ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique z y x WIND WAVES BASSIN OCEANIQUE BREAKING SHOALING SWELL formes du fond : ondes de sables, rides, dunes… Eau profonde vis – à – vis de la houle TALUS CONTNENTAL Chapitre 4 : Interactions "air ↔ mer" Couche Limite Planétaire CLP • Position du problème : Les temps caractéristiques des ondes de surface est t c ~ 1 à 10 4 s . Comme t c 〈〈 t inertiel la force de Coriolis est négligeable dans l’équation de conservation de la quantité de mouvement (la terre n’est pas un repère absolu[ c – à – d Galiléen]). Cette observation ne s’applique pas aux ondes de marée ( T ≈ 12h25mn ) qui sont très longues: L = cT = T gh On fait souvent l’hypothèse que le fluide est parfait incompressible dont l’écoulement est à symétrie cylindrique, c – à – d : u2 = 0 , alors : ∂ u1 ∂ u3 La variabilité océanique affecte + = 0 équation de continuité sensiblement le climat terrestre aux échelles ∂x ∂z interannuelles. Notre compréhension de r → cette variabilité reste limitée par la r ∂u 1 complexité des processus à l’œuvre. = − grad p + g équation d’Euler ∂t ρ En prenant le rotationnel de l’équation de conservation de la quantité de mouvement, on obtient : r → r → ⎛∂u r te ⎞ ∂ ⎛ → r⎞ 1 →⎛ → ⎞ r ⎜⎜ rot u ⎟⎟ = − rot⎜⎜ grad p ⎟⎟ = 0 ⇒ rot u = C ⎟⎟ = rot⎜⎜ ρ ⎝ ⎝ ∂t ⎠ ∂t⎝ ⎠ ⎠ → r → r r Si initialement à t = 0 rot u ≡ 0 alors ∀ t : rot u = 0 donc il existe un r r potentiel de vitesse Φ tel que : ω2 = 0 → r ⎧u1 = ∂ Φ ∂ x (2) h→0 u = grad Φ(x,z,t ) = ⎨ ⇒ ⎩u3 = ∂ Φ ∂ y r r (1)r r r r divu = ∇ 2 Φ ≡ 0 ω1 ≠ 0 ∫∫ ω ⋅ nds = ∫∫∫ divω dτ = 0 ⇒ S Λ r r r divω = div gradv = 0 ω1 • n1 = 0 ( ) Il faut y ajouter les conditions aux limites : à la surface libre (conditions cinématique + dynamique) et sur le fond de la mer (imperméable). En ♣ L’énergie peut se transmettre à l’océan par les fluctuations Effet de pression ou par le cisaillement du vent en surface • ËLa surface de contacte entre un domaine irrotationnel et un autre rotationnel est forcément une surface tourbillon (ou de rotation) E.H.T.P. Chapitre 4 4-1 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique 1) Influence de l’atmosphère sur le niveau d’eau : Quand la pression atmosphérique en surface n’est pas constante on a comme condition limite à la surface libre pour un écoulement potentiel bidimensionnel : p (x, y, t )⎫ gη + Φ t = − a ⎪ ρ ⎬ pour z = 0 (1 – 1) ⎪ ηt − Φ z = 0 ⎭ Voyons voir ce qui se passe si la pression atmosphérique varie dans le temps harmoniquement sur une eau à profondeur constante : oscillations forcées par l’atmosphère dans ce cas on a à résoudre : p a (x, t ) = p(x ) sin ω t ⎫ ⎪ p a (x, t )⎪ 1 2 ∇ Φ = 0 avec C ⋅ Limite η = − Φ t − ⎬ en z = 0 (1 – 2) g ρ ⎪ ⎪ ηt = Φ z ⎭ Cherchons des solutions de la forme: Φ = ϕ(x, z ) cos ω t + ψ (x, z ) sin ω t ω p 0 e Λz Ainsi si p(x ) = p 0 sin Λx : −∞〈 x 〈+∞ ⎯⎯⎯→ ϕ(x, z ) = sin Λx ρg k − Λ La solution générale en eau profonde est donc donnée par : ⎡ ω p 0 e Λz ⎧cos kx ⎫⎤ kz ⎧cos kx ⎫ sin Λx + Aekz ⎨ cos t Ae Φ=⎢ ω + ⎬⎥ ⎨ ⎬ sin ω t ⎢⎣ ρ g k − Λ ⎩sin kx ⎭ ⎩sin kx ⎭⎥⎦ alors On constate qu’il peut y avoir résonance (amplification). On signale que si on a pris pour la pression atmosphérique une onde progressive : p a (x, t ) = p 0 ⋅ sin(ωt − Λx ) alors la solution est ω p 0 e Λz cos(ω t − Λx ) (1 – 3) ρg k − Λ à laquelle on peut ajouter n’importe quelle solution pour une pression nulle en surface. On a résonance si k ≈ Λ c’est – à – dire s’il existe dans le spectre atmosphérique un mode proche ce celui propagatif dans l’eau. r⎛p ⎞ On signale que le terme en − ∇⎜⎜ a + gη ⎟⎟ apparaît dans l’équation ⎠ ⎝ ρ Φ (x, z, t ) = dynamique, il peut s’écrire sous une forme adoptée pour pouvoir r⎛p r ⎞ exploiter les données météorologiques, soit : − ∇⎜⎜ a + gη ⎟⎟ = −g∇ η − η0 ⎠ ⎝ ρ ( E.H.T.P. Chapitre 4 4-2 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ) ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique où η0 (x, y, t ) est la dénivellation du niveau d’eau due à la variation de la pression atmosphérique. Comme une chute de pression atmosphérique moyenne de 1mbar correspond à une augmentation du niveau d’eau de l’ordre de 1cm d’eau d’après Lacombe; K. Nakatsuji et al. proposent la formule : où ( η0 (x, y, t ) = 0.991. 1013 − pa ) (1 – 4) mbars = 100 Pascals ♦ pa est la pression atmosphérique au niveau de la surface libre exprimée en mb ♦ η0 élévation du niveau d’eau de mer en cm Les mêmes auteurs proposent pour les contraintes de cisaillement à la surface libre et sur le fond marin respectivement les formules : r r r r r r r τs = ρa γ 2s U10 ⋅ U10 (1 – 5) τ b= ρ e γ b2 u ⋅ u −β τs (1 – 6) r où u : vitesse moyenne sur la profondeur d’eau r U10 : vitesse du vent à 10m(dite standard)de la surface libre ρ a : densité de l’air (~1,205 kg/m3) 3 3 ρ e : densité de l’eau de mer (= 1.019 10 kg/m ) γ s2 = γ b2 = coefficient de frottement # 2,6 ⋅ 10 −3 β : une constante de ~ 0,25 à 0,50 qui tient compte de la transmission de l’effet du vent au fond marin. 2) Onde à la limite de 2 fluides en mouvement : Instabilité de Kelvin – Helmholtz Afin de rendre les calculs plus simples, considérons 2 fluides ρ = const , U = const ↔ Eau caractérisés par : / avec U ≠ U/ (2 – 1) / ρ = const , U = const ↔ Air où U et U/ sont les vitesses moyennes. Lamb présente la solution du problème des petites oscillations (ondes infinitésimales) autour de l’état d’équilibre z = 0 . Les potentiels de vitesse s’écrivent : Φ = U ⋅ x + Φ1 ↔ Eau (2 –2) / / / ↔ Air Φ = U ⋅ x + Φ1 E.H.T.P. Chapitre 4 4-3 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Les fluides sont supposés infinis (physique) vers le haut et vers le bas. La condition cinématique à l’interface air – eau s’écrit : ∂η ∂ η ∂ Φ1 +U = ∂z ∂t ∂x (2 – 3) ∂ Φ1/ ∂η / ∂η +U = ∂t ∂x ∂z La pression à l’interface du liquide est : 2 2 ⎛ ∂ Φ1 ⎞ ⎤ ∂ Φ1 ⎞ ∂ Φ1 1 ⎡⎛ p ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ − g z (2 – 4) − ⎢⎜⎜ U − =− ∂ x ⎟⎠ ∂t 2 ⎢⎝ ∂ z ρ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎣ En faisant entrer 0,5 U2 dans le terme (g z) qu’il modifie d’une grandeur constante, et