circuits électriques
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CIRCUITS ÉLECTRIQUES (Y. LACHAUD) Dans ce deuxième cours, on rappelle les relations qui caractérisent les différents dipôles élémentaires utilisés dans la conception des circuits électriques. Fonctionnement des circuits électriques Considérons un ensemble de N dipôles (numérotés de 1 à N) connectés entre eux de telle sorte que le circuit électrique résultant forme un réseau de M mailles élémentaires (0<M<N). On a donc à priori dans ce circuit N courants inconnus et N tensions inconnues. Soit au total 2N grandeurs inconnues. 1. Conséquences de la loi des nœuds Commençons par un circuit à une seule maille (M=1). Il est clair d’après la loi des nœuds que c’est le même courant qui traverse l’ensemble des dipôles du circuit. La loi des nœuds réduit donc de N à 1 le nombre de courant inconnu dans ce cas. Pour un circuit à deux mailles, il est facile de constater que la loi des nœuds réduit le nombre de courants inconnus de N à 2. Pour un circuit à M mailles élémentaires on peut comprendre facilement que la loi des nœuds réduit le nombre de courants inconnus de N à M. 2. Conséquences de la loi des mailles Commençons par un circuit à une seule maille (M=1). Il est clair d’après la loi des mailles qu’il existe une relation entre le N tensions inconnues. Grâce à cette relation, on peut exprimer l’une des tensions en fonction des (N-1) restantes. La loi des mailles réduit donc de N à (N-1) le nombre de tensions inconnues dans ce cas. Pour un circuit à deux mailles, il est facile de constater que la loi des mailles réduit le nombre de tensions inconnues de N à (N-2). Pour un circuit à M mailles élémentaires on peut comprendre facilement que la loi des mailles réduit le nombre de tensions inconnues de N à (N-M). Conséquence : L’application des lois fondamentales de l’électrocinétique à un circuit composé de N dipôles formant un réseau de M mailles élémentaires réduit de moitié le nombre de grandeurs électriques réellement inconnues. Il reste seulement : * M courants indépendants (loi des nœuds), * (N-M) tensions indépendantes (loi des mailles). Le nombre total de grandeurs inconnues dans un circuit électrique est donc strictement égal au nombre N de dipôles présents dans le circuit. Il faut donc écrire N équations reliant entre elles ces N grandeurs inconnues pour connaître finalement tous les courants et toutes les tensions mesurables dans le circuit considéré. 3. Choix des N dipôles Le fonctionnement du circuit ne peut naturellement être connu précisément que si l'on connaît la nature des N dipôles utilisés. Conséquence : C'est donc les N relations caractéristiques des N dipôles du circuit qui fournissent le système de N équations qui permet de calculer finalement toutes les grandeurs électriques en fonction des paramètres caractéristiques des dipôles utilisés. Page 1 Dipôles électriques fondamentaux Le fonctionnement d’un dipôle est connu dès lors que l’on connaît sa relation caractéristique. Cette relation caractéristique établit un lien entre le courant I qui traverse le dipôle et la tension U présente entre ses bornes. Pour cette raison cette relation caractéristique est aussi appelée relation courant-tension du dipôle. Attention : La forme de cette relation dépend explicitement des conventions adoptées pour l’orientation du courant et de la tension. Il est donc impératif de préciser les conventions adoptées avant d’écrire la relation courant-tension d’un dipôle. Conventions : Dans tout ce paragraphe on supposera que l’orientation du courant I qui traverse les différents dipôles étudiés est systématiquement choisie de gauche à droite et que l’orientation de la tension U est choisie systématiquement de droite à gauche comme indiqué sur la figure ci-dessous : 1. Conducteur idéal (court-circuit, interrupteur fermé, résistance nulle) Définition : C’est un dipôle qui n’oppose aucune résistance au déplacement de la charge électrique. On le modélise par l’icône suivant : Conséquence : l’énergie que l’on doit fournir pour déplacer une charge électrique unité entre les deux bornes d’un conducteur idéal est nulle. On en déduit donc la relation courant-tension caractéristique de ce dipôle : 2. Isolant idéal (coupe-circuit, interrupteur ouvert, résistance