Université Joseph Fourier Examen Mécanique des fluides Année universitaire 2004-2005 tous documents autorisés I- Pompage par entraînement. V3 B S S/β V2 α.S A V1 h0 V0 Eau sale V2 h B S A V0 α.S Eau propre Ce procédé est employé pour vidanger de l’eau sale qu’on ne veut pas faire passer dans une pompe. Dans une chambre de section S, de l’eau propre est injectée à grande vitesse V0 par une conduite de section α.S. L’eau sale est entraînée, et entre dans la chambre à la vitesse V1. Le mélange sort de la chambre à la vitesse V2 . Puis la conduite s’élargit progressivement (pas de perte de charge) jusqu’à la section S/β et le mélange est rejeté à l’atmosphère à la vitesse V3. On note ρ la masse volumique de l’eau (propre ou sale). 1) Au moyen de la conservation des débits, exprimer V2 en fonction de V0, V1 et α. 2) Au moyen du théorème de Bernoulli pour l’écoulement de l’eau sale entre la surface libre et la section A, exprimer pgA 3) Compte tenu de la discontinuité de vitesse dans la section A de la chambre, il faut employer le théorème de la quantité de mouvement pour le volume fluide compris entre les sections A et B de la chambre. Etablir la relation entre la différence des pressions motrice (pgA – pgB), α et les vitesses V0, V1. V2.. Cohard 04 1/4 Université Joseph Fourier 4) Au moyen du théorème de Bernoulli pour l’écoulement du mélange entre la section B et la sortie à l’atmosphère, exprimer pgB. 5) En reportant les résultats des questions 1), 2), 4) dans celui de la question 3) et en posant V1 = x V0, établir la relation suivante: (1/2 – α).x2 – (1 + β2)/2 .[(1 – α).x + α]2 + α = g.(h0 – h)/V02 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 f(x) 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 6) La fonction f(x) au premier membre de cette relation est donnée par le graphique cidessus, pour α = 0,1 et β = 0,25. La vitesse d’injection est V0 =20 m/s. On prend g = 10 m-2, La hauteur de refoulement est h0 = 3 m. Le niveau d’eau sale peut varier entre h = 0 et h = 2,5 m. Pour ces deux niveaux, calculer V1 et le rapport du débit d’eau sale évacué au débit d’eau propre injecté. II- Influence d’une vanne de fond ? Q ? ? Canal 1 10-2 rd h0 -3 10 rd Canal 2 L = 140 m Dans une station hydroélectrique, un débit de Q = 6 m3/s transite dans un très long canal rectangulaire (canal 1) de largeur B = 4m. dont la pente de fond passe brusquement de 10-2 rd à 10-3 rd. Le coefficient de Strickler pour tout le canal est Ks = 83 USI. Dans le canal 2 après une distance L = 140 m l’écoulement rencontre un dispositif de contrôle, soit une vanne de fond. Le coefficient de débit de la vanne est Kv = 0,55. Cohard 04 2/4 Université Joseph Fourier 1) calculer la hauteur critique de cet écoulement. 2) Calculer les hauteurs normales hn1 et hn2 de cet écoulement dans les différentes parties du canal. Pour une hauteur h0 = 1,20 m la vanne influence t’elle l’écoulement. Dans la suite la vanne est positionnée tel que h0 = 0,5m. 3) Qualifier l’écoulement (fluvial, torrentiel, faible pente, forte pente, …) dans les différentes parties du canal en amont et en aval. Vous préciserez où il peut y avoir l’apparition de ressaut hydraulique. On étudie d’abord l’écoulement à l’aval de la vanne. On souhaite savoir si la vanne est noyée ou si elle est dénoyée. Pour les cas ou h0 < hc < hn, le régime aval sera à priori torrentiel passant par un ressaut pour revenir au régime permanent (h = hn). 4) Dans l’hypothèse d’un ressaut, appliquer la conservation de la quantité de mouvement entre une section avant le ressaut et une section après le ressaut pour obtenir l’équation reliant hr1, hr2 et hc. h’0 Courbe conjuguée 5) hr1 est appelé conjugué de hr2 hr2 et vice versa (l’expression reliant hr1 et hr2 étant parfaitement symétrique). Si l’écoulement retrouve hn2 après le ressaut la hauteur hr1 sera donc le hc hr1 conjugué de hn2 Le ressaut sera donc h0 situé à l’intersection de la courbe conjuguée et de h = hn2. Si cette intersection existe le ressaut existe et la vanne sera dénoyée. Si cette intersection n’existe pas il n’y aura pas de ressaut et la vanne sera noyée. La hauteur d’eau à l’aval de la vanne sera alors hn2. La condition d’existence de l’intersection dépend de la position relative de hn2 et du conjugué h’0 de h0. Q Préciser cette condition et conclure sur l’existence du ressaut. Faire un schéma. III- Coefficient de débit d’une vanne 1) Si on regarde précisément l’écoulement à l’aval d’une vanne dénoyée on remarque que la section se contracte en passant de h0 à Kv.h0. Kv est le coefficient de débit de la vanne. En appliquant la relation de Bernoulli entre les section A et B (figure ci-contre) et la conservation du débit, donner une relation entre Q, Kv, h0 et hv1. z L hv1 h0 Kv.h0 2) Cette relation reste valable pour une vanne noyée car le coefficient de débit A B Kv dépend essentiellement de la géométrie de la vanne. Calculer hv1 pour les conditions d’écoulement obtenues à la question (I-6). Cohard 04 3/4 Université Joseph Fourier IV- Ligne d’eau à l’amont de la vanne 1) Rappeler (sans la démontrer) l’équation qui donne les variations de la hauteur d’eau dh/dx. Etudier les variations de cette fonction pour le canal 1 et pour le canal 2. 2) Pour les conditions de la question (I-6) et (II-2) dessiner l’allure des lignes d’eau à l’aval du changement de pente. Le calcul de cette ligne d’eau donne une hauteur d’eau au droit de la cassure de 2,20 m. Dessiner alors la ligne d’eau à l’amont du changement de pente. Vous préciserez la position du ressaut par rapport à la cassure de pente. 3) en reprenant l’équation obtenue à la question (I-4). calculer la hauteur d’eau après le ressaut hydraulique sachant qu’avant le ressaut la hauteur d’eau est hn1. 4) Calculer la perte de charge au passage de ce ressaut. 5) regrouper les résultats des parties I, II et III sur une courbe Hs(h). Cohard 04 4/4