en négligeant les termes en L−2 l’équation (2 – 4) devient : ∂ Φ1 ∂ Φ1 p =− +U − g z (2 – 5) ρ ∂t ∂x Cherchons des solutions de la forme : ⎧Φ = cek z ei(ω t −k x ) ( 2 − 6) ⎪ 1 ω ⎪ / / − k z i(ω t − k x ) ( 2 − 7 ) avec : c = e ⎨Φ1 = c e k ⎪ i(ω t − k x ) (2 − 8) ⎪⎩η = ae Les conditions cinématiques à l’interface air – eau donnent : ⎧i (ω − k U) a = ck (2 – 9) ⎨ / / i ω − k U a = c k ⎩ Exprimons maintenant la continuité de la pression à l’interface : ⎛ 1 1 ⎞ ∂ 2η / 2 ⎟⎟ = σ∇ η = σ + (2 – 10) p − p = σ⎜⎜ ∂ x2 ⎝ R1 R 2 ⎠ ( ) où σ est la tension superficielle (grandeur thermodynamique : fonction de la température et de la nature des 2 fluides en contact). Remplaçons p et p / par leurs valeurs à l’interface air – mer, nous obtenons ainsi la relation de dispersion et en suite la vitesse de phase : c 2 = c 02 − ρ ⋅ ρ/ (ρ + ρ ) / (U − U ) / 2 où c 02 = ρ − ρ/ g σk (2 – 11) + / k / ρ+ρ ρ+ρ c 02 possède un minimum c min ~ 0,23 m / s pour l’interface air – eau, car ( ) c’est la somme de 2 fonctions en k −1 & k , en effet à l’interface air – mer on a : ρ / ~ 1,2 〈〈 ρ ~ 10 3 Kg / m3 et s’il n’y a de courant U = U/ = 0 on a : E.H.T.P. Chapitre 4 4-4 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique c c 2 = c 02 = c min ~ 0,23 m / s η = ae i(ω t − k x ) g σk + ρ k = ae ik ( ct − x ) L = 2π k L min ~ 1,73 10 −2 m ~ 2 cm c 0 a une valeur minimale à l’interface air – mer : c min ~ 0,26 m / s . L’interface air – mer sera parcourue par des ondes sinusoïdales stables tant que la célérité c reste réelle c’est – à – dire que : c = 2 c 02 − ρρ / (ρ + ρ ) / (U − U ) / 2 〉0 ⇒ ( (U − U ) / 2 2 〈c min ρ + ρ/ ρρ / (2 – 12) ) Ainsi à l’interface air – mer, tant que U/ − U 〈 6,46 m / s la présence du vent ne change pas la nature de la houle sauf bien entendu sa vitesse ( ) de phase. Mais lorsque U/ − U 〉 6,46 m / s on a une augmentation infinie ( ) de l’interface car Si U − U/ est trés grand ⇒ c 2 = − ρρ / (ρ + ρ ) / (U − U ) / 2 〈0 les modes sont croissants ou décroissants dans le temps ] : génération d’ondes de surface par le vent. La théorie linéaire ci – dessus ne peut présenter que les premiers stades de ce mécanisme de résonance. On appelle cette instabilité : instabilité de Kelvin – Helmholtz . En fait, les vagues sont générées à des vitesses bien inférieures, ne mettant pas généralement en action ce processus d’instabilité. • (A) La turbulence dans les fluides stratifiés : r g H1 ρ1 H2 ρ 2 r U1 léger r U2 dense mélange des 2 couches [cisaillement ] ρ= ρ1 + ρ 2 2 r U homogène après avant Dans l’état initial (avant) le centre de gravité est au – dessous du niveau moyen car ρ 2 〉 ρ1 mais l’état final a son centre de gravité exactement à mis profondeur : ainsi le centre de gravité s’est élevé par le mélange ce gain d’énergie potentielle est enlevé au système ? . E.H.T.P. Chapitre 4 4-5 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Avec des profondeurs initiales égales H1 = H2 = H 2 la densité moyenne est (ρ1 + ρ 2 ) 2 et le gain d’énergie potentielle est : EpGain = ∫0Hρ finale