Résonances de Ruelle en quantification géométrique

CHAOS QUANTIQUE : RÉSONANCES DE RUELLE EN
QUANTIFICATION GÉOMÉTRIQUE
ARNOLDI JEAN-FRANÇOIS
1
Rapport de Stage du M2 de L'ENS Lyon, Champs particules et matière condensée .
Résumé. La dynamique préquantique
Souriau-Kirillov comme une étape
fut introduite dans les années 70 par
Kostant-
intermédiaire entre les dynamiques classique et
quantique.
Tout comme la dynamique classique, la dynamique préquantique transporte les fonctions sur l'espace des phases mais tout en accumulant une phase responsable des eets
d'interférences en mécanique quantique.
Dans le cas de systèmes dynamiques hyperboliques (ou
Anosov),
il est suggéré que
l'étude de la dynamique préquantique pourrait donner une meilleure compréhension des
eets d'interférences quantiques pour des temps long.
Dans ce rapport, à partir d'une application hyperbolique non linéaire sur le tore, ce qui
constitue un cadre très général pour l'étude des systèmes
Anosov, on construit l'opérateur
relevé préquantique, on étudie ses propriétés spectrales et on dérive sa trace.
De ce point de vue, ce rapport est une fusion de trois articles récents de
F. Faure
[5, 6, 8]. L'originalité principale est que l'on montre que les travaux sur les opérateurs
de transfert classique (opérateurs de
Ruelle)
s'adaptent naturellement à l'étude de la
dynamique préquantique.
Table des matières
1.
Introduction
2
partie 1. Dynamique classique : Application hyperbolique sur le plan et
le tore
M0
2.
L'application linéaire
3.
Perturbation Hamiltonienne : l'application
4.
Dynamique hyperbolique et stabilité structurelle
4
partie 2. Dynamique préquantique
5.
Quantication géométrique de
3
M
5
5
6
R2
6
5.1.
Dynamique hamiltonienne
6
5.2.
Le bré préquantique
6
5.3.
Dynamique préquantique
8
5.4.
Lien avec la mécanique quantique
9
107/08/2008. Sous la direction de Frédéric Faure, Institut Fourier, 100 rue des Maths, Grenoble.
1
2
frenchARNOLDI JEAN-FRANÇOIS
6.
Le bré préquantique sur le tore
10
6.1.
Opérateurs de translations unitaires
10
6.2.
Espace de Hilbert préquantique sur le tore
12
6.3.
L'application préquantique sur le tore
12
Symbole de l'opérateur préquantique P̂H
? 2
Trajectoires préquantiques dans T R
13
7.1.
8.
Conclusion
16
7.
14
partie 3. Fonctions de fuites et résonances
9.
17
La fonction de fuite et les espaces de Sobolev anisotropes
9.1.
9.2.
10.
10.1.
Construction de la fonction de fuite
Am
et du PDO
17
Âm
17
Les espaces de Sobolev anisotropes
18
Spectre de résonances
19
Fonctions de corrélations
20
partie 4. Formule de trace
20
partie 5. Conclusion et perspectives
23
partie 6. Annexes
23
11.
Annexe A : preuve de l'équation 6.15
23
12.
Annexe B : Opérateurs pseudo diérentiels (PDO)
25
12.1.
12.2.
13.
13.1.
PDO à ordre constant
Symbole de l'opérateur
25
P̂H
25
Annexe C : PDO sur un bré
26
Quantication sur un bré
26
Références
26
1. Introduction
Le chaos quantique est l'étude de la dynamique ondulatoire (dynamique quantique) dans
la limite des petites longueurs d'ondes (limite semi-classique
~→0
[12, 4]), lorsque dans
cette limite, la dynamique classique correspondante est chaotique [5, 6].
Les modèles usuels pour étudier le chaos quantique sont les systèmes uniformément
hyperboliques ou anosov [2, 11]. En eet, pour ces modèles très simples, la dynamique
classique présente de fortes caractéristiques du chaos comme le mélange, la sensibilité aux
conditions initiales pour chaque trajectoire, l'ergodicité , la décorrelation exponentielle,
etc...
Au niveau quantique, la formule de trace semi-classique de gutzwiller donne une
P −iEn t/~
−iĤt/~
description de la trace du propagateur quantique tr(e
) =
en terme
ne
d'une somme d'amplitudes complexes le long d'orbites classiques périodiques [20] . Par
transformée de Fourier on obtient une description du spectre
ρ(E)
du hamiltonien
Ĥ ,
frenchCHAOS QUANTIQUE : RÉSONANCES DE
RUELLE EN QUANTIFICATION GÉOMÉTRIQUE
3
P
n δ(E − En ). Au plus longtemps on controle le propagateur au plus précise est
l'estimation spectrale (par ∆E = ~/∆t).
ρ(E) =
Un problème important en chaos quantique est que la formule de Gutzwiller n'est prouvée que pour des temps relativement courts (de l'ordre du temps d'ehrenfest, [6, 16]).
Certaines expériences numériques suggèrent qu'elle pourrait être valide pour des temps
α
beaucoup plus longs comme t ∼ 1/~ ; α > 0 (voir [6]), et de nombreux travaux en physique sur le chaos quantique sont basés sur cette hypothèse (cf. [5] p. 2) pour des références
sur ces travaux).
Ce document s'inscrit dans une démarche initiée par F. Faure pour prouver la validité de
la formule de trace de Gutzwiller pour des temps plus longs que le temps d'Ehrenfest
[5, 6].
La piste suivie est l'étude spectrale de l'opérateur d'évolution préquantique de KostantSouriau-Kirillov, qui apparaît en quantication géométrique comme un opérateur sur
les fonctions de l'espace des phases (plus précisément sur les sections d'un bré). Cet opérateur génère une dynamique dite préquantique, à la frontière entre les dynamiques classique
et quantique [23, 3], et présente de fortes similitudes avec les opérateurs de transfert classiques (opérateurs de Ruelle) dont les propriétés spectrales sont étudiées en détail dans
[8, 7].
L'intérêt principal est que pour cet opérateur, comme pour les opérateurs de transfert
classiques, la formule de trace est exacte. On peut le voir comme une conséquence du
fait qu'il n'y a pas de principe d'incertitude en dynamique préquantique : les fonctions
sur l'espace des phases sont simplement transportées le long des trajectoires classiques en
accumulant une phase égale à l'action des trajectoires [23, 7].
Dans ce rapport, partant d'une application linéaire hyperbolique sur le tore, que l'on per-
2
turbe an d'obtenir une application hyperbolique non-linéaire , on construit la dynamique
préquantique correspondante. Dans ce cadre, on montre notamment que les techniques
développées dans [8] par F. Faure et al. pour étudier les propriétés spectrales des opérateurs de transfert de Ruelle, s'adaptent naturellement à l'étude de cette dynamique
préquantique. On déduit l'existence d'un spectre de résonances pour l'opérateur d'évolution préquantique et on dérive sa formule de trace.
Enn, on discute du lien avec la formule de trace semi-classique de Gutzwiller et on
tâchera de mesurer le chemin qu'il reste à parcourir pour aboutir à une preuve en temps
long de cette dernière.
Première partie
1.
Dynamique classique : Application hyperbolique sur le
plan et le tore
Cette partie est principalement issue de [6].
2Le
cas linéaire est étudié selon une démarche très similaire dans l'article [5]. Ce présent travail est donc
un premier pas vers une extension logique, au cas général de dynamique hyperbolique, de l'étude menée
dans cet article.
4
frenchARNOLDI JEAN-FRANÇOIS
Fig. 2.1. A gauche, dynamique de
Mo =
2 1
1 1
sur
R2 et T2 (application
du chat d'Arnold) tiré de [2] p 122. A droite, variétés stables et instables
M nonlinéaire sur le tore (eq. 3.1 et thm. 4.1) Dans cet
2 1
et la perturbation H1 (q, p) = acos(2πq); a = 0.01.
exemple, Mo =
1 1
de l'application
Issue de [6].
2. L'application linéaire
M0
Considérons un hamiltonien quadratique sur l'espace des phases
x = (q, p) ∈ R2
muni
ω = dq ∧ dp :
1
1
(2.1)
H0 (q, p) = αq 2 + βp2 + γqp, α, β, γ ∈ R.
2
2
Les équations de hamilton (cf. [1]) pour une trajectoire x(t) sont dq/dt = γq + βp et
dp/dt = −αq − γp. Le ot au temps 1 est alors donné par x(1) = M0 x(0) avec la matrice
A B
γ
β
∈ SL(2, R), i.e. det(M0 ) = 1
(2.2)
Mo :=
= exp
C D
−α −γ
de la 2-forme symplectique
2
On suppose que γ > αβ , alors M0 est une application hyperbolique avec deux valeurs
p
±λ
propres réelles e 0 où λ0 =
γ 2 + αβ est appelé exposant de lyapounov (ou coecient
2
d'expansion). Aux deux vecteurs propres réels associés notés u0 , s0 ∈ R , correspondent
les directions instable et stable de la dynamique. Si on suppose de plus que
2
2
i.e. M0 ∈ SL(2, Z) alors on a que, ∀x ∈ R , n ∈ Z ,
A, B, C, D ∈ Z,
M0 (x + n) = M0 (x) + M0 (n) ≡ M0 (x) mod1
Ainsi
M0
induit une application sur le tore
T2 = R2 /Z2
(voir g. 2.1.). Cette application
est uniformément hyperbolique (ou Anosov ), avec de fortes propriétés chaotique telles
que le mélange et l'ergodicité [11, 2].
frenchCHAOS QUANTIQUE : RÉSONANCES DE
RUELLE EN QUANTIFICATION GÉOMÉTRIQUE
3. Perturbation Hamiltonienne : l'application
5
M
On introduit une perturbation non linéaire de l'application précédente. On part d'une
∞
2
fonction C
sur le tore H1 : T → R (i.e. H1 et ses dérivées sont des fonctions périodiques
2
2
sur R ). Soit M1 l'application sur R donnée par le ot au temps 1 généré par H1 . On
dénit :
M := M1 .M0
(3.1)
Qui induit une application sur le tore que l'on appelle toujours
M.