infinie) Définition : C’est un dipôle qui s’oppose à tout déplacement de la charge électrique. On le modélise par l’icône suivante : Conséquence : il est impossible de déplacer une charge électrique au travers d’un isolant idéal. On en déduit donc la relation courant-tension caractéristique de ce dipôle : Page 2 3. Ampèremètre idéal. Définition : Un ampèremètre idéal est un dipôle polarisé capable d’afficher la grandeur du courant qui le traverse et qui ne modifie pas les grandeurs électriques du circuit dans lequel on l’introduit. On le modélise par l’icône suivant : Conséquence 1 : Pour mesurer le courant qui traverse le dipôle (AB), on doit brancher l’ampèremètre en série avec ce dipôle. En effet, la loi des nœuds impose alors l’identité des courants qui traverse l’ampèremètre et le dipôle étudié. Conséquence 2 : Pour ne pas modifier les grandeurs électriques lorsqu’on l’introduit dans un circuit en fonctionnement, l’ampèremètre doit obligatoirement se comporter comme un conducteur idéal. Sa caractéristique courant-tension est donc celle d’un court-circuit (U = 0 pour tout I). Pour cette raison, on remplace souvent l’icône précédent par un icône plus simple à dessiner qui a de plus l’avantage de traduire de façon explicite son comportement électrique comme court-circuit: 4. Voltmètre idéal. Définition : Un voltmètre idéal est un dipôle polarisé capable d’afficher la grandeur de la tension entre ses bornes et qui ne modifie pas les grandeurs électriques du circuit dans lequel on l’introduit. On le modélise par l’icône suivant : Conséquence 1 : Pour mesurer la tension entre les bornes d’un dipôle (AB), on doit brancher le voltmètre en parallèle avec ce dipôle. En effet, la loi des mailles impose alors l’identité des tensions présentes aux bornes du voltmètre et du dipôle étudié. Conséquence 2 : Pour ne pas modifier les grandeurs électriques lorsqu’on l’introduit dans un circuit en fonctionnement le voltmètre doit obligatoirement se comporter comme un isolant idéal. Sa caractéristique courant-tension est donc celle d’un coupe-circuit (I = 0 pour tout U). Pour cette raison, on remplace souvent l’icône précédent par un icône plus simple à dessiner qui a de plus l’avantage de traduire de façon explicite son comportement électrique : 5. Résistor idéal. Définition : Un résistor idéal est un dipôle non polarisé qui présente entre ses bornes une tension directement proportionnelle au courant qui le traverse. La constante de proportionnalité, notée R, est appelée résistance du dipôle. On le modélise par l’icône suivant : La relation caractéristique de ce dipôle est la loi d’Ohm, avec les conventions retenues ici elle s’écrit : U = RI. Page 3 6. Source idéale de tension. Définition : Une source idéale de tension est un dipôle polarisé qui maintient entre ses bornes une tension constante quelle que soit le courant qui le traverse. Cette tension constante, notée E, est appelée force électromotrice (f.e.m.) du dipôle. On modélise ce dipô le par l’icône suivant : Conséquence : Un voltmètre branché en parallèle sur ce dipôle affiche donc une tension constante. On en déduit la relation caractéristique de ce dipôle en choisissant convenablement le sens de branchement du voltmètre : 7. Source idéale de courant. Définition : Une source idéale de courant est un dipôle polarisé qui maintient à travers lui un courant constant quelle que soit la tension entre ses bornes. Ce courant constant, notée C, est appelé courant électromoteur (c.e.m.) du dipôle. On modélise ce dipôle par l’icône suivant : Conséquence : Un ampèremètre branché en série sur ce dipôle affiche donc un courant constant. On en déduit la relation caractéristique de ce dipôle en choisissant convenablement le sens de branchement de l’ampèremètre : 8. Diode idéale (dipôle non linéaire). Définition : Une diode idéale est un dipôle polarisé qui laisse circuler librement le courant dans un seul sens et qui bloque totalement l’autre sens de circulation. On la modélise par l’icône suivant : Conséquence : Sa caractéristique est donnée par le graphe ci-contre à condition de brancher les appareils de mesure (voltmètre et ampèremètre) comme spécifié cidessous : On en déduit donc la relation caractéristique de ce dipôle : U = 0 pour tout I ≥ 0, I = 0 pour tout U ≤ 0. Page 4