g z dz − ∫0Hρinitiale g zdz (A1) ⎡1 1 H2 1 3 H2 ⎤ 1 2 2 ( ) = ρgH − ⎢ ρ 2 g + ρ1g = ρ − ρ gH ⎥ 2 1 2 4 2 4 ⎦ 8 ⎣2 Mais quelle est la source de ce gain d’énergie potentielle ? c’est de l’énergie cinétique qui est récupérer sous forme potentielle : La conservation de la quantité de mouvement en théorie linéaire en absence de force extérieure pour le champ de vitesse uniforme : U = (U1 + U2 ) 2 ce nous conduit à une perte d’énergie cinétique : 2 EPerte dz − ∫0Hρo u 2finale dz = ∫0Hρo uinitiale c (A2) 1 1 1 1 2 2H 2H 2 = ρo gU2 + ρo gU1 − ρo gU H = ρo (U1 − U2 ) H 2 2 2 2 2 8 où on utilisé l’approximation de Boussinesq : ρ1 ≈ ρ 2 ≈ ρo . Le mélange vertical complet est naturellement possible aussi longtemps que la perte d’énergie cinétique dépasse le gain en énergie potentielle : 1 1 2 EPerte 〉 EpGain ⇒ ρo (U1 − U2 ) H 〉 (ρ 2 − ρ1 ) gH2 ⇒ c 8 8 (ρ2 − ρ1 ) gH 〈 1 condition de mélange complet (A3) 2 ρo (U1 − U2 ) Physiquement cela signifie que la différence de densité doit être faible pour ne pas présenter une barrière gravitationnelle insurmontable ou bien un cisaillement initial faible qui nécessite un surplus d’énergie pour aboutir à un mélange complet (soit fluide homogène). Quand le critère (A3) n’est pas vérifié alors le mélange se produit uniquement au voisinage de l’interface et ne s’étend pas sur tout le fluide. Pour calculer les caractéristiques de ce mélange on doit effectuer une analyse plus détaillée. Dans ce but on va considérer un fluide à deux couches de profondeurs infinies : t ρ1 U1 e m U2 ρ2 2π l p s instabilité initiale de Kelvin − Helmholtz de nombre d' onde k = l E.H.T.P. Chapitre 4 évolution dans le temps t des ondes courtes (instables ) 4-6 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique On a établit (équation 2 – 11) que : ρ − ρ1 g ρ 2ρ1 (U2 − U1 ) 2 l’onde est instable si c 2 〈 0 . Dans le c2 = 2 − ρ 2 + ρ1 k (ρ 2 + ρ1 ) cadre de l’approximation de Boussinesq ρ1 ≈ ρ 2 ≈ ρo on peut l’écrire sous la forme : 2 (ρ 2 − ρ1 ) g 〈 ρok (U1 − U2 ) selon Kundu (1990) : donc les courtes longueurs d’onde : 2 2(ρ 2 − ρ1 )g 2 π π ρo (U1 − U2 ) 〈 sont instables. ⇒ l= k〉 2 (ρ2 − ρ1 ) g k ρo (U1 − U2 ) 2 Ainsi un écoulement cisaillant à 2 couches est toujours instables. L’extension de la turbulence a lieu dans le fluide sur une couche de surface d’épaisseur comparable à la longueur d’onde, soit : 2 ρo (U1 − U2 ) 1 ∆H = épaisseur de la couche de mélange ≈ = k min 2 g (ρ 2 − ρ1 ) 3) Quelques mécanismes à l’interface air – mer permettant d’expliquer la formation et la croissance des vagues : On va aborder dans ce paragraphe les principes de base vu que les calculs sont complexes [Phillips (1957,58 et 68) et J.W. Miles (57,59,60)] 3 –1) Réponse de l’interface air – mer à des fluctuations de la pression atmosphérique : Perturbations météorologiques < On l’a déjà vu avant reprenons le > Le passage du vent au – dessus de la surface de l’eau fait naître des fluctuations de la pression (si le vent est non uniforme). pa p at = p + p / p t Ces fluctuations p = p / se