Remark 3.1. On peut voir la dynamique comme générée par un hamiltonien dépendant du
temps, périodique en temps mais discontinu :
H(t) =
(3.2)
H0
H1
pour 0 ≤ t < 1 mod2
pour 1 ≤ t < 2 mod2
On a une relation utile :
M (x + n) = M (x) + M0 (n), ∀x ∈ R2 , n ∈ Z2 .
(3.3)
M0 (x + n) = M0 (x) + M0 (n) et M1 (x + n) = M1 (x) + n,
M (x + n) = M1 (M0 (x) + M0 (n)) = M (x) + M0 (n), car M 0 (n) ∈ Z2 .
Démonstration. de
on déduit
4. Dynamique hyperbolique et stabilité structurelle
Le théorème de stabilité structurelle arme que si le diéomorphisme
susamment proche de
M0
M
sur le tore est
, il dénit toujours un système uniformément hyperbolique,
bien que les champs de vecteurs stables et instables, ainsi que le coecient d'expansion,
∞
1
ne soit plus forcément de classe C
(Mais en général seulement C cf. [11] et [2] p. 129.) :
Theorem 4.1.
HM0 H
−1
avec
> 0, tel que si ||H1 ||C 2 < , alors M est conjuguée à M0 : M =
H : T → T2 Hölder continu, et M est uniformément hyperbolique au
Il existe
2
sens suivant :
DMx : Tx T2 → TM x T2 l'application tangentielle (ou push-foward) en x ∈ T2 . En
point x du tore, il existe une décomposition de l'espace tangent en deux sous-espaces
Soit
tout
(resp. instable et stable) :
Tx T2 = Eu (x) ⊕ Es (x)
(4.1)
coecient
Eu ⊕ Es ∈ T T2 est
d'expansion λx , tels que :
(4.2)
||DMx (ξ)|| ≥ eλx ||ξ||, ∀ξ ∈ Eu (x) et ||DMx (η)|| ≤ e−λx ||η||, ∀η ∈ Es (x).
où le feuilletage
Hölder continu et invariant vis à vis de
M,
et un
Dans toute la suite on supposera la perturbation susamment faible pour que le théorème précédent s'applique.
Remark 4.2. Pour une perturbation nulle, on a bien sûr
M = M0
et
λx = λ0 ∀x.
6
frenchARNOLDI JEAN-FRANÇOIS
u0 ∈ R2 un vecteur quelconque et [u0 ]∈ P (R2 )
l'espace projectif. Soit [DMx ] l'action de DMx dans l'espace projectif.
stable, i.e la direction de tout vecteur ux ∈ Eu (x) est donnée par :
Expression explicite de
sa direction dans
Alors la direction
Eu (x) et Es (x) :
Soit
t
[ux ] = lim [DMM
−t (x) ][u0 ]
t→−∞
qui converge pour presque tout
u0 .
De même la direction stable est donnée par
−t
[sx ] = lim [DMM
t (x) ][s0 ]
t→+∞
où
so
est un vecteur de
R2 .
Finalement, Le théorème 4.1 montre que l'on a une décomposition du bré
variétés instable et stable générées par les champs
Deuxième partie
2.
Eu
et
Es
T T2
en
(cf. g 2.1).
Dynamique préquantique
La quantication géométrique est une alternative très naturelle aux procédures de quantication usuelles (cf. [3, 23]). L'idée est d'adjoindre aux trajectoires classiques une phase
complexe égale à l'action des trajectoires. Cela se traduit par une dynamique sur les sections d'un bré en droites complexes au dessus de l'espace des phases classique, que l'on
appelle dynamique préquantique. Le lien avec la mécanique quantique se fait en restreignant l'espace des sections d'un tel bré.
Dans cette partie on construit le générateur de la dynamique préquantique associé à
l'application
M,
sur le plan et le tore, et on donne son symbole principal déni indépen-
damment d'une trivialisation du bré.
5. Quantification géométrique de
R2
Dans cette section (qui est un résumé de la section 3 de l'article [5]) on donne les bases de
2
la quantication géométrique de l'espace des phases euclidien R . On pourra consulter les
ouvrages [23, 3] pour une introduction à la quantication géométrique d'espaces de phases
plus généraux.
Dynamique hamiltonienne.
x = (q, p) ∈ R2 muni de ω = dq ∧ dp, une fonction
H ∈ C (R ) dénie un champ de vecteur hamiltonien XH ∈ C ∞ (T R2 ) par
∂H ∂
∂H ∂
−
(5.1)
ω(XH , .) = dH, i.e. XH =
∂p ∂q
∂q ∂p
5.1.
∞
Sur
2
Les trajectoires classiques sont les courbes intégrales de
Le bré préquantique.
Denition 5.1. Soit } > 0 (h = 2π~
XH
(voir [1]).
5.2.
constante de planck, [13]). On appelle bré
L → R2 de base R2 ,
préquantique le bré hermitien en droites complexes (voir [15].)
2
où chaque bre Lx au dessus de x ∈ R est isomorphe à C.
frenchCHAOS QUANTIQUE : RÉSONANCES DE
Fig. 5.1. Un chemin fermé
γ
γ,
7
est relevé sur le bré en suivant le transport
parallèle. L'holonomie du relevé
est l'aire entouré par
RUELLE EN QUANTIFICATION GÉOMÉTRIQUE
γ̃
est égal à la phase
exp(i2π(A/h)) où A
(A/h) est
c'est l'action classique de la trajectoire.
appelé nombre de quanta d'action entouré par
γ.
3
L
est muni d'une connexion D , compatible avec la métrique hermitienne des bres , et
i
de courbure ω , où ω = dq ∧ dp est la 2-forme symplectique.
~
La dernière condition implique que l'holonomie d'un parcourt fermé entourant une surR
R
S ⊂ R2 est exp( ~i S ω) = exp(i2πA/h) avec A = S ω l'aire de la surface. A/h peut
être interprété comme le nombre de quantas de h contenu dans A (voir g. 5.1).
2
Comme la base R est contractible, on peut choisir une section unitaire globale r de L, i.e.
p
2
telle que |r(x)| =
hx (r(x), r(x)) = 1 ∀x ∈ R2 . La section r est une section de référence
i
et donne une trivialisation globale du bré. Si on note sa dérivée covariante Dr =
ηr,
~
? 2
avec η ∈ T R , les conditions imposées sur D impliquent que η est réelle et dη = ω . Un
face
choix d'une section de référence
4
est appelé choix de jauge.
∞
Vis à vis d'une section de référence toute section
2
une fonction complexe ψ sur R dénie par
s ∈ Γ (L)
peut être représentée par
s(x) = ψ(x)r(x), ψ(x) ∈ C
3La
connection doit satisfaire la règle de
Leibniz
: si
s ∈ Γ∞ (L)
est une section de
L,
et
f ∈ C ∞ (R2 )
D(f.s) = df ⊗ s + f.D(s).
hx (., .) dénote la métrique hermitienne de la bre Lx , D doit être compatible avec h au sens suivant :
d(h(s1 , s2 )) = h(Ds1 , s2 ) + h(s1 , Ds2 ), en d'autres termes, si une section s suit la connection dans la
direction X , i.e. DX s = 0 alors h(s, s) est constant dans cette direction, i.e. X(h(s, s)) = 0.
4Si on change de trivialisation : r 0 = eiφ/~ r on montre facilement que η 0 = η + dφ.
une fonction, alors :
Si
8
frenchARNOLDI JEAN-FRANÇOIS
|s(x)|2 = |ψ(x)|2 |r(x)|2 = |ψ(x)|2 .
et
Une jauge utile est la jauge symétrique (voir [5]
pour des détails) telle que
1
η := (qdp − pdq)
2
(5.2)
On s'intéresse à l'espace des sections de carré sommables de
préquantique et noté
H
L appelé espace de Hilbert
:
(5.3)
2
H = L (L) :=
Z
2
s, ||s|| =
2
|s(x)| < ∞
∼
= L2 (R2 ) :=
2
Z
ψ, ||ψ|| =
2
|ψ(x)| < ∞ , s = ψr.
R2
R2
Dynamique préquantique.
Denition 5.2. On appelle opérateur préquantique de kostant-souriau-kirillov, et
5.3.
on note
P̂H
l'opérateur auto-adjoint (cf. [5]) agissant sur les sections de
H et déni à partir
de la connection et de la dynamique classique par :
(5.4)
DXH
P̂H := −i~DXH + MH ; avec (MH s)(x) := H(x)s(x) ∀x ∈ R2 , s ∈ H.
est la dérivée covariante le long du ot ( c'est elle qui sera responsable du transport
le long des trajectoires classiques), et
MH
un opérateur multiplicatif.
La représentation de P̂H dans une trivialisation est un opérateur diérentiel
L2 (R2 ), si s = ψr :
P̂H
sur les
fonctions de
(5.5)
P̂H s =: (P̂H ψ)r, avec P̂H = −i~XH + Mη(XH )+H
(−i~DXH ψr)(x) = (−i~XH (ψ)(x)r(x) + η.XH (x)ψ(x)r(x)).
