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POLY-PREPAS
Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux
- Sections : L1 Santé -
Olivier CAUDRELIER
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IV.
Dynamique des Fluides réels ; viscosité :
a) Force de viscosité, fluide newtonien :
A cause de la résistance due à la cohésion moléculaire, chaque couche d’un fluide réel n’est pas
emmené à la même vitesse ; au contraire, cette vitesse d’écoulement décroît avec la profondeur
⟹ gradient de vitesse
La force de viscosité qui empêche les plaques de fluide de glisser parfaitement les unes sur les autres
est :
⃗=−
⃗
:
∶
,
é
(
. )
=
Sous l'effet de cette force de viscosité, chaque molécule de fluide ne s'écoule pas à la même vitesse :
on dit qu'il existe un profil de vitesse :
Ex : profil parabolique des vitesses pour un écoulement turbulent
Lorsqu'un fluide visqueux circule dans un tuyau, plus l'on se rapproche du centre, plus le
liquide circule vite. Plus l'on se rapproche des parois, plus le fluide est lent.
Viscosité : caractérise les pertes par cisaillement entre couches du fluide ; elle s’exprime en
et dépend de la température et de la pression
Avec la formule de la force de viscosité, on peut écrire :
cisaillement, et le taux de cisaillement
= .
.
, rapport entre la contrainte de
⟹ tant que la contrainte de cisaillement reste proportionnelle au taux de cisaillement, c-à-d tant
que la viscosité est constante, on dit que le fluide est newtonien
⟹ un fluide non-newtonien : sa déformation n'est pas directement proportionnelle à la force qu'on
lui applique (ex : tant qu’on agite modérément un yaourt, celui-ci se déforme, s’effile,
proportionnellement à la contrainte exercée ; puis, lorsque la déformation devient trop importante,
il devient moins visqueux, les molécules deviennent plus lâches entre elles, il perd sa « nature de
yaourt » pour devenir du petit-lait ; autre ex : peinture, ciment, blanc d’œuf, …)
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b) Ecoulements laminaire / turbulent :
L’écoulement du fluide réel peut être classé en deux grandes catégories :
Ø Ecoulement laminaire : le débit est faible, le liquide s’écoule par lames (vitesse parallèle au
sens de l’écoulement) et régulièrement
Ø Ecoulement turbulent : écoulement chaotique, désordonné, dans lequel la direction et la
valeur de la vitesse varient aléatoirement ⟶ tourbillons, vortex ( devient trop grand, faisant
pivoter, tourbillonner les molécules sur elles-mêmes)
⟹ régime très dispendieux en énergie
⟹ vitesses non parallèle à l’écoulement
c) Nombre de Reynolds :
Pour savoir à quel régime d’écoulement le fluide est soumis, on utilise le nombre de Reynolds :
=
⟶ si
⟶ si
∶
∶
∶
è
< 2400 ∶ le régime est laminaire
> 2400 ∶ le régime est turbulent
d) Vitesse critique :
On définit aussi une vitesse critique
turbulent :
, à partir de laquelle on passe du régime laminaire au régime
=
.
=
.
.
e) Fluides réels en écoulement laminaire : Loi de Poiseuille
Perte de charge (perte de « poussée ») due à la viscosité lorsque le fluide est en mouvement ; au fur et
à mesure de l’son écoulement, le fluide réel perd de la charge, de la poussée : il monte donc moins
dans les tubes-témoin :
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Loi de Poiseuille : pour une canalisation horizontale de rayon r, la perte de charge
fluide s’écoulant avec un débit sur une longueur est donnée par :
=
=
−
d’un
.
⟹ Plus le débit est élevé, plus la perte de charge est élevée (⟹ rôle de la vasomotricité dans
la régulation du débit)
⟹ Plus le rayon est faible, plus la perte de charge est élevée (varie selon
) : un fluide coule
beaucoup plus lentement dans un tube de petit diamètre que dans un tube de grand diamètre
Pour les écoulement laminaires, le profil des vitesses est parabolique : la vitesse est maximale au
centre de la canalisation, puis décroît selon la profondeur, jusqu’à s’annuler sur les parois ; on a :
. ²
=
On peut cependant définir un écoulement moyen du fluide, dotée d’une vitesse moyenne
d’écoulement :
=
=
. ²
4
Analogie avec la Loi d’Ohm en électricité :
=
.
⟺
ce qui permet de définir la résistance à l’écoulement :
=
=
.
=
, afin d’écrire :
La viscosité du fluide joue le rôle de la résistivité du conducteur.
Conséquences :
·
·
·
Puissance électrique : = . , d’où la puissance dépensée par l’écoulement :
= Δ .
