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TP - L3 Physique - Plate-forme TTE - C.E.S.I.R.E. - Université Joseph Fourier - Grenoble
TRANSFERT DE CHALEUR
Document à lire avant de commencer TOUT TP de Thermodynamique
Ce document est un résumé des notions fondamentales concernant le transfert de chaleur entre 2 corps
solides ou fluides. Il est nécessaire de le lire avant de commencer les TP de Thermo.
1. GÉNÉRALITÉS
Le transfert d’une quantité de chaleur δq pendant un intervalle de temps δt correspond à un flux de
chaleur φ=δq
dt . Un flux de chaleur équivaut à une puissance échangée par un système à travers sa
frontière sous forme de chaleur. Les flux de chaleur φse mesurent en Watts.
Comme le flux de chaleur n’est pas nécessairement uniforme sur toute la surface d’échange S, on
introduit la notion de densité de flux locale −→ J(en W m−2). Le flux φest alors l’intégrale de la densité
de flux sur la surface d’échange S, φ=RS
−→
J
−→
ds où −→ ds représente un élément de surface orienté de telle
sorte que le flux est sortant si −→ J .
−→
ds > 0entrant si −→ J .
−→
ds < 0.
D’un point de vue plus physique, le transfert de chaleur trouve son origine dans les écarts de tem-
pérature. Ainsi, un transfert d’énergie sous forme de chaleur sera obtenu chaque fois qu’un gradient de
température existera au sein d’un système ou lorsque deux systèmes, à températures différentes, seront
mis en contact par l’intermédiaire d’une surface d’échange S.
Le processus de transmission de la chaleur n’est pas régi par une relation unique mais résulte d’une
combinaison de mécanismes physiques indépendants. On distingue trois modes de transmission de la
chaleur qui sont la conduction, la convection et le rayonnement. Ces trois modes s’effectuent la plupart
du temps en parallèle.
2. TRANSMISSION DE LA CHALEUR PAR CONDUCTION
2.1. Définition. Loi fondamentale. Conductivité thermique. La conduction est un processus physique
de transmission de la chaleur qui s’appuie sur un milieu matériel (solide, liquide, gaz), sans mouvement
de matière, et qui fait passer la chaleur des zones chaudes aux zones froides à l’aide de mécanismes à
l’échelle microscopique (vibrations atomiques ou moléculaires, diffusion électronique,...). La conduction
est le seul mécanisme qui permet à la chaleur d’être transmise dans un solide. Par contre, si un fluide est
soumis à un fort gradient thermique, la conduction devient rapidement négligeable devant la convection
naturelle.
La loi fondamentale de la conduction (loi de Fourier) a pour expression −→ J=−κ
−−→
gradT où −−→ gradT
représente le gradient local de température (c’est-à-dire le taux de variation spatiale de la température au
point considéré). Le vecteur gradient est, par définition, perpendiculaire aux isothermes.
κest le coefficient de conductivité thermique du milieu de transmission ( unité W m−1K−1). Les
conductivités thermiques des matériaux varient d’une façon considérable d’une substance à une autre,
de sorte que l’on distingue en général les matériaux conducteurs de la chaleur des matériaux isolants
suivant l’ordre de grandeur de leur conductivité thermique. La conductivité thermique dépend également
de la température. Elle dépend aussi de l’état du matériau considéré (solide, liquide ou gaz). Le tableau
ci-contre donne quelques valeurs de κpour divers matériaux à la température ambiante.
Remarque : c’est à la conductivité que le corps est sensible, impression quand on touche du métal, de
chaud pour le bois, dans une pièce où la température est homogène.
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TAB. 1. Conductivité thermique de quelques matériaux
Valeur à température ambiante
Matériaux k(W m−1K−1
Argent 417
Cuivre 380
Aluminium 230
Métaux et alliages Laiton 110-90
Fer pur 72
Acier 52
Plomb 35
Acier inoxydable 15
Béton plein 1.75
Béton vermiculite 0.31
Béton cellulaire 0.24
Matériaux de construction Briques réfractaires 0.11 à 0.61
Plâtre 0.43
Bois 0.15
Liége compensé 0.1
Verre 1.15
Liquides Eau 0.56
Alcool 0.13
Air 0.02
Gaz Vapeur d’eau 0.016
Gaz carbonique 0.014
Liège expansé 0.043
Laine de verre 0.035
Laine 0.035
Isolants Amiante 0.15
Amiante ciment 0.8
Polyuréthane 0.03
Polystyrène 0.04
Polychlorure de vinyle 0.031
2.2. Equation de la chaleur. On applique le premier principe de la thermodynamique ( dU =δW +
δQ) à un système constitué d’un volume Vlimité par une surface S.
- On a δW = 0.
