par la symétrie de l’isocline de la proie . . . . . . 66
3.3.2 L’unicité par transformation de Liénard . . . . . . . . . . 68
4 Sur le système proie-prédateur avec h(x) = xp
a+xp71
4.1 Introduction.............................. 72
4.2 Nouvelles formulations des conditions de Sugie et al. . . . . . . . . 73
4.3 Nouvelle condition su¢ sante pour la non existence . . . . . . . . . 75
4.4 Quelques exemples d’application et simulations . . . . . . . . . . 78
4.5 Quelques remarques sur le cas p < 1................. 79
Conclusion et perspectives i