Cours de THERMIQUE

COURS DE THERMIQUE
Ecole d‘Ingénieurs de Genève
Séance N°5
Jean-Bernard Michel
[email protected]
HES-SO - Energétique ::: | convection | :::
© HES-SO - 2004
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7 séances
•
•
•
•
•
•
•
1 - Introduction et Généralités
2 - La conduction thermique
3 - L'équation de la chaleur
4 - Le rayonnement thermique
5 - La convection thermique
6 - Les échangeurs de chaleur
7 - Petite Classe d'application
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Transfert par conduction
HES-SO - Energétique ::: | convection | :::
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Transfert radiatif
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Transfert convectif
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Chauffage par convection
HES-SO - Energétique ::: | convection | :::
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Coefficient d'échange de chaleur par convection
d2Q : Quantité de chaleur qui traverse dS
pendant le temps dt, en Joules
dd (dQ )
(dQ ) Flux de chaleur, en Watt
dt
dt
d Q = h (T p − T∞ )dS dt
2
en W/(m2.K)
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Détermination du coefficient h
h dépend:
• de la conduction entre les particules de fluide
• du mélange de ces particules par suite du
mouvement d'ensemble du fluide
• l'échange de chaleur peut être accompagné d'un
changement de phase
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Différents échanges convectifs
•
•
•
•
échange thermique monophasique en convection forcée
échange thermique monophasique en convection naturelle
échange thermique accompagné d'ébullition
échange thermique accompagné de condensation
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Convection forcée sans changement d'état
Le problème consiste à préciser l'expression du
flux thermique Φ échangé entre le fluide
extérieur à la température T∞ et une longueur
unité de la surface du tuyau à la température Tp
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Flux thermique transféré par l'écoulement autour d'un tube
Flux
transféré,
en Watt
(
)
Φ = h Tp - T∞ π D
en W/(m2.K)
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Ecart de température
entre paroi extérieure
et fluide à l'infini, en K
Surface d'échange par
m de tuyau, en m2
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Analyse dimensionnelle
8 Grandeurs physiques et 4 dimensions: M, L, T et θ
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Analyse dimensionnelle
Le théorème de VASCHY-BUCKINGHAM permet de
prévoir que la forme la plus générale de la loi physique
décrivant le phénomène étudié s'écrira:
F( π 1 , π 2 , π 3 , π 4 ) = 0
où les πi sont des groupements sans dimension de la forme:
π = D λ U ρ µ C h
a
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b
c
∞
d
e
f
g
(T
p
− T∞
)
i
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Equations aux dimensions des 8 grandeurs
D
U∞ ρ
µ
L, Longueur
1
1
-3
-1
1
2
0
0
M, Masse
0
0
1
1
1
0
1
0
T, Temps
0
-1
0
-1
-3
-2
-3
0
0
0
0
0
-1
-1
-1
1
θ, température
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λ
C
Tp-T∞
h
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Dimension d'un groupement p
Définition d'un groupement π
π = D λ U ρ µ C h
a
b
c
∞
d
e
f
g
(T
p
− T∞
)
i
où
a, b, c, d, e, f, g, i
sont 8 paramètres inconnus
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π = D λ U ρ µ C h
a
contribution de la
Masse à la
dimension du
groupement π
b
rien
soit:
HES-SO - Energétique ::: | convection | :::
c
∞
d
rien
d
e
e
f
b
g
(T
p
rien
− T∞
g
)
i
rien
b+d+e+g=0
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π = D λ U ρ µ C h
a
contribution de
la Longueur
à la dimension
du groupement π
b
a
soit:
HES-SO - Energétique ::: | convection | :::
c
∞
c
d
-3d
e
-e
f
b
g
(T
p
2f
rien
− T∞
)
i
rien
a + b + c - 3d - e + 2f = 0
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π = D λ U ρ µ C h
a
contribution
du Temps
à la dimension du
groupement π
b
rien
soit:
HES-SO - Energétique ::: | convection | :::
c
∞
-c
d
rien
e
-e
f
-3b
g
(T
p
-2f
− T∞
g
)
i
rien
- 3b - c - e - 2f - 3g = 0
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π = D λ U ρ µ C h
a
contribution de la
Température
à la dimension
du groupement π
b
rien
soit:
HES-SO - Energétique ::: | convection | :::
c
∞
rien
d
rien
e
rien
f
-b
g
(T
p
-f
-g
− T∞
)
i
i
-b-f-g+i=0
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Dimension d'un groupement p