-δQ est la somme de la chaleur δQeentrant dans le volume Vpendant dt et de la chaleur δQidégagée
par les sources internes, de densité volumique q(effet Joule, courants de Foucault,)
δQe=−dt Z ZS
−→
J .
−→
ds =−dt Z Z ZV div
−→
J dv
δQi=dt Z Z ZV qdv
- Pendant le temps dt, on a :
dU =dt Z Z ZV ρC dT
dt dv
En utilisant la loi de Fourier, on obtient l’équation de la chaleur
div(κ
−−→
gradT ) + q=ρC dT
dt
En considérant le milieu comme homogène et k comme isotrope et constant, cette équation se simplifie
et devient :
2

κ∆T+q=ρC dT
dt
2.3. Régime permanent. L’équation de la chaleur se ramène alors à κ∆T+q= 0. On ne sait pas
résoudre analytiquement cette équation différentielle dans le cas de 2 ou 3 dimensions. Des méthodes
dapproximation (différences finies ou éléments finis) sont utilisables mais hors de propos dans ce docu-
ment.
2.3.1. Cas du mur plan. Dans ce cas, on peut ramener le problème à un problème à une dimension en
coordonnées cartésiennes et q= 0. L’équation de la chaleur se ramène à d2T
dx2= 0.
Dans le cas simple de la transmission de la chaleur à travers un mur plan, d’épaisseur eet de conducti-
vité κ, en supposant chacune de ses faces à température uniforme (respectivement T1et T2avec T1> T2),
on obtient, en intégrant l’équation ci-dessus, une variation linéaire de la température en fonction de la
distance T=T1−T1−T2
ex. Le gradient de température est constant et égal à −T1−T2 e. Le flux transmis
à travers le mur est alors :
φ=−κS 
−−→
gradT 
=κS
e(T1−T2)
en désignant par Sla surface du mur.
Le résultat peut aussi s’écrire sous la forme φ=K(T1−T2)avec K=κS
e. Le coefficient Kest la
conductance thermique.
On introduit également la notion de résistance thermique définie comme l’inverse de la conductance
Rth =1
K. Ainsi, la résistance thermique d’une couche plane est Rth =e κS . Le flux de chaleur s’exprime
alors comme φ=T1−T2
Rth .
2.3.2. Cas d’une coquille cylindrique. Considérons une conduite transportant de l’eau chaude. On sup-
pose les températures des parois intérieure et extérieure constantes. Le flux de chaleur est alors radial et
on peut ramener le problème à un problème à une dimension en coordonnées cylindriques. L’équation
de la chaleur se ramène à 1
r
d
dr rdT dr = 0. On montre facilement que la résistance thermique vaut dans
ce cas Rth =−1
2πκL ln R1 R2où R1et R2sont respectivement les rayons intérieur et extérieur de la
conduite, Lsa longueur et κla conductivité thermique du matériau.
Le flux échangé entre l’intérieur et l’extérieur est donc φ=T1−T2
Rth où T1et T2sont les températures
de surface des parois interne et externe de la couche cylindrique.
2.4. Analogie Loi d’Ohm - Loi de Fourier. La loi de Fourier appliquée à un mur plan φ=T1−T2
Rth
présente une certaine analogie avec la loi d’Ohm I=V1−V2
Relec où la différence de potentiel joue le rôle de
la différence de température et le flux de chaleur celui du courant électrique.
De même −→ J=−κ
−−→
gradT est à rapprocher de −→ J=σ
−−→
gradV
On peut ainsi établir les correspondances suivantes :
Loi d’Ohm →Loi de Fourier
Potentiel →Température
Courant →Puissance transmise
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TAB. 2. Conductivité thermique et difusivité de quelques matériaux
Valeurs à température ambiante
Diffusivité 10−4m2s−1Conductivité W m−1K−1
Cuivre 1.1 380
Fer 0.16 72
Acier inoxydable 0.04 15
Aluminium 0.94 230
Béton 0.005 1.75
Verre 0.003 1.15
Eau 0.002 0.56
Air 0.02
Champ électrique →Gradient de température
Densité de courant →Flux thermique
Résistance électrique →Résistance thermique
Relec =ρL
S=1 σ
L
S
→Rth =1
κ
e
S
On pourra donc, pour analyser un problème thermique, effectuer une transposition en construisant le
schéma électrique correspondant (circuit en série, en parallèle) et adopter le même type de calcul.
