Exercice N°1 : Laser à 4 niveaux

Institut d'Optique, 2° année Examen de Lasers 12/12/2013
François BALEMBOIS
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Examen de Lasers
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Exercice 1 : Fréquence optimale pour un laser Er:YAG déclenché
activement.
On considère un laser Er:YAG pompé à 1470 nm et émettant à 1617 nm. Pour simplifier le
problème, on suppose qu'il s'agit d'un laser à 4 niveaux décrit sur la figure 1.
On définit les grandeurs suivantes :
p section efficace pour la transition de pompe,p = 10-20cm2.
Ip intensité de pompe (en nombre de photons par seconde et par cm2). Ip est la même pour tous les
atomes du milieu à gain. Le laser est pompé en régime continu de sorte que Ip est constante en
fonction du temps.
p est la longueur d'onde de pompe, p = 1470 nm,  est la longueur d'onde laser,  = 1617 nm.
V est le volume de pompe dans le milieu à gain.
 est le débit du niveau 3 au niveau 2 (en s-1). Ce débit est très grand par rapport aux autres
débits.  est aussi le débit du niveau 1 au niveau 0 (en s-1).
A est le coefficient d'Einstein pour l'émission spontanée (s-1), A = 2.102s-1.
est la section efficace pour la transition laser.
nt est la densité totale de population.
Fig.1 : Niveaux d'énergie pour le milieu Er:YAG
On suppose que le débit  est très grand de telle sorte que la densité de population dans le niveau
3, n3, est toujours à l'état stationnaire.
On suppose également que la densité de population dans le niveau 1, n1, est négligeable par
rapport aux autres densités mises en jeu.
Dans cet exercice, le débit pIp peut être important par rapport au débit A.
Le milieu est inséré dans une cavité qui est déclenchée par un modulateur accousto-optique. Le
déclenchement est périodique. La fréquence de déclenchement, notée f, peut être ajustée par un
pilotage externe du modulateur accousto-optique. Le but de cet exercice est de trouver un
optimum pour la fréquence de déclenchement en terme d'énergie émise et en terme de puissance
moyenne.
On suppose que tous les cycles de déclenchement sont les mêmes : au début du cycle (t=0), la
densité de population, n2, dans le niveau du haut (niveau 2) est nulle (n2(t=0)=0). Celle-ci croit
grâce au pompage. A la fin du cycle, le niveau du haut est entièrement vidé par l'impulsion laser.
1) Sans calcul, donner la forme de n2(t), de l'intensité laser et des pertes de la cavité en fonction
du temps, pour 2 cycles consécutifs.
2) Donner les équations de débit de population dn2/dt et dn3/dt (sans effet laser).
3) En utilisant le fait que n3 est toujours à l'état stationnaire, que n1 est négligeable et que
n2(t=0)=0, donner une expression de n2(t) avant l'effet laser, en fonction de nt et n2.
Les pertes passives de la cavité sont négligeables comparées à la transmission du miroir de sortie.
En conséquence, on suppose que tous les photons stimulés sont collectés dans l'impulsion émise

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par le laser. En supposant que la durée de l'impulsion laser est très courte devant la durée d'un
cycle (1/f), l'énergie en sortie du laser peut s'exprimer simplement par : E(f)=hc/*V*n2(t=1/f).
4) Donner l'expression de P(f), la puissance moyenne (en watts) en sortie du laser en fonction de
la fréquence de déclenchement.
5) On définit Emax et Pmax l'énergie maximale et la puissance moyenne maximale qui peuvent être
atteintes en faisant varier la fréquence de déclenchement.
Donner l'expression de Emax et de Pmax.
6) Tracer sur le même graphe E/Emax and P/Pmax en fonction de la fréquence de déclenchement f.
7) Démontrer que le croisement des deux courbes correspond à une fréquence de déclenchement
de f = pIp + A. Cette fréquence est un bon compromis pour avoir en même temps une énergie
importante et une puissance moyenne importante.
8) La diode laser utilisée pour le pompage à 1470 nm a une puissance de pompe de 14 W. Le
faisceau de pompe est focalisé dans le cristal d'Er:YAG sur un cylindre de rayon wp = 200 µm.
L'intensité de pompe, Ip, est supposée constante dans tout le milieu. Donner la valeur numérique
de la fréquence de déclenchement f afin de remplir la condition de la question 7 :
f = pIp + A
Exercice 2 : Laser en cascade
On considère un système à 4 niveaux décrit sur la figure 2. La particularité de ce système est que
la transition 3-2 est radiative. Ainsi, le laser peut fonctionner sur 2 transitions : 3-2 et 2-1.
On définit les grandeurs suivantes :
p est la section efficace sur la transition de pompe,p = 10-20cm2.
Ip est l'intensité de pompe (en nombre de photons par seconde et par cm2). Elle est supposée
constante pour tous les atomes du milieu.
 est le débit du niveau 1 au niveau 0 (en s-1). Ce débit est très important par rapport aux autres
débits.
A21 est le coefficient d'Einstein pour la transition 2-1 (s-1), 1/A21 = 0.6 ms
A32 est le coefficient d'Einstein pour la transition 3-2 (s-1), 1/A32 = 0.9 µs
 est la section efficace pour la transition 2-1.
32 est la section efficace pour la transition 3-2.
I21 et I32 sont les intensités laser pour les transitions 2-1 et 3-2 (en nombre de photons par seconde
et par cm2).
21 et 32 sont les fréquences des transitions 2-1 et 3-2.
nt est la densité de population totale. n0, n1, n2 and n3 sont les densités de population des différents
niveaux.
Fig.2 : niveaux d'énergie pour le système laser étudié.
Le milieu est pompé en régime continu. On suppose qu'un état stationnaire est atteint.
1) Dans cette question, on suppose que I21=0 et que I32=0 (pas d'effet laser sur les 2 transitions).
1.1) En utilisant l'équation de débit sur le niveau 2 (dn2/dt), donner le signe de la densité
d'inversion de population pour la transition 3-2, notée n32.
n3
n2
n1
n0
Energie
g
A21
1
2
3
0
spIp
A32

