Mécanique des fluides Version mise `a jour le 17 septembre

Mécanique des fluides
Version mise à jour le 17 septembre 2014
Table des matières
1 Objectifs et plan du cours
2
2 Généralités sur les fluides
2.1 Notion de fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Forces dans un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Forces de volume . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Forces de surface, tenseur des contraintes .
2.2.3 Lois de comportement, fluides newtoniens .
2.2.4 Tension superficielle . . . . . . . . . . . . .
2.3 Propriétés mécaniques macroscopiques d’un fluide
2.3.1 Masse volumique, densité . . . . . . . . . .
2.3.2 Viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Cinématique des fluides
3.1 Description lagrangienne, eulérienne ; dérivée particulaire d’un champ
3.2 Lignes et surfaces particulières d’un écoulement . . . . . . . . . . . .
3.3 Evolution d’une particule fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Flux, débits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Ecoulements particuliers (mais fréquents) . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
7
8
8
4 Eléments de dynamique des fluides
4.1 Théorèmes de transport . . . . . . . . . . .
4.1.1 Variables intensives et extensives . .
4.1.2 Volume de contrôle . . . . . . . . . .
4.1.3 Théorèmes de transport . . . . . . .
4.2 Conservation de la masse . . . . . . . . . .
4.3 Conservation de la quantité de mouvement
4.3.1 Forme intégrale . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Forme locale : loi fondamentale de la
. . . . . . . . . . . . .
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dynamique des fluides
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9
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5 Le fluide newtonien
5.1 Equations de Navier-Stokes . . . . . . . . .
5.2 Cas du fluide newtonien incompressible . .
5.3 Conditions auxiliaires . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Paroi solide . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Interface entre deux fluides . . . . .
5.4 Exemples de solutions exactes des équations
. . . . . . . . . .
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de Navier-Stokes
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12
12
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1
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6 Ecoulements de fluide parfait
6.1 Equation d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Théorème de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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13
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7 Analyse dimensionnelle et similitude
7.1 Analyse dimensionnelle des équations de Navier-Stokes incompressibles
7.2 Théorème de Vaschy-Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Exemples d’application du théorème de Vaschy-Buckingham . . . . .
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14
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8 Formulaire
8.1 Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Coordonnées cartésiennes . . . . . . .
8.1.2 Coordonnées cylindriques . . . . . . .
8.2 Identités vectorielles, tensorielles, et intégrales
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1
Objectifs et plan du cours
Ce cours introduit les concepts les plus élémentaires de la mécanique des fluides,
et la façon d’utiliser ces concepts pour résoudre des problèmes de mécanique des
fluides simples. Cela passe par :
- l’introduction de définitions élémentaires : Qu’est-ce qu’un fluide ? Un débit ? Une
viscosité ? Etc ;
- l’introduction des outils mathématiques de la mécanique des fluides : Approches
Lagrangienne ou Eulérienne, équations de base, Analyse dimensionnelle, etc ;
- la formulation de problèmes, et l’analyse qui conduit au choix de la méthode de
résolution.
Le cours se compose de 7 sections autres que cette introduction. Certaines parties
peuvent être incomplètes : Elles seront traitées lors du cours oral.
La section 2 est (elle aussi) introductive : Nous définissons ce qu’est un fluide, ses
propriétés mécaniques, les grandeurs qui le caractérisent. Nous définissons également
les grandeurs qui caractérisent son écoulement. Nous en profitons aussi pour faire
quelques rappels de calcul vectoriel.
La section 3 traite de la cinématique des fluides : comment décrire le mouvement
d’un fluide. Ici, nous ne parlons pas encore des forces qui génèrent ce mouvement.
La section 4 pose les bases mathématiques pour l’étude de la dynamique des
P−
→
→
a ”,
fluides. Il y a donc des forces. Brièvement, il s’agit de réécrire la loi ” F = m−
bien connue pour les points matériels, dans le cas d’un fluide, afin de diagnostiquer
son mouvement (quand nous connaissons les forces en jeu) ou bien les forces (quand
nous connaissons le mouvement du fluide).
Les sections 5 et 6 examinent les lois établies précédemment dans les cas particuliers des fluides newtoniens et parfaits. Dans le cas du fluide parfait, l’équation de
Bernouilli, aperçue en 2ème année de licence, est re-dérivée.
La section 7 traite de l’analyse dimensionnelle et des similitudes, théorie très
utilisée pour étudier des écoulements sur des modèles réduits. Nous abordons aussi
le théorème de Vaschy-Buckingham. Ce théorème est un outil très puissant, qui
permet de résoudre simplement certains problèmes physiquement très complexes.
Mais cette approche requiert du bon sens et de la pratique ; l’erreur n’est jamais
bien loin pour le néophyte...
Enfin, la section 8 fournit un formulaire d’aide au calcul différentiel et vectoriel.
