POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours - Poly
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IV. Dynamique des Fluides réels ; viscosité :
a) Force de viscosité, fluide newtonien :
A cause de la résistance due à la cohésion moléculaire, chaque couche d’un fluide réel n’est pas
emmené à la même vitesse ; au contraire, cette vitesse d’écoulement décroît avec la profondeur
⟹ gradient de vitesse
La force de viscosité qui empêche les plaques de fluide de glisser parfaitement les unes sur les autres
est :
⃗
=−
⃗ : é (.)
∶,
=
Sous l'effet de cette force de viscosité, chaque molécule de fluide ne s'écoule pas à la même vitesse :
on dit qu'il existe un profil de vitesse :
Ex : profil parabolique des vitesses pour un écoulement turbulent
Lorsqu'un fluide visqueux circule dans un tuyau, plus l'on se rapproche du centre, plus le
liquide circule vite. Plus l'on se rapproche des parois, plus le fluide est lent.
Viscosité : caractérise les pertes par cisaillement entre couches du fluide ; elle s’exprime en .
et dépend de la température et de la pression
Avec la formule de la force de viscosité, on peut écrire :
=.
, rapport entre la contrainte de
cisaillement, et le taux de cisaillement
⟹ tant que la contrainte de cisaillement reste proportionnelle au taux de cisaillement, c-à-d tant
que la viscosité est constante, on dit que le fluide est newtonien
⟹ un fluide non-newtonien : sa déformation n'est pas directement proportionnelle à la force qu'on
lui applique (ex : tant qu’on agite modérément un yaourt, celui-ci se déforme, s’effile,
proportionnellement à la contrainte exercée ; puis, lorsque la déformation devient trop importante,
il devient moins visqueux, les molécules deviennent plus lâches entre elles, il perd sa « nature de
yaourt » pour devenir du petit-lait ; autre ex : peinture, ciment, blanc d’œuf, …)
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b) Ecoulements laminaire / turbulent :
L’écoulement du fluide réel peut être classé en deux grandes catégories :
Ø Ecoulement laminaire : le débit est faible, le liquide s’écoule par lames (vitesse parallèle au
sens de l’écoulement) et régulièrement
Ø Ecoulement turbulent : écoulement chaotique, désordonné, dans lequel la direction et la
valeur de la vitesse varient aléatoirement ⟶ tourbillons, vortex (
devient trop grand, faisant
pivoter, tourbillonner les molécules sur elles-mêmes)
⟹ régime très dispendieux en énergie
⟹ vitesses non parallèle à l’écoulement
c) Nombre de Reynolds :
Pour savoir à quel régime d’écoulement le fluide est soumis, on utilise le nombre de Reynolds :
=
∶è
∶
∶
⟶ si < 2400 ∶ le régime est laminaire
⟶ si > 2400 ∶ le régime est turbulent
d) Vitesse critique :
On définit aussi une vitesse critique , à partir de laquelle on passe du régime laminaire au régime
turbulent : =.
.=
.
e) Fluides réels en écoulement laminaire : Loi de Poiseuille
Perte de charge (perte de « poussée ») due à la viscosité lorsque le fluide est en mouvement ; au fur et
à mesure de l’son écoulement, le fluide réel perd de la charge, de la poussée : il monte donc moins
dans les tubes-témoin :
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Loi de Poiseuille : pour une canalisation horizontale de rayon r, la perte de charge =− d’un
fluide s’écoulant avec un débit sur une longueur est donnée par :
=
.
⟹ Plus le débit est élevé, plus la perte de charge est élevée (⟹ rôle de la vasomotricité dans
la régulation du débit)
⟹ Plus le rayon est faible, plus la perte de charge est élevée (varie selon
) : un fluide coule
beaucoup plus lentement dans un tube de petit diamètre que dans un tube de grand diamètre
Pour les écoulement laminaires, le profil des vitesses est parabolique : la vitesse est maximale au
centre de la canalisation, puis décroît selon la profondeur, jusqu’à s’annuler sur les parois ; on a :
=.²
On peut cependant définir un écoulement moyen du fluide, dotée d’une vitesse moyenne
d’écoulement :
=
=.²
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Analogie avec la Loi d’Ohm en électricité :
=
. ⟺ =
ce qui permet de définir la résistance à l’écoulement : =
, afin d’écrire :
=
.
La viscosité du fluide joue le rôle de la résistivité du conducteur.
Conséquences :
· Puissance électrique : =. , d’où la puissance dépensée par l’écoulement :
= Δ. =.²
· Résistance mécanique d’une ensemble de n conduits en série :
()=()+()+⋯+()
· Résistance mécanique d’une ensemble de è :
()=
()+
()+⋯+
()
⟹ pour un réseau de n capillaires, chacun de même résistance mécanique, on a donc
()=
, d’où =
. : chute de pression dans les capillaires, permettant les
échanges avec les cellules)
· Dans le corps humain, l’écoulement du sang dans les vaisseaux est principalement laminaire ;
dans les artères de petit calibre, pour maintenir le débit constant, le cœur doit « pomper » à
une pression plus élevée. Les dépôts de cholestérol rétrécissent encore les artères, augmentant
Δ, fatiguant encore davantage le cœur.
f) Fluides réels en écoulement turbulent
Ø différences avec le régime laminaire
· Profil des vitesses n’est plus parabolique
· La loi de Poiseuille n’est plus applicable : Δ n’est plus proportionnelle au débit
⟹ la résistance mécanique n’a donc pas de sens en régime turbulent
· Régime plus dispendieux en énergie : les tourbillons impose au fluide des trajectoires plus
longues et des frottements supplémentaires
· Les tourbillons générant des vibrations dans les fréquences acoustiques, le régime est bruyant
(caractéristique importante pour l’auscultation des vaisseaux, le régime laminaire étant, lui,
silencieux)
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