Notion de calcul vectoriel

Université Joseph Fourier
Année universitaire 2004-2005
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I- Pompage par entraînement.
Ce procédé est employé pour vidanger de l’eau sale qu’on ne veut pas faire passer dans
une pompe. Dans une chambre de section S, de l’eau propre est injectée à grande vitesse V0
par une conduite de section α.S. L’eau sale est entraînée, et entre dans la chambre à la vitesse
V1. Le mélange sort de la chambre à la vitesse V2 . Puis la conduite s’élargit progressivement
(pas de perte de charge) jusqu’à la section S/β et le mélange est rejeté à l’atmosphère à la
vitesse V3. On note ρ la masse volumique de l’eau (propre ou sale).
1) Au moyen de la conservation des débits, exprimer V2 en fonction de V0, V1 et α.
2) Au moyen du théorème de Bernoulli pour l’écoulement de l’eau sale entre la surface
libre et la section A, exprimer pgA
3) Compte tenu de la discontinuité de vitesse dans la section A de la chambre, il faut
employer le théorème de la quantité de mouvement pour le volume fluide compris entre les
sections A et B de la chambre. Etablir la relation entre la différence des pressions motrice (pgA
– pgB), α et les vitesses V0, V1. V2..
Cohard 04 1/4
Examen Mécanique des fluides
S/
β
h
V3
h0
V0
V2
BA S
α
.S
Eau sale
Eau
propre
B
A
S V2
V0
α.S
V1

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4) Au moyen du théorème de Bernoulli pour l’écoulement du mélange entre la section B et
la sortie à l’atmosphère, exprimer pgB.
5) En reportant les résultats des questions 1), 2), 4) dans celui de la question 3) et en
posant V1 = x V0, établir la relation suivante:
(1/2 – α).x2 – (1 + β2)/2 .[(1 – α).x + α]2 + α = g.(h0 – h)/V02
f(x)
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
6) La fonction f(x) au premier membre de cette relation est donnée par le graphique ci-
dessus, pour α = 0,1 et β = 0,25. La vitesse d’injection est V0 =20 m/s. On prend g = 10 m-2, La
hauteur de refoulement est h0 = 3 m. Le niveau d’eau sale peut varier entre h = 0 et h = 2,5 m.
Pour ces deux niveaux, calculer V1 et le rapport du débit d’eau sale évacué au débit d’eau
propre injecté.
II- Influence d’une vanne de fond
Dans une station hydroélectrique, un débit de Q = 6 m3/s transite dans un très long canal
rectangulaire (canal 1) de largeur B = 4m. dont la pente de fond passe brusquement de 10-2 rd
à 10-3 rd. Le coefficient de Strickler pour tout le canal est Ks = 83 USI. Dans le canal 2 après
une distance L = 140 m l’écoulement rencontre un dispositif de contrôle, soit une vanne de
fond. Le coefficient de débit de la vanne est Kv = 0,55.
Cohard 04 2/4
??
?
10-
2
rd
10-
3
rd
L = 140 m
h0
Q
Canal 1
Canal 2

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1) calculer la hauteur critique de cet écoulement.
2) Calculer les hauteurs normales hn1 et hn2 de cet écoulement dans les différentes parties
du canal. Pour une hauteur h0 = 1,20 m la vanne influence t’elle l’écoulement.
Dans la suite la vanne est positionnée tel que h0 = 0,5m.
3) Qualifier l’écoulement (fluvial, torrentiel, faible pente, forte pente, …) dans les
différentes parties du canal en amont et en aval. Vous préciserez où il peut y avoir l’apparition
de ressaut hydraulique.
On étudie d’abord l’écoulement à l’aval de la vanne. On souhaite savoir si la vanne est
noyée ou si elle est dénoyée. Pour les cas ou h0 < hc < hn, le régime aval sera à priori torrentiel
passant par un ressaut pour revenir au régime permanent (h = hn).
4) Dans l’hypothèse d’un ressaut, appliquer la conservation de la quantité de mouvement
entre une section avant le ressaut et une section après le ressaut pour obtenir l’équation reliant
hr1, hr2 et hc.
5) hr1 est appelé conjugué de hr2
et vice versa (l’expression reliant hr1 et
hr2 étant parfaitement symétrique).
Si l’écoulement retrouve hn2 après
le ressaut la hauteur hr1 sera donc le
conjugué de hn2 Le ressaut sera donc
situé à l’intersection de la courbe
conjuguée et de h = hn2. Si cette
intersection existe le ressaut existe et
la vanne sera dénoyée. Si cette
intersection n’existe pas il n’y aura pas
de ressaut et la vanne sera noyée. La
hauteur d’eau à l’aval de la vanne sera alors hn2.
La condition d’existence de l’intersection dépend de la position relative de hn2 et du
conjugué h’0 de h0.
Préciser cette condition et conclure sur l’existence du ressaut. Faire un schéma.
Cohard 04 3/4
III- Coefficient de débit d’une vanne
1) Si on regarde précisément
l’écoulement à l’aval d’une vanne dénoyée
on remarque que la section se contracte en
passant de h0 à Kv.h0. Kv est le coefficient
de débit de la vanne. En appliquant la
relation de Bernoulli entre les section A et
B (figure ci-contre) et la conservation du
débit, donner une relation entre Q, Kv, h0
et hv1.
2) Cette relation reste valable pour
une vanne noyée car le coefficient de débit
Kv dépend essentiellement de la géométrie
de la vanne. Calculer hv1 pour les conditions d’écoulement obtenues à la question (I-6).
Q hc
hr2
hr1
Courbe conjuguée
h0
h’0
z
B
L
K
v
.
h0
A
h0
hv1

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Cohard 04 4/4
IV- Ligne d’eau à l’amont de la vanne
1) Rappeler (sans la démontrer) l’équation qui donne les variations de la hauteur d’eau
dh/dx. Etudier les variations de cette fonction pour le canal 1 et pour le canal 2.
2) Pour les conditions de la question (I-6) et (II-2) dessiner l’allure des lignes d’eau à l’aval du
changement de pente. Le calcul de cette ligne d’eau donne une hauteur d’eau au droit de la
cassure de 2,20 m. Dessiner alors la ligne d’eau à l’amont du changement de pente. Vous
préciserez la position du ressaut par rapport à la cassure de pente.
3) en reprenant l’équation obtenue à la question (I-4). calculer la hauteur d’eau après le
ressaut hydraulique sachant qu’avant le ressaut la hauteur d’eau est hn1.
4) Calculer la perte de charge au passage de ce ressaut.
5) regrouper les résultats des parties I, II et III sur une courbe Hs(h).