Effet d`un champ laser sur un atome neutre 1 Représentation du

ECOLE POLYTECHNIQUE − Promotion X2014
Laurent Sanchez-Palencia ([email protected])
web: http://www.uquantmat.fr/teachX-PHY562.html
OPTIQUE QUANTIQUE (PHY562)
Petite Classe 6 (20 février 2017)
Effet d’un champ laser sur un atome neutre
Nous étudions dans cette PC l’action exercée par un champ laser sur un atome neutre. Pour cela,
nous effectuons d’abord un changement de représentation qui permet de décrire le rayonnement
quantifié sous la forme un champ classique plus le vide quantique. L’existence de deux échelles de
temps distinctes permet ensuite de traiter séparément les variables atomiques externes et internes.
La dynamique des premières est donnée par le théorème de Ehrenfest et celle des secondes par
les équations de Bloch optiques. Nous montrons ainsi comment apparaissent la force de pression
de radiation et la force dipolaire.
1
Représentation du rayonnement adaptée à la présence d’un champ laser
On considère un champ de rayonnement libre monomode de mode ℓ quelconque. On rappelle que
pour deux opérateurs  et B̂ et une fonction analytique f quelconques, on a
1. Si B̂ commute avec [Â, B̂], alors [Â, f (B̂)] = [Â, B̂]f ′ (B̂) = f ′ (B̂)[Â, B̂] ;
2. Si  et B̂ commutent avec [Â, B̂], alors exp( + B̂) = exp(Â) exp(B̂) exp(−[Â, B̂]/2).
1. On introduit l’opérateur déplacement
D̂ℓ (α) = exp αâ†ℓ − α∗ âℓ .
(1)
(a) Etablir la double égalité D̂ℓ (α)† = D̂ℓ (α)−1 = D̂ℓ (−α).
(b) Exprimer l’opérateur D̂ℓ (α) en séparant les opérateurs âℓ et â†ℓ dans deux exponentielles différentes.
(c) Calculer le commutateur [âℓ , D̂ℓ (α)].
(d) Montrer que D̂ℓ (α)|0i = |αiℓ .
2. On effectue à présent le changement de représentation défini par la transformation T̂ (t) =
D̂ℓ [α(t)]−1 avec α(t) = α(0)e−iωℓ t .
(a) Montrer que dans la nouvelle représentation les expressions du hamiltonien et de l’opérateur d’annihilation d’un photon dans le mode ℓ sont respectivement
Ĥℓ′ = ~ωℓ (â†ℓ âℓ + 1/2)
et
â′ℓ = âℓ + α(0)e−iωℓ t .
(2)
~ˆ ′ (~r, t), E
~ˆ ′ (~r, t) et B
~ˆ ′ (~r, t).
(b) En déduire les expressions des opérateurs A
(c) Si l’état du rayonnement dans la représentation initiale est l’état cohérent |αiℓ , quel
est-il dans la nouvelle représentation ?
1
2
Forces exercées par un champ laser sur un atome neutre
On s’intéresse ici à l’interaction d’un atome avec un champ laser. On considère un atome de
masse m à deux niveaux |gi et |ei séparés par l’énergie Ee − Eg = ~ωA et de moment dipolaire
électrique
~ˆ = d~ |eihg| + d~∗ |gihe|.
D
(3)
L’état fondamental ‘g’ est supposé stable alors que l’état excité ‘e’ a une durée de vie finie Γ−1 .
Le champ laser est un produit d’états cohérents dans différents modes ℓ, tous de même fréquence
ωL , que l’on écrira sous la forme
~
~ L (~r, t) = EL (~r) exp(−iωL t) + c.c.,
E
2
(4)
où E~L (~r) est un vecteur complexe.
1. Montrer que, dans l’approximation dipolaire électrique, on peut écrire le hamiltonien du
système sous la forme
Ĥ = ĤA + ĤR + V̂AL + V̂AV ,
(5)
où ĤA est le hamiltonien de l’atome seul, ĤR est celui du rayonnement seul et V̂AL et
V̂AV représentent l’interaction de l’atome avec, respectivement, le champ laser classique
et le rayonnement. Ecrire les expressions de ces différents termes où l’on traitera l’atome
entièrement quantiquement. Quel est l’état du rayonnement dans cette représentation ?
2. En ne conservant que les termes résonants, écrire les termes d’interaction sous la forme

h
i
~ˆ
~Ω1 (R)

