INFO-F-203 Algorithmique II: Ch-2 Arbres binaires de recherche

INFO-F-203 Algorithmique II: Ch-2
Arbres binaires de recherche, Rouges-Noirs
Exercice 1
1. Dessiner des arbres binaires de recherche de hauteur 2, 3, 4, 5 et 6 pour le mˆeme ensemble de cl´es
{1,4,5,10,16,17,21}.
2. Donner un algorithme non r´ecursif qui effectue un parcours infixe.
3. Donner des algorithmes r´ecursifs qui effectuent les parcours pr´efixe et postfixe en un temps Θ(n) sur
un arbre `a nnoeuds.
4. Montrer que, puisque le tri de n´el´ements prend un temps Ω(nlog(n)) dans le cas le plus d´efavorable
dans le mod`ele de comparaison, tous algorithme bas´e sur ce mod`ele qui construit un arbre binaire de
recherche `a partir d’une liste arbitraire de n´el´ements s’effectue au pire en Ω(nlog(n)).
Exercice 2
1. On suppose que des entiers compris entre 1 et 1000 sont dispos´es dans un arbre binaire de recherche
et que l’on souhaite trouver le nombre 363. Parmi les s´equences suivantes, lesquelles ne pourraient pas
ˆetre la suite des noeuds parcourus ?
– 2, 252, 401, 398, 330, 344, 397, 363.
– 924, 220, 911, 244, 898, 258, 362, 363.
– 925, 202, 911, 240, 912, 245, 363.
– 2, 399, 387, 219, 266, 382, 381, 278, 363.
– 935, 278, 347, 621, 299, 392, 358, 363.
2. Le professeur Norris pense avoir d´ecouvert une remarquable propri´et´e des arbres binaires de recherche.
Supposez que la recherche d’une cl´e kdans un arbre binaire de recherche se termine sur une feuille.
On consid`ere trois ensembles : A, les cl´es situ´ees `a gauche du chemin de recherche ; B, celle situ´ee sur
le chemin de recherche ; et C, les cl´es situ´ees `a droite du chemin de recherche. Le professeur Norris
affirme que, ´etant donn´es trois a∈A, b ∈B, c ∈Cquelconques, ils doivent satisfaire `a a≤b≤c.
Est-ce que c’est vrai ? Si oui, dire pourquoi ; sinon, donner un contre-exemple.
3. Montrer que, si un noeud d’un arbre binaire de recherche a deux enfants, alors son successeur n’a pas
d’enfant de gauche et son pr´ed´ecesseur n’a pas d’enfant de droite quand toutes les cl´es sont diff´erentes.
4. Soit un arbre binaire de recherche Tdont les cl´es sont distinctes. Montrer que, si le sous-arbre de droite
d’un noeud xdans Test vide et que xa un successeur y, alors yest l’ancˆetre le plus bas de xdont
l’enfant de gauche est aussi un ancˆetre de x. (Ne pas oublier que chaque noeud est son propre ancˆetre.)
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Exercice 3
1. On peut trier un ensemble donn´e de nnombres en commen¸cant par construire un arbre binaire de
recherche contenant ces nombres (en r´ep´etant ARBRE-INS´ ERER pour ins´erer les nombres un `a un),
puis en imprimant les nombres via un parcours infixe de l’arbre. Quels sont les temps d’ex´ecution de
cet algorithme de tri, dans le pire et dans le meilleur des cas ?
2. L’op´eration de suppression est-elle commutative au sens o`u la suppression de xpuis de ydans un arbre
binaire de recherche produit le mˆeme arbre que la suppression de ypuis de x? Si oui, dire pourquoi ;
sinon, donner un contre-exemple.
3. Montrer que tout arbre binaire de recherche `a nnoeuds peut ˆetre transform´e en n’importe quel autre
arbre binaire de recherche `a nnoeuds, `a l’aide de O(n) rotations. (Conseil : Commencer par montrer
qu’au plus n−1 rotations droite suffisent `a transformer l’arbre en une chaine orient´ee vers la droite.)
Exercice 4
1. Supposons que l’on absorbe chaque noeud rouge d’un arbre rouge-noir dans son parent noir, de fa¸con
que les enfants du noeud rouge deviennent des enfants du parent noir. (On ne se pr´eoccupe pas de ce
qu’il advient des cl´es.) Quels sont les degr´es possibles d’un noeud noir apr`es absorption de tous ses
enfants rouges ? Que peut-on dire des profondeurs des feuilles de l’arbre r´esultant ?
2. Montrer que le chemin simple le plus long reliant un noeud xd’un arbre rouge-noir `a une feuille a une
longueur qui est au plus ´egal `a deux fois celle du plus court chemin simple reliant le noeud x`a une
feuille.
3. Quel est le plus grand nombre possible de noeuds internes d’un arbre rouge-noir de hauteur noire k?
Quel est le plus petit nombre possible ?
4. Montrer les arbres rouge-noir qui r´esultent de l’insertion successive des cl´es : 41, 38, 31, 12, 19, 8 dans
un arbre rouge-noir initialement vide.
5. Montrer les arbres rouge-noir issue de la suppression successive des cl´es : 8, 12, 19, 31, 38, 41 de
l’exercice pr´ec´edent.
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