Déterminants et élimination chez Leibniz / Determinants and

M EBERHARD KNOBLOCH
Déterminants et élimination chez Leibniz / Determinants and
elimination in Leibniz
In: Revue d'histoire des sciences. 2001, Tome 54 n°2. pp. 143-164.
Résumé
RÉSUMÉ. — L'affectation par Leibniz d'indices en algèbre est un exemple important de sa caractéristique combinatoire. Leibniz
inventa plus de cinquante manières d'utiliser des nombres fictifs tels que les indices. Leibniz résolut des systèmes inhomogènes
d'équations linéaires et déduisit plusieurs théorèmes généraux, anticipant ainsi des résultats de la théorie des déterminants. En
même temps, il développa plusieurs méthodes d'élimination de l'inconnue commune à deux polynômes et calcula leur résultant.
Abstract
SUMMARY. — Leibniz's use of indices in algebra is an important example of his combinatorial characteristic. He invented more
than fifty ways of using fictive numbers as indices. He solved inhomogeneous systems of linear equations and deduced several
general theorems, thus anticipating results of the theory of determinants. At the same time he developed several methods of
eliminating the common variable of two polynomials and calculated their resultant.
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KNOBLOCH EBERHARD. Déterminants et élimination chez Leibniz / Determinants and elimination in Leibniz. In: Revue
d'histoire des sciences. 2001, Tome 54 n°2. pp. 143-164.
doi : 10.3406/rhs.2001.2116
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0151-4105_2001_num_54_2_2116

Déterminants et élimination chez Leibniz
Eberhard Knobloch (*)
RÉSUMÉ. — L'affectation par Leibniz d'indices en algèbre est un exemple
important de sa caractéristique combinatoire. Leibniz inventa plus de cinquante
manières d'utiliser des nombres fictifs tels que les indices. Leibniz résolut des sys
tèmes inhomogènes d'équations linéaires et déduisit plusieurs théorèmes généraux,
anticipant ainsi des résultats de la théorie des déterminants. En même temps, il
développa plusieurs méthodes d'élimination de l'inconnue commune à deux poly
nômes et calcula leur résultant.
MOTS-CLÉS. — Caractéristique ; équation linéaire ; déterminant ; polynôme ;
résultant.
SUMMARY. — Leibniz's use of indices in algebra is an important example of
his combinatorial characteristic. He invented more than fifty ways of using fictive
numbers as indices. He solved inhomogeneous systems of linear equations and dedu
ced several general theorems, thus anticipating results of the theory of determinants.
At the same time he developed several methods of eliminating the common variable
of two polynomials and calculated their resultant.
KEYWORDS. — Characteristic ; linear equation ; determinant ; polynomial ;
resultant.
Introduction
Améliorer l'art d'inventer fut de loin la préoccupation la plus
importante de Leibniz pendant toute sa vie. Selon lui, l'art d'in
venter s'appuie essentiellement sur l'art caractéristique, sur le choix
(*) Eberhard Knobloch, Institut fur Philosophie, Wissenschaftstheorie, Wissenschafts-
und Technikgeschichte, Technische Universitat Berlin, Ernst-Reuter-Platz 7, 10587 Berlin,
Allemagne.
Rev. Hist. ScL, 2001, 54/2, 143-164

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approprié de signes, de caractères. L'art combinatoire, auquel
l'algèbre est subordonnée fournit les règles selon lesquelles les
signes créés doivent être manipulés pour élargir les connaissances
humaines, particulièrement mathématiques. Il y a ainsi trois arts
auxquels Leibniz s'intéressait au plus haut degré : l'art d'inventer,
l'art caractéristique, l'art combinatoire.
Son invention de la symbolique du calcul différentiel est
l'exemple le plus connu de sa recherche des caractères mathémati
ques propres (1). Mais déjà en 1912, Mahnke avait attiré l'atten
tion sur le fait que l'affectation par Leibniz d'indices en algèbre et
en géométrie était un autre exemple eminent de sa caractéristique
combinatoire (2). Depuis, ses soixante-huit études les plus import
antes en algèbre ont été publiées (3). Par conséquent, j'aborderai
les trois sujets suivants :
I. Les idées fondamentales
II. Les systèmes inhomogènes d'équations linéaires
1 / La motivation
2 I La règle des signes
3 / Les théorèmes généraux
III. L'élimination d'une inconnue commune
\ I La méthode dite dialytique de James-Joseph Sylvester
21 La méthode de Bézout et la deuxième méthode d'Euler
Ъ I La première méthode d'Euler : la théorie des explications des
années 1693-1694
4 / Les règles de formation et la règle des signes du résultant
Épilogue
(1) Eberhard Knobloch, Progrès et tâches futures de la recherche leibnizienne en mathé
matiques, Les Études philosophiques, II (1989), 161-170, ici 162.
(2) Dietrich Mahnke, Die Indexbezeichnung bei Leibniz als Beispiel seiner kombinato-
rischen Charakteristik, Bibliotheca mathematica, sér. 3, 13 (1912-1913), 250-260.
(3) Eberhard Knobloch, Die entscheidende Abhandlung von Leibniz zur Théorie linea-
rer Gleichungssysteme, Studia Leibnitiana, IV/3-4 (1972), 163-180; Id., Unbekannte Studien
von Leibniz zur Eliminations- und Explikationstheorie, Archive for history of exact sciences,
XII/2 (1974), 142-173 ; Id., Der Beginn der Determinantentheorie, Leibnizens nachgelassene
Studien zum Determinantenkalkiil (Hildesheim : Gerstenberg, 1980), « Arbor scientiarum »,
sér. B, vol. II.