P̂H est de générer la dynamique préquantique, i.e. l'évolution
On a utilisé le résultat
Le rôle de l'opérateur
s(t)
de
par l'équation de shrödinger préquantique :
(5.6)
dψ(t)
ds(t)
i
i
= − P̂H s(t), si s = ψr :
= − P̂H ψ(t)
dt
~
dt
~
s(t) = M̃t s(o)
M̃t := exp(− ~i P̂H t)
H.
(resp. ψ(t) = M̃t ψ(0),
i
M̃t := exp(− ~ P̂H t)) opérateur unitaire sur
L'intérêt d'une telle construction est qu'il existe une trivialisation (la jauge symétrique
2
2
eq.5.2) telle que la dynamique induite sur L (R ) transporte les fonctions le long des
dont la solution est
avec
trajectoires classiques en accumulant une phase égale à l'action des trajectoires (cf. [5]
pour des détails et gure 5.2. ), i.e si
γ : x(0) → x(t)
est une trajectoire classique dans
l'espace des phases, on a :
(5.7)
R
i
(M̃t s)(x(t)) = (M̃t ψ)(x(t)) r(x(t)), avec : (M̃t ψ)(x(t)) = e− ~ γ dF ψ(x(0))
1
dF
R = (η(X
R H ) + H)dt = ( 2 (q ṗ − pq̇) + H)dt = Ldt , L est la
fonction lagrangienne et donc
dF = γ Ldt est l'action de la trajectoire classique γ ⊂ R2 .
γ
où (en jauge symétrique)
frenchCHAOS QUANTIQUE : RÉSONANCES DE
RUELLE EN QUANTIFICATION GÉOMÉTRIQUE
9
Fig. 5.2. La dynamique préquantique relève les trajectoires classiques. Le
chemin relevé accumule une phase par rapport à la section de référence (jauge
symétrique) égale à
exp(−iSγ /~),
où
Sγ
est l'action classique du chemin
γ : x(0) −→ x(t).
Dans ce papier, on s'intéresse essentiellement à l'application préquantique
Si
P̂H0
(resp.
P̂H1 )
est l'opérateur associé au hamiltonien
H0
(resp.
H1 ),
M̃
(ou
M̃) :
on dénit :
i
i
M̃0 := exp(− P̂H0 ) et M̃1 := exp(− P̂H1 ),
~
~
5
leurs propagateurs respectifs au temps 1. On compose les deux applications ,
M̃ := M̃1 M̃0 ,
(5.8)
de cette façon
classique
5.4.
M
sur
M̃ est la représentation dans une trivialisation de M̃, relevé de l'application
L → R2 .
Lien avec la mécanique quantique.
Bien que nous ne nous en servirons pas dans
ce document, on donne le lien avec la mécanique quantique qui confère un intérêt physique
à cette étude.
L'espace de hilbert de la mécanique quantique correspondant à l'espace des phases
x = (q, p) ∈ R2 , est l'espace des fonctions ψ(q) ∈ L2 (R). L'espace de hilbert préquantique
L2 (R2 ) est donc trop vaste.
La procédure usuelle (cf. [9, 3, 23]) pour construire l'espace quantique à partir du préquantique est de munir l'espace des phases d'une structure complexe (par ex.
Cela induit une structure holomorphe sur le bré
L,
et on dénit l'espace de hilbert
quantique comme l'ensemble des sections anti-holomorphes de
5Ce
z = q + ip).
qui est équivalent à considérer le propagateur au temps 2 de
P̂H(t)
L.
avec
H(t)
dénit en eq. 3.2.
10
frenchARNOLDI JEAN-FRANÇOIS
Un point important est que cela est équivalent à convoluer les fonctions d'ondes préquantiques par des gaussiennes (transformation de Bargmann [5, 9]) de largeur
~,
introduisant
de cette manière le principe d'incertitude, absent de la mécanique préquantique.
Un résultat motivant obtenu dans l'article de F.Faure dans le cas du relevé d'une application linéaire (telle que
M0
cf. eq. (2.2)) est que, dans ce cas, la mécanique quantique
émerge de la dynamique préquantique en temps long. Établir ce résultat (au moins dans
une limite semi-classique) dans le cas non-linéaire serait un grand pas en avant dans la
compréhension du chaos quantique.
6. Le fibré préquantique sur le tore
2
2
Classiquement, l'espace des phases T est obtenu en introduisant une périodicité sur R
2
par rapport au réseau Z , généré par les translations suivant les vecteurs (1, 0) et (0, 1) (cf.
partie 1).
Selon une démarche similaire, la jauge symétrique (cf. eq. 5.2) permet de construire
de façon explicite le bré préquantique sur le tore, à la diérence qu'il faut vérier que
les opérateurs de translations préquantiques commutent avant de considérer leurs espaces
propres communs.
6.1.
Opérateurs de translations unitaires.
vp q ∈ C ∞ (R2 ).
translation dans
v ≡ (vq , vp ) ∈ R2 et Hv (x) := vq p −
1, que l'on note Tv correspond à une
Soit
Le ot classique associé au temps
R2 , i.e
Tv (x) = x + v
(6.1)
Vis à vis de la jauge symétrique, l'opérateur préquantique associé
(6.2)
P̂Hv
s'écrit (eq. 5.5.)
1
1
P̂Hv = vq (−i~∂q − p) − vp (−(−i~∂p ) + p) ≡ vq P̂1 − vp Q̂1
2
2
Où on a introduit les opérateurs (cf. [5] section 3.4)
(6.3)
1
1
Q̂1 ≡ −(−i~∂p ) + q, P̂1 ≡ −i~∂q + p,
2
2
Qui satisfont aux relations de commutations canoniques [Q̂1 , P̂1 ] = i~Id. Avec les opéra1
1
teurs Q̂2 ≡ −i~∂p + q, P̂2 ≡ −i~∂q − q , et l'identité Id, ils forment une base de l'algèbre
2
2
2
2
de Weil-Heisenberg dans L (R ), i.e.
(6.4)
[Q̂i , P̂j ] = i~Id, [Q̂i , Q̂j ] = 0, [P̂i , P̂j ] = 0.
Déduite de la base originelle
(q, −i~∂q , p, −i~∂p , Id). En conséquence on a l'isomorphisme
unitaire :
(6.5)
L2 (R2 ) ∼
= L2 (R1 ) ⊗ L2 (R2 )
L2 (R1 ) (resp. L2 (R2 )) dénote l'espace de Hilbert des fonctions L2 d'une variable
f (Q1 ), Q1 ∈ R (resp. f (Q2 )), dans lequel Q̂1 agit comme (Q̂1 f )(Q1 ) = Q1 f (Q1 ) et (P̂1 f )(Q1 ) =
où
frenchCHAOS QUANTIQUE : RÉSONANCES DE
RUELLE EN QUANTIFICATION GÉOMÉTRIQUE 11
−i~f 0 (Q1 ) (resp. pour f (Q2 )). En d'autres termes une fonction ψ(q, p) ∈ L2 (R2 ) est trans6
2
2
formée en une fonction Ψ(Q1, Q2 ) ∈ L (R1 ) ⊗ L (R2 ) (voir eq. 6.7 donnée en bas de page
pour une expression explicite).
Dans cette base d'opérateurs, l'opérateur unitaire généré par
P̂Hv
au temps 1 sera noté :
i
i
Tˆv = exp(− PHv ) = exp(− (vq P̂1 − vp Q̂1 ))
~
~
(6.8)
C'est le relevé préquantique de la translation classique eq. 6.1. On constate immédiateˆv agit trivialement dans L2 (R2 ).
ment que, vis à vis de la décomposition 6.5, T
Proposition 6.1. Les opérateurs Tˆv satisfont aux relations algébriques du groupe de WeilHeisenberg : pour tout
v, v 0 ∈ R2 ,
(6.9)
De plus, si
Tˆ1 := T̂(1,0)
et
i
1
Tˆv Tˆv0 = e− ~ S T̂v+v0 , S = v ∧ v 0
2
ˆ
ˆ
ˆ
T2 := T̂(0,1) , alors [T1 , T2 ] = 0 ssi
1
= h−1 = N ∈ N?
2π~
(6.10)
Démonstration. La preuve est donnée dans [5], elle peut être déduite des relations de
commutations canoniques auxquelles satisfont les opérateurs
h−1 est entier (eq.
(0, 1) commutent.
Ainsi, si
(1, 0)
et
Q̂, P̂ .
6.10), les opérateurs de translations préquantiques suivant
On suppose cette condition vériée, et on peut considérer leurs espaces propres communs.
6Du
point de vue symbolique, si
classique associé à
2-forme
dx ∧ dξ
P̂H
ξ ∈ Tx? R2
dénote le symbole de
−i~∂x ,
le symbole ou hamiltonien
s'écrit comme une fonction sur la variété symplectique
(x, ξ) ∈ T ? R2
munie de la
(cf. [18, 4] ).
La transformation dans le cotangent associée aux eqs. 6.3. et 6.4 est alors
1
1
1
1
Q1 = −ξp + q, P1 = ξq + p, Q2 = ξp + q, P2 = ξq − q
2
2
2
2
Qui est une transformation canonique : dx∧dξ −→ dQ∧dP . L'espace de hilbert usuel de la mécanique
(6.6)
quantique est alors de la forme 6.5 (cf. [13, 14]).