2
2.1
Généralités sur les fluides
Notion de fluide
Un solide possède la propriété de pouvoir se maintenir au repos même soumis
à certains efforts de cisaillement. Ce n’est pas le cas d’un fluide, qui ne peut pas
être maintenu au repos quand des efforts de cisaillement lui sont appliqués. C’est
la définition ”intuitive”. Plus formellement, un fluide est un milieu continu tel que
vous l’avez défini en Licence 2. La différence entre un milieu continu solide et un
milieu continu fluide se fait par la loi de comportement.
La famille des fluides se composent des liquides et des gaz. La première différence
3
entre un liquide et un gaz, pour la mécanique, est la compressibilité. Alors qu’un
liquide est souvent peu compressible (voire incompressible), les gaz le sont fortement.
Souvent d’autres éléments distinguent nettement les liquides des gaz : la capacité
calorifique, la densité, par exemple. Mais les mouvements des liquides et des gaz sont
régis par les mêmes lois physiques.
2.2
2.2.1
Forces dans un fluide
Forces de volume
Les forces de volume sont les forces extérieures au milieu fluide auquel on s’intéresse,
hormis les forces de contact. Il s’agit donc des forces de gravité, électriques, électromagnétiques
en général, mais aussi les forces d’inertie dans des référentiels non-galiléens. Nous
notons la force de volume élémentaire
dFv (x) = fv dΩ,
(1)
ρ(x) étant la masse volumique du fluide (qui peut varier spatialement, voire temporellement) en kg.m−3 , g le vecteur gravité en N.kg−1 , et dΩ un élément de volume.
2.2.2
Forces de surface, tenseur des contraintes
Les efforts intérieurs dans un milieu continu sont représentés par le tenseur des
contraintes, que l’on notera σ(x). La force élémentaire qui s’exerce sur un élément
de surface ds orientée par le vecteur unitaire n(x) d’un élément de volume de fluide
s’écrit :
(2)
dFs = σ(x).n(x)ds
où le point dénote le produit tensoriel. L’unité d’une contrainte est le N.m−2 . Le
vecteur σ(x).n(x), qui est la dérivée de la force par rapport à la surface, est appelé
le vecteur contrainte.
La contrainte la plus simple à appréhender est celle de pression, d’une part parce
qu’elle existe même lorsque le fluide est au repos (on se souviendra à cet égard la loi
mathématique de l’équilibre hydrostatique), d’autre part parce qu’elle ne contient
pas de composantes de cisaillement. Le tenseur est diagonal, représenté par :
σ(x) = −p(x)1,
(3)
où 1 represente le tenseur identité.
2.2.3
Lois de comportement, fluides newtoniens
D’une façon plus générale, nous écrirons le tenseur des contraintes dans un fluide
en mouvement sous la forme :
σ(x) = −p(x)1 + τ (x),
(4)
où τ (x) représente le tenseur des contraintes d’origine visqueuse. Pour les fluides
newtoniens, c’est-à-dire les fluides ”usuels”, comme l’eau, l’air, l’huile, etc, τ est une
fonction linéaire du gradient de la vitesse du fluide. Il s’écrit :
τ = λ(div u)1 + 2µd,
4
(5)
où λ et µ sont les coefficients de viscosité de Lamé, u le champ de vitesse du fluide,
et d le tenseur de taux de déformation du fluide, d = (grad u + (grad u)T )/2, sur
lequel nous reviendrons plus en détail dans la section 3. λ est appelé la viscosité de
volume du fluide, µ est la viscosité dynamique. Pour certains fluides ”simples,
ils sont liés par la relation de Stokes :
3λ + 2µ = 0.
2.2.4
(6)
Tension superficielle
Les forces de tension superficielle se retrouvent à l’interface entre 2 fluides. On
les classe un peu à part car dans la plupart des cas de fluide en mouvement, elles
sont négligeables devant les autres forces. Mais elles sont très importantes dans
d’autres situations : équilibre d’une goutte d’eau, effets de capillarité, etc. La tension
superficielle est due aux forces intermoléculaires dans un liquide. Chez les gaz, ces
forces sont si faibles qu’il n’y a pas de conséquence en terme de tension superficielle.
La tension superficielle se caractérise mathématiquement par un coefficient de
tension superficielle pour une certaine interface gaz/liquide. Imaginons un segment tracé sur la surface du liquide (une goutte d’eau par exemple). Sur la pression
devient trop forte dans la goutte d’eau (on peut aussi imaginer un ballon de baudruche), celle-ci peut se ”déchirer” le long du segment. La force qui maintient ce
segment en place et empêche son déchirement (jusqu’à un certain point) est la force
de tension superficielle, qui s’applique, donc, perpendiculairement au segment. Son
amplitude est proportionnelle à la longueur du segment, ainsi qu’au coefficient de
tension superficielle :
df = γdl,
(7)
avec df ⊥ dl. Quelques exemples de valeur pour γ :
– air/eau : 72 10−3 N m−1 ;
– air/mercure : 487 10−3 N m−1 ;
– air/huile : 30 10−3 N m−1 ;
– air/alcool éthylique : 22 10−3 N m−1
D’un point de vue macroscopique, on note que :
– les forces de tension superficielle sont nulles si la surface du liquide est plane
(car il n’y a pas d’autre force à équilibrer) ;
– Il existe une discontinuité (saut) de pression au passage d’une interface soumise
à de la tension superficielle ;
– Il y a de la tension superficielle en présence d’un troisième milieu. Par exemple,
une goutte posée sur une surface. L’angle de contact de l’eau avec la surface
renseigne sur la mouillabilité de la surface par le liquide.