[π ] = [ M ]
b+d +e+g
[ L]
a + b +c-3d -e+2f
[ T]
-3b-c-e-2f -3g
[θ ]
-b-f -g+i
Chacun de ces termes en exposant doit être nul
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Groupements p sans dimension
b+d+e+g=0
a + b + c- 3d - e + 2f = 0
- 3b - c - e - 2f - 3g = 0
-b-f -g +i = 0
4 conditions pour que qu'un π soit adimensionnel
mais 8 paramètres inconnus !
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(
π = D a λ b U c∞ ρ d µ e C f h g Tp − T∞
)
i
4 des 8 paramètres peuvent être choisis
de manière arbitraire
g=1
Pour obtenir
une loi de la forme h = f ( . . .)
c=d=0
Le groupement π trouvé ne
dépendra pas de l'énergie
cinétique du fluide ρU2
i=0
Le groupement π trouvé ne
dépendra pas de l'écart de
température Tp - T∞
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Résolution du système déterminant
le premier groupement adimensionnel p
Avec g = 1 et c = d = i = 0
b+d+e+g=0
b + e = -1
a + b + c- 3d - e + 2f = 0
a + b + 2f - e = 0
- 3b - c - e - 2f - 3g = 0
- 3b - e - 2f = 3
-b-f -g +i = 0
-b-f = 1
a=1
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b=-1
e= 0
f=0
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Nombre de Nusselt Nu
(
π = D a λ b U c∞ ρ d µ e C f h g Tp − T∞
Avec :
a=1
g = 1 et :
b=-1
c=d=i=0
e= 0
f=0
π1 = N u =
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)
i
hD
λ
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Signification du Nombre de Nusselt Nu
Nu = Coefficient de convection h mis sous forme adimensionnelle
Fconvecté = h ( Tp - T∞ ) ( DL )
Flux de référence = flux de conduction = λ ( DL ) [(Tp - T∞) / D]
Nu =
Fconvecté
Flux de référence
=
=
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h ( Tp - T∞ ) ( DL )
λ ( DL ) [(Tp - T∞) / D]
hD
λ
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π = D λ U ρ µ C h
a
b
c
∞
d
e
f
g
(T
p
− T∞
)
i
4 des 8 paramètres peuvent être choisis de manière arbitraire
b=0
f= 0
g=0
i= 0
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de manière à ne conserver que
les caractéristiques de
l'interaction
fluide-obstacle créant le
transfert de chaleur:
ω celles du fluide: ρ , µ
ω celles de l'écoulement: U∞ , D
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Nombre de Reynolds Re
(
π = D a λ b U c∞ ρ d µ e C f h g Tp − T∞
)
i
Avec :
b=f=g=i =0
ρU ∞ D
π2 = Re =
µ
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Signification du Nombre de Reynolds Re
Re =
Forces d'inertie
Forces de viscosité
=
ρ U∞ D
µ
Re caractérise la forme du profil de vitesse
de l'écoulement fluide
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π = D λ U ρ µ C h
a
b
c
∞
d
e
f
g
(T
p
− T∞
)
i
4 des 8 paramètres peuvent être choisis de manière arbitraire
a=0
c= 0
g=0
de manière à ne conserver que les
caractéristiques du fluide:
ρ, µ, λ, C
i= 0
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Nombre de Prandtl Pr
(
π = D a λ b U c∞ ρ d µ e C f h g Tp − T∞
)
i
Avec :
a=c=g=i =0
π
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3
µ
C
= Pr =
λ
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Signification du Nombre de Prandtl Pr
Viscosité dynamique
Pr =
Diffusivité thermique
=
µ/ρ
λ /ρC
=
µC
λ
Pr compare les influences respectives:
•
du profil de vitesse du fluide (viscosité)
•
du profil de température (diffusivité)
Pour les gaz usuels, Pr est voisin de 0.75
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Influence de la diffusivité thermique a
∂ 2T 1 ∂ T
=
2
a ∂ t
∂x
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avec
λ
a=
ρc
dT proportionnel à a
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Conclusion de l'analyse dimensionnelle
Le transfert de chaleur convectif
implique une relation entre 4
nombres sans dimension
F( π1 , π2 , π3 , π4 ) = 0
F (Nu , Re , Pr , Ec ) = 0
Nu = h D
λ
Le quatrième
groupement
adimensionnel possible
est le Nombre d'Eckert.
ρU∞D
Re =
µ
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µC
Pr =
λ
Il n'intervient que dans
la description
d'écoulements proches
de la vitesse du son.
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Nombres dérivés
• Nombre de Peclet: papport des flux thermiques par
convection et par conduction
ρ .U .D µ .C p
Pe = Re . Pr =
.
λ
µ
U .D
Pe =
a
avec a, diffusivité thermique =
λ
ρ .C p
• Il existe aussi les nombres de Stanton , Grashof, Froude,
Weber, Rayleigh
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Loi de la convection forcée
F (Nu , Re , Pr) = 0
ou
Nu = f (Re , Pr)
hD = f  ρ U ∞ D , µ C 
λ
µ
λ 

