INTERFÉRENCES À 2 ONDES Interférences et battements

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TD1 :
INTERFÉRENCES À 2ONDES
Interférences et battements
1- Interférences
Considérons l’interféromètre de Mach-Zehnder présenté en
Fig. 1. Le signal laser est séparé en deux signaux d’égales ampli-
MiroirMiroir
L/2
Photodiode
Laser
Lame
separatrice
´
Figure 1: Interféromètre de Mach-Zehnder.
tudes avec une lame séparatrice. Le retard entre les signaux peut
être ajusté en déplaçant les miroirs, i.e., en variant la distance L.
L’interférence entre les deux signaux recombinés à la sortie d’une
seconde lame séparatrice est mesurée avec une photodiode.
1a- Nous supposons que le signal laser est une onde plane de
pulsation ω0et d’amplitude E0. Déterminez le champ incident
sur la photodiode, somme des champs déphasés après propaga-
tion dans les deux bras de l’interféromètre.
1b- Déduire l’intensité détectée par la photodiode, et tracez
son évolution en fonction du différentiel de position Lentre les
miroirs. Vous devriez observer des franges d’interférences.
1c- Vous remarquez que pour une distance Ldonnée, l’intensité
ne varie pas en fonction du temps. Afin de préparer la suite de
ce TD, tracez l’évolution temporelle de l’intensité détectée pour
une distance Ldonnée.
1d- Il existe des modulateurs de phase électro-optique qui
permettent de moduler l’indice optique d’un cristal (LiNbO3
par exemple), en y appliquant une tension. Pour les communi-
cations longues distances à haut-débit, les signaux électriques
sont portés par une porteuse optique. Comment pourriez-vous
moduler l’intensité lumineuse d’un laser ?
2- Lasers décorrélés
Considérons maintenant deux lasers distincts et indépendants,
mais de même pulsation moyenne ω0. Après réflexion sur un
miroir, le faisceau du laser 1 est combiné à celui du laser 2 à l’aide
d’une lame séparatrice, tel que représenté Fig. 2. Nous supposons
égales les amplitudes des deux lasers à la sortie de la séparatrice.
Les faisceaux combinés sont ensuite détectés avec une photodi-
ode de très faible bande passante.

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Miroir
Photodiode
Laser 2
Lame
separatrice
´
Laser 1
L/2
Figure 2: Combiner deux faisceaux lasers.
2a- Les lasers étant indépendants, nous noterons ∆ϕle
déphasage à l’origine entre les deux lasers, quantité aléatoire
variant dans le temps. Déterminez l’intensité détectée sur la pho-
todiode. Tracez l’allure temporelle de l’intensité en sortie de la
photodiode et comparez à la question 1c.
2b- Nous supposons que les variations du déphasage ∆ϕ
sont très rapides devant le temps de réponse de la photodiode,
et de moyenne nulle. La photodiode est donc sensible à la
valeur moyenne temporelle de l’intensité détectée. Montrez que
l’intensité moyenne détectée par la photodiode n’est autre que
la somme des intensités de chaque laser, et qu’il n’y a donc pas
d’interférences.
3- Battements
Reprenons maintenant le montage présenté Fig. 2, mais con-
sidérons les lasers 1 et 2 de pulsations respectives ω1et ω2. Nous
utilisons cette fois une photodiode de grande bande passante de-
vant la différence de fréquence des lasers.
3a- Les lasers étant indépendants, nous noterons ∆ϕle
déphasage entre ces deux lasers. Déterminer l’intensité détectée
sur la photodiode et montrez que cette fois, le courant de sortie de
la photodiode comporte une composante spectrale de fréquence
égale à la différence de fréquence des lasers.
3b- Nous connectons maintenant la sortie de la photodiode à
un oscilloscope et à un analyseur de spectre électrique (radio-
fréquence). Tracez l’allure des signaux observés sur ces appareils
pour un temps d’observation très court devant la dynamique
temporelle de ∆ϕ.
3c- Si la bande passante de la photodiode est inférieure à la
différence de fréquence entre les lasers, quelle est l’intensité
mesurée ?