2.3
2.3.1
Propriétés mécaniques macroscopiques d’un fluide
Masse volumique, densité
Masse volumique : ρ, en kg m−3 .
Densité : d = ρ/ρw , où ρw est la masse volumique de l’eau (1000).
5
2.3.2
Viscosité
La viscosité est due à l’interaction des molécules du fluide entre elles et traduit
la résistance du fluide à une force de cisaillement. La viscosité dynamique est
notée µ, exprimée en Pa.s. Elle lie la contrainte tangentielle (cisaillement) au taux
de cisaillement du fluide, comme cela a été évoqué en section 2.2.3. Dans le cas
d’un fluide newtonien, la viscosité ne dépend pas elle-même du taux de cisaillement.
Enfin, on utilise souvent la viscosité cinématique, ν = µ/ρ.
3
Cinématique des fluides
Dans cette section et les suivantes, il est souvent fait mention de particules
fluides ou de parcelles de fluide. Il est entendu, par ces dénominations, un
volume élémentaire de fluide (mais malgré tout macroscopique) soumis au transport
et aux contraintes présentes au sein du fluide. Mais ce volume reste indivisible.
3.1
Description lagrangienne, eulérienne ; dérivée particulaire d’un
champ
Dans la description d’un mouvement fluide, l’approche lagrangienne se concentre
sur les particules fluides. Soit M une particule initialement (à l’instant t = t0 ) située
à la position X0 dans le volume de fluide. Il s’agit de déterminer la position X(t) de
cette même particule à un autre instant t ultérieur, donc de déterminer la fonction
X(t) = φ(X0 , t).
(8)
D’une façon plus générale, toute grandeur caractéristique de la particule (température,
masse volumique, etc) s’écrit sous une forme similaire. En particulier, la vitesse
représente la vitesse de la particule qui peut être considéré comme un point matériel.
Elle s’écrit donc :
∂φ
(X0 , t).
(9)
U(X, t) =
∂t
Mais en mécanique des fluides, la description eulérienne est nettement plus
répandue. Plutôt que de se concentrer sur des trajectoires de particules, l’approche
eulérienne décrit les quantités comme des champs tridimensionnels variant dans l’espace et dans le temps. Par exemple, à un instant t donné, le champ de vitesse varie
d’une parcelle à une autre ; on traduit cette dépendance en écrivant :
u = u(x, t).
(10)
Alors que dans la description lagrangienne, X est une variable et représente la position d’une particule, ici x est une simple coordonnée de l’espace.
Un petit inconvénient de la description eulérienne est son application pour la
P−
→
→
a ”) puisque celle-ci s’applique aux
loi fondamentale de la dynamique (” F = m−
particules matérielles, donc correspond mieux à l’approche lagrangienne. Cela est
facilement corrigé par l’introduction de la dérivée particulaire.
6
Soit N (x, t) une grandeur scalaire de l’écoulement (en description eulérienne). Si
l’on considère simplement la dérivée partielle par rapport au temps,
N (x, t + dt) − N (x, t)
∂N
= lim
,
dt→0
∂t
dt
(11)
nous soustrayons 2 quantités, dans le numérateur, qui ne se réfèrent pas au même
point matériel. Pour corriger cela, il faut tenir compte du déplacement de la parcelle
entre les instants t et t + dt. Ecrivons qu’à l’instant t + dt, la parcelle initialement à
(x, t) se retrouve à x + dx = x + dX. La variations de N pour cette parcelle entre t
et t + dt est :
dN = N (x + dx, t + dt) − N (x, t) =
∂N
dt + grad N.dX,
∂t
(12)
dont on tire la définition de la dérivée particulaire pour N :
∂N
dN
=
+ grad N.u .
dt
∂t
(13)
En particulier, si N prend successivement les valeurs de 3 composantes de la
vitesse, nous obtenons l’accélération de la parcelle fluide :
du
∂u
=
+ grad u.u .
dt
∂t
3.2
(14)
Lignes et surfaces particulières d’un écoulement
Les lignes de courant sont les lignes qui, en tout point et à un instant donné,
sont localement parallèles au champ de vitesse de l’écoulement : dx ∧ u = 0. Elles
sont donc solutions du système d’équations
dx
dy
dz
=
=
.
u(x, t)
v(x, t)
w(x, t)
(15)
Les lignes de courant varient dans le temps en général, mais elles sont déterminées
à partir d’un ”snapshot” du champ de vitesse. C’est donc très différent de la trajectoire d’une particule, qui représente l’ensemble des lieux géométriques visités
par cette particule au cours de son déplacement au sein du fluide. L’équation d’une
trajectoire est obtenue en résolvant l’équation
∂X
= u(X, t),
∂t
(16)
avec une condition initiale propre à la particule étudiée : X(t = 0) = X0 .