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Écoulement dans un tube
•
•
Régime permanent dans une conduite cylindrique circulaire de diamètre
intérieur D.
Flux de chaleur dΦ échangé à travers l’aire latérale de paroi dS comprise
entre les abscisses x et x + dx:
(
)
dΦ = h Tm - Tp π D dx
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Coefficient d’échange en régime turbulent
•
•
Pour les nombres de Reynolds : 104 < Re < 1,2.105
Formule de Colburn – corrélation expérimentale:
1
N u = 0.023 Pr 3 R e
0,8
•
Conditions d’application:
Le régime d’écoulement doit être parfaitement établi  x/D > 60
•
0,7 < Pr < 100.
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Régime turbulent non établi
• x/D < 60
0.7 

1
D
0.8
N u = 0.023 Pr 3 R e 1 +   
  x  
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Régime laminaire
• Re < 2000,
• corrélations expérimentales de Lévêque, avec:
1
x V .D
=
A=
R e Pr D
α
avec α =
λ
ρ .C p
N u = 3.66
pour A > 0.05
N u = 1.06 A - 0.4 pour A < 0.05
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Exemple d’application
• Tuyau de diamètre D = 20 mm
• Débit Q = 0,5 l/s d’eau à 50°C.
• Déterminer le flux thermique transmis par convection du
fluide vers la paroi, par mètre linéaire de conduite, dans le
cadre des hypothèses suivantes:
–
–
–
–
Température d’entrée de l’eau constante;
Paroi du tube assez mince - on néglige la conduction;
Température extérieure = 15°C;
Ecoulement parfaitement établi
• Propriétés physiques de l’eau:
–
–
–
–
Masse volumique à 50°C:
Viscosité dynamique à 50°C:
Conductivité thermique à 50°C:
Capacité thermique massique à 50°C:
HES-SO - Energétique ::: | convection | :::
ρ = 988 kg/m3
µ = 0.55.10-3 Pa.s
λ = 0.639 W/(m.°C)
Cp = 4’184 J/(kg.°C)
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Résolution d'un problème de convection forcée
1 une géométrie
2
une dimension caractéristique L
3
L'écart Tp - T∞ entre paroi et fluide
4
La vitesse U∞ du fluide
5
HES-SO - Energétique ::: | convection | :::
ρ , µ, C et λ du fluide
41/ 64
1 une géométrie
Exemple:
Un tuyau à section circulaire transportant de l'eau
chaude.
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2
une dimension caractéristique L
Exemple:
un tuyau de
diamètre
D = 20 mm
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3
L'écart Tp - T∞ entre paroi et fluide
Exemple:
Le tuyau transporte
de l'eau à la
température
moyenne:
Flux de chaleur
Ecoulement
Tm = 50 °C
alors que la paroi est
à la température:
Tp = 15 °C
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4
La vitesse U∞ du fluide
Exemple:
Le tuyau transporte un
débit:
Q = 0,5 l/s
La vitesse moyenne de
l'écoulement est alors:
1,6 m/s
HES-SO - Energétique ::: | convection | :::
Um = Q/S = 1,6 m/s
45/ 64
5
ρ , µ, C et λ du fluide
Pour de l'eau:
Masse volumique à 50°C:
ρ = 988 kg/m3
Viscosité dynamique à 50°C:
µ = 0.55.10-3 Pa.s
Conductivité thermique à 50°C:
λ = 0.639 W/(m.°C)
Capacité thermique massique à 50°C:
C = 4184 J/(kg.°C)
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Calcul du coefficient de transfert convectif h
hD = f  ρ U ∞ D , µ C 
λ
µ
λ 