~ˆ + h.c.,

exp
−iω
t
−
iφ
(
R)
V̂
=
Ŝ
L
1
AL
+

2
(6)

P

ˆ
 V̂
~ + h.c.,
= −2iŜ+
Eℓ d~ · ~εℓ âℓ exp i~kℓ · R
AV
ℓ
où l’on a posé
Ŝ+ = |eihg|
,
Ŝ− = |gihe|
,
Ŝz =
|eihe| − |gihg|
,
2
(7)
~ˆ et P~ˆ les opérateurs position et impulsion de l’atome.
et où l’on appelle respectivement R
3. Ecrire les équations du mouvement atomique et montrer que l’atome est soumis à une
force moyenne
*
!+
h
i
~ˆ
~Ω
(
R)
ˆ
1
~ i = − Ŝ+ ∇
~
~
hF
exp −iωL t − iφ1 (R)
+ c.c.
(8)
2
4. On suppose dans la suite que l’on peut traiter le mouvement de l’atome, i.e. ses variables
externes, classiquement. On suppose par ailleurs que les variables atomiques internes relaxent rapidement vers un état quasi-statique ne dépendant que des variables atomiques
externes. Comment se simplifie alors l’équation (8) ?
2
5. Pour un atome au repos, la dynamique des variables internes moyennes est déterminée
par les équations de Bloch optiques,

dhS̃+ i


= − Γ2 + i∆ hS̃+ i − iΩ1 hS̃z i

dt




dhS̃− i
Γ
(9)
=
−
−
i∆
hS̃− i + iΩ1 hS̃z i
dt
2






 dhS̃z i = −ΓhS̃ i − i Ω1 hS̃ i + i Ω1 hS̃ i − Γ ,
z
+
−
dt
2
2
2
où S̃± = Ŝ± exp[∓i(ωL t + φ1 )], S̃z = Ŝz et ∆ = ωL − ωA . Récrire les équations de Bloch
optiques à l’aide des variables
u(t) =
hS̃+ i + hS̃− i
2
,
v(t) =
hS̃+ i − hS̃− i
2i
et
w(t) = hS̃z i.
(10)
6. Déterminer la solution stationnaire des équations obtenues ci-dessus en faisant apparaître
le paramètre de saturation,
~ 2
~ = Ω1 (R) /2 .
(11)
s(R)
∆2 + Γ2 /4
7. Montrer que la dynamique fait apparaître une relaxation des variables internes avec un
temps typique τint ∼ Γ−1 . On pourra se limiter au cas ∆ = 0.
8. Montrer que les approximations faites (paquet d’onde classique et découplage des dynamiques atomiques interne et externe) ne sont compatibles avec la relation d’incertitude
de Heisenberg que lorsque la condition de raie large,
Γ ≫ Er = ~2 kL2 /2m,
(12)
est satisfaite. Montrer par ailleurs qu’il faut que la température soit suffisamment élevée,
T ≫
2π~2
.
mkB λ2L
9. Ces conditions sont-elles satisfaites pour l’atome
Γ−1 ≃ 27ns et λL ≃ 780nm.
(13)
87 Rb.
On donne m ≃ 1, 45 × 10−25 kg,
10. Montrer que la force moyenne exercée sur l’atome par le champ laser s’écrit
~ i = F~PR + F~dip ,
hF
avec
~
~Γ s(R)
~ 1 (R)
~
F~PR = −
∇φ
~
2 1 + s(R)
et
(14)
~ R)
~
~∆ ∇s(
.
F~dip = −
~
2 1 + s(R)
(15)
~dip dérive d’un potentiel Vdip (R)
~ que l’on déterminera.
11. Montrer que la force dipolaire F
Commenter.
12. On suppose que le champ laser est un faisceau unique de vecteur d’onde ~kL donné. Montrer
que la force F~PR n’est autre que la force de pression de radiation
moyenne. On pourra faire
apparaître la population moyenne de l’état excité πe = |eihe| = hS̃z i + 1/2.
3