Une ligne d’émission est l’ensemble de lieux géométriques visités par les particules qui sont passées par un certain point donnés en amont. C’est très facile à
observer expérimentalement, il suffit de placer une source de traceur coloré au point
voulu.
Dans le cas d’un écoulement permanent (stationnaire), les lignes de courant, trajectoires et lignes d’émission coı̈ncident.
Soit une courbe géométrique au sein d’un écoulement. L’ensemble des lignes
de courant qui s’appuient cette courbe définissent une surface de courant. Si la
courbe est fermée, c’est un tube de courant.
7
C’
y
y
D
C
D’
B’
A’
A
B
x
x
Figure 1 – Evolution d’une particule de fluide en 2 dimensions.
3.3
Evolution d’une particule fluide
Une particule fluide peut subir, en un temps élémentaire dt, 4 types de transformation élémentaires :
– une translation u(x, t)dt ;
– une rotation, de tenseur taux de rotation Ω = 21 (grad u − grad uT ) ;
– des déformations de tenseur taux de déformation d = 21 (grad u + grad uT ) ;
– une dilatation, de taux de dilatation volumique div u = tr d.
La superposition de ces 4 transformations est illustrée sur la figure 1. A l’instant t
(figure de gauche), le point A est en (x, y), le point C en (x + dx, y + dy). A l’instant
t + dt (figure de droite), A′ a subi une translation de u(x, y)dt ; le point C s’est
déplacé en :
x′ = x + dx + u(x + dx, y + dy)dt
(17)
1 ∂u ∂v
1 ∂u ∂v
∂u
dxdt +
+
−
dydt +
dydt.
(18)
= (x + dx) + u(x, y)dt +
∂x
2 ∂y
∂x
2 ∂y
∂x
y ′ = y + dy + v(x + dx, y + dy)dt
(19)
1 ∂v
∂u
∂u
1 ∂v
∂v
dydt +
+
−
dxdt +
dxdt.
(20)
= (y + dy) + v(x, y)dt +
∂y
2 ∂x ∂y
2 ∂x ∂y
(21)
On remarque que le taux de rotation est symétrique et de diagonale nulle. Il
suffit donc de 3 paramètres seulement pour le caractériser, que l’on rassemble dans
le vecteur rotation ou vorticité, ω = rot u. On définit parfois le vecteur tourbillon comme la moitié de la vorticité. La vorticité est une grandeur très importante
pour certaines théories de la mécanique des fluides, comme la turbulence, la dynamique des fluides géophysique, par exemple. En particulier, elle obéit à des lois de
conservation comme la vitesse. Mais dans le cadre de ce cours, nous n’explorons pas
ces aspects.
Pourquoi est-ce intéressant de distinguer les transformations élémentaires ? Nous
verrons par la suite que 2 des 4 transformations interviennent directement dans la
loi de comportement du fluide newtonien. Il faut donc les connaı̂tre.
8
3.4
Flux, débits
Soit a(x, t) un champ de vecteurs, on appelle flux de a à travers la surface S la
quantité :
Z
a(x).n(x)ds,
(22)
Ψ=
S
où n(x) représente le vecteur normal à l’élément de surface ds. Soit k(x) une grandeur scalaire volumique (par exemple, une concentration de traceurs) distribuée dans
un écoulement caractérisé par une vitesse u(x). On appelle débit de k à travers la
frontière S le flux du vecteur ku :
Z
k(x)u(x).n(x)ds.
(23)
Ψ=
S
Ce débit représente la quantité totale de la grandeur scalaire qui traverse la surface
S par unité de temps. Si par exemple k est en kg m−3 , Ψ est en kg s−1 .
3.5
Ecoulements particuliers (mais fréquents)
On parle d’écoulement permanent ou stationnaire lorsque le champ de vitesse
eulérien est indépendant du temps :
∂u
= 0.
∂t
(24)
Dans ce cas, les lignes de courant, trajectoires et lignes d’émission sont identiques.
Un écoulement est dit incompressible aucune parcelle fluide ne peut subir de
dilatation. Il en résulte :
div u = 0.
(25)
Un écoulement est tourbillonnaire lorsque le vecteur tourbillon n’est pas nul
partout dans l’écoulement.
4
Eléments de dynamique des fluides
4.1
Théorèmes de transport
Pour établir les équations de la dynamique, nous allons procéder par des bilans, engageant les dérivées temporelles de l’intégrale des quantités extensives d’un
système sur un volume (volume de contrôle). Les théorèmes de transport permettent
une écriture de ces dérivées qui facilite la dérivation des lois fondamentales de la dynamique.
