MÉCANIQUE DES FLUIDES

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Spé y 2006-2007 Devoir n°5
MÉCANIQUE DES FLUIDES-ÉLECTROMAGNÉTISME
Rapport du jury
<début du rapport officiel>
PARTIE I
CENTRALE PSI 2000
Équation de Navier-Stokes
Les forces de viscosité, l’équation de Navier-Stokes, sont des expressions vectorielles. Trop
de candidats pensent que ce n’est qu’un détail. Le nombre de Reynolds, dont l’expression est sou-
vent donnée correctement, n’a une signification qu’en ordre de grandeur et il est illusoire de donner
un sens à une précision de plus de deux chiffres. La nature du régime d’écoulement aux grands et
petits nombre de Reynolds est connue.
Les conséquences de l’incompressibilité du uide sur le champ de vitesse sont bien compri-
ses. Il fallait ensuite annuler les deux composantes de la vitesse sur la paroi solide, le uide étant
visqueux. L’énoncé demandait de qualier l’écoulement : un nombre élevé de copies associait
écoulement potentiel et rotationnel, sans se rendre compte de la contradiction. Manifestement,
beaucoup de candidats ont confondu "divergence nulle" et "potentiel". Le Jury a sanctionné un cal-
cul du champ de pression qui aboutissait à une pression négative sur une moitié de la sphère. Le
sens physique clair de la réponse aurait dû faire remarquer aux candidats qu’ils avaient oublié la
constante d’intégration.
Conclusion, à l’usage des futurs candidats :
Le Jury tient particulièrement aux points suivants :
Respecter la nature vectorielle ou algébrique des termes d’une équation. Prendre le temps de
vérier les signes et les sens des vecteurs.
Argumenter, même sommairement, le choix des réponses : bilan des forces, réactions qui
ont effectivement lieu...
Prendre le temps d’interpréter les résultats, les applications numériques. Le Jury a attaché de
l’importance (et donc des points) aux réponses qui montraient une réelle compréhension de la part
du candidat.
PARTIE II
CENTRALEMP2004
On a pu constater une mauvaise évaluation numérique du temps de relaxation ainsi que de la
distance parcourue par l’ion.
Certains candidats ne lisent pas sufsamment attentivement les questions posées et donnent
la structure électronique des éléments et non celle des ions et veulent trouver la position des ions
dans la classication au lieu de celle des éléments, bien sûr. Même si un grand nombre de candidats
connaît la famille des alcalins, on peut regretter que d’autres la confondent avec les halogènes, al-
calino-terreux ou alcanes ! Que de difcultés également pour enchaîner les réponses qualitatives
concernant les rayons ionique et hydrodynamique !
Peu de candidats ont su retrouver l’expression de la conductivité donnée dans l’énoncé alors
que les expressions du vecteur densité de courant
r
J
= g
r
E
et
rr
J n q v
k k k
k
=å sont certainement
connues.

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L’application numérique de la conductivité est souvent fausse malgré la mise en garde de
l’énoncé sur la « cohérence des unités ».
L’équation de Poisson n’est pas toujours «donnée», le candidat essaie parfois sans succès de
l’établir à partir des équations de Maxwell. On trouve parfois des résistances négatives et de très
nombreuses applications numériques fausses.
Les commentaires sur la courbe de variation du potentiel sont souvent très vagues et les li-
gnes de champ mal tracées, confondues avec la valeur discontinue du champ au niveau des plans de
Helmholtz. Il y a souvent confusion entre la discontinuité du champ à la traversée d’une distribution
surfacique de charges qui est demandée, et l’expression du champ au voisinage d’un conducteur
chargé donnée par le théorème de Coulomb. De nombreuses erreurs de calcul ou de signe apparais-
sent dans les expressions du champ ainsi que dans la relation entre les densités surfaciques de char-
ges même si la méthode est correcte. Aussi l’équation différentielle correcte avec la «bonne» cons-
tante de temps n’a pas été souvent obtenue.
