TD n˚12 - Ondes électromagnétiques dans le vide 1 Equation de

Physique TD no12 : Ondes électromagnétiques dans le vide
TD n˚12 - Ondes électromagnétiques dans le
vide
1 Equation de propagation du potentiel électromagnétique dans le
vide
On considère une zone de l’espace vide de charges et de courants.
1. Rappeler la condition de jauge de Lorentz
2. En déduire que le potentiel Vvérifie une équation de D’Alembert. On précisera la célérité
de l’onde.
3. En déduire également que le potentiel vecteur −→ Avérifie une équation de D’Alembert. On
précisera là encore la célérité de l’onde.
2 Ondes sphériques
On considère une région de l’espace vide de charges et de courants située autour d’une source
de champ électromagnétique à symétrie sphérique. On cherche à déterminer l’expression générale
des ondes émises par la source dans la zone vide.
1. Donner l’expression de l’équation différentielle vérifiée par chacune des composantes du
champ électromagnétique dans le vide. Dans la suite, on se restreint à la composante Er
du champ.
2. En utilisant la géométrie de la source justifier que l’on recherche Ersous la forme Er(r, t).
3. En utilisant le formulaire d’analyse vectorielle, donner l’équation vérifiée par Er.
4. Rechercher une solution de cette équation sous la forme Er(r, t) = h(r, t)
r, et montrer que
le champ radial peut s’écrire sous la forme :
Er(r, t) = f(r−ct)
r+g(r+ct) r
5. Justifier le terme d’ondes sphériques progressives des deux ondes composant le champ
électrique radial.
3 Relations de dispersion dans le vide et dans un milieu conducteur
1. On considère tout d’abord une onde électromagnétique plane progressive harmonique se
propageant dans le vide définie en notation complexe par :
−→
E=−→ E0eiωt−
−→
k·−→ r
−→
B=−→ B0eiωt−
−→
k·−→ r
a) Montrer, en utilisant l’équation de D’Alembert vérifiée par ce champ complexe, qu’on
retrouve bien la relation de dispersion k=±ω
cen fonction de la direction de propa-
gation.
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b) Montrer qu’on obtient également la même relation de dispersion en réutilisant les
équations de Maxwell écrites sous forme complexe. On pourra utiliser la formule
vectorielle suivante :
−→
a∧−→ b∧−→ c=−→ b(−→ a·−→ c)−−→ c−→ a·−→ b
2. On considère maintenant que la même OP P H arrive dans un milieu conducteur de conduc-
tivité γde sorte qu’elle s’écrit à l’intérieur de ce nouveau milieu en notation complexe :
−→
E
0=−→
E
0
0eiωt−
−→
k0·−→ r
−→
B
0=−→
B
0
0eiωt−
−→
k0·−→ r
On admettra que la pulsation est inchangée à la traversée du milieu, et on ne cherchera
pas à déterminer la relation liant −→ E
0
0et −→
B
0
0avec −→
E0et −→ B0.
a) Ecrire les équations de Maxwell en notation complexe dans le milieu.
b) En déduire que l’onde reste transverse dans ce milieu.
c) En déduire que la relation de dispersion dans le milieu conducteur est donnée par :
k02=−iµ0γω +ω2
c2
4 Ondes électromagnétiques planes progressives
1. On étudie la propagation d’une onde électromagnétique dans le vide.
a) Rappeler l’équation aux dérivées partielles à laquelle satisfont les champs électrique
−→
E(M, t)et magnétique −→ B(M, t).
b) On suppose que le champ électrique est de la forme :
−→
E=E0cos(ωt −kz)−→ u x
i. À quelle équation doit satisfaire kpour que ce champ soit solution de l’équation
rappelée à la première question ?
ii. Quels sont la direction, le sens et la vitesse de propagation de cette onde ?
iii. Quel est l’état de polarisation de cette onde ?
iv. Quelle est la structure de cette onde ?
v. Calculer le champ magnétique −→ Bassocié à −→ Eainsi que le vecteur de Poynting
de l’onde.
c) La puissance moyenne rayonnée par cette onde à travers une surface S= 4mm2
orthogonale à sa direction de propagation est P= 10W. Calculer les amplitudes E0
et B0des champs électrique et magnétique.