4.1.1
Variables intensives et extensives
Une variable F est extensive lorsque sa valeur pour un domaine où elle est uniformément distribuée est proportionnelle au volume du domaine. Elle est spatialement additive et peut être définie par une densité volumique f :
Z
f dΩ.
(26)
F =
Ω
9
Quelques exemples de grandeurs extensives (densité volumique) : volume (1), masse
(masse volumique ρ), énergie cinétique (ρu2 /2), quantité de mouvement (ρu).
Une variable est intensive lorsqu’elle n’est pas spatialement additive (vitesse,
pression, température, masse volumique).
Le produit d’une variable intensive et d’une variable extensive est une variable
extensive.
4.1.2
Volume de contrôle
Un objectif de la mécanique des fluides est de lier la nature d’un écoulement
d’un fluide aux forces extérieures qui s’exercent sur lui. Il faut donc définir ce terme
d’”extérieures”, ce qui se fait en identifiant un système. Pour les fluides on parle
plutôt de volume de contrôle et de surface de contrôle pour le délimiter. Ce
volume de contrôle peut prendre différentes formes.
Dans une approche lagrangienne, le volume considéré est un volume matériel
qui est défini comme contenant un ensemble continu de particules, invariantes au
cours du temps. Il s’agit donc d’un système fermé.
Dans une approche eulérienne, le volume est un volume géométrique, pas
nécessairement immobile mais dont les frontières ne sont pas matérialisées par des
particules fluides ; ces frontières sont donc traversées par les particules du fluide en
écoulement.
4.1.3
Théorèmes de transport
Soit l’intégrale de la quantité q(x, t), champ tensoriel d’ordre quelconque, sur un
volume Ω(t) :
Z
q(x, t)dΩ(t).
(27)
J(t) =
Ω(t)
Il s’agit de déterminer
dJ
dt .
Volume de contrôle géométrique fixe C’est le cas (eulérien) le plus simple,
mais pas le plus pertinent pour la suite. Ici, Ω ne dépend pas du temps. Le résultat
s’écrit donc simplement :
Z
∂q
dJ
=
dΩ.
(28)
dt
Ω ∂t
Volume matériel Il faut tenir compte des variations temporelles du volume de
contrôle :
Z
Z
dJ
∂q
q(u.n)ds(t),
(29)
=
dΩ(t) +
dt
Ω(t) ∂t
∂Ω(t)
ce qui constitue la forme générale du théorème de transport (en milieu continu, sans
surface de discontinuité).
10
4.2
Conservation de la masse
Pour la loi de conservation de la masse, la variable extensive choisie est évidemment
la masse. Pour un volume matériel Ω(t),
Z
ρ(x, t)dΩ(t),
(30)
m(t) =
Ω(t)
Puisque le volume est matériel, sa masse ne change pas au cours du temps, donc
dm
= 0.
(31)
dt
Cette équation représente la forme intégrale de la loi de conservation de la masse.
En appliquant la formule de Green-Ostrogradsky à l’équation 29 avec q = ρ, on
obtient
Z
∂ρ
dm
=
+ div (ρu)dΩ(t).
(32)
dt
Ω(t) ∂t
Cependant, ceci est vrai quelque soit le volume matériel considéré. L’intégrande doit
donc être identiquement nul, ce qui signifie :
∂ρ
+ div (ρu) = 0.
(33)
∂t
En utilisant la définition de la dérivée particulaire pour ρ et l’identité vectorielle
div (ρu) = ρdiv u + u.grad ρ, on obtient une autre équation équivalente :
dρ
+ ρdiv u = 0.
(34)
dt
Ces 2 équations constituent les formes locales de la loi de conservation de la masse,
ou équations de continuité.
4.3
Conservation de la quantité de mouvement
Nous prenons maintenant comme variable extensives la quantité de mouvement.
Pour un volume matériel Ω(t),
Z
ρ(x, t)u(x, t)dΩ(t).
(35)
Q(t) =
Ω(t)
4.3.1
Forme intégrale
D’après la loi fondamentale de la dynamique, qui s’applique pour un volume
matériel tel qu’il est défini ici, la dérivée temporelle de cette quantité est égale à la
somme des efforts extérieurs qui agissent sur lui, en volume ou en contact :
dQ
= Fext .
(36)
dt
Comme déjà présenté dans la section 2, les efforts se distinguent entre forces de
volume et de surface :
Z
Z
dFs
(37)
dFv (x) +
Fext =
∂Ω(t)
Ω(t)
Z
Z
σ(x).n(x)ds.
fv dΩ +
=
(38)
Ω(t)
∂Ω(t)
11
La dérivée temporelle de la quantité de mouvement peut aussi être décomposée, par
application du théorème de transport :
Z
Z
dQ
∂ρu
ρu(u.n)ds(t).
(39)
=
dΩ(t) +
dt
Ω(t) ∂t
∂Ω(t)
Selon le problème à résoudre, il est alors possible d’utiliser la forme intégrale de
l’équation de conservation en introduisant l’équation 38 et/ou l’équation 39.