2.5. Régime variable. En l’absence de sources de chaleur et en ne considérant que les problèmes à
une dimension en coordonnées cartésiennes, l’équation de la chaleur devient DdT
dx2=dT
dt où D=κ ρC
est la diffusivité thermique (unité m2s−1) ( ρmasse volumique, Cchaleur spécifique ). Alors que la
conductivité thermique k intervient en régime permanent (ne dépendant pas du temps), la diffusivité
thermique intervient lors des régimes transitoires (dépendant du temps). Ainsi la constante de temps τde
mise en équilibre d’un objet est typiquement τ=L2
Doù Lest une dimension caractéristique de l’objet
considéré.
3. TRANSMISSION DE LA CHALEUR PAR CONVECTION
La convection est un processus physique de transmission de la chaleur qui s’appuie sur un milieu
matériel avec mouvement de matière. On ne peut donc avoir de convection que dans les liquides et
les gaz. Le flux de chaleur transmis par convection, entre une paroi à température T1et un fluide à
température T2(température mesurée loin de la paroi), peut s’écrire sous la forme φ=hcS(T1−T2)
(loi de Newton) où hcest le coefficient d’échange par convection ( unité W m−2K−1). On définira de
la même façon que précédemment la résistance thermique de surface par Rth =1
hcS. Cette relation
ne constitue pas une loi, mais plutôt une description phénoménologique du processus de transmission
par analogie avec la conduction. Quel que soit le régime d’écoulement, y compris turbulent, il existe
au voisinage immédiat de la paroi une zone d’écoulement laminaire appelée couche limite (voir figure
ci-dessous). Ce film est adjacent à la surface avec condition d’arrêt de l’écoulement le long de la paroi
(vitesse nulle).
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Ce film constitue la principale résistance thermique au transfert de chaleur entre la paroi et le fluide en
mouvement. C’est pourquoi on parle souvent de coefficient de film pour désigner le coefficient de trans-
fert convectif à la paroi. Lorsque la turbulence de l’écoulement augmente, l’épaisseur du film laminaire
diminue, sa résistance thermique décroît. Le flux de chaleur, pour un écart de température donné, est
donc d’autant plus important que le régime d’écoulement est turbulent. Dans la pratique, on détermine
la valeur de hcà partir d’expériences. Les résultats de ces expériences sont traduits en terme de lois de
corrélations faisant intervenir des grandeurs adimensionnelles. On distingue deux types de convection.
3.1. La convection forcée. Le mouvement du fluide est imposé par des actions mécaniques extérieures
(pompes, ventilateurs, etc...). L’écoulement est alors laminaire ou turbulent suivant la valeur du nombre
de Reynolds Re =ρvX
µoù Xest une échelle de longueur caractéristique de l’écoulement (par exemple
diamètre, dans le cas d’un écoulement de conduite), vest une vitesse caractéristique de l’écoulement (par
exemple, la vitesse moyenne v=˙m
ρS dans le cas d’un écoulement de conduite, ˙mreprésentant le débit
massique et Sla section de passage), µla viscosité dynamique (en Poiseuille (Pl) en SI) et ρla masse
volumique. Les coefficients d’échange hcsont exprimées par l’intermédiaire du nombre de Nusselt Nu
défini par Nu =hcX
κ(κconductivité thermique du fluide, Xéchelle de longueur caractéristique). Le
nombre de Nusselt caractérise l’efficacité du transport thermique convectif par rapport à ce que serait le
seul transport conductif dans le gaz.
L’expérience montre que Nu =f(P r, Re)où P r =µC
κest le nombre de Prandtl qui résume les
propriétés thermophysiques du fluide. Ainsi, on posera la plupart du temps Nu =ARemP rnoù Aest
une constante dépendant de la géométrie considérée et de la valeur du nombre de Reynolds.
3.2. La convection libre (ou naturelle). Ce type de convection résulte des variations de masse volu-
mique du fluide résultant des échanges de chaleur eux-mêmes (poussée d’Archimède sur les éléments
de fluide chaud). Il en résulte une convection laminaire ou turbulente, suivant la valeur du nombre de
Grashof Gr,.Gr =gβρ2X3∆T
µ2ou de Rayleigh Ra,Ra =P rGr
Xest l’échelle caractéristique de longueur,
∆Test l’écart caractéristique de température,
gest l’accélération de la pesanteur,
µest la viscosité dynamique,
β=1
ρ
dρ
dT est le coefficient de dilatation.
En fonction de la valeur du nombre de Rayleigh, le transfert de chaleur a les caractéristiques suivantes :
Ra < 103: convection négligeable ; le transfert a lieu essentiellement par conduction
103< Ra < 109: le transfert a lieu en régime de convection libre laminaire (rouleaux convectifs
stables dans le temps)
Ra > 109: le transfert a lieu en régime de convection libre turbulente.
L’expérience montre que Nu =ARan=A(P rGr)noù Aest une constante dépendant de la géomé-
trie considérée et de la valeur du nombre de Rayleigh.
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