déplacent à la vitesse du vent U/ . La pression à la surface libre au lieu d’être constante est variable et se déplace à la vitesse U/ . Elle est donnée par : \\ pour une composante du spectre // ω 2π 2π i (ω t − k x ) p = p0e (3 – 1) avec U/ = , ω = et k = k T L Supposons un écoulement irrotationnel, avec une condition linéaire à l’interface air – mer (condition cinématique) donnée par : ∂η ∂Φ (3 – 2) = ∂t ∂z La condition dynamique à l’interface air – mer est : p ∂Φ + + g η = 0 (3 – 3) ρ ∂t E.H.T.P. Chapitre 4 4-7 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Dérivons (3 – 3) par rapport au temps : ∂η 1 ∂ p ∂ 2Φ + + g =0 2 ρ ∂t ∂ t ∂t ∂ 2Φ En tenant compte de (3 – 2). La solution de ∂ x2 + ∂ 2Φ ∂ z2 = 0 s’obtient i ω p0 k z i (ω t − k x ) e e (3 – 4) Oscillation forcée ⎛ ω2 ⎞ ρ g ⎜⎜ − k ⎟⎟ g ⎝ ⎠ L’élévation est obtenue à partir de (3 – 2 ) et (3 – 4) : k k z i (ω t − k x ) η= (3 – 5) e e ⎛ ω2 ⎞ ρ g ⎜⎜ − k ⎟⎟ g ⎝ ⎠ aisément : Φ = −1 −1 ⎛ ⎛ U/ ⎞⎟ ω2 ⎞⎟ ⎜ ⎜ Le coefficient d’amplification est : ⎜1 − ⎟ = ⎜1 − c ⎟ g k ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ω gT , l’amplitude du mouvement est Lorsque ω2 = g ⋅ k ou U/ = = c = k 2π infinie (car fluide parfait : en réalité elle est finie mais grande). C’est la célérité de la houle libre de même période : c’est – à – dire si les ondes se propagent à la même vitesse que la pression p on a résonance : une amplification. L’expérience prouve que cette résonance peut se rencontrer en présence de dépression très creuse qui se déplace plus rapidement que les autres. Ces ondes provoquent des catastrophes parfois. On démontre qu’à la résonance la croissance de la vague a un terme principal proportionnel au temps. Si un champ de pression, présentant des fluctuations formant un spectre continu, se déplace à la ω vitesse U/ à l’interface air – mer, les vagues dont la célérité c = = U/ k sont amplifiées. Il y a donc résonance. La croissance de la vague est très rapide. C’est Phillips qui a établi la théorie selon laquelle le processus de la résonance est capital dans le mécanisme de formation et de croissance des vagues. L’angle critique : au stade initial de développement des ondes (l’énergie est transférée linéairement dans le temps), est donné par la relation : direction du vent E.H.T.P. Chapitre 4 r U cos α cr = r c α cr c gT = U 2π U direction de l' onde 4-8 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Remarque : Si on suit Phillips (1957,58), en présence de vagues à l’interface air – mer et du fait de l’existence d’une vitesse minimale c min ~ 0,26 m / s , la vitesse minimale du vent capable de lever des / vagues par résonance est donc Umin ~ 0,26 m / s . Dans le cas de la résonance, la croissance de l’amplitude des vagues est proportionnelle au temps. Ceci n’est valable que si les ondes sont progressives dans la direction du vent. Dans le cas plus général (bidimensionnel) Phillips a montré que la croissance des vagues est proportionnelle à la racine carrée du temps. Etude expérimentale de laboratoire soufleur