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Interféromètre de Michelson
Nous étudions ici la cohérence de différentes sources lasers à
l’aide d’un interféromètre de Michelson, tel que présenté Fig. 3.
Miroir
Miroir
L
Photodiode
Laser
Lame
separatrice
´
Figure 3: Interféromètre de Michelson.
Le signal de la source laser est envoyé vers une lame sépara-
trice (avec compensatrice) séparant le faisceau incident en deux
faisceaux d’égales amplitudes. Les faisceaux sont réfléchis sur
des miroirs avant d’être combinés de nouveau avec la même
lame séparatrice et détectés avec une photodiode de faible bande
passante. Lorsque l’interféromètre de Michelson est équilibré, les
miroirs sont à égales distances de la lame séparatrice. De manière
générale, nous considérons l’interféromètre déséquilibré, l’un
des deux miroirs étant déplacé d’une distance Lpar rapport à la
position d’équilibre.
1- Laser monochromatique
Nous supposons que le signal laser est une onde plane de pul-
sation ω0et d’amplitude E0.
1a- Déterminez le champ incident sur la photodiode, somme
des champs déphasés après propagation dans les deux bras de
l’interféromètre.
1b- Déduire l’intensité détectée par la photodiode, et tracez
son évolution en fonction du différentiel de position Lentre les
miroirs. Vous devriez observer des franges d’interférences.
1c- Comment utiliser cet interféromètre pour mesurer des
variations d’indice optique (détection de gaz), la planéité d’un
miroir plan ?
2- Laser bifréquence
Nous supposons maintenant le signal laser constitué de deux
ondes planes de pulsations ω1et ω2, d’égales amplitudes E0.
2a- Afin de s’affranchir du phénomène de battement
précédemment décrit, nous supposons la bande passante de
la photodiode très inférieure à la différence entre les deux
fréquences lasers. Par conséquent, l’intensité détectée sur la pho-
todiode est la somme des intensités détectées à chaque fréquence.
Montrez que l’intensité détectée peut se mettre sous la forme :
I=I0[1+cos {L(ω2−ω1)/c}cos {L(ω1+ω2)/c}].
2b- Tracez l’évolution de l’intensité détectée en fonction du
différentiel de position Lentre les miroirs. Quelle différence
observez-vous avec le cas du laser monochromatique ?
2c- Le sodium présente deux raies d’émission à 589,0 nm and
589,6 nm, c’est le doublet jaune du sodium. Ces raies sont trop
rapprochées pour pouvoir être observées par des instruments

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traditionnels. À l’aide de ces derniers, la mesure est sous-résolue
et ne donne que l’information sur la longueur d’onde moyenne,
soit 589,3 nm. Comment pouvez-vous mesurer la différence de
fréquence entre les raies à l’aide de l’interféromètre de Michel-
son ?
3- Laser de spectre optique Gaussien
Nous supposons maintenant une densité spectrale d’intensité
Iν(ν)de forme Gaussienne :
Iν(ν) = I0
∆νexp (−πν−ν0 ∆ν2).
3a- En sommant les interférences obtenues pour chaque
fréquence du spectre optique, et en utilisant la formule 1 don-
née en annexe, montrez que l’intensité mesurée par la photodi-
ode est :
I≈2I0"1+1
∆νZ+∞
−∞exp (−πν−ν0
∆ν2)cos 4πL cν∂ν#.
3b- On effectuera les changements de variable suivants : X=
ν−ν0,a=π/∆ν2et k=4πL/cdans l’expression précé-
dente. En utilisant la formule 2 donnée en annexe, montrez que
l’intensité détectée peut simplement s’exprimer sous la forme :
I≈2I0"1+exp (−1
2π4πL∆ν c2)cos 4πL cν0∂ν#.
3c- Tracez l’intensité détectée par la photodiode en fonction du
différentiel de position L. Commentez sur l’évolution de cet in-
terférogramme quand la largeur spectrale du laser ∆νdiminue.
3d- De nombreux lasers présentent une largeur spectrale
d’émission trop faible pour pouvoir être mesurée avec un anal-
yseur de spectre traditionnel. Pouvez-vous proposer une méth-
ode à l’aide de l’interféromètre de Michelson pour la mesure de
faibles largeur spectrales ?
Annexe mathématique
Nous donnons les relations suivantes permettant de manipuler
les intégrales de fonctions Gaussiennes plus facilement :
Z+∞
−∞exp(−x2)∂x=√π, (1)
Z+∞
−∞exp(−a x2)cos(k x)∂x=rπ
aexp −k2 2a. (2)