Problèmes utilisant l`algorithmique en géométrie

Problèmes utilisant l'algorithmique en géométrie
Orthogonalité de deux vecteurs (chapitre produit scalaire, 1èreS et 1èreSTI2D)
Soit
⃗ u
et
⃗ v
de coordonnées respectives
(
x1,y1
)
et
(
x2,y2
)
dans un repère orthonormé (O, I, J).
1. Quelle est la signification du calcul effectué par cet algorithme :
2. Utiliser cet algorithme pour les vecteurs
⃗ u
(
1
2
)
et
⃗ v
(
−2
1
)
.
Que peut-on dire de ces deux vecteurs ?
3. Mêmes questions pour
⃗
u
(
√ 3
2
)
et
⃗
v
(
−2 √ 3
3
)
. Vérifier le calcul à la main et expliquer le résultat
donné par Algobox.
4. On veut utiliser cet algorithme pour déterminer si deux droites (AB) et (CD) du plan sont
perpendiculaires. Connaissant les coordonnées des points A, B, C et D, modifier l'algorithmique
précédent pour qu'il donne la réponse au problème posé.
5. Testez votre algorithme sur les droites définies par les points suivants :
a)
A
(
1;−1
)
;
B
(
3; 2
)
;
C
(
10;−2
)
et
D
(
−5; 8
)
b)
A
(
2,5;5,8
)
;
B
(
10,5;−8,6
)
;
C
(
5,3;1,4
)
et
D
(
18,8; 8,9
)
6. Est-on certain que les résultats obtenus à la question précédente sont exacts ?
Remarque : Algobox est parfait pour pratiquer l'algorithmique sans avoir à se préoccuper d'une
syntaxe à apprendre. Cependant, on sera souvent confronté à des problèmes d'arrondis ou aux
limitations techniques du logiciel (pas de nombres complexes, pas de calcul formel,...). Le logiciel
XCAS peut être une alternative intéressante. Il est possible d'écrire des algorithmes en langage
naturel et de les exécuter en manipulant formellement les objets mathématiques qu'ils contiennent.
Cet exemple se traduirait avec XCAS de la manière suivante (calcul effectué comme dans la question
3) :

Avec Xcas, il serait possible d'utiliser cet algorithme pour résoudre d'autres problèmes
mathématiques :
- Soit A(1,1), B(2,3) et C(-2,1). Où faut-il placer le point D sur l'axe des abscisses pour que (AB) soit
perpendiculaire à (CD) ? (il suffira de faire tourner l'algorithme avec D(
x
,0) et de résoudre une
équation)
- Déterminer une équation de la droite D perpendiculaire à (AB) passant par C. (Là aussi,
l'intervention d'un point D(
x,y
) dans cet algorithme résout le problème)

Colinéarité de deux vecteurs (1èreS)
Soit
⃗ u
et
⃗ v
de coordonnées respectives
(
x1,y1
)
et
(
x2,y2
)
dans un repère orthonormé (O, I, J).
1. Quelle est la signification du calcul effectué par cet algorithme :
2. Utiliser cet algorithme pour les vecteurs
⃗ u
(
1
2
)
et
⃗ v
(
2
4
)
.
Que peut-on dire de ces deux vecteurs ?
3. Mêmes questions pour
⃗ u
(
6
−2
)
et
⃗
v
(
2
2
3
)
. Vérifier le calcul à la main et expliquer le résultat
donné par Algobox.
4. On veut utiliser cet algorithme pour déterminer si deux droites (AB) et (CD) du plan sont
parallèles. Connaissant les coordonnées des points A, B, C et D, modifier l'algorithmique
précédent pour qu'il donne la réponse au problème posé.
5. Testez votre algorithme sur la droite définie par les points suivants :
A
(
1;−1
)
;
B
(
3; 2
)
;
C
(
11;−2
)
et
D
(
−5;−26
)
6. a) Déterminer
d
pour que (AB) soit parallèle à (CD) :
A
(
2,5;5,8
)
;
B
(
10,5 ;−8,6
)
;
C
(
5,3;1,4
)
et
D
(
18,8 ; d
)
b) Vérifier votre réponse avec l'algorithme.
7. a) Modifier l'algorithme pour qu'il teste si trois points A, B et C sont alignés.
b) Déterminer
a
pour que les trois points
A
(
a; 4
)
,
B
(
2; 5
)
et
C
(
3; 6
)
soient alignés.
c) Vérifier votre réponse avec l'algorithme.
Remarque : comme dans l'activité sur l'orthogonalité de deux vecteurs, on retrouverait ici le même
intérêt pour XCAS.