d' air C circulation d' air en mouvement z crit h L 3 – 2) Naissance des vagues sous l’effet d’instabilités liées au gradient de la vitesse du vent (modèle de Miles) : Effet du cisaillement du vent [ The shear – flow model ] Question : y a – t – il une raison pour que de l’énergie soit transmise du mouvement moyen d’air à la mer en mouvement à travers la surface ? z profil du vent Pierson ⎯⎯ ⎯ ⎯→ & Shepard air ( ) Uz = 1 + C1102 loge z 10 κ U10 interface κ = 0,4 C10 ≈ 0,65 ⋅ 10 −3 U10 ⎛ u1 ⎞ ⎜ ⎟ gradient ↔ cisailleme nt Φ → ⎜ u2 ⎟ eau où U10 est en m s ⎜ ⎟ ⎝ u3 ⎠ Miles [1957,59,60,62] fait appel à l’instabilité dynamique de l’écoulement de l’air pour expliquer la naissance des vagues et répondre à cette question. Contrairement à Phillips, il admet un couplage entre les mouvements de l’eau et de l’air. Superposons à un écoulement du vent U/ = U/ (z ) (indépendante de x), d U/ et soit une petite donc il existe un gradient vertical du vent moyen dz r i k ( x − c t) . La célérité c perturbation u / que nous prendrons de la forme e E.H.T.P. Chapitre 4 4-9 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique peut être imaginaire. Nous allons étudier l’évolution de cette perturbation au cours du temps . Les équations du mouvement d’air sont : / ⎧ / ⎡ ∂ u1/ ∂ p/ / / ∂ u1 / ∂ / / ⎤ U + u1 ⎥ = − (3 − 6 ) + U + u1 + u3 ⎪ρ ⎢ t x z x ∂ ∂ ∂ ∂ ⎪ ⎣ ⎦ ⎨ / / ∂ p/ ⎪ / ⎡ ∂ u3 / / ∂ u3 / ∂ / ⎤ (3 − 7 ) ⎪ρ ⎢ ∂ t + U + u1 ∂ x + u3 ∂ z u3 ⎥ = − ∂ z ⎦⎥ ⎩ ⎣⎢ ( ) ( ) ( ) ( ) où p / est la composante dynamique de la pression (variable dans le temps). ∂ u1/ ∂ u3/ + = 0 (3 – 8) ∂x ∂z qui implique l’existence d’une fonction de courant Ψ : ∂Ψ ∂Ψ (3 – 9) u1/ = − et u3/ = ∂z ∂x Nous ne faisons pas ici l’hypothèse d’un écoulement irrotationnel. Le rotationnel de la vitesse ζ ∗ est donné par : ∆Ψ = ζ ∗ où ζ ∗ représente la r r r composante unique de rot u / = ∇ ∧ u / . En négligeant les termes du second ordre les équations (3 – 6 & 7) / / ⎧ / ⎡ ∂ u1/ ∂ p/ / ∂ u1 / ∂U ⎤ U u (3 − 10) + = − ρ + ⎪ ⎢ ⎥ 3 t x z x ∂ ∂ ∂ ∂ ⎪ ⎣ ⎦ s’écrivent alors : ⎨ / / ∂ p/ ⎪ / ⎡ ∂ u3 / ∂ u3 ⎤ U ρ (3 − 11) + = − ⎥ ⎪ ⎢ ∂t x z ∂ ∂ ⎦⎥ ⎩ ⎣⎢ L’équation de continuité de la perturbation est: Eliminons les termes de pression par la dérivée croisée, on obtient : ⎛ ∂ ∂ Ψ d2U/ ⎛ ∂ d2U/ / ∂ ⎞ / ∂ ⎞ ∗ / ⎜⎜ ⎟∆Ψ − ⎟ζ − u 3 ⋅ +U ⋅ =⎜ +U = 0 (3 – 12) ∂ x ⎟⎠ ∂ x d z 2 ⎜⎝ ∂ t ∂ x ⎟⎠ d z2 ⎝∂t Si on admet que le déplacement de la surface libre η, la fonction de courant Ψ et la pression p dépendent de x et t par le seul facteur en e i k ( x − c t) Ψ = Ψ0 (z ) ⋅ e c’est – à – dire : η = a ⋅ e i k ( x − c t) i k ( x − c t) (3 − 13) (3 − 14) i k ( x − c t) p = p 0 (z ) ⋅ e (3 − 15) La substitution de (3 – 13) dans l’équation du tourbillon (3 – 12) donne l’équation d’Orr – Sommerfield (forme non visqueuse) : ⎞ d2 Ψ0 ⎛ d2U/ / 2 / ⎜ ⎟Ψ0 (z ) = 0 (16 – 16a) − + − U −c k U c 2 2 ⎜ ⎟ dz ⎝ dz ⎠ ( E.H.T.P. Chapitre 4 ) ( ) 4-10 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Sous cette forme non visqueuse souvent on la désigne par équation de d2 Ψ0 ⎛ 2 