Plasmas

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8 et 15 juin 2010
Plasmas et modélisation
A. Sinquin
1. Le plasma : quatrième état de la matière
2. Collisions dans un gaz neutre
3. Rôle des effets quantiques
4. Phénomènes physiques dominant dans les plasmas
5. Les différentes interactions et corrélations dans un plasma
a) Interactions coulombiennes
b) Corrélations ions-électrons
c) Corrélations ions-ions
d) Corrélations électrons-électrons
6. Classification des plasmas
7. Un cas fondamental : l’oscillation de plasma
8. Ondes dans les plasmas
9. Le cas général : couplage des champs et des particules
10. Les modèles de plasma
a) Système à N particules
b) La force électromagnétique dans le système à N particules
c) L’équation de Vlasov : un exemple de modèle cinétique
d) La "hiérarchie BBGKY"
e) Bref aperçu des équations cinétiques
f) Les modèles fluides
11. Les instabilités
12. La simulation numérique des modèles cinétiques
13. La fusion par confinement inertiel
Annexe : section efficace de diffusion

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8 et 15 juin 2010
Plasmas et modélisations
A. Sinquin
La physique des plasmas apparaît au début du XXe siècle : les phénomènes
optiques, électriques et magnétiques ont été unifiés par les équations de Maxwell et les
études des décharges électriques dans les gaz tout au long du XIXe siècle ont permis de
décrire les lois microscopiques de la matière. Le comportement des molécules, des
atomes, des électrons et des ions commence à être mieux compris. Le mot "Plasma" est
employé pour la première fois en 1928 par le physicien Irving Langmuir pour désigner
la structure à l’aspect gélatineux qu’il observait dans ses tubes cathodiques.
Cependant, la physique des plasmas se développe aussi en astrophysique. Dès 1901,
Gulglielmo Marconi parvient à réfléchir des ondes sur l’ionosphère. En 1925, Edward
Appleton et Douglas Hartree émettent l’idée que l’atmosphère est ionisée à une
certaine altitude. L’étude des plasmas naturels est aujourd’hui devenue celle des
plasmas astrophysiques. Enfin, les applications industrielles des plasmas sont
aujourd’hui très nombreuses. Parmi elles, les futures techniques de production de
l’énergie nous amènent aujourd’hui à vouloir résoudre les problèmes très complexes
des instabilités qui se développent au sein des plasmas et responsables de pertes
d’énergie extrêmement néfastes dans le cadre de la fusion thermonucléaire.
Les recherches en physique des plasmas comprennent trois grandes communautés :
 la physique des plasmas industriels,
 la physique des plasmas thermonucléaires,
 la physique des plasmas naturels, spatiaux et astrophysiques.
1. Le plasma : quatrième état de la matière
Dans notre environnement, la matière se présente sous la forme de solides, liquides et gaz.
Il n’y a pas de plasma. Cependant, si on chauffe un gaz moléculaire, celui-ci va progressivement se
transformer en un gaz atomique, puis si l’on chauffe encore, les électrons orbitaux vont acquérir une
énergie supérieure à leur énergie de liaison et vont se libérer : un gaz ionisé apparaît. Un plasma est
un gaz ionisé électriquement neutre à l’échelle macroscopique (sauf pour les plasmas qui sont
assimilés à des faisceaux de particules chargées). Il peut supporter des champs électriques
extrêmement élevés.
Mais si l’état de plasma n’apparaît pas naturellement sur terre, il apparaît à une altitude
d’environ 100 kilomètres pour laquelle les rayons solaires ultraviolets entretiennent des structures
ionisées. On peut y trouver plusieurs milliers d’électrons et d’ions par centimètre cube. Au-delà de
l’ionosphère et de la magnétosphère s’étend l’espace interplanétaire rempli de plasma. Le plasma
constitue 99% ou 99,9% de l’univers cosmique selon le degré d’ionisation que l’on prend en
compte.
Pour comparaison, rappelons que l’atmosphère dans laquelle nous vivons a une densité de
molécules (neutres) d’environ 3.1019 cm-3 pour une température de 273K. Ce seront des conditions

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extrêmement différentes que nous allons rencontrer dans les plasmas. Même les milieux chauds de
la terre qui ont fasciné l’humanité ne peuvent pas être classés au rang de plasma : ni le feu, ni la
flamme, ni la lave des volcans ne sont constitués de densités suffisamment ionisées pour être
considérés comme des plasmas.
La physique des plasmas décrit des systèmes extrêmement variés suivant la température et
la densité de particules, il y a des modèles pertinents dans chaque domaine. Les figures qui suivent
donnent une idée de quelques valeurs représentatives rencontrées dans les différents domaines.
Figure 1 : Densités et températures électroniques des principaux plasmas naturels
Figure 2 : Densités et températures électroniques de quelques plasmas thermonucléaires et
industriels [1]