Dans le cas d’un fluide parfait en écoulement permanent, cette formulation se
décline par le théorème d’Euler : Pour un tube de courant de débit volumique qv ,
de vitesse d’entrée ue et de vitesse de sortie us ,
Fext = ρqv (us − ue ).
4.3.2
(40)
Forme locale : loi fondamentale de la dynamique des fluides
Théorème de Reynolds Un dernier résultat théorique est nécessaire afin de
dériver succinctement la loi fondamentale de la dynamique : le théorème de Reynolds.
Celui-ci simplifie l’expression de la dérivée temporelle de la quantité de mouvement :
Z
du
dQ
ρ dΩ.
=
(41)
dt
Ω(t) dt
Loi fondamentale En introduisant la loi de comportement pour les fluides (section 2), les équations 36 et 38 conduisent à :
Z
Z
Z
dQ
τ (x).n(x)ds.
pn(x)ds +
fv dΩ −
=
(42)
dt
∂Ω(t)
∂Ω(t)
Ω(t)
L’application du théorème de Reynolds pour le terme de gauche, et des formules
du gradient et de Green-Ostrogradsky pour les termes de droite, conduisent à l’expression :
Z
Z
du
(43)
fv − grad p + div τ dΩ
ρ dΩ(t) =
Ω(t)
Ω(t) dt
Comme ceci est vrai pour tout volume matériel, c’est vrai pour l’intégrande, ce qui
donne la loi fondamentale de la dynamique :
ρ
5
du
= fv − grad p + div τ .
dt
(44)
Le fluide newtonien
Le fluide newtonien, particulièrement répandu, mérite une attention particulière.
Celui-ci se distingue des autres fluides par sa loi de comportement, donnée par
l’équation 5.
12
5.1
Equations de Navier-Stokes
Il s’agit d’introduire le tenseur des contraintes d’origine visqueuse pour le fluide
newtonien dans l’équation 44. Il faut pour cela calculer sa divergence. En s’appuyant
sur les identités vectorielles et tensorielles données en annexe, puis sur la relation de
Stokes (Eq. 6), on obtient :
div (τ ) = (λ + µ)grad (div u) + µ∆u =
µ
grad (div u) + µ∆u.
3
(45)
La loi fondamentale devient :
ρ
µ
du
= fv − grad p + grad (div u) + µ∆u.
dt
3
(46)
La loi de conservation de la masse (Eq. 34) reste inchangée.
5.2
Cas du fluide newtonien incompressible
Le terme ”incompressible” se dit pour un fluide dont la masse volumique ne
varie localement pas au cours du temps par effet mécanique (des variations liées à
la température par exemple restent possibles). Mathématiquement, cela se traduit
par la nullité de la dérivée temporelle (particulaire !) de ρ, donc, d’après l’équation
34, par :
div u = 0.
(47)
La loi fondamentale 46 s’en trouve aussi simplifée :
ρ
5.3
du
= fv − grad p + µ∆u.
dt
(48)
Conditions auxiliaires
On appelle conditions auxiliaires les conditions initiales et aux limites d’un
problème. Celles-ci concernent tous les types de fluide, pas seulement newtonien.
Cependant, par souci de concision, nous limitons leur description au fluide newtonien.
Les conditions initiales sont les champs en jeu dans la loi fondamentale au début
de l’intervalle de temps d’étude : ρ(x, 0), u(x, 0), p(x, 0). Les conditions aux limites
peuvent prendre des formes diverses selon le problème. Ici, on se restreint aux 2
cas les plus fréquents : le fluide en contact avec une paroi solide de déplacement
connu, et le fluide en contact avec un autre fluide, les 2 étant non miscibles entre
eux (typiquement, l’air et l’eau).
5.3.1
Paroi solide
La paroi solide avec laquelle le fluide est en contact se déplace avec une vitesse
up (x, t) connue. Si la paroi est imperméable et que le contact entre la paroi et le fluide
est ininterrompu dans le temps, on parle de condition d’imperméabilité. Les
particules au contact de la paroi la suivent dans son mouvement perpendiculairement
à la surface :
u(x, t).n = up (x, t).n ,
(49)
13
où n représente le vecteur unitaire normal à la surface. Dans le plan parallèle à la
surface de contact, on distingue généralement 2 types de conditions aux limites : la
condition d’adhérence, qui fait l’hypothèse que les particules au contact ”collent”
à la paroi. Cela concerne notamment tous les fluides visqueux. Dans ce cas, la relation
généralise la précédente :
u(x, t) = up (x, t) .
(50)
Le deuxième type est la condition de glissement, qui suppose au contraire que
les particules ne sont pas affectées dans leur mouvement le long de la surface de
contact. Cela concerne le fluide parfait. Au point de contact :
∂u
.t = 0 ,
∂n
où n représente la coordonnée spatiale le long de n.