Dans une autre jauge on sait trouver une transformation canonique du type 6.6. mais elle ne sera pas
forcément linéaire, ( par ex
forme 6.2
Q2 = ξp + ηp (x))
et en conséquence, dans cette jauge,
P̂Hv
s'écrira sous la
plus des termes correctifs en ~ ( Théorème d'Egorov, voir entre autres [4] chap. 10).
C'est en ce sens que la jauge symétrique joue un rôle fondamental pour le passage au tore (cf. rem. 11.1
en annexe A. ).
Avec les notations de
Dirac
on note (cf. [5])
Z
ψ(q, p) =
Avec
(6.7)
dQ1 dQ2 hqp|Q1 Q2 i Ψ(Q1 , Q2 )
hq0 |qi = δ(q − q0 ) , hp0 |ξp i = eiξp p0 /~ et q = Q1 + Q2 , ξp = 21 (Q2 − Q1 ) on déduit
Z
1
ψ(q, p) = dQ1 dQ2 δ(q − Q1 + Q2 )ei 2 (Q2 −Q1 )p/~ Ψ(Q1 , Q2 )
:
12
frenchARNOLDI JEAN-FRANÇOIS
6.2.
Espace de Hilbert préquantique sur le tore.
On vas construire l'espace de hil-
bert sur le tore et remarquer qu'il coïncide avec l'espace des sections d'un bré en droites
non-trivial (d'indice de chern
Proposition 6.2.
restriction à
2
N=
1
) au dessus du tore.
2π~
H(1),N l'espace
opérateurs T̂1,2 :
On appelle
L (R1 )
des
des distributions périodiques vis à vis de la
H(1),N := {ψ ∈ S 0 (R(1) ); T̂1,2 ψ = ψ}
Q1 et dont les ~-transformées
est de dimension nie égale
Cela correspond à des distributions 1-périodiques par rapport à
de Fourier sont 1-périodiques par rapport à
à
N
:
P1 .
De plus,
H(1),N
1
2π~
2
La restriction à L (R1 ) des opérateurs T̂1,2
dimH(1),N = N :=
Démonstration.
coïncide avec les opérateurs de
translations usuels de la mécanique quantique, dans ce cadre le résultat ci-dessus est connu
(cf. [5] pour la preuve détaillée).
Denition 6.3.
On appelle espace de hilbert préquantique sur le tore et on note
l'espace des sections périodiques vis à vis des opérateurs
Htore := {s ∈ Γ∞ (L); T1 s = T2 s = s;
(6.11)
T̂1,2
Z
Htore ,
:
|s(x)|2 dx < ∞}
[0,1[2
Avec l'isomorphisme 6.5, on peut écrire :
Htore ∼
= H(1),N ⊗ L2 (R2 )
(6.12)
Htore peut être identié à l'espace des sections d'un bré en ligne non trivial sur le tore
L → T2 , d'indice de Chern N (cf. [5, 15]).
Vis à vis de la jauge symétrique, Htore consiste en l'espace des fonctions quasi-périodiques :
(6.13)
Htore ∼
=
−iπN (n1 n2 +n∧x)
ψ t.q. ψ(x + n) = ψ(x)e
2
2
Z
, ∀x ∈ R , n ∈ Z , et
2
|ψ(x)| < ∞
[0,1[2
T̂n = T̂(n1 ,0)+(0,n2 ) = eiπN n1 n2 T̂1n1 T̂2n2 .
⇐⇒ T̂n s = eiπN n1 n2 s, ∀n ∈ Z2 ⇐⇒
Démonstration. (Issue de [5] section 4.1) : De l'eq. 6.9. on a
Ensuite avec eq. 6.11, et eq. 5.7
−iπN n∧x
iπN n1 n2
ψ(x)e
=e
s = ψr ∈ Htore
ψ(x + n).
L'application préquantique sur le tore.
Maintenant que l'on à construit Htore ,
2
il faut s'assurer que l'application préquantique eq. 7.6, dénie sur L −→ R , agit dans cet
2
espace, tout comme l'application classique dénie d'abord sur R induit, sous certaines
6.3.
conditions, une application sur le tore (cf. partie 1).
Dans le cas d'une application linéaire on a trivialement
ce qui peut s'écrire
M0 Tv = TM0 v M0 .
Dans l'article [5] on montre que, toujours en jauge
symétrique, ce résultat persiste au niveau préquantique :
(6.14)
M0 (x + v) = M0 (x) + M0 (v)
M̃0 T̂v = T̂M0 v M̃0
RUELLE EN QUANTIFICATION GÉOMÉTRIQUE 13
frenchCHAOS QUANTIQUE : RÉSONANCES DE
On déduit un résultat analogue pour le relevé préquantique de l'application non-linéaire
M,
représentée en jauge symétrique :
M̃ T̂n = T̂M0 (n) M̃ ,
(6.15)
∀n ∈ Z2
Démonstration. voir annexe A.
Pour simplier les expressions à venir on suppose de plus que N est pair, de sorte que,
T̂n=(n1 ,n2 ) = T̂1n1 T̂2n2 pour tout n ∈ Z2 . On dénit un projecteur
utilisant l'eq. 6.9, on ai
(dont le domaine est l'ensemble des sections à décroissance rapide)
P̃ :=
(6.16)
X
(n1 ,n2
T̂1n1 T̂2n2 =
)∈Z2
X
P̃ : H → Htore
par :
T̂n
n∈Z2
De l'eq. 6.15, on déduit :
M̃ P̃ = P̃ M̃
(6.17)
En d'autres termes on a le diagramme commutatif :
H −→ H
↓ P M̃
↓P
Htore −→ Htore
Ce qui veut dire que l'application préquantique induit un endomorphisme :
M̃tore : Htore −→ Htore
(6.18)
Donc que
M̃
induit une application
M̃tore
sur les sections du bré
7. Symbole de l'opérateur préquantique
L → T2 .
P̂H
L'analyse semi-classique consiste en l'étude des propriétés spectrales d'opérateurs pseudodiérentiels (PDOs) par l'analyse de leur symboles [22, 18, 4]. Physiquement cela revient à
étudier le hamiltonien classique (le symbole) associé à un opérateur hamiltonien quantique
(le PDO) [13, 14].
En semi-classique, on considère la limite
~ → 0,
ainsi que la limite
|ξ| −→ ∞
(petites
longueurs d'ondes ou hauts modes de fourier) [4][12].
En théorie homogène il n'y pas de paramètre semi-classique, ou en d'autres termes,
est xé et on considère le limite
suite et la valeur de
~
est xé à
|ξ| −→ 0 seule [18, 22]. On se
1
, N ∈ N? (cf. eq. 6.10).
2πN
~
place dans ce cadre pour la
7
Dans cette section on donne un sens indépendant d'une trivialisation au symbole de P̂H
? 2
et on étudie la dynamique classique associée dans T R i.e. les trajectoires préquantiques.
7Par P̂
H
on entend la représentation vis à vis d'une trivialisation (globale ou locale) de l'opérateur
préquantique associé au hamiltonien
de spécier qu'il dépend du temps.
H(t) tel que dénit en eq. 3.2 et on ommetra, sauf risque de confusion,
14
frenchARNOLDI JEAN-FRANÇOIS
Proposition 7.1.
Par rapport à toute trivialisation régulière (i.e. telle que η est à coef? 2
2
2
cients réguliers dans T R ) l'opérateur P̂H agissant dans L (R ) admet un symbole noté
Pη , de classe (voir annexe B) Sρ1 ⊂ C ∞ (T ? R2 ) obtenu en remplaçant dans l'expression de
P̂H , −i∂x par ξ ∈ T ? R2 :
Pη (x, ξ) = XH (~ξ + η) + H(x) ξ, η ∈ Tx? R2
En d'autres termes ,
ψ,
∀ψ ∈ S(R2 ), x ∈ R2 ,
si
ψ̂(ξ)
dénote la transformée de fourier de
l'opérateur admet une représentation intégrale :
1
(P̂H ψ)(x) = Op(Pη )ψ(x) :=
(2π)2
(7.1)
i.e.
P̂H
Z
ei<ξ,x> Pη (x, ξ)ψ̂(ξ)dξ
R2
est un opérateur pseudo-diérentiel (PDO) quantié
8
standard du symbole
Pη .
Démonstration. Voir annexe B.
Comme on l'a dit dans l'introduction de cette section, on s'intéresse à la limite
avec
~
|ξ| −→ ∞,
xé. Dans cette approche le terme le plus important dans le symbole est le terme
de plus haut degré en
|ξ|,
appelé dès lors symbole principal.
Ainsi, le symbole principal de
P̂H
est le même pour toutes trivialisations et s'écrit :
PH (x, ξ) = ~XH (ξ) ∈ Sρ1 ;
(7.3)
|Pη − PH | ∈ Sρ0
On écrit alors
P̂H ∼ Op(PH )
(7.4)
7.1.
Trajectoires préquantiques dans T ? R2 .
La dynamique associée au symbole prin? 2
cipal PH (vu comme une fonction de hamilton sur T R ) est un ot hamiltonien classique
? 2
sur T R muni de la 2-forme Ωpre = dx ∧ dξ (voir les ouvrages [4, 18][12]).
On a déjà souligné la correspondance entre symbole et PDO (hamiltonien classique vs
hamiltonien quantique).
Il existe une autre correspondance, entre la transformation canonique généré par le sym? 2
bole et l'opérateur unitaire généré par le PDO (trajectoires classiques dans T R vs propa2
2
gateur dans L (R )). On dit de l'opérateur unitaire qu'il est le quantié de la transformation
canonique [4, 18].