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1.2) Le milieu est-il absorbant, transparent ou amplificateur à la fréquence 32?
1.3) Même question si le milieu n'est pas pompé (Ip=0).
2) Transparence sur la transition 3-2
Le milieu est éclairé par un faiseau laser de fréquence 21 et d'intensité I21≠0.
2.1) En utilisant l'équation de débit pour le niveau 1 (dn1/dt), démontrer qu'à l'état stationnaire :
n1<<n2.
2.2) En utilisant l'équation de débit pour le niveau 2 (dn2/dt), donner une expression de n3 en
fonction de n2.
2.3) Donner l'expression de I21 telle que le milieu devienne transparent à la fréquence 32.
2.4) Expliquer physiquement ce qui se passe dans le milieu.
3) Seuil d'oscillation sur la transition 3-2 et fonctionnement bi-longueur d'onde.
Le milieu a une longueur d. Les densités de population sont supposées être indépendantes de la
position. Le milieu est inséré dans une cavité en anneau avec un seul sens de propagation. La
cavité a 3 miroirs M1, M2. et M3.
M1 est le miroir de sortie. Sa transmission est T1. Elle est la même pour les deux fréquences 21
et32.
M2 a une transmission est T2. Elle est la même pour les deux fréquences 21 et32.
M3 a une transmission est T3. Elle est la même pour les deux fréquences 21 et32.
Le laser peut fonctionner simultanément sur les transitions 2-1 et 3-2.
3.1) On définit G21 le gain du milieu à la fréquence 21. Donner la relation entre T1, T2, T3 et G21
lorsque le laser oscille à la fréquence 21 à l'état stationnaire.
3.2) Donner l'expression de G21 en fonction de la densité de population du niveau 2, n2.
3.3) En déduire l'expression de n2 lorsque le laser oscille à l'état stationnaire à la fréquence 21.
3.4) Donner l'expression de n32 lorsque le laser atteint le seuil d'oscillation à la fréquence 32.
3.5) En utilisant les résultats de la question 2.2, donner l'expression de I21 telle que le laser
atteigne le seuil d'oscillation à la fréquence 32.
3.6) Au dessus des seuils, on suppose que chaque photon de pompe donne un photon à la
fréquence 32 et un photon à la fréquence 21. Donner l'allure des courbes de puissance de sortie
(en watts) en fonction de la puissance absorbée (en watts). Pour cette question, vous pouvez
utiliser les résultats du cours, sans calcul.

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Exercice 3 : Détermination d'une cavité à plan-concave connaissant sa
matrice ABCD.
On considère une cavité à 2 miroirs, plan-concave, avec la matrice suivante, référencée par rapport
à un plan  :
M
p ® p
=0,5 1,5
-0,5 0,5
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
Le but de cet exercice est de décrire la cavité plan-concave qui possède une telle matrice.
1) La cavité est-elle stable?
2) Donner la position du plan du waist par rapport au plan de référence .
3) Donner l'expression du rayon de courbure complexe de l'onde propre gaussienne de la cavité
dans le plan .
4) La longueur d'onde est =1µm. Donner la valeur numérique du rayon (à 1/e2) de l'onde propre
dans le plan du waist, noté w0.
5) R est le rayon de courbure du miroir concave. L est la distance entre les deux miroirs.
5.1) Donner l'expression de la matrice ABCD de la cavité par rapport au plan du waist.
5.2) A partir des coefficients de la matrice
M
p ® p
donner la valeur numérique de R.
5.3) Même question pour la valeur numérique de L.
5.4) Calculer le rayon de courbure du front d'onde de l'onde propre à la distance L du plan du
waist. Vérifier que le front d'onde "épouse" la forme du miroir concave.