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I. — Les idées fondamentales
Au mois de juin 1678, Leibniz remarqua dans son « Exemple
d'une nouvelle analyse (4) » : « C'est donc la règle la plus import
ante de la caractéristique que les caractères expriment tout ce qui
est caché dans la chose désignée ce qui se fait le mieux par des
nombres à cause de leur quantité et de leur facilité de calculer. Elle
sera aussi très utile en géométrie afin d'exprimer les positions. »
Quand il écrivit ses Nouveaux essais sur l'entendement humain,
en 1704, il revint sur cette idée (5).
En 1678, il soulignait trois aspects :
1 / les nombres permettent un contrôle pendant chaque phase du
calcul, soit par la preuve par neuf, soit par la preuve par onze,
soit par sommation ;
2 / les nombres peuvent exprimer précisément les différents ordres
et rapports entre les quantités et les caractères ;
3 / les nombres permettent la découverte des lois de progression, les
règles de formation, les harmonies.
En conséquence, Leibniz inventa plus de cinquante (!) manières
d'utiliser des nombres fictifs ; deux seulement furent publiées,
en 1700 et 1710 (6). Je ne voudrais expliquer que les manières
suivantes :
10 + Ux + 12^ = 0
ou en signes modernes аю + апх + апу = 0
20+21x+22.y = 0
a20 + a2x x + a22 >> = 0.
L'indice gauche désigne l'équation linéaire, l'indice droit désigne
l'inconnue. Les nombres ne sont pas des nombres véritables, mais
(4) Knobloch (1980), op. cit. in n. 3, n° 2, 5.
(5) Gottfried Wilhelm Leibniz, Nouveaux essais sur l'entendement humain (Amsterdam-
Leipzig, 1765). Je cite la réédition Gottfried Wilhelm Leibniz, Sànttliche Schriften und Brief e
(Berlin : Akademie Verlag, 1962), sér. 6, vol. 6, 409-411 (liv. 4, chap. 7, § 6).
(6) Eberhard Knobloch, Studien von Leibniz zum Determinantenkalkul, Studia Leibni-
tiana supplementa, XIII (1974), 37-45.

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des doubles indices. L'écriture moderne n'ajoute que la lettre qui
est affectée d'indices.
+llx+12ouen signes modernes al0x2 + aux + an
20jc2 + 2\x + 22 a2Ox2 + a2lx + a12.
L'indice gauche désigne le polynôme, l'indice droit fournit son degré
- ici 2 -, si on y ajoute l'exposant correspondant de la variable x.
Par conséquent, Leibniz appelle ces coefficients « homogènes ».
12y2 + 1 \y + 10 ou en signes modernes al2 y2 + an y + ai0
22/ + 2\y + 20 a22 y2 + a2l y + a2Q.
L'indice gauche désigne le polynôme comme auparavant, l'indice
droit est l'exposant de la variable. Leibniz appelle ces coefficients
« inhomogènes ».
Il communiqua cette affectation de nombres fictifs à quelques-
uns seulement de ses plus de 1 100 correspondants, principal
ement (7) :
1 / Au mathématicien hollandais Johann Jakob Ferguson,
en 1680. Celui-ci calculait quelques résultants sous la direction de
Leibniz (8).
2 / Au marquis de L'Hospital, en 1693. Leibniz lui communiqua
une solution (pas la meilleure) d'un système d'équations linéaires
au moyen d'un déterminant.
3 / À Charles Reyneau, avant 1708. En 1712, Leibniz lui envoya
son « Canon général de la division » par l'intermédiaire de Jacques
Lelong (9). Reyneau expliqua en détail les indices algébriques leib-
niziens dans son Analyse démontrée, ou la méthode de résoudre les
problèmes des mathématiques, et d'apprendre facilement ces sciences,
qui parut en 1708.
Leibniz utilisait des indices algébriques afin de traiter quatre
problèmes en particulier :
1 / les systèmes d'équations linéaires ;
2 / l'élimination d'une inconnue commune à deux équations d'un
degré plus élevé ;
(7) Eberhard Knobloch, Zur Vorgeschichte der Determinantentheorie, Studia Leibni-
tiana supplements XXII (1982), 96-118.
(8) Ces lettres sont publiées dans Leibniz, Sumtliche Schriften..., op. cit. in n. 5, sér. 3,
vol. 3, nos 44-47.
(9) Knobloch (1980), op. cit. in n. 3, n° 66, 324-326.