~ et si Op(P ) est un PDO de symbole P
−iOp(P )t
généré au temps t s'écrit Õt = e
. On
En théorie homogène, il n'y a pas de paramètre
(cf. eq. 7.1 et annexe B), l'opérateur unitaire
constate alors que, vis à vis de cette quantication, l'opérateur d'évolution préquantique
Rt
Rt
0
0
M̃t ∼ e−i 0 Op(PH(t0 ) )dt /~ = e−i 0 Op(PH(t0 ) /~)dt est généré par l'opérateur Op(PH /~) et est
? 2
donc associé au ot au temps t généré par le symbole (PH /~) sur T R .
8En
théorie semi-classique on note
P (x, ξ)
le symbole de
1
Opsemi (Pη )ψ(x) :=
(2π~)2
(7.2)
Et
ξ
ψ̂
−i~∂x ,
et la quantication standard d'un symbole
s'écrit plutôt comme (cf. [4] chap. 4) :
est alors la
~-transformée
de
fourier
de
ψ.
Z
R2
ei<ξ,x>/~ Pη (x, ξ)ψ̂(ξ)dξ
frenchCHAOS QUANTIQUE : RÉSONANCES DE
RUELLE EN QUANTIFICATION GÉOMÉTRIQUE 15
|ξ| → ∞ les trajectoires préquantiques
∞
? 2
vecteur Xpre ∈ C (T (T R )) dénit par :
Ainsi, quelque soit la trivialisation, dans limite
tendent vers les courbes intégrales du champ de
Ωpre (Xpre , .) = d(PH /~).
(7.5)
Le ot au temps
1 généré par Xpre
dénit une application sur
T ? R2
que l'on notera
Mpre ,
M̃ . De l'étude des
Mpre on vas pouvoir déduire des estimations spectrales pour
transformation canonique sur le cotangent associé à l'opérateur unitaire
trajectoires préquantiques de
M̃ .
Proposition 7.2.
Soit
M,
induit de façon naturelle une dynamique relevée sur le cotangent
0
soit x = M (x),
∀x ∈ R2 ,
Tx? R2 −→
Tx?0 R2
t
ξ 7−→
(DMx−1
0 ) ξ
Mpre :
(7.6)
où
t
(DMx−1
0 )
R2 dénie en 3.1. M
Mpre : T ? R2 −→ T ? R2 .
l'application classique hyperbolique sur
est le pull-back de
équivalente au ot au temps
1
M −1
sur les 1-formes (cf. [15]). Cette application est
généré par le symbole principal de l'opérateur préquantique
P̂H /~.
Démonstration. On vérie que
ẋ = XH
Mpre
est bien le ot au temps 1 généré par
i.e la composante horizontale de
classique. On aura donc bien
vérier que le ot au temps 1
?
et Es (Es )
Soit
= 0,
Mpre
T ? R2 = Eu? ⊕Es?
: On a
plus long permet de
sont les suivantes :
la décomposition duale de l'eq. 4.1, au sens
Eu? (Eu ) = 0
Alors
(1) Cette décomposition est invariante par
(2)
PH /~
est proportionelle au champ de vecteur
x(1) = M (x). Un calcul direct mais
t
ξ 7→ ξ(1) est bien égal à (DMx−1
0 ) ξ.
Les propriétés principales de
Lemma 7.3.
Xpre
∃ 0 < θ? < 1
Mpre
tel que :
|Mpre (ξs )| ≤ θ? |ξu |, ∀ξs ∈ Es? (x) |Mpre (ξu )| ≥ θ?−1 |ξu |, ∀ξu ∈ Eu? (x)
où
x0 = M (x).
Les trajectoires de
Mpre
dans
T ? R2
on donc une structure hyperbo-
lique (g. 7.1.).
?
?
?
Démonstration. Point (1) : Es (resp.Eu ) est invariant par Mcl car, si ξs ∈ Es (x), vs ∈
−1
Es (x0 ), hMcl (ξs ), vs i = ξs , DMx0 (vs ) = 0 car Es (resp. Eu ) est invariant par M .
Point (2) : la preuve est donnée dans [8] section 2.1. L'idée principale est de se servir
à nouveau de la dualité pour montrer l'existence d'une métrique riemmanienne régulière
dans laquelle
θ?
existe.
16
frenchARNOLDI JEAN-FRANÇOIS
Fig. 7.1. Dynamique hyperbolique de
Mpre
sur
T ? R2 où T ? T2
8. Conclusion
Dans les sections précédentes on a vu que l'application préquantique
M̃
sur
H ≡L2 (R2 )
M̃tore sur Htore , représentation en jauge symétrique d'une application
2
trivial L → T (eqs. 6.13 et 6.18).
induit une application
sur le bré non
Elle est le quantié (dans la limite des hauts modes de Fourier) d'une transformation
canonique
Mpre ,
identique au relevé classique sur le cotangent de l'application
trajectoires préquantiques de
Mpre
M.
Les
ont donc la structure hyperbolique bien contrôlée du
relevé classique (eq.7.6, lemme 7.3 et g. 7.1).
Aussi, on sait donner un sens global et indépendant de la trivialisation a la dynamique
9
? 2
symbolique Mpre sur T T . Cela permet d'utiliser le calcul symbolique sur les variétés
pour étudier le spectre de
M̃tore
(cf. [18]).
La conclusion majeure est que l'étude des résonances de
M̃tore
peut être menée de fa-
çon strictement équivalente à l'étude des résonances de l'opérateur de transfert classique
M̂ ϕ(x) := ϕ(M −1 (x)) agissant sur les fonctions de L2 (T2 ). Car il est lui aussi le quantié
? 2
du relevé classique sur T T (cf. [8]).
La prochaine partie est donc une application de l'article [8].
9On
donne en annexe C une introduction informelle au PDOs sur un bré non trivial. On retiendra que
dans la limite
|ξ| → ∞,
les PDOs ne sont pas sensibles à la topologie globale de la variété, leur action est
locale : une fonction à support compact est transformée (a des termes négligeable près) en une fonction à
même support.
frenchCHAOS QUANTIQUE : RÉSONANCES DE
Troisième partie
3.
RUELLE EN QUANTIFICATION GÉOMÉTRIQUE 17
Fonctions de fuites et résonances
La dynamique préquantique construite a partir d'une dynamique hyperbolique classique
sur le tore peut être traduite comme une dynamique sur des fonctions quasi-périodiques de
R2 (eq. 6.13) ou de façon équivalente comme une dynamique sur les sections d'un bré non
trivial au dessus du tore. Cette dynamique transporte les fonctions suivant les trajectoires
classiques tout en accumulant des phases complexes égales aux actions de ces trajectoires.
Du point de vue symbolique, ce fait se traduit par l'équivalence entre les trajectoires du
relevé classique et ce que l'on a appelé les trajectoires préquantiques sur le cotangent (cf.
prop. 7.2, g. 7.1 ).
Le comportement hyperbolique du relevé classique résulte d'une fuite vers les hauts
modes de fourier des fonctions transportées par le ot, i.e. d'une fuite vers les petites
échelles des variations des fonctions transportées, ce qui engendre une perte d'informations
sur la fonction initiale (comportement chaotique, cf. [5, 7, 11, 19]).
L'étude des propriétés spectrales d'opérateurs de transfert associés à une dynamique
hyperbolique est menée en détail dans [8]. Dans cette partie, On utilise de façon quasidirecte les résultats obtenus dans cet article.
l'idée est la suivante : trouver de bon espaces fonctionnels, dont les éléments décroissent le
long de la dynamique, dans lesquels l'opérateur d'évolution est à spectre discret. Les valeurs
propres dénissent les résonances de l'opérateur et on montre qu'elle ne dépendent pas de
l'espace fonctionnel choisi. On construit ces espaces à partir de la dynamique symbolique
sur le cotangent en introduisant des fonctions symboles qui décroisse le long des trajectoires
? 2
relevés sur T T .
9. La fonction de fuite et les espaces de Sobolev anisotropes
Dans la suite on travaille, grace à la jauge symétrique, sur les fonctions de l'espace de
Htore . On utilise la dénition de PDO sur un bré (voir annexe C) uniquement pour
T ? T2 déni, indépendament du choix de trivialisation dans la
2
limite semi-classique, un PDO sur les sections du bré L → T , et donc un opérateur sur
les fonctions de Htore . On ne donnera que les preuves indispensables à la compréhension,
Hilbert
prouver qu'un symbole sur
pour le reste on se référera à l'article [8].
9.1.
Construction de la fonction de fuite Am et du PDO Âm .
on introduit une fonction
Mpre
Am
sur
T ? T2
Dans cette section
qui décroît le long des trajectoires non bornées de
eq. 7.6. On l'appelle fonction de fuite. An d'appliquer des théorèmes d'analyse semi-
classique on vérie que
Am
est un symbole adapté. Il se trouve qu'une telle fonction doit
avoir un ordre m variable et cela nécessite l'utilisation de classes de symbole à ordre non
m(x,ξ)
constant Sρ
dont les propriétés sont données en annexe de l'article [8]. La construction
explicite d'une telle fonction est donnée dans [8] section 3.1.
Lemma 9.1.
m(x, ξ) ∈ S10 ⊂ C ∞ (T ? T2 ), à
valeur dans [u, s], avec les propriétés suivantes : Pour tout x xé et |ξ| > 1, m(x, ξ) dépend
uniquement de la direction ξ˜ = ξ/|ξ| du vecteur cotangent. De plus, m(x, ξ) = s (resp. u)
Soit
u < 0 < s.