5.3.2
(51)
Interface entre deux fluides
Du fait de leur non-miscibilité et de leur viscosité, les 2 fluides en contact
”adhèrent” l’un à l’autre et sont donc soumis à la relation :
u1 = u2 .
(52)
Pour les fluides parfaits, seule la composante normale à la surface de contact respecte
cette relation :
u1 .n = u2 .n,
(53)
qui doit être complétée par une équation de continuité de la surface, de position
S(x, t) :
dS
=0,
(54)
dt
qui peut être calculée identiquement avec u1 ou u2 .
Sur le plan dynamique, les 2 fluides vérifient une continuité des contraintes tangentielles :
(55)
(σn)1 .t = (σn)2 .t ,
t représentant un vecteur unitaire tangent quelconque, tandis que les contraintes
normales sont différenciées par la tension superficielle :
1
1
(σn)1 .n = (σn)2 .n + γ
+
,
(56)
R R′
R et R′ étant les rayons de courbures de la surface dans 2 plans perpendiculaires.
5.4
6
6.1
Exemples de solutions exactes des équations de Navier-Stokes
Ecoulements de fluide parfait
Equation d’Euler
Le fluide parfait est défini par un tenseur des contraintes visqueuses identiquement nuls : τ = 0. La loi fondamentale se réduit à :
ρ
du
= fv − grad p.
dt
14
(57)
L’équation de conservation de la masse est, elle, inchangée. Un fluide parfait n’est
pas forcément incompressible.
6.2
7
Théorème de Bernouilli
Analyse dimensionnelle et similitude
7.1
Analyse dimensionnelle des équations de Navier-Stokes incompressibles
7.2
Théorème de Vaschy-Buckingham
L’analyse dimensionnelle est un outil puissant, car il fournit des informations sur
des phénomènes physiques sans gros calcul, mais limité, car il produit rarement une
information complète. Comme son nom l’indique, l’analyse dimensionnelle examine
les dimensions des paramètres en jeu dans le processus pour en extraire des informations. L’analyse dimensionnelle peut s’appliquer à tous les domaines de la science.
Elle l’est néanmoins particulièrement en mécanique des fluides, raison pour laquelle
elle fait traditionnellement part des cours de mécanique des fluides.
L’analyse dimensionnelle est formalisée par le théorème π ou théorème de
Vaschy-Buckingham dont les deux principales applications sont :
– La réduction du nombre de variables et la simplification des problèmes ;
– la résolution des problèmes de similitude entre un prototype et un modèle à
échelle réduite.
Théorème π :
Soit un phénomène physique dont la nature dépend de n paramètres indépendants
b1 , . . . , bn et décrit par une relation de la forme :
f (b1 , . . . , bn ) = 0.
(58)
Soit k le nombre d’unités fondamentales nécessaires pour définir les dimensions des
paramètres bi . En mécanique des fluides, ces unités sont souvent au nombre de 4
(masse, longueur, temps, température) mais cela peut varier (pas de température
dans le problème, ou bien présence de champs électromagnétiques). Le théorème de
Vaschy-Buckingham dit que les jeu de n variables initiales peut être réduit à un
jeu de n − k variables sans dimension, notées πi , produits des variables initiales. La
relation ci-dessus prend alors une forme :
φ(π1 , . . . , πn−k ) = 0
(59)
Il existe des méthodes systématiques pour construire les variables adimensionnelles,
mais on préfère généralement faire apparaı̂tre des variables classiques en se basant
sur le bon sens.
L’étape la plus délicate de l’application du théorème de Vaschy-Buckingham est
probablement l’identification des grandeurs physiques initiales. L’analyse dimensionnelle s’apprend surtout par la pratique, ce qui est laissé pour les séances de cours.
7.3
Exemples d’application du théorème de Vaschy-Buckingham
15
8
Formulaire
8.1
8.1.1
Opérateurs différentiels
Coordonnées cartésiennes
La base canonique est notée (ex , ey , ez ) ou (e1 , e2 , e3 ). Un vecteur position x se
décompose (en introduisant la convention des indices répétés) comme :
x = xi ei = xex + yey + zez
Le vecteur vitesse est noté
u = uex + vey + wez
Pour un champ scalaire N (x, t) (gradient, laplacien, dérivée particulaire) :
grad N
=
∂N
∂x ex
∆N
=
∂2N
∂x2
dN
dt
=
=
∂N
∂t
∂N
∂t
+
+
∂N
∂y ey
∂2N
∂y 2
+
∂N
∂z ez
∂2N
∂z 2
+
+ grad N.u
∂N
∂N
+ u ∂N
∂x + v ∂y + w ∂z
Pour un champ de vecteur a(x, t) (divergence, laplacien, rotationnel, tenseur de
gradient, dérivée particulaire) :
div a =
∂ax
∂x
+
∂ay
∂y
∂az
∂z
+
∂2a
∂x2
∆a = div (grad a) =
rot a =
∂az
∂y
=
=
+
+
∂ay
∂z
ex +

∂ax
∂x
∂ay
∂x
∂az
∂x
∂a
+ grad a.u

grad a = 
da
dt
−
∂t
∂
∂t
∂
∂t
∂
∂t
+
∂ax
∂y
∂ay
∂y
∂az
∂y
∂ax
∂z
∂ay
∂z
∂az
∂z
∂2a
∂y 2
∂ax
∂z
∂2a
∂z 2
+
−
∂az
∂x
ey +



∂
∂
∂
+ u ∂x
+ v ∂y
+ w ∂z
ax e x
∂
∂
∂
ay e y
+ u ∂x
+ v ∂y
+ w ∂z
∂
∂
∂
+ u ∂x + v ∂y + w ∂z az ez
Pour un tenseur a(x, t) :
a(x, t) = aij ei ⊗ ej
div a =
∂aij
∂xj ej
16
∂ay
∂x
−
∂ax
∂y
ez
8.1.2
Coordonnées cylindriques
La base canonique est notée (er , eθ , ez ). Un vecteur position x se décompose (en
introduisant la convention des indices répétés) comme :
x = rer + zez .
