Mécanique des fluides Version mise `a jour le 17 septembre

M´ecanique des fluides
Version mise `a jour le 17 septembre 2014
Table des mati`eres
1 Objectifs et plan du cours 2
2 G´en´eralit´es sur les fluides 2
2.1 Notion de fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Forces dans un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.1 Forces de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.2 Forces de surface, tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . 3
2.2.3 Lois de comportement, fluides newtoniens . . . . . . . . . . . 3
2.2.4 Tension superficielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Propri´et´es m´ecaniques macroscopiques d’un fluide . . . . . . . . . . 4
2.3.1 Masse volumique, densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.2 Viscosit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Cin´ematique des fluides 5
3.1 Description lagrangienne, eul´erienne ; d´eriv´ee particulaire d’un champ 5
3.2 Lignes et surfaces particuli`eres d’un ´ecoulement . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Evolution d’une particule fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Flux, d´ebits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.5 Ecoulements particuliers (mais fr´equents) . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 El´ements de dynamique des fluides 8
4.1 Th´eor`emes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.1.1 Variables intensives et extensives . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.1.2 Volume de contrˆole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.1.3 Th´eor`emes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Conservation de la quantit´e de mouvement . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3.1 Forme int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3.2 Forme locale : loi fondamentale de la dynamique des fluides . 11
5 Le fluide newtonien 11
5.1 Equations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2 Cas du fluide newtonien incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.3 Conditions auxiliaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.3.1 Paroi solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.3.2 Interface entre deux fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.4 Exemples de solutions exactes des ´equations de Navier-Stokes . . . . 13
1

6 Ecoulements de fluide parfait 13
6.1 Equation d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.2 Th´eor`eme de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7 Analyse dimensionnelle et similitude 14
7.1 Analyse dimensionnelle des ´equations de Navier-Stokes incompressibles 14
7.2 Th´eor`eme de Vaschy-Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.3 Exemples d’application du th´eor`eme de Vaschy-Buckingham . . . . . 14
8 Formulaire 15
8.1 Op´erateurs diff´erentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8.1.1 Coordonn´ees cart´esiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8.1.2 Coordonn´ees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8.2 Identit´es vectorielles, tensorielles, et int´egrales . . . . . . . . . . . . . 17
2

1 Objectifs et plan du cours
Ce cours introduit les concepts les plus ´el´ementaires de la m´ecanique des fluides,
et la fa¸con d’utiliser ces concepts pour r´esoudre des probl`emes de m´ecanique des
fluides simples. Cela passe par :
- l’introduction de d´efinitions ´el´ementaires : Qu’est-ce qu’un fluide ? Un d´ebit ? Une
viscosit´e ? Etc ;
- l’introduction des outils math´ematiques de la m´ecanique des fluides : Approches
Lagrangienne ou Eul´erienne, ´equations de base, Analyse dimensionnelle, etc ;
- la formulation de probl`emes, et l’analyse qui conduit au choix de la m´ethode de
r´esolution.
Le cours se compose de 7 sections autres que cette introduction. Certaines parties
peuvent ˆetre incompl`etes : Elles seront trait´ees lors du cours oral.
La section 2 est (elle aussi) introductive : Nous d´efinissons ce qu’est un fluide, ses
propri´et´es m´ecaniques, les grandeurs qui le caract´erisent. Nous d´efinissons ´egalement
les grandeurs qui caract´erisent son ´ecoulement. Nous en profitons aussi pour faire
quelques rappels de calcul vectoriel.
La section 3 traite de la cin´ematique des fluides : comment d´ecrire le mouvement
d’un fluide. Ici, nous ne parlons pas encore des forces qui g´en`erent ce mouvement.
La section 4 pose les bases math´ematiques pour l’´etude de la dynamique des
fluides. Il y a donc des forces. Bri`evement, il s’agit de r´e´ecrire la loi ”P−→
F=m−→ a”,
bien connue pour les points mat´eriels, dans le cas d’un fluide, afin de diagnostiquer
son mouvement (quand nous connaissons les forces en jeu) ou bien les forces (quand
nous connaissons le mouvement du fluide).
Les sections 5 et 6 examinent les lois ´etablies pr´ec´edemment dans les cas parti-
culiers des fluides newtoniens et parfaits. Dans le cas du fluide parfait, l’´equation de
Bernouilli, aper¸cue en 2`eme ann´ee de licence, est re-d´eriv´ee.
La section 7 traite de l’analyse dimensionnelle et des similitudes, th´eorie tr`es
utilis´ee pour ´etudier des ´ecoulements sur des mod`eles r´eduits. Nous abordons aussi
le th´eor`eme de Vaschy-Buckingham. Ce th´eor`eme est un outil tr`es puissant, qui
permet de r´esoudre simplement certains probl`emes physiquement tr`es complexes.
Mais cette approche requiert du bon sens et de la pratique ; l’erreur n’est jamais
bien loin pour le n´eophyte...
Enfin, la section 8 fournit un formulaire d’aide au calcul diff´erentiel et vectoriel.
2 G´en´eralit´es sur les fluides
2.1 Notion de fluide
Un solide poss`ede la propri´et´e de pouvoir se maintenir au repos mˆeme soumis
`a certains efforts de cisaillement. Ce n’est pas le cas d’un fluide, qui ne peut pas
ˆetre maintenu au repos quand des efforts de cisaillement lui sont appliqu´es. C’est
la d´efinition ”intuitive”. Plus formellement, un fluide est un milieu continu tel que
vous l’avez d´efini en Licence 2. La diff´erence entre un milieu continu solide et un
milieu continu fluide se fait par la loi de comportement.
La famille des fluides se composent des liquides et des gaz. La premi`ere diff´erence
3