Il existe une fonction d'ordre
18
frenchARNOLDI JEAN-FRANÇOIS
Es? (x)
dans un voisinage de la direction stable
vis à vis de l'application
Mpre
(resp.
Eu? (x)).
La fonction
m(x, ξ)
décroît
:
∃R > 0, ∀|ξ| ≥ R, m ◦ Mpre (x, ξ) − m(x, ξ) ≤ 0
(9.1)
On dénit
Am (x, ξ) := hξim(x,ξ) , hξi :=
(9.2)
p
1 + |ξ|2
Qui appartient à la classe de symboles a ordres variables (cf. [8])
1/2 ≤ ρ < 1.
La propriété principale de
Am
Avec
a = max(−u, s)
et
c>0
trajectoires de
Le symbole
Mpre
Am
u, s.
indépendant du choix de
Remark 9.2. L'eq. 9.3 montre que
, pour tout
étant :
(Am ◦ Mpre )(x, ξ)
≤ e−ca < 1
Am (x, ξ)
∃R > 0, ∀|ξ| ≥ R,
(9.3)
m(x,ξ)
Sρ
Am
décroît strictement et uniformément le long des
dans le cotangent. On dira que
Am
est une fonction de fuite.
peut alors être quantié en un PDO sur les sections du bré
L → T2
et induit donc un opérateur auto-adjoint inversible sur les fonctions quasi-périodiques de
Htore
9.2.
(cf. annexe C et [18, 8]).
Les espaces de Sobolev anisotropes.
On dénit l'espace de Sobolev anisotrope
D0 (R2 ) ) :
comme étant l'espace des distributions (inclus dans
−1
H m := Âm
(Htore ); Âm := Op(Am )
(9.4)
où
Htore
est l'espace de Hilbert préquantique dénit en 6.11 et eq. 6.7.
Remark 9.3. La dénition standard des espaces de Sobolev sur
s −1
s
2
Rd
est
d
H := Op(hξi ) (L (R ))
La diérence majeure de notre dénition vient de l'anisotropie du symbole Am , celui|u|
ci décroît dans la direction instable Am (ξ) ∼ 1/|ξ|
et croît dans la direction stable
Am (ξ) ∼ |ξ|s .
ψ ∈ H m ⇔ Âm ψ ∈ Htore donc ψ est une distribution régulière dans la direction stable
(d'ordre
Âm
−s < 0)
et irrégulière (d'ordre
|u| > 0)
dans la direction instable.
vas être utilisé pour tuer les haut modes de Fourier
|ξ| 1 (échelle microscopique)
an de révéler les eets aux faibles modes de la dynamique (échelle macroscopique). Le
? 2
domaine restant {|ξ| < R} ⊂ T T étant compact, on s'attend à trouver un spectre discret
de résonances.
On donne quelques propriétés importantes des espaces
(1) Inclusion.
Si m ≤ m0 , alors H m ⊇ H
:
.
ψ1 ∈ H m , ψ2 ∈ H −m
−1
¯
ψ2 (ψ1 ) = ψ1 (ψ2 ) = (ψ1 , ψ2 )m := Âm ψ1 , Âm ψ2
(2) Dualité. Soit
H −m := Âm (Htore ).
m0
Hm
Si
Htore
frenchCHAOS QUANTIQUE : RÉSONANCES DE
RUELLE EN QUANTIFICATION GÉOMÉTRIQUE 19
10. Spectre de résonances
On commence par remarquer que l'opérateur
M̃tore
M̃ dans
si α ∈ D0 , ϕ ∈
(que l'on notera simplement
la suite) déni en eq. 6.18 s'étend par dualité à l'espace des distributions :
∞
C ,
(10.1)
?
M̃ α (ϕ) := α M̃ ϕ
On vérie facilement (eq. 5.7) que
−1 −1
M̃ ? est donnée par, M̃? ϕ(y) =: eiFy /~ |DMM
y | ϕ(M y) r(M y);
R
dF , avec γ : y → M (y).
γ
On énonce un des résultats principaux de ce rapport :
Sy =
Theorem 10.1.
M̃
de
Spectre de résonances. Si Am est une fonction de fuite, alors l'opérateur
H m invariant. Si on note π̂ le projecteur spectral de M̃ : H m → H m hors du disque
−ca
rayon m := ||M̃ ||Htore e
, et K̂ := π̂ M̃ , R̂ = (1 − π̂)M̃ , alors on a la décomposition
laisse
spectrale :
M̃ = K̂ + R̂
avec
K̂
10
compact (donc à spectre discret ) et
||R̂|| ≤ m
(donc de rayon spectral
≤ m ).
Les valeurs propres λi , m < |λi | de K̂ sont appelées résonances de Ruelle (cf. g.
10.1) et ne dépendent pas (de même que leurs espaces propres ) de la valeur de m, mais
sont intrinsèques à l'opérateur
M̃
: si
λi
est simple,


\
M̃ vi = λi vi , vi ∈ H m , vi ∈ 
H m
m,m <|λi |
Donc
vi
est régulière sauf dans la direction instable.
Démonstration. (directement issue de [8]) Considérons
m
m
qui est unitairement équivalent à
Soit
10Si
(10.2)
M̃ : H
→H
Q̂m := Âm M̃ Â−1
m : Htore → Htore
:
Q̂m : Htore → Htore
↓ Â−1
↓ Â−1
m
m
M̃ : H m → H m
P̂m := M̃ −1 Q̂m = M̃ −1 Âm M̃ Â−1
m .
les valeurs propres de
K̂ =
K̂ sont
X
i≥0,|λi |>m
simples, sa décomposition spectrale s'écrit :
λi vi ⊗ wi , vi ∈ H m , wj ∈ H −m , wj (vi ) = δij
20
frenchARNOLDI JEAN-FRANÇOIS
Par le théorème d'Egorov
11
et le théorème de composition de PDOs (cf. [8, 22, 4]),
P̂m
est un PDO de symbole principal
Am ◦ Mpre
∈ Sρm◦Mpre (x,ξ)−m(x,ξ) ⊂ Sρ0
Am
Pm =
−ca
est une fonction de fuite, limsup(Pm ) ≤ e
12
2
Le théorème de L continuité pour les PDOs
(cf. [4]) permet d'écrire, pour tout
P̂m = k̂ + p̂ , où k̂ est régularisant donc compact et ||p̂ || ≤ e−ca + . Finalement,
Comme
Am
M̃ k̂ + M̃ p̂ .
Fonctions de corrélations.
10.1.
Pour tout
> m
la fonction de
> 0,
Q̂m =
ψ1 ∈ C ∞ ⊂ H −m , ψ2 ∈ C ∞ ⊂ H m , et t ∈ Z.
corrélation au temps t s'écrit (si les valeurs propres sont
Si
simples) :
Cψ1 ,ψ2 (t) := ψ2 ; M̃ t ψ1
Htore
=
X
λti vi (ψ¯1 )wi (ψ2 ) + O(t )
i≥0,|λi |>
ψ¯ (x)e−iFM −1 (x) ψ1 (M −1 (x))dx| ≤ |ψ2 |∞ |ψ1 |∞ V ol(T2 ), ∀t
T2 2
Z. On en déduit, par les mêmes arguments que dans [8], que les λi sont toutes contenues
De plus on a que
|Cψ1 ,ψ2 (t)| = |
dans le cercle unité :
t
|λi | < 1
R
(sinon
Cψ1 ,ψ2
pourrait contredire l'expression ci dessus pour
assez grand, cf. g. 10.1 ).
Si
λ0
est la valeur propre la plus grande en module (en supposant qu'elle soit unique),
on a pour
t∈N
susamment grand :
Cψ1 ,ψ2 ∼ λt0 v0 (ψ̄1 )wo (ψ2 )
On comprend alors le rôle que joue les résonances dans la décorrélations des fonctions
transportées. Dans le cas du relevé d'une application linéaire étudié dans [5], on montre
que la décorrélation fait apparaître les fonctions d'ondes de l'espace de Hilbert usuel de la
mécanique quantique. Etendre ce résultat au cas non linéaire est un problème pour l'avenir.
Quatrième partie
4.
Formule de trace
Dans cette partie on dérive une formule de trace pour
symétrique de
L −→ T2 .
M̃
M̃tore ,
représentation en jauge
opérateur d'évolution préquantique sur les sections du bré non trivial
On commence par introduire un opérateur régularisant dans l'espace
(10.3)
11Le
1
Pν := exp(−ν (Q̂22 + P̂22 )),
2
L2 (R2 )
:
ν>0
théorème d'Egorov traduit simplement un résultat couramment utilisé en physique, une observable
Â(t) = e−iĤt/~ Â(0)eiĤt/~ , le
pendant classique étant le transport de A par le ot φt généré par H : A(t) = A ◦ φ−t (cf. [14, 10]).
12Grossièrement, on peut comprendre ce théorème de cette façon : Pour |ξ| > R, |P (x, ξ)| ≤ e−ca , on
m
∞
? 2
décompose alors le symbole en un symbole C
à support compact K ∼ {|ξ| < R} ⊂ T T (donc dans
−∞
−ca
S
) plus un symbole borné par e
. Après quantication on a le théorème.
Â
est transportée par la dynamique par composition avec le propagateur :
∈
frenchCHAOS QUANTIQUE : RÉSONANCES DE
Fig. 10.1. Spectre de résonances de
Âm
RUELLE EN QUANTIFICATION GÉOMÉTRIQUE 21
M̃ .
La composition avec les opérateurs
révèle un spectre discret hors du disque de rayon
m ,
et contenu dans le
cercle unité.