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2. Collisions dans un gaz neutre
Dans un gaz neutre, ce sont les collisions qui sont responsables de la dynamique globale du
système. Comme les particules sont neutres, ces collisions sont à courte portée et modélisées sans
approximation lourde par "des boules de billard"[2] : les deux sphères entrant en collision sont
rigoureusement impénétrables. Il n’y a collision que si les centres des deux molécules concernées
(chacune de rayon 1 et 2) sont amenés à une distance inférieure à
1+ 2. La section efficace de
collision (voir annexe) est purement géométrique : = (
1+ 2)2. Les trajectoires des particules sont
alors des lignes brisées.
Figure 3 : Trajectoire d’une particule neutre dans un gaz neutre
La longueur moyenne des segments définit le libre parcours moyen. Par exemple et pour
donner un ordre de grandeur, dans un gaz d’azote dans les conditions normales de température et de
pression, on peut calculer qu’il y a 4.109 collisions par seconde. Ainsi, ces collisions sont si
nombreuses qu’on ne s’écarte presque jamais de l’équilibre. Les gaz sont décrits par la théorie
cinétique qui est une théorie statistique : la probabilité
vdPv
pour que la vitesse d’une particule de
masse m ait la vitesse
v
à
vd3
près (notation : ou à
vdvd 
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près) est : (distribution de Maxwell) :
vd
Tk
mv
Tk
m
vdP
BB
v3
2
2
3
2
exp
2
où kB est la constante de Boltzmann.
3. Rôle des effets quantiques
Les électrons du plasma sont des fermions. S’ils se retrouvent trop proches les uns des
autres, c'est-à-dire si leur distance mutuelle est inférieure ou comparable à la longueur d’onde de
Broglie, on doit tenir compte des effets quantiques. Il est équivalent de comparer l’énergie
thermique des électrons avec l’énergie de Fermi TF [3]:
3/2
22
2
3
eB
FTmk
nh
Te
où kB est la constante de Boltzmann,  est la constante de Planck réduite, ne est la densité
des électrons dans le plasma, T sa température et me la masse des électrons.
Il s’avère que presque tous les plasmas sont trop chauds pour être de nature quantique (voir
figure 6). Pour une densité de 1021 particules par cm3, typique de celle que l’on a dans les plasmas
thermonucléaires, la formule ci-dessus donne TF = 0.36 eV alors que la température électronique est
de l’ordre de quelques keV[4]. On a bien
Fe TT 
. Pratiquement seulement pour les électrons
dans les métaux (on sait que les effets quantiques sont fondamentaux pour comprendre le

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comportement métallique) et quelques plasmas à l’intérieur de certaines étoiles peuvent bénéficier
de propriétés quantiques. La physique des plasmas est donc essentiellement classique et nous ne
reviendrons plus à la mécanique quantique.
4. Phénomènes physiques dominant dans les plasmas
Contrairement aux gaz neutres, dans un plasma, les interactions à courte portée et à longue
portée interviennent à la fois. Les interactions électromagnétiques vont changer radicalement la
dynamique, puisque le champ créé par une charge décroît en 1/r2 et intervient sur de plus grandes
distances. Les trajectoires des particules ressemblent à celle qui est représentée sur la figure 4 : les
lignes brisées se courbent progressivement au voisinage de centres diffuseurs. Suivons par exemple
un électron. S’il passe près d’un ion, il sera fortement dévié et la courbure de sa trajectoire sera
forte. On parle d’interaction binaire proche. Si, par contre, s’il passe loin, la courbure sera faible.
On parle d’interaction binaire lointaine.
Figure 4 : Trajectoire d’une particule chargée dans un gaz ionisé
On pourrait penser que dans un plasma dense, la distance moyenne entre particules serait
suffisamment petite pour avoir une majorité d’interactions proche, et inversement pour un plasma
peu dense. Mais cet argument est faux, car il faut aussi tenir compte de l’agitation thermique des
particules. Pour préciser un peu tout cela, nous allons définir un paramètre fondamental appelé
longueur de Landau.
Considérons un plasma de densité ne pour les électrons et ni pour les ions. Alors, la distance
moyenne entre chaque électron (ion) peut être grossièrement évaluée à de=1/ne3 (di=1/ne3) en
supposant qu’il y a un électron (ion) par volume élémentaire d3. Supposons que le plasma est à
l’équilibre thermique et soit T la température des électrons. Définissons la longueur de Landau r0
par :
kT
e
r
0
2
04
En exprimant que
00
2
4r
e
kT
, on voit que r0 est la distance à laquelle il faut que deux particules
chargées s’approchent pour avoir une énergie potentielle électrostatique d’interaction binaire proche
égale à leur énergie cinétique d’agitation thermique, kBT. Comparons les deux distances de et r0 :
 Si de >> r0 ou di >> r0, c’est le désordre, dû à l’agitation thermique, qui domine et on est
proche des gaz parfaits. Les interactions binaires proches coulombiennes sont peu importantes,
moins probables. On dit que le plasma est faiblement couplé ou faiblement collisionnel.
 Si r0 >> de ou r0 >> di, les plasmas sont fortement couplés. Leur structure est fluide, voire
cristalline. Les propriétés de tels plasmas sont toujours peu connues.
Pour déterminer de manière plus convaincante la dominance entre interactions binaires
proches et lointaines, on peut aussi calculer la distance moyenne au bout de laquelle la trajectoire