4
h
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3
2
1
47/ 64
1 - Calcul du Nombre de Prandtl du fluide
-3
µ C 0.55.10 × 4184
Pr =
=
= 3.60
0.639
λ
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2 - Calcul du Nombre de Reynolds du fluide
ρ U m D 988 × 1.59 × 0.02
Re =
=
= 57124
-3
µ
0.55.10
HES-SO - Energétique ::: | convection | :::
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3 - Choix de la corrélation expérimentale
Nu = f(Re, Pr)
Pour:
et:
104 < Re < 1.2 x105
0,7 < Pr < 100
on applique la corrélation de COLBURN:
1
N u = 0.023 Pr 3 R e
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0,8
50/ 64
Calcul du Nombre de Nusselt (Formule de Colburn)
N u = 0,023 Pr
1
3
Re
0,8
Pr = 10
Pr = 3,6
Nu = 224
Pr = 1
NR = 57124
HES-SO - Energétique ::: | convection | :::
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4 - Calcul de h
N u = 224 =
h=
λ Nu
D
HES-SO - Energétique ::: | convection | :::
hD
λ
0.639 × 224
2
=
= 7156 W/(m .°C)
0.02
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Calcul du Flux thermique transmis par convection
dΦ = h (Tp - T∞ ) π Ddx
(
)
dΦ
W=
= h Tm - Tp π D = 15.7 kW/m
dx
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Ecoulement autour d’un tube
Pour un gaz :
m
Nu = A ⋅ Re
Pour un liquide :
Nu = 1.11 ⋅ A ⋅ Re m ⋅ Pr 0.31
Re
A
1 < Re < 4
0.891
0.330
4 < R e < 40
0.821
0.385
40 < R e < 4.10 3
0.615
0.466
4.10 3 < R e < 4.10 4 0.174
0.618
4.10 4 < R e < 4.10 5 0.024
0.805
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m
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Cas des échangeurs à tubes
N u = B ⋅ (R e )
0 .6
⋅ (Pr )
0 .33
Faisceau aligné : B = 0.26
Faisceau en quinconce : B = 0.33
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Exercice d’application
• Calculer la longueur de tube nécessaire à un échangeur aireau
• Températures
• Air in = 800 °C
• Air out = 40°C
• Eau in = 15°C
• Eau out = 40°C
• Puissance moyenne fournie = 10 kW
• Diametre du tube= 10 mm
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Ecoulement le long d’une plaque
Dans la sous - couche laminaire :
dΦ
d 2Q
∂ T 
=
= - λ ⋅

dS
dS dt
 ∂ n  n=0
(
)
d 2Q = h Tp - Tm dS dt
λ
∂ T
h=[W / m 2 .° K ]


Tp - Tm  ∂ n  n = 0
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Cas d’une paroi plane – Régime laminaire
ρ Um L
Re L =
µ
hL
Nu L =
λ
Régime laminaire Re < 2000 :
2
0 .5
0.33
Nu L = (Re L ) (Pr )
3
Régime turbulent :
Nu L = 0,036 (Re L )
0 .8
HES-SO - Energétique ::: | convection | :::
(Pr )
0.33
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Convection naturelle: nombres de Grashof et de Froude
Gr =
α .g.D.3 ∆T
γ2
avec α = coefficient de dilatation volumique isobare du fluide
α =
1 ∂ v


v  ∂ T  p = cte
1
Pour un fluide parfait α =
T
∆T g .D 3
Gr =
⋅
T
γ2
Rapport entre forces de poussée ascensionnelle dues à une
différence de température et forces de viscosité
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Nombre de Froude
2
U
Fr =
g .L
• Rapport entre forces de viscosité, de gravité et d’inertie.
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Couche limite de convection naturelle
Gr =
α g ∆T ρ 2 L3
µ
2
Forces de gravité
Par unité de volume
Gr =
HES-SO - Energétique ::: | convection | :::
α g ∆T
 µ
 
 ρ
2
1
L3
Forces de frottement
visqueux par unité de
volume
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Convection naturelle laminaire et turbulente
N u = C (G r . Pr )n
calculés à la température
moyenne, fluide - paroi
Laminaire : n = 1/4
Turbulent : n = 1/3
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Facteur de forme C
Géométrie et
orientation
de la paroi
Plaque verticale
Dimension
caractéristique
L
Hauteur
C
en convection
laminaire
C
en convection
turbulente
0,59
0,13
(104 < Gr.Pr < 109)
(109 < Gr.Pr < 1013)
Cylindre horizontal Diamètre extérieur
0,53
(103 < Gr.Pr < 109)
0,10
(109 < Gr.Pr < 1013)
Plaque horizontale Largeur
chauffant vers
le haut
Plaque horizontale Largeur
chauffant vers
0,54
(105 < Gr.Pr < 2.107)
0,14
(2.107 < Gr.Pr < 3.1010)
0,27
(3.105 < Gr.Pr <
3.1010)
0,07
(3.1010 < Gr.Pr < 1013)
le bas
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Exemple d’application: mur ensoleillé
H=6 m
L=10 m
Pr = 0.72
Gr = 5.61.1011
Tp = 313°K
Ta = 293°K
Tm = 303°K
ρ = 1,149 kg/m3
λ = 0.0258 W/(m.K)
µ = 18.4 10-6 Pa.s
Cp = 1006 J/(kg.K)
Ra = 4.02.1011
Nu = 0.13.Ra 0.333 = 960
Nu.λ
= 4.13 W/m 2 °K
h=
L
HES-SO - Energétique ::: | convection | :::
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