1 d2U/ ⎞⎟ ⎜ − k + / Ψ0 (z ) = 0 (3 – 16b) Rayleigh ; ou d z 2 ⎜⎝ U − c d z 2 ⎟⎠ La solution de (3 – 16b) doit vérifier les conditions aux limites suivantes : Ψ0 (z ) = 0 pour z → ∞ Ψ0 (z ) = const pour z = η (la surface marine est une ligne de courant ) La solution présente un point singulier pour U/ − c = 0 c’est – à – dire à g . une altitude appelé hauteur critique. A cette altitude on a U/ = c = k L’existence de singularité est absolument fondamentale car elle est liée au transfert d’énergie du vent à la mer (si on connaît le profil du vent on peut alors déterminer la hauteur critique). Selon Miles, ce transfert est proportionnel à : qui compare la dissipation au cisaillement ⎛ d2U / ⎞ ⎛ d U/ ⎞ ⎟⋅⎜ ⎟ Ιntensité du transfert d' énergie # ⎜ ⎜ d z2 ⎟ ⎜ d z ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −1 à la hauteur critique z = z c est dans le sens atmosphère vers l’océan lorsque (d2U/ d z 2 ) est négatif au niveau critique. C’est le cas d’un profil logarithmique, le transfert se fait de l’atmosphère vers la mer car : d U/ 1 d2U/ 1 te / U ~ C ⋅ log z ⇒ ∝ et ∝− 2 〈0 2 dz z dz z Miles a également montré que les mouvements de la surface libre sont d2U/ 2 〈0 à instables ( c négatif ) pour tous les profils de vents tels que d z2 la hauteur critique z = z c où U/ = c = g k hauteur critique zc ≈ L 10 . Rappel : Le profil de vitesses est affecté aussi bien par la viscosité que par la rugosité de la surface libre : Cte de Von z Karman ⎡z ⎤ u 1 ⎡z ⎤ u 1 = log e ⎢ ⎥ = log κ ~ 0 , 41 e ⎢z ⎥ u∗ κ ⎣ z0 ⎦ u∗ κ ⎣ 0⎦ u ⋅z = ∗ u∗ ν u zo δv u z= h e ≈ 0.37 × h zo Interface lisse Interface rugueuse Profil des vitesses pour un écoulement lisse ou rugueux E.H.T.P. Chapitre 4 4-11 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed u u∗ ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Une expression générale pour le profil de vitesses sur toute la profondeur du fluide pour un écoulement lisse ou rugueux est : ⎧ u∗ vitesse de frottement m s ⎪ u∗ ⎡z ⎤ ⎪ κ constante de Von Karman (κ ≈ 0.4 ) u= loge ⎢ ⎥ où ⎨ κ ⎣ z0 ⎦ ⎪ z 0 niveau oú la vitesse nulle (u = 0 en z = z 0 ), (m) ⎪ z coordonnée verticale (m) ⎩ Ceci résulte de la théorie de Prandtl selon laquelle la longueur de mélange l est proportionnelle á distance z de la paroi : ( l = κ ⋅ z ) ainsi c’est – á – dire : ( ) 2 ( 2 du dz τ 1 1 τo te ⎛ du ⎞ ⎛ du ⎞ τ=µ ≡ ρ⎜ l ⎟ = ρ⎜ κz ⎟ ⇒ = du ⇒ u = log z + C dz z ρκ κ ρ ⎝ dz ⎠ ⎝ dz ⎠ ) ® z o = Constante ⋅ u∗2 g relation de Charnock avec u∗ = τo ρ ® z o ~ u∗2 g relation de Ellison (1956) • Ecoulement hydraulique lisse : u ∗,c ⋅ k s ν pour ≤5 z 0 = 0.11 ν u ∗, c • Ecoulement hydraulique rugueux : z o = 0.033 k s pour u ∗, c ⋅ k s ν ≥ 70 • Ecoulement hydraulique de transition : u ∗, c ⋅ k s ν 〈 70 z o = 0.11 + 0.033 k s pour 5 〈 ν u∗ , c La côte z o de vitesse nulle n’est qu’un paramètre de calcul qui n’a pas de signification physique introduit pour lever la singularité en z = 0 dans profil de vitesses logarithmique. En moyennant la vitesse sur la hauteur ⎡ z ⎡z ⎤ ⎛ h ⎞⎤ u∗ , c 1 h u∗ , c 0 ⎟⎥ u= loge ⎢ ⎥ dz = loge ⎢ − 1 + loge ⎜ ∫ ⎜ ⎟ h z κ z κ h z ⎢⎣ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎝ 0 ⎠⎥⎦ 0 z En négligeant le paramètre 0 alors la vitesse moyenne a lieu á la h z = h ≈ 0.37 × h avec e ≈ 2.72 côte : e Ainsi on peut écrire le profil de vitesse sous la forme : E.H.T.P. Chapitre 4 4-12 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎡ z ⎤ ⎥ ⎢ u × u= ⎢ log ⎥ ⎥ e⎢ z ⎛ ⎞ z ⎢ 0 ⎣⎢ 0 ⎦⎥ ⎜ h ⎟⎥ ⎢ h − 1 + loge ⎜ z ⎟ ⎥ ⎝ 0 ⎠⎦ ⎣ Dans les phases initiales de formation, les vagues sont petites et lentes, il en résulte que U/ est petite de même que la hauteur critique : la courbure à cette altitude est grande et le transfert critique d’énergie est alors important. Les petites vagues doivent donc prédominent dans le spectre durant la phase initiale. Le transfert d’énergie calculé par Miles est d’un ordre suffisant pour expliquer la croissance des vagues. Dans une étude ultérieure, il a inclus les termes de viscosité en ν ⋅ ∆Ψ dans le second membre de l’équation différentielle qu’il a intégré numériquement. Cette amélioration ne modifie pas grandement les résultats précédents. Miles a ensuite combiné sa théorie avec celle de Phillips où il a introduit un terme supplémentaire lié à la déformation de la surface libre. Il est montré que la croissance, selon Phillips, devenait alors exponentielle. Dés lors, très rapidement le régime d’instabilité d’écoulement à gradient (cisaillement) devient prédominant. Selon les observations de Longuet – Higgins (1961) moins de 10% de l’énergie du spectre de l’agitation formée serait r r liée aux fluctuations turbulentes de la pression. r τs = ρ w K 10 U10 U10 0 0 1 4 8 2 12 16 u∗ (cm s ) U10 (m s ) K 10 = C10 ρ w → K 10 ≈ ⎛⎜ u U ⎝ ∗ −1 10 ⎞⎟ =1,56 ⋅ 10 − 6 ⎠ 2 • Stabilité d’un écoulement stratifié cisaillant : effet de la poussée Soit un écoulement 2D (x, z ) → (u, w ) : on a le système d’équations 1 ∂p ∂u ∂u ⎧∂ u ⎪∂ t + u ∂ x + w ∂ z = − ρ ∂ x o ⎪ 1 ∂p ρg ∂w ∂w ⎪ ∂w u w + + = − − ⎪ ∂t ∂x ∂z ρo ∂ z ρo ⎪ ⎨ ⎪ ∂u + ∂ w = 0 ⎪ ∂x ∂z ⎪ ⎪∂ ρ + u ∂ ρ + w ∂ ρ = 0 ⎪⎩ ∂ t ∂x ∂z notre état de base est un état permanent d’un écoulement horizontal cisaillant : [ u = u(z ), w = 0 ] avec un profil [ ρ = ρ(z ) ] dont le champ de E.H.T.P. Chapitre 4 4-13 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique pression qui l’accompagne vérifie d p(z ) = −ρ(z ) g . L’introduction d’une dz petite perturbation [ u = u + u / , w = w / , p = p + p / , ρ = ρ + ρ / ] et après linéarisation des équations on obtient : ⎧∂ u/ ∂ u/ 1 ∂ p/ / du +u +w =− ⎪ ∂ ∂ ρo ∂ x t x d z ⎪ ⎧ ⎧ / ∂Ψ u =+ / / / ⎪ ∂ w/ ⎪ ⎪ ∂w ρ g 1 ∂p ∂z ⎪ ⎪ ⎪⎨ +u =− − ∂x ρo ∂ z ρo ⎪ ∂t ⎪ ∂Ψ ↔ ⎨ ⎪w / = − ⎨ / ∂x ∂ w/ ⎪ ∂u ⎪ ⎪⎩ + = 0 ⎪ ∂x ⎪ 2 g dρ ∂z ≡ C te ⎪ ⎪N = − ρo d z ⎩ ⎪ ∂ ρ/ ∂ ρ/ / dρ +u +w =0 ⎪ ∂x dz ⎩ ∂t i k ( x − c t) En cherchant des solutions en e on ramène le problème à une équation unique en Ψ (z ) qui tient compte de la poussée, soit : ⎛ d2 Ψ ⎞ ⎛ N2 d2 u ⎞⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ( ) − u−c ⎜ 2 −k Ψ z ⎟+⎜ Ψ (z ) = 0 2⎟ − u c dz ⎠ ⎝ dz ⎠ ⎝