Le déplacement élémentaire :
dx = drer + rdθeθ + dzez .
Le vecteur vitesse est noté
u = ur er + uθ eθ + uz ez .
Pour un champ scalaire N (x, t) (gradient, laplacien, dérivée particulaire) :
grad N
=
∂N
∂r er
∆N
=
1 ∂
r ∂r
dN
dt
=
∂N
∂t
+
1 ∂N
r ∂θ eθ
r ∂N
∂r +
+
∂N
∂z ez
1 ∂2N
r 2 ∂θ 2
+
∂N
∂t
+ grad N.u =
∂2N
∂z 2
+ ur ∂N
∂r +
uθ ∂N
r ∂θ
+ uz ∂N
∂z
Pour un champ de vecteur a(x, t) (divergence, laplacien, rotationnel, tenseur de
gradient, dérivée particulaire) :
div a
∆a
=
1 ∂
r ∂r (rar )
+
1 ∂aθ
r ∂θ
+
= div (grad a)
h
∂ 1 ∂
(ra
)
+
= ∂r
r
r ∂r
h
∂ 1 ∂
+
∂r r ∂r (raθ ) +
∂az
∂z
1
r2
1
r2
∂ 2 ar
∂θ 2
∂ 2 aθ
∂θ 2
−
+
2
r2
2
r2
+ ∆az ez
rot a
=
+
+

grad a = 
=
=
+
+
+
+
i
∂ 2 ar
e
∂z 2 i r
∂ 2 aθ
eθ
∂z 2
∂aθ
1 ∂az
er
r ∂θ − ∂z
∂az
∂ar
∂z − ∂r eθ
1 ∂
1 ∂ar
r ∂r (raθ ) − r ∂θ ez

da
dt
∂aθ
∂θ
∂ar
∂θ
∂ar
∂r
∂aθ
∂r
∂az
∂r
1 ∂ar
r ∂θ − aθ 1 ∂aθ
r
∂θ + ar
1 ∂az
r ∂θ
∂a
∂t + grad a.u
uθ ∂ar
∂ar
∂ar
∂t + ur ∂r + r ∂θ
∂aθ
uθ ∂aθ
∂aθ
∂t + ur ∂r + r ∂θ
uθ ∂az
∂az
∂az
∂t + ur ∂r + r ∂θ
17
∂ar
∂z
∂aθ
∂z
∂az
∂z



uθ aθ
∂ar
r + uz ∂z er
θ
+ uθrar + uz ∂a
eθ
∂z
z
+ uz ∂a
∂z ez
−
Pour un tenseur a(x, t) :
div a =
+
+
8.2
∂arr
∂r
∂aθr
∂r
∂azr
∂r
+
+
+
1 ∂arθ
r ∂θ
1 ∂aθθ
r ∂θ
1 ∂azθ
r ∂θ
+
+
+
∂arz
∂z
∂aθz
∂z
∂azz
∂z
arr −aθθ
r
arθ
+ 2 r eθ
+ arzr ez
+
er
Identités vectorielles, tensorielles, et intégrales
div (rot a) = 0
div (N a) = N div a + a.grad N
div (grad a) = ∆a
div (grad aT ) = grad (div a)
div (N a) = N div a + a.grad N
div (a ∧ b) = b.rot a − a.rot b
rot (grad N ) = 0
rot (rot a) = grad (div a) − ∆a
rot (N a) = ırot a + grad N ∧ a
grad (N S) = N grad S + Sgrad N
grad a.a = grad
a.a
2
+ (rot a) ∧ a
Formule de Green-Ostrogradsky :
R
H
Ω div a dΩ = ∂Ω a.n ds
Formule du gradient (s’obtient par application de la précédente) :
H
R
Ω grad N dΩ = ∂Ω N.n ds
Formule de Stokes :
H
C
a.dl =
R
S
18
rot a.n ds