Cet opérateur est diagonal dans la base
|n2 i
de l'oscillateur harmonique (cf. [13]), et
L'opérateur Pν est à trace et converge fortement vers
0
0
l'identité pour ν −→ 0. En conséquence hQ2 |Pν |Q2 i −→ δ(Q2 − Q2 ) pour ν −→ 0 et
uniformément vis à vis de Q2 . On étend cet opérateur à Htore ∼
= H1,N ⊗ L2 (R2 ) par
tronque les grandes valeurs de
Id1 ⊗ Pν
n2 .
Pν
( qui reste à trace car
0
En utilisant l'eq. 6.7. on peut montrer que hx |Pν |xi −→
vis de
x
que l'on appelle toujours
lorsque
dimH1,N = N est nie).
δ(x − x0 ) uniformément vis
à
ν −→ 0.
On énonce un des résultat principaux de ce rapport :
Theorem 10.2.
(1)
(10.4)
Soit l'opérateur
M̃tore Pν
agissant dans
Htore ,
on a que :
t
∀ t ∈ N? , ν > 0, l'opérateur M̃tore
Pν est à trace dans Htore et
X
1
t
eiAx,t /~ , pour ν −→ 0
T r M̃tore Pν −→
−t
|det(1 − DMx )|
x≡M (x)
x ∈ [0, 1[2 tels que M t (x) = x + n, n ∈ Z2 , i.e les
1
points périodique du tore. Ax,t = Sx,t + 2 n∧x est l'action de la trajectoire périodique
2
classique sur T associée au point périodique x. (où Sx,t est l'action de la trajectoire
2
correspondante sur R ).
où la somme porte sur les points
(2) Pour
ν −→ 0,
le spectre de
t
M̃tore
Pν
tend vers le spectre de résonances de
M̃tore
Démonstration. Point (1) :
t
M̃tore
Pν est à trace car c'est le produit d'un opérateur unitaire par un opérateur à trace.
Avec l' eq. 5.7. d'évolution des fonctions en jauge symétrique et les notations de dirac, si
SM −t x,t dénote l'action de la trajectoire classique dans R2 , γ : M −t (x) −→ x :
D
E
(M̃ t ψ)(x) = x|M̃ t |ψ = ψ(M −t x)e−iSM −t x,t /~
22
frenchARNOLDI JEAN-FRANÇOIS
Ensuite, avec
1
−i 2~
n∧x
|x + ni,
e
Tr
|ψx,ν i := Pν |xi
t
M̃tore
Pν
=
=
Z
D
=
dénit en eq. 6.16, et l'identité
E
Z
x|P̃ M̃ Pν |x dx =
D
t
T̂n |xi =
E
x|P̃ M̃ |ψx,ν dx
[0,1[2
D
E
1
e−i 2~ (n∧x+2SM −t (x+n),t ) x + n|M̃ t |ψx,ν dx
[0,1[2
XZ
n∈Z2
t
P̃
[0,1[2
XZ
n∈Z2
et l'opérateur
1
e−i 2~ (n∧x+2SM −t (x+n),t ) ψx,ν (M −t (x + n))dx
[0,1[2
ψx,ν (x0 ) = hx0 |Pν |xi −→ δ(x − x0 ) pour ν → 0, on a
XZ
1
t
lim T r M̃tore Pν =
e−i 2~ (n∧x+2SM −t (x+n),t ) δ(x − M −t (x + n))dx
Comme
ν→0
n∈Z2
[0,1[2
y = x − M −t (x + n) = x − M −t (x) + M0 (n) = (1 − M −t )(x) + M0 (n) (cf. eq.
y = 0 ⇐⇒ M −t (x + n) = n ⇐⇒ M t (x) = x + n ⇐⇒ M t (x) ≡ x mod1, l'équation
si on pose
3.3),
ci-dessus devient alors :
Tr
t
M̃tore
Pν
X
−→
M t x≡x
1
1
e−i 2~ (n∧x+2Sx,t )
−t
|det(1 − DMx )|
Point (2) : La preuve est donnée dans [8], dans un cadre plus général inspiré de [7].
1
1 2
1 2
L'idée est la suivante : Avec l'eq. 6.4, on écrit Pν = exp(−ν (−i~∂p + q) +(−i~∂q − p) ))
2
2
2
C'est un PDO car il s'écrit comme une exponentielle décroissante de PDOs, il admet pour
1
1 2
1 2
−∞
symbole Pν = exp(−ν (~ξp + q) + (~ξq − p) )) ∈ S
. On dit que Pν et régularisant.
2
2
2
Son symbole principal,
Pν,0 = exp(−ν
montre que
Pν
~2 2
ξ ),
2
Pν ∼ Op(exp(−ν
~2 2
ξ ))
2
tronque les hauts modes de Fourier. A partir de là, le théorème 17 de la
section 7 de l'article [8] permet de conclure.
Remark 10.3. Dans l'article [6] (section 2.1.3), on montre que l'on peut écrire (forme
normale)
DMx−t
On appelle
Λx,t
= QM −t x
e−Λx,t
0
Λx,t
0
e
Q−1
x ;
Λx,t =
−e
λM t0 (x) > 0
t0 =0
cocycle de Lyapounov [11] (qui est seulement Hölder continu). Dans le
13
−t
on a que QM −t x ≡ Qx . Ainsi, dans l'expression 10.4. |det(1−DMx )| =
| ∼ eΛx,t pour t grand.
cas d'un point xe
−Λx,t
Λx,t
|2 − e
t−1
X
13M t (x) = x + n ⇐⇒ M −t (x) = x − M (n)
0
donc
M −t (x) ≡ x.
frenchCHAOS QUANTIQUE : RÉSONANCES DE
RUELLE EN QUANTIFICATION GÉOMÉTRIQUE 23
On introduit alors l'opérateur à trace :
t
Gν,t := e 2 M̃tore
Pν avec, ∀ψ, ( Λ2t ψ)(x) =
(Λx,t /2)ψ(x)
Λt
, et
T r (Gν,t ) −→
X eΛx,t /2
eiAx,t /~ −→
Λ
x,t
e
x≡M (x)
1
X
p
x≡M t (x)
|det(1 −
DMxt )|
eiAx,t /~ , pour ν → 0, t −→ ∞
C'est la formule de trace semi-classique (mais qui est ici exacte pour tout ~ et
M t (cf. [6, 20]).
t
grand)
de Gutzwiller pour l'application quantique sur le tore associée à
Le point délicat étant bien sûr de monter que
Gν,t
tend, dans une certaine limite, vers
l'application quantique. C'est le cas pour une application linéaire [5]. Un problème suplé∞
mentaire étant que comme λx n'est pas C , on ne peut pas utiliser directement les résultats
de la partie 3, car on ne peut pas aussi facilement étendre
Gν
aux distributions (eq. 10.1).
Cinquième partie 5. Conclusion et perspectives
Dans ce rapport, on a déni l'opérateur unitaire préquantique
tion
M
M̃
associé à une applica-
uniformément hyperbolique sur le tore, qui est l'exemple le plus général connu de
système Anosov. On a montré que l'approche semi-classique des opérateurs de transfert
classiques associés a une telle application s'adapte parfaitement à l'étude du spectre de
résonances de
M̃
bien que celui-ci agisse sur les sections d'un bré non trivial et non plus
sur des fonctions. Dans la partie 3, on déduit l'existence d'un spectre discret de résonances
pour cet opérateur, puis dans la partie 4 on établi une formule de trace exacte. Enn on explicite le lien avec la formule de trace semi-classique de Gutzwiller de l'opérateur quantique
associé à
M.
Les questions que ce travail laisse sans réponse sont les suivantes :
Existe t-il, comme c'est le cas pour le relevé d'une application linéaire, un lien naturel
qui s'établit avec la mécanique quantique usuelle ?
Des expériences numériques récentes menées par F. Faure semblent indiquer que c'est le
cas. On peut imaginer, que la fuite vers les hauts modes de Fourier qui laisse apparaître
le comportement aux faibles modes, laisse ainsi émerger les fonctions d'ondes quantiques
qui justement, sont construites, en quantication géométrique, comme des fonctions sur
l'espace des phases tronquées aux hauts modes [3, 23].
Enn, est-il possible d'étendre nos résultats concernant les résonances à un opérateur avec
∞
poids non C
(op. Gν partie 4), de sorte que sa trace tende vers la formule de Gutzwiller ?
Ce sont vraisemblablement des problèmes diciles mais une fois résolus ils pourraient
constituer une preuve en temps long de la formule de trace de Gutzwiller.
Sixième partie 6. Annexes
11. Annexe A : preuve de l'équation 6.15
On montre une relation fondamentale pour le passage au tore
: Vis à vis de la jauge symétrique :
M̃ T̂n = T̂M0 (n) M̃ ,
∀n ∈ Z2
24
frenchARNOLDI JEAN-FRANÇOIS
Démonstration. Dans une trivialisation, l'application préquantique
M̃
peut s'écrire
M̃ = M̃1 M̃0
où
M̃1 (resp. M̃0 )
est le relevé préquantique de l'application
M1
(resp
M0 )
(cf. eq. 5.8).
La perturbation classique H1 dénie dans la partie 1 est périodique vis à vis des variables
(q, p) ∈ R2 elle peut donc s'écrire comme :
X
H1 (q, p) =
cn ei2π(n1 q+n2 p)
n=(n1 ,n2 )∈Z2
vis à vis de la jauge symétrique, l'opérateur préquantique associé
P̂H1
s'écrit (eq. 6.4) :
1
1
p
p
q
(−i~∂p + q) + H1 ≡ (∂p H1 ).P̂2 − (∂q H2 ).XH
Q̂2 + H1
(−i~∂q − p) + XH
P̂H1 = XH
1
1
1
2
2
les fonctions ∂q H1 , ∂p H1 sont périodiques en x = (q, p) et admettent chacune une ex2
2
pansion en série de fourier. Ainsi, ∃ an , bn , cn ∈ C, tels que ∀ψ ∈ S(R ), x ∈ R :


X
(P̂H1 ψ)(x) = 
an ei2π(n1 q+n2 p) .P̂2 + bn ei2π(n1 q+n2 p) .Q̂2 + cn ei2π(n1 q+n2 p)  (ψ)(x)
n=(n1 ,n2 )∈Z2
X
⇐⇒ P̂H1 ≡
an ei2π(n1 (Q̂1 +Q̂2 )+n2 (P̂1 −P̂2 )) .P̂2 + bn ei2π(n1 (Q̂1 +Q̂2 )+n2 (P̂1 −P̂2 )) .Q̂2
n=(n1 ,n2 )∈Z2
+cn ei2π(n1 (Q̂1 +Q̂2 )+n2 (P̂1 −P̂2 ))
En utilisant
q = Q̂1 + Q̂2 , p = P̂1 − P̂2
et le fait que le sache donner un sens à l'expo-
nentielle d'une fonction linéaire d'opérateur (cf. [4]). Les opérateurs
(Q̂, P̂ )
satisfont aux
relations de commutation canoniques, on arrange l'expression ci dessus
(11.1)
X
P̂H1 ≡
an ei2π(n1 Q̂2 −n2 P̂2 ) .P̂2 + bn ei2π(n1 Q̂2 −n2 P̂2 ) .Q̂2 + cn ei2π(n1 Q̂2 −n2 P̂2 ) ei2π(n1 Q̂1 +n2 P̂1 )
n=(n1 ,n2 )∈Z2
(11.2)
⇐⇒ P̂H1 ≡
X
n=(n1 ,n2
où
de
on
P̂n,(2) ⊗ T̂2π~(n2 ,−n1 )
)∈Z2
T̂2π~(n2 ,−n1 ) est la restriction à L2 (R1 )
0
l'opérateur de translation suivant le vecteur 2π~n := 2π~(n2 , −n1 ). De l'équation 6.9
i
h
i
h
i
h
00
2
a T̂2π~n0 , T̂n00 = 0. On déduit que P̂H1 , T̂n00 = 0 et M̃1 , T̂n00 = 0, pour tout n ∈ Z .
P̂n,(2)
est un opérateur agissant dans
L2 (R2 )
et
Ensuite en utilisant l'eq. 6.14 ,
M̃ T̂n = M̃1 M̃0 T̂n = M̃1 T̂M0 n M̃0 = T̂M0 n M̃
Ce qui conclut la démonstration.
RUELLE EN QUANTIFICATION GÉOMÉTRIQUE 25
frenchCHAOS QUANTIQUE : RÉSONANCES DE
Remark 11.1. En passant par le calcul symbolique, on peut montrer que cette relation reste
vraie au premier ordre en
~
pour une trivialisation quelconque, mais alors l'eq. 6.17 n'est
plus vraie (on perd le contrôle de l'erreur car on somme sur une innité de termes).
12. Annexe B : Opérateurs pseudo différentiels (PDO)
On donne dans cette section une brève introductions aux PDOs à ordre constant sur
R2 ,
an de clarier le sens que l'on donne à un symbole d'opérateur. On montre ensuite que
l'opérateur préquantique admet un symbole.
12.1.
2
PDO à ordre constant.
∞
2
N , a(x)αi ∈ C (R ),
Considérons un opérateur diérentiel, si
∀ α = (α1 , α2 ) ∈
de la forme suivante :
P (x, D) =
X
a(x)α Dα , Dα := D1α1 D2α2 ; Di := −i∂i .
|α|≤m
En passant par la transformée de Fourier, il admet la représentation intégrale :
1
P (x, D)ψ(x) =
(2π)2
(12.1)
∀ψ ∈ S(R2 ), x ∈ R2 ,
et
ψ̂(ξ)
Z
ei<ξ,x>
R2
X
a(x)α ξ α ψ̂(ξ)dξ.
|α|≤m
la transformée de fourier de ψ . On veut alors étendre
σ(x, ξ) ∈ C ∞ (T ? R2 ), donc donner un sens à
l'expression 12.1 à des fonctions quelconques
l'intégrale :
Si c'est le cas on dit
Il faut pour cela
Z
1
σ̂ψ(x) :=
ei<ξ,x> σ(x, ξ)ψ̂(ξ)dξ.
2
(2π) R2
que σ̂ est un PDO quantié standard du symbole σ .
que la fonction σ décroisse susamment vite en l'inni,
cette dé-
croissance doit de plus s'améliorer par dérivation. Cela donne lieu au classes de symboles, il en existe plusieurs (cf. [8, 4, 22]), on utilisera par la suite la suivante (voir [8]) :
Sρm ⊂ C ∞ (T ? R2 ). Soit m ∈] − ∞; ∞[ , 1/2 < ρ≤ 1. σ ∈ Sρm ssi ∀α, β ∈ N2 , pour tout
2
compact K ⊂ R , il existe une constante positive Cα,β,K telle que
(12.2)
|∂ξα ∂xβ σ(x, ξ)| ≤ CK,α,β hξim−ρ|α|+(1−ρ)|β| ; hξi :=
p
1 + |ξ|2 , (x, ξ) ∈ K × R2
m
m
On a une relation importante sur les classes : si m1 > m2 alors S 2 ⊂ S 1 . L'union de
−∞
toutes les classes et notée S
et les PDOs associés sont dit régularisants. Deux PDOs
qui dièrent d'un opérateur régularisant sont équivalents dans la limite
ξ
grand.
Symbole de l'opérateur P̂H . On prouve la prop. 7.1.
η est régulière, par construction du hamiltonien H (voir eq. 3.2), la fonction réelle
V (x) := XH (η) + H(x) = (∂H/∂p).ηq (x) − (∂H/∂q).ηp (x) + H(x) est une fonction régulière
dont le comportement s'améliore par dérivation. En remplaçant dans l'expression de P̂H ,
−i∂x par ξ ∈ T ? R2 , on obtient un polynôme de degré 1 en ξ , Pη = ~XH .ξ + V (x). les
coecients de XH on un comportement régulier en x (linéaire pour 0 ≤ t < 1, H = H0 et
borné pour 1 ≤ t < 2, H = H1 ). On vérie aisément (voir par ex. [22] p. 29) que Pη dénit
1
alors un symbole de classe Sρ au sens de l'eq. 12.2.
12.2.
Si
26
frenchARNOLDI JEAN-FRANÇOIS
13. Annexe C : PDO sur un fibré
On donne dans cette section une introduction informelle et sans démonstration, aux
PDOs sur un bré non trivial.
On pourra à prot consulter les articles [17, 21] et le livre [18] qui traitent, sinon discutent, de ce cas.
Le point important est que dans la limite
|ξ| → ∞,
les PDOs ne sont pas sensibles à
la topologie globale de la variété, leur action est locale : une fonction à support compact
est transformée (a des termes négligeable près) en une fonction à même support. Cela
permet aux théorèmes d'analyse semi-classique tels que Egorov, composition de PDO, et
L2 -continuité de rester valides.
Quantication sur un bré.
2
2
un atlas de T , et Ωi := φi (Ui ) ⊂ R .
2
On introduit une une partition de l'unité pour le bré L → T , i.e. on décompose toute
P
∞
∞
∞
2
/ Ui ). On
section s ∈ Γ (L) := C (T , L) en s =
i∈I si , si ∈ C0 (Ui , L) ( si (x) = 0 ∀ x ∈
∞
2
dispose de trivialisations locales, ri ∈ Γ (L), t.q |ri (x)| = 1 ∀ x ∈ Ui .
13.1.
Soit
(Ui , φi )i∈I
Alors on a la décomposition
s=
X
(ψΩi ◦ φi ) ri ; ψΩi ∈ C0∞ (Ωi , C)
i∈I
Pour alléger l'écriture on ommetra φi dans la suite et on notera directement
ψΩi (x1 , x2 ). Soit P (x, ξ) ∈ Sρm ⊂ C ∞ (T ? T2 ), on dénit :
ψΩi (x) ≡
P̂ si (x) = (Opχi (P )ψΩi ) (x)ri (x)
Opχi (P )ψΩi (y) := χi (y) (Op(P )ψΩi ) (y), avec χi une fonction cut-o régulière égale à
2
et 0 hors de Ωi . Op(P ) est le quantié standard sur R de P .
Avec cette dénition P̂ si à un support toujours contenu dans Ui . Un premier point est que
2
quelque soit le choix du cut-o, vu comme des opérateurs sur les fonctions de R , Opχi (P ) ∼
Op(P ). On vérie de plus que si x ∈ Ui ∩ Uj , (Opχi (P )ψΩi ) (x) ∼ Opχj (P )ψΩj (x) ce
où
qui montre que, dans la limite semi-classique, on peut donner un sens indépendant de la
partition, du cut-o et des trivialisations locales, à l'expression :
(P̂ s)(x) =
(13.1)
X
(Opχi (P )ψΩi ) (x)ri (x), ∀ x ∈ T2
i∈I
Qui dénit les PDOs sur le bré
L → T2
et qui est équivalente à la quantication standard
pour un bré trivial (toujours dans la limite
|ξ| → ∞).
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