=
. ²
Résistance mécanique d’une ensemble de n conduits en série :
(
)=
Résistance mécanique d’une ensemble de
(
)
=
( )
( )+
( )+ ⋯+
+
+ ⋯+
( )
( )
è
:
( )
⟹ pour un réseau de n capillaires, chacun de même résistance mécanique, on a donc
(
)=
, d’où
= . : chute de pression dans les capillaires, permettant les
échanges avec les cellules)
·
Dans le corps humain, l’écoulement du sang dans les vaisseaux est principalement laminaire ;
dans les artères de petit calibre, pour maintenir le débit constant, le cœur doit « pomper » à
une pression plus élevée. Les dépôts de cholestérol rétrécissent encore les artères, augmentant
Δ , fatiguant encore davantage le cœur.
f) Fluides réels en écoulement turbulent
Ø différences avec le régime laminaire
·
Profil des vitesses n’est plus parabolique
·
La loi de Poiseuille n’est plus applicable : Δ n’est plus proportionnelle au débit
⟹ la résistance mécanique n’a donc pas de sens en régime turbulent
·
·
Régime plus dispendieux en énergie : les tourbillons impose au fluide des trajectoires plus
longues et des frottements supplémentaires
Les tourbillons générant des vibrations dans les fréquences acoustiques, le régime est bruyant
(caractéristique importante pour l’auscultation des vaisseaux, le régime laminaire étant, lui,
silencieux)
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Ø Les souffles :
⟹ souffles d’effort : augmentation du rythme cardique, et donc de la vitesse du sang
⟹ souffles vasculaires : réduction du diamètre du vaisseau, le sang jaillit de la sténose de
manière désordonnée, créant des chocs et des vibrations sur les parois
⟹ souffle d’anémie : la baisse de l’hématocrite entraîne une diminution de la viscosité, la
vitesse critique est donc plus basse et l’écoulement turbulent plus facilement atteint (d’autant
plus que le cœur doit augmenter son débit pour assurer l’oxygénation )
Ø Mesure de la pression artérielle (tension) : Bruits de Korotkov
La pression artérielle correspond à la pression du sang dans les artères. On parle aussi de tension
artérielle, car cette pression est aussi la force exercée par le sang sur la paroi des artères.
Elle est mesurée en centimètres de mercure (cmHg), parfois en millimètres de mercure (mmHg) et est
indiquée par deux mesures :
-
La pression maximale au moment de la contraction du cœur (systole),
La pression minimale au moment du « relâchement » du cœur (diastole).
·
Le sujet étant couché, le bras placé le long du corps , on crée une sténose artificielle en
comprimant l’artère humérale au niveau du coude au moyen du brassard pour une certaine
pression du brassard, le flux sanguin est complétement arrêté (artère collabée) : l’auscultation
est silencieuse.
·
On dégonfle progressivement le brassard ; quand la pression devient inférieure à la pression
systolique (pression maximale au moment de la contraction du cœur), l’artère s’ouvre par
intermittence, le sang jaillit de manière turbulente, donnant naissance à un bruit (de
Korotkov)
·
Quand la pression du brassard diminue encore, le bruit augmente d’abord, puis diminue ;
lorsque le bruit a totalement disparu, c’est que la sténose n’existe plus, lorsque la pression du
brassard devient inférieure à la pression minimale (diastolique : phase de remplissage et de
repos du coeur), l'artère est alors ouverte en permanence : le flux turbulent devient laminaire et
les bruits auscultatoires disparaissent.
V.
Hémodynamique :
a) Viscosité du sang :
Sang : suspension concentrée d’hématies dans le plasma
Hématocrite : taux d’hématies dans le plasma ⟹ ℎ
⟹ la viscosité augmente avec l’hématocrite
(polyglobulie : ℎ
= 70% ⟹
ℎ
=
é
=
6
. .
= 0,45 (
)
)
b) Le sang n’est pas newtonien :
Pour les vaisseaux de diamètre « assez » importants :
·
Aux faibles débits les GR sont disposés en rouleaux, la viscosité est importante.
·
Aux débits élevés, c-à-d aux forts taux de cisaillement, les hématies ont tendance à se placer
près de l’axe du vaisseau
⟹ phénomène est d’autant plus marqué que la vitesse d’écoulement est forte
⟹ existence d’une couche de glissement, sorte de manchon plasmatique entre les GR
en circulation axiale et les parois
La viscosité décroît quand le taux de cisaillement augmente ⟹ rhéo luidi ication
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c) Effet Fahreus-Lindquist : pour les vaisseaux fins
La viscosité dépend également du diamètre des vaisseaux.
⟹ pour des vaisseaux de rayon > 0,5 mm,
=
⟹ diminue pour les vaisseaux fins : le manchon plasmatique occupe une fraction de la section
d’autant plus grande que le vaisseau est petit, les GR se mettent en file indienne, la viscosité diminue
encore, jusqu’à perdre toute signification dans les capillaires très fins
VI.
Forces de cohésion dans les liquides :
a) Tension superficielle :
La tension superficielle est un autre phénomène caractéristique des liquides.
Au sein d'un liquide, les molécules exercent entre elles des forces d'interaction moléculaires (attraction
ou répulsion). Chaque molécule est tirée dans toutes les directions par les molécules voisines, si bien
que la résultante des forces qui s’exercent sur elle est nulle.