2. On étudie maintenant une seconde onde électromagnétique dont le champ électrique est :
−→
E=Ex
−→
ux+Ey
−→
uyavec Ex=E0e
i"k
3(2x+2y+z)−ωt#
L’onde se propage dans le vide et sa longueur d’onde est λ= 6.10−7m.
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a) Calculer la fréquence de l’onde.
b) Dans quel domaine du spectre électromagnétique se situe cette onde ?
c) Calculer la valeur numérique de la constante k.
d) Établir l’équation cartésienne d’un plan d’onde.
e) Exprimer Eyen fonction de Ex.
f) Calculer le champ magnétique −→ Bde cette onde.
g) Calculer la densité moyenne d’énergie électromagnétique associée à cette onde.
h) Calculer le vecteur de Poynting de cette onde ainsi que sa valeur temporelle. Com-
menter.
5 Décomposition d’une onde polarisée rectilignement en deux ondes
polarisées circulairement
On considére l’OPPH monochromatique dont le champ électrique −→ Eest défini en coordonnées
cartésiennes par
−→
E=
0
E0cos αcos(kx −ωt)
E0sin αcos(kx −ωt)
1. Montrer qu’il s’agit d’une polarisation rectiligne dont on caractérisera la direction par son
vecteur unitaire −→ u(faire une figure).
2. Montrer que −→ Ese décompose en deux ondes polarisées circulairement en sens opposés.
6 Ondes polarisées circulairement
On considère une onde polarisée circulairement dont les composantes sont, en coordonnées
cartésiennes :
Ex= 0; Ey=E0cos(kx −ωt); Ez=E0sin(kx −ωt).
1. Préciser le sens de polarisation de cette onde.
2. Montrer que −→ E= Re(−→ E)avec −→ E=−→ E0ei(kx−ωt)et donner l’expression de l’amplitude
complexe −→ E0de cette onde.
3. Quelle serait l’expression du champ −→ E0polarisé circulairement en sens inverse ayant la
même amplitude que le champ précédent ? Quelle serait l’expression de son amplitude
complexe −→ E
0
0?
7 Ondes polarisées
Donner les expressions réelles −→ E(−→ r , t)des ondes planes suivantes :
1. Onde se propageant suivant l’axe Ox et polarisée linéairement à π/3de Oy.
2. Onde se propageant suivant Oy et polarisée elliptiquement à droite, le grand axe de l’ellipse,
suivant Oz, étant trois fois plus grand que le petit axe.
3. Onde polarisée linéairement suivant Oy et se propageant parallèlement au plan zOx àπ/4
de Oz.
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8 Propagation entre deux plans métalliques infinis
Une onde électromagnétique de pulsation ωse propage dans le vide dans la direction (O, −→ ux)
entre deux plans métalliques parallèles placés en y= 0 et y=a. Le champ électrique −→ Eest
polarisé dans la direction (O, −→ uz)et son amplitude E0ne dépend que de la variable y. De même,
l’amplitude des composantes du champ magnétique −→ Bne dépendent que de y.
1. Déterminer les composantes des champs électrique et magnétique en fonction notamment
de E0(y).
2. Déterminer l’expression générale de l’amplitude du champ électrique en fonction de y.
3. En déduire la relation de dispersion reliant ket ω. Commenter.
4. Déterminer l’expression de la vitesse de phase. Commentaire ?
9 Réflexion sur un métal réel
Une onde électromagnétique, plane, progressive, monochromatique, arrive sous incidence nor-
male sur un milieu conducteur de conductivité γde valeur finie occupant le demi-espace z > 0.
Le vecteur d’onde de l’onde incidente esr −→ k0=k0−→ uz, et son champ électrique s’écrit en
notation complexe : −→
Ei=−→ E0ei(ωt−k0z)
1. Montrer qu’on peut établir la relation de dispersion suivante dans le métal en faisant les
approximations qui s’imposent :
k2=−iωµ0γ
2. L’onde incidente donne naissance à une onde réfléchie et à une onde transmise. Déterminer
les coefficients de réflexion ret de transmission tpour l’amplitude du champ électrique.
3. Déterminer le pouvoir réflecteur du milieu métallique défini comme le rapport de l’énergie
réfléchie et de l’énergie incidente en z= 0.
4. Calculer la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans le cylindre d’axe Oz, de surface
de base S, s’étendant du plan z= 0 jusqu’à l’infini. Comparer à la puissance transmise
par l’onde incidente en z= 0. Conclure.
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