entre un liquide et un gaz, pour la m´ecanique, est la compressibilit´e. Alors qu’un
liquide est souvent peu compressible (voire incompressible), les gaz le sont fortement.
Souvent d’autres ´el´ements distinguent nettement les liquides des gaz : la capacit´e
calorifique, la densit´e, par exemple. Mais les mouvements des liquides et des gaz sont
r´egis par les mˆemes lois physiques.
2.2 Forces dans un fluide
2.2.1 Forces de volume
Les forces de volume sont les forces ext´erieures au milieu fluide auquel on s’int´eresse,
hormis les forces de contact. Il s’agit donc des forces de gravit´e, ´electriques, ´electromagn´etiques
en g´en´eral, mais aussi les forces d’inertie dans des r´ef´erentiels non-galil´eens. Nous
notons la force de volume ´el´ementaire
dFv(x) = fvdΩ,(1)
ρ(x) ´etant la masse volumique du fluide (qui peut varier spatialement, voire tempo-
rellement) en kg.m−3,gle vecteur gravit´e en N.kg−1, et dΩ un ´el´ement de volume.
2.2.2 Forces de surface, tenseur des contraintes
Les efforts int´erieurs dans un milieu continu sont repr´esent´es par le tenseur des
contraintes, que l’on notera σ(x). La force ´el´ementaire qui s’exerce sur un ´el´ement
de surface ds orient´ee par le vecteur unitaire n(x) d’un ´el´ement de volume de fluide
s’´ecrit :
dFs=σ(x).n(x)ds (2)
o`u le point d´enote le produit tensoriel. L’unit´e d’une contrainte est le N.m−2. Le
vecteur σ(x).n(x), qui est la d´eriv´ee de la force par rapport `a la surface, est appel´e
le vecteur contrainte.
La contrainte la plus simple `a appr´ehender est celle de pression, d’une part parce
qu’elle existe mˆeme lorsque le fluide est au repos (on se souviendra `a cet ´egard la loi
math´ematique de l’´equilibre hydrostatique), d’autre part parce qu’elle ne contient
pas de composantes de cisaillement. Le tenseur est diagonal, repr´esent´e par :
σ(x) = −p(x)1,(3)
o`u 1 represente le tenseur identit´e.
2.2.3 Lois de comportement, fluides newtoniens
D’une fa¸con plus g´en´erale, nous ´ecrirons le tenseur des contraintes dans un fluide
en mouvement sous la forme :
σ(x) = −p(x)1 + τ(x),(4)
o`u τ(x) repr´esente le tenseur des contraintes d’origine visqueuse. Pour les fluides
newtoniens, c’est-`a-dire les fluides ”usuels”, comme l’eau, l’air, l’huile, etc, τest une
fonction lin´eaire du gradient de la vitesse du fluide. Il s’´ecrit :
τ=λ(div u)1 + 2µd, (5)
4

o`u λet µsont les coefficients de viscosit´e de Lam´e, ule champ de vitesse du fluide,
et dle tenseur de taux de d´eformation du fluide, d= (grad u+ (grad u)T)/2, sur
lequel nous reviendrons plus en d´etail dans la section 3. λest appel´e la viscosit´e de
volume du fluide, µest la viscosit´e dynamique. Pour certains fluides ”simples,
ils sont li´es par la relation de Stokes :
3λ+ 2µ= 0.(6)
2.2.4 Tension superficielle
Les forces de tension superficielle se retrouvent `a l’interface entre 2 fluides. On
les classe un peu `a part car dans la plupart des cas de fluide en mouvement, elles
sont n´egligeables devant les autres forces. Mais elles sont tr`es importantes dans
d’autres situations : ´equilibre d’une goutte d’eau, effets de capillarit´e, etc. La tension
superficielle est due aux forces intermol´eculaires dans un liquide. Chez les gaz, ces
forces sont si faibles qu’il n’y a pas de cons´equence en terme de tension superficielle.
La tension superficielle se caract´erise math´ematiquement par un coefficient de
tension superficielle pour une certaine interface gaz/liquide. Imaginons un seg-
ment trac´e sur la surface du liquide (une goutte d’eau par exemple). Sur la pression
devient trop forte dans la goutte d’eau (on peut aussi imaginer un ballon de bau-
druche), celle-ci peut se ”d´echirer” le long du segment. La force qui maintient ce
segment en place et empˆeche son d´echirement (jusqu’`a un certain point) est la force
de tension superficielle, qui s’applique, donc, perpendiculairement au segment. Son
amplitude est proportionnelle `a la longueur du segment, ainsi qu’au coefficient de
tension superficielle :
df =γdl, (7)
avec df⊥dl. Quelques exemples de valeur pour γ:
– air/eau : 72 10−3N m−1;
– air/mercure : 487 10−3N m−1;
– air/huile : 30 10−3N m−1;
– air/alcool ´ethylique : 22 10−3N m−1
D’un point de vue macroscopique, on note que :
– les forces de tension superficielle sont nulles si la surface du liquide est plane
(car il n’y a pas d’autre force `a ´equilibrer) ;
– Il existe une discontinuit´e (saut) de pression au passage d’une interface soumise
`a de la tension superficielle ;
– Il y a de la tension superficielle en pr´esence d’un troisi`eme milieu. Par exemple,
une goutte pos´ee sur une surface. L’angle de contact de l’eau avec la surface
renseigne sur la mouillabilit´e de la surface par le liquide.
2.3 Propri´et´es m´ecaniques macroscopiques d’un fluide
2.3.1 Masse volumique, densit´e
Masse volumique : ρ, en kg m−3.
Densit´e : d=ρ/ρw, o`u ρwest la masse volumique de l’eau (1000).
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