PARTIE III
CENTRALE PC 2004
1) Cette partie était très abordable, et la plupart des candidats en ont tiré prot, à l’exception
notable du tracé de l’allure des lignes de courant, qui a très rarement été représentée avec succès.
2). L’expression du gradient du potentiel étant donnée dans l’énoncé ; on a pu trouver à la
fois des candidats trouvant le résultat de l’énoncé de façon peu honnête, et des candidats trouvant
un autre résultat, et annonçant de façon péremptoire une erreur d’énoncé certaine.
3). Quelques candidats éprouvent des difcultés à expliciter le lien entre les propriétés de
symétrie de la distribution de courants et celles du champ magnétique. On ne peut se contenter de la
formule magique : «Par raison de symétrie …». De même, le fait que la densité de courant soit dans
un plan orthogonal à l’axe du cylindre ne suft pas à établir que ce plan est un plan de symétrie
pour la distribution de courants.
L’étude du critère B* << B0, et en particulier l’homogénéité de ce critère a été rarement
traitée de façon satisfaisante. Rappelons que les deux membres d’une inégalité doivent, au même
titre que les deux membres d’une égalité, avoir la même dimension physique.
</fin du rapport officiel>
Commentaires du D.S.
Même si le programme du devoir était copieux, la proximité des vacances juste avant aurait
dû permettre ne meilleure acquisition des bases élémentaires, qui étaient largement suffisantes pour
obtenir un bon résultat. Au lieu de ça, on a revu des copies mal présentées, se contentant d’aligner
les équations sans explication et sans vérifier leur validité. Le taux d’efficacité de beaucoup est re-
tombés sous les 35%. Ces extraits de sujets donnés au concours Centrale montre le chemin qu’il
reste à parcourir pour participer honorablement à ce type d’épreuve.
Partie I
I-1-a) Le relation demandée est algébrique mais on peut l’établir dans le cas particulier où
¶
¶
v
y>0. Comme on demande la force exercée par la couche du « dessous », elle est orientée comme
–
r
e
X.
b) Il faut savoir retrouver l’expression de la densité volumique de force de viscosité.
c) L’énoncé n’est pas très clair : « ne pas prendre en compte d’autres densités volu-
miques de forces » concerne le poids mais pas la pression, qui est toujours présente dans un fluide.
2-a) Pas d’unité dans une analyse dimensionnelle (cf rapport des devoirs précédents). La
détermination de l’expression de D0 doit être justifiée. La formule ne « tombe pas du ciel ».

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c) Un nombre de Reynolds est un ordre de grandeur. Il est absurde de le donner avec
trop de chiffres significations. Beaucoup de permutation laminaire/turbulent, convectif/viscosité.
3-a) La condition imposée par la sphère est une condition aux limites permettant de détermi-
ner le champ des vitesses. Tout autre condition est trop vague.
b) Le calcul de div(
r
v
) doit être clairement mené. Lorsqu’une ligne ne découle pas
logiquement (et algébriquement) de la précédente, il faut le signaler.
c) La détermination d’une fonction à partir de ses dérivées partielles obéit à une mé-
thode claire vue en cours et en TD plusieurs fois auparavant. La pression n’est pas un vecteur, elle
n’a donc pas de « composantes » Pr ou Pq.
d) La force élémentaire de pression fait intervenir le vecteur
r
e
r(P) qui dépend du
point courant P du domaine d’intégration. Ce vecteur change et on ne peut pas le sortie de
l’intégrale. Une réponse donnant la résultante comme portée par
r
e
q est donc totalement absurde.
L’erreur vient de la paresse consistant à noter
r
e
r plutôt que
r
e
r(P), comme c’est fait dans tout le
cours et tous les corrigés fournis en classe.
La question «calcul d’une résistance de force de pression » est classique pour qui a fait
l’effort d’écouter le cours et faire les exercices correspondants. Elle n’est faite dans aucune copie.