Or, à la surface d’un liquide, les molécules sont attirées par le côté liquide mais pas par le côté air (ou
vide) ; la résultante des forces ⃗ s'exerçant sur les molécules de la surface est donc dirigée vers
l'intérieur du liquide, ce qui amène cette surface à se déformer comme une membrane élastique.
Cette force vers l’intérieur peut être mesurée en essayant de « soulever » légèrement la pellicule de
surface sur une longueur L ; la force de soulèvement « juste avant la rupture » de cette portion L de
pellicule de surface donnerait une valeur de la force avec laquelle la surface tient en équilibre sur cette
portion.
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⟹ la tension superficielle
unité de longueur.
est alors définie par la force exercée par la surface par
.
=
Remarques :
·
·
·
·
la tension superficielle est la mesure de cohésion des liquides, elle dépend de la nature du
liquide et diminue avec la température :
(
15° ) = 73,6
.
;
(
50° ) = 68
.
(
37° ) = 73
.
;
(
20° ) = 25
.
plus les forces moléculaires sont élevées, c-à-d plus la cohésion est forte, plus la tension
superficielle est élevée
la force ⃗ est une force dirigée vers l’intérieur et tend donc constamment à former la plus
petite surface possible pour un volume donné
⟹ tout système adopte une forme tendant à minimiser sa surface
⟹ le confinement maximal est la sphère : gouttes de pluie (en l’absence de gravité)
La tension superficielle (aussi appelée : énergie de surface) représente le travail à fournir (par
unité de surface) aux molécules pour les séparer de leurs voisines et créer une surface. En
effet, pour qu’une molécule se retrouve à la surface, il faut briser les liaisons avec les
molécules qui se trouvaient au-dessus, ce qui revient à fournir un travail.
b) angles de contact / capillarité :
mouillabilité : aptitude d’un liquide à s’étaler sur une surface
(A : mauvais mouillage → C : très bon mouillage)
Cette aptitude peut être évaluée en mesurant l'angle de la tangente du profil d'une goutte déposée sur le
solide, avec la surface du solide ⟹ angle de raccordement liquide/solide
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Si la surface est parfaitement mouillée, l'angle vaut 0°. Si l'angle dépasse 90°, le liquide sera considéré
comme non mouillant.
L’angle de contact dépend de la nature du solide (ainsi que de son poli et de sa propreté) et du
liquide
La mouillabilité explique également la forme concave (ou convexe) que prend la surface d’un liquide
dans un tube très fin ⟹ ménisque
c) Loi de Jurin :
Capillarité : lorsqu’on plonge un tube de très faible diamètre (capillaire) dans un liquide contenu dans
une cuve, on observe que le liquide monte dans le tube (alors que le poids s’y oppose) et que sa
surface forme un ménisque : l’ascension et la dépression d’un liquide dans un tube capillaire sont
appelées « phénomènes de capillarité »
Explication : si le liquide a une faible tension superficielle, certaines molécules adhérent au verre du
capillaire, grâce à cette adhérence d'autres molécules sont attirées sur la partie immédiatement audessus, et, par répétition, l'eau monte le long du tube.
On examine maintenant l’évolution de l’angle de contact (le ménisque) selon la hauteur d’ascension
d’un liquide de masse volumique dans le tube.
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Loi de Jurin :
par capillarité, un liquide de masse volumique monte (ou descend)
dans un tube de rayon r d’une hauteur :
: tension super icielle
.
=
: angle de contact
: tension superficielle ; plus les molécules du liquide ont une cohésion forte, plus le liquide
est susceptible d'être transporté par capillarité
: angle de contact, dépend de la nature de l’interface
∶ rayon du capillaire, on constate que h est inversement proportionnelle à
la capillarité sont donc les plus spectaculaires pour les faibles valeurs de
capillaire de rayon 0,1 mm, l’eau monte jusque 14 cm)
⟹ les effets de
(ex : pour un
Remarques :
· Si l’on place dans un tube capillaire étroit un liquide ayant une tension superficielle élevée
comme le mercure, le niveau du liquide ne s’élève pas.
· Le phénomène de capillarité explique également l’absorption de l’eau par des matières
poreuses (éponge, mouchoir en papier…)
d) Loi de Laplace :
Deux milieux non miscibles sont séparés par une interface. Si cette interface est courbée, il y a une
différence de pression ∆ entre les deux milieux, la pression interne
étant supérieure à la pression
externe
:
∆ = −
Une surface non plane peut toujours être définie par ses 2 rayons de courbure principaux
pression subit un accroissement, de la face convexe vers la face concave telle que :
et
: la
Loi de Laplace (1806)
-
-
ℎé
(
∆ =
=
−
=
= ): ∆ =
+
(la tension de surface agit des deux côtés des 2 membranes) : ∆
(
= ∞) : ∆ =
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=
Exemple : calculer la pression de l’air emprisonné dans une bulle de savon dans l’air à la pression
atmosphérique = 10
. Le rayon interne et externe de la bulle sont pratiquement égaux R = 0,5
cm, la tension superficielle de l’eau savonneuse est = 2,5. 10
.
∆ =
−
=
=
+
=
=
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× , .
, ×
=