TD n˚12 - Ondes électromagnétiques dans le vide 1 Equation de
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TD no 12 : Ondes électromagnétiques dans le vide Physique TD n˚12 - Ondes électromagnétiques dans le vide 1 Equation de propagation du potentiel électromagnétique dans le vide On considère une zone de l’espace vide de charges et de courants. 1. Rappeler la condition de jauge de Lorentz 2. En déduire que le potentiel V vérifie une équation de D’Alembert. On précisera la célérité de l’onde. → − 3. En déduire également que le potentiel vecteur A vérifie une équation de D’Alembert. On précisera là encore la célérité de l’onde. 2 Ondes sphériques On considère une région de l’espace vide de charges et de courants située autour d’une source de champ électromagnétique à symétrie sphérique. On cherche à déterminer l’expression générale des ondes émises par la source dans la zone vide. 1. Donner l’expression de l’équation différentielle vérifiée par chacune des composantes du champ électromagnétique dans le vide. Dans la suite, on se restreint à la composante Er du champ. 2. En utilisant la géométrie de la source justifier que l’on recherche Er sous la forme Er (r, t). 3. En utilisant le formulaire d’analyse vectorielle, donner l’équation vérifiée par Er . h(r, t) 4. Rechercher une solution de cette équation sous la forme Er (r, t) = , et montrer que r le champ radial peut s’écrire sous la forme : Er (r, t) = f (r − ct) g(r + ct) + r r 5. Justifier le terme d’ondes sphériques progressives des deux ondes composant le champ électrique radial. 3 Relations de dispersion dans le vide et dans un milieu conducteur 1. On considère tout d’abord une onde électromagnétique plane progressive harmonique se propageant dans le vide définie en notation complexe par : → − E = − → B = − → i E 0e − → i B 0e − → → ωt− k ·− r − → → ωt− k ·− r a) Montrer, en utilisant l’équation de D’Alembert vérifiée par ce champ complexe, qu’on ω retrouve bien la relation de dispersion k = ± en fonction de la direction de propac gation. PSI - Année 2010/2011 1 Lycée Paul Eluard TD no 12 : Ondes électromagnétiques dans le vide Physique b) Montrer qu’on obtient également la même relation de dispersion en réutilisant les équations de Maxwell écrites sous forme complexe. On pourra utiliser la formule vectorielle suivante : → − → → − → − → − − → → → a ∧ b ∧− c = b (− a ·→ c)−− c − a · b 2. On considère maintenant que la même OP P H arrive dans un milieu conducteur de conductivité γ de sorte qu’elle s’écrit à l’intérieur de ce nouveau milieu en notation complexe : 0 → − E = →0 − B = − →0 i E 0e − →0 i B 0e − → → ωt− k 0 ·− r − → → ωt− k 0 ·− r On admettra que la pulsation est inchangée à la traversée du milieu, et on ne cherchera − →0 → −0 − → − → pas à déterminer la relation liant E 0 et B 0 avec E 0 et B 0 . a) Ecrire les équations de Maxwell en notation complexe dans le milieu. b) En déduire que l’onde reste transverse dans ce milieu. c) En déduire que la relation de dispersion dans le milieu conducteur est donnée par : k 02 = −iµ0 γω + ω2 c2 4 Ondes électromagnétiques planes progressives 1. On étudie la propagation d’une onde électromagnétique dans le vide. a) Rappeler l’équation aux dérivées partielles à laquelle satisfont les champs électrique → − − → E (M, t) et magnétique B (M, t). b) On suppose que le champ électrique est de la forme : − → → E = E0 cos(ωt − kz)− ux i. À quelle équation doit satisfaire k pour que ce champ soit solution de l’équation rappelée à la première question ? ii. Quels sont la direction, le sens et la vitesse de propagation de cette onde ? iii. Quel est l’état de polarisation de cette onde ? iv. Quelle est la structure de cette onde ? − → − → v. Calculer le champ magnétique B associé à E ainsi que le vecteur de Poynting de l’onde. c) La puissance moyenne rayonnée par cette onde à travers une surface S = 4mm2 orthogonale à sa direction de propagation est P = 10W . Calculer les amplitudes E0 et B0 des champs électrique et magnétique. 2. On étudie maintenant une seconde onde électromagnétique dont le champ électrique est : " − → − → E = Ex → u x + Ey − uy i avec Ex = E0 e k (2x+2y+z)−ωt 3 # L’onde se propage dans le vide et sa longueur d’onde est λ = 6.10−7 m. PSI - Année 2010/2011 2 Lycée Paul Eluard Physique TD no 12 : Ondes électromagnétiques dans le vide a) Calculer la fréquence de l’onde. b) Dans quel domaine du spectre électromagnétique se situe cette onde ? c) Calculer la valeur numérique de la constante k. d) Établir l’équation cartésienne d’un plan d’onde. e) Exprimer Ey en fonction de Ex . − → f) Calculer le champ magnétique B de cette onde. g) Calculer la densité moyenne d’énergie électromagnétique associée à cette onde. h) Calculer le vecteur de Poynting de cette onde ainsi que sa valeur temporelle. Commenter. 5 Décomposition d’une onde polarisée rectilignement en deux ondes polarisées circulairement − → On considére l’OPPH monochromatique dont le champ électrique E est défini en coordonnées cartésiennes par 0 → − E = E0 cos α cos(kx − ωt) E0 sin α cos(kx − ωt) 1. Montrer qu’il s’agit d’une polarisation rectiligne dont on caractérisera la direction par son → vecteur unitaire − u (faire une figure). − → 2. Montrer que E se décompose en deux ondes polarisées circulairement en sens opposés. 6 Ondes polarisées circulairement On considère une onde polarisée circulairement dont les composantes sont, en coordonnées cartésiennes : Ex = 0; Ey = E0 cos(kx − ωt); Ez = E0 sin(kx − ωt) . 1. Préciser le sens de polarisation de cette onde. → − − → → − − → 2. Montrer que E = Re( E ) avec E = E 0 ei(kx−ωt) et donner l’expression de l’amplitude → − complexe E 0 de cette onde. − → 3. Quelle serait l’expression du champ E 0 polarisé circulairement en sens inverse ayant la même amplitude que le champ précédent ? Quelle serait l’expression de son amplitude → −0 complexe E 0 ? 7 Ondes polarisées → − → Donner les expressions réelles E (− r , t) des ondes planes suivantes : 1. Onde se propageant suivant l’axe Ox et polarisée linéairement à π/3 de Oy. 2. Onde se propageant suivant Oy et polarisée elliptiquement à droite, le grand axe de l’ellipse, suivant Oz, étant trois fois plus grand que le petit axe. 3. Onde polarisée linéairement suivant Oy et se propageant parallèlement au plan zOx à π/4 de Oz. PSI - Année 2010/2011 3 Lycée Paul Eluard Physique TD no 12 : Ondes électromagnétiques dans le vide 8 Propagation entre deux plans métalliques infinis − Une onde électromagnétique de pulsation ω se propage dans le vide dans la direction (O, → u x) − → entre deux plans métalliques parallèles placés en y = 0 et y = a. Le champ électrique E est − polarisé dans la direction (O, → u z ) et son amplitude E0 ne dépend que de la variable y. De même, − → l’amplitude des composantes du champ magnétique B ne dépendent que de y. 1. Déterminer les composantes des champs électrique et magnétique en fonction notamment de E0 (y). 2. Déterminer l’expression générale de l’amplitude du champ électrique en fonction de y. 3. En déduire la relation de dispersion reliant k et ω. Commenter. 4. Déterminer l’expression de la vitesse de phase. Commentaire ? 9 Réflexion sur un métal réel Une onde électromagnétique, plane, progressive, monochromatique, arrive sous incidence normale sur un milieu conducteur de conductivité γ de valeur finie occupant le demi-espace z > 0. − → − Le vecteur d’onde de l’onde incidente esr k 0 = k0 → u z , et son champ électrique s’écrit en notation complexe : − → − → E i = E 0 ei(ωt−k0 z) 1. Montrer qu’on peut établir la relation de dispersion suivante dans le métal en faisant les approximations qui s’imposent : k 2 = −iωµ0 γ 2. L’onde incidente donne naissance à une onde réfléchie et à une onde transmise. Déterminer les coefficients de réflexion r et de transmission t pour l’amplitude du champ électrique. 3. Déterminer le pouvoir réflecteur du milieu métallique défini comme le rapport de l’énergie réfléchie et de l’énergie incidente en z = 0. 4. Calculer la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans le cylindre d’axe Oz, de surface de base S, s’étendant du plan z = 0 jusqu’à l’infini. Comparer à la puissance transmise par l’onde incidente en z = 0. Conclure. PSI - Année 2010/2011 4 Lycée Paul Eluard