4-a) Même erreur que ci-dessus en remplaçant
r
e
r(P) par
r
e
q(P).
b) Le résultat montre que dans la force de traînée subie par la sphère, il n’y a pas que
l’effet de la viscosité mais aussi celui de la pression qui n’est pas uniforme sur toute la surface.
Partie II
1-a) Le poids est négligeable devant les autres forces.
b) La mobilité n’est pas le vitesse
c) L’unité SI de masse est le kilogramme et non le gramme.
d) Il s’agit d’un calcul d’ordre de grandeur. Il est donc hors de question de faire in-
tervenir le terme en exponentiel de la vitese.
2-a) C’est la structure des ions qui est demandée, pas celle des atomes.
c) Il faut des explications pour justifier le schéma.
3-a) L’expression de la conductivité d’une solution est vue dans le cours de SUP.
4-a) Une équation « vérifiée par V » doit permettre de déterminer cette fonction. Sil reste un
r ou un
r
E
inconnu, ce n’est pas le cas. La solution est neutre donc r = 0.
b) Les lignes de courant sont les lignes de champ car la solution est un conducteur.
5-a) Il n’est évidemment pas question d’utiliser la méthode intégrale pour calculer le poten-
tiel : il n’y a pas de charge ponctuelle ici et l’intégrale n’est pas calculable.
6-b) Une question de cours pour sauver les meubles.
c) Il faut appliquer le théorème de superposition.
Partie III
1-a) x, y ou r sont des variables relatives au point courant quelconque dans l’intégrale du dé-
bit. Il n’est donc pas possible de les retrouver dans l’expression de la vitesse moyenne.
1-b à 1-f : des calculs mathématiques qui ne demandent pas d’avoir vraiment compris grand
chose. On applique le formulaire donné par l’énoncé. La condition aux limites sur le tuyau isolant
porte sur Jr mais pas sur Jq. Il ne s’agit pas d’un liquide visqueux ici.
2-b) On ne sait pas comment sont les lignes de champ entre A et B. On ne peut donc pas cal-
culer VA – VB par la circulation de
r
E
. Par contre, on connaît le gradient de V donc l’expression de
ces dérivées partielles, d’après la question précédente. Il suffit donc de déterminer la fonction
V(r, q) par la même méthode qu’en I-3-c.
3-a) Le tube est de longueur infinie. Cela ne justifie pas que la distribution de courant soit
invariante par symétrie par rapport à un plan perpendiculaire à l’axe. Il ne faut pas confondre la
forme géométrique du support et l’allure des lignes de courant qui s’y trouvent.

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Florilège
Les horreurs inadmissibles ont fait de nouveau leur apparition. Une simple lecture un peu
critique de la copie permettrait de les faire disparaître. Il est plus grave de les laisser que de ne rien
écrire.
« Le nombre de Reynolds vaut 7142,8 » ;
« F p n dS=
zz
r
r
.S » (pour une résultante des forces de pression ;
« -
¶
¶
P
r
s’intègre en P.r » ;
« PZ = mgz + z0 » (où P est la pression) ;
« t = ...g.m2.s–1.C–1. » (t est un temps)
« t = ...m.s–1.V–1. » (t est un temps)
« position de Na : 2ème ligne, 18ème colonne. » ;
« Ces éléments (Li, Na,K) font partie de la famille des halogènes. Leurs ions correspndants
sont le plus souvent des cations. » ;
« g = |zCl|cCll°Cl.... où zCl = 14. » ;
« ...la composante selon x de rPM.... » ;
« la condition aux limites est
r
v
=
r
0
. » (le point n’est pas précisé)
« potentiel crée par une plaque :
V
x
US
xa
( ) =
+
F
H
GI
K
J
0
0
2
42 pe er
».
« la valeur moyenne sur une section est vM = k(a2 – r2) » (r est la position d’un point quel-
conque de la section).
« k a x y dS k a x y dS( ) ( )
2 2 2 2 2 2
- - = - -
zz
zz
» (où (x, y) sont les coordonnées du point
courant de l’intégrale.