Nombres complexes, suites, logique (1èreSTI2D)
Découverte de l'ensemble de Mandelbrot (Benoît Mandelbrot est un mathématicien franco-
américain, né en 1924 et mort le 14 octobre 2010)
Définition : l'ensemble de Mandelbrot M est l'ensemble dans le plan complexe des points M d'affixe
c
tels que la suite
(
zn
)
définie sur
ℕ
par la relation :
{
z0=0
zn+1=
(
zn
)
2+c
ne tende pas vers l'infini.
1. Vérifier mentalement que le point O(0) appartient à cet ensemble et que I(1) n'y appartient pas.
2. Il a pu être démontré que dès qu'il existe
n∈ℕ
tel que
∣
zn
∣
>2
alors
(
zn
)
diverge vers l'infini.
Voici une fonction permettant de conjecturer si un point
M ( c )
appartient à l'ensemble de
Mandelbrot M :
fonction Mandelbrot(c)
0=>n
0=>z
tantque abs(z)<=2 et n<100 faire
z^2+c=>z
n+1=>n
ftantque
retourne n
ffonction
a) À quoi sert la condition n<100 ?
b) Si Mandelbrot(c) retourne un nombre inférieur strictement à 100, que cela signifie-t-il pour
le point M(c) ?
c) Si Mandelbrot(c) retourne 100, que cela signifie-t-il pour le point M(c) ?
Dans la suite de l'activité, on négligera l'incertitude des résultats donnés par cette fonction.
3. Taper cette fonction dans XCAS (Alt+P pour insérer un programme puis OK une fois tapé)
Utiliser cette fonction pour déterminer si les points A(i), B(0,5), C(0,2), D(0,5i), E(0,5+0,5i) et
F(1+2i) appartiennent à M.
4. a) Soit un point M(c) appartenant à M. Pourquoi que cela signifie-t-il que
∣
zn
∣
⩽2
quelque soit
n∈ℕ
?
b) Que peut-on alors dire géométriquement de l'ensemble M ?
c) En tâtonnant avec la fonction Mandelbrot, conjecturer l'intersection de M avec l'axe des
abscisses.
5. Tracé de l'ensemble M :
a) Si A est un point de M, alors quelle sera la couleur donnée par cet algorithme :
si Mandelbrot(affixe(A))<100 alors noir sinon vert fsi
b) Dans une nouvelle ligne de commande, ouvrir une figure de géométrie (Alt+G), puis placer un
point libre A dans le plan (utiliser le mode point).
Dans une ligne de commande à côté de la fenêtre de géométrie, taper l'instruction :
trace(couleur(A,si Mandelbrot(affixe(A))<100 alors noir sinon vert fsi))
Déplacer le point A à la souris (en mode pointeur) pour faire apparaître les contours de M.
Approfondissements :
- Il est possible d'afficher davantage de nuances de couleurs en fonction de la valeur de
n
renvoyée
par la fonction Mandelbrot (chercher dans l'aide de XCAS). C'est ce que font les programmes qui
tracent les belles représentations de M que l'on trouve sur internet. Par exemple sur Wikipédia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Mandelbrot
- Dans XCAS, il est possible de zoomer sur une partie de l'ensemble M avec le bouton « in ». En
déplaçant à nouveau A, on découvre que M est une fractale (voir le même article sur Wikipédia).
- Comment une expression mathématique aussi simple peut-elle engendrer un objet géométrique
aussi beau et complexe ?

Remarques : cette activité met bien en évidence la puissance de XCAS. Quel autre logiciel est en effet
capable de faire interagir un algorithme travaillant sur des nombres complexes avec un objet
géométrique en une seule ligne (de plus écrite en français) ?
Voici ce que pourront obtenir les élèves à la question 5b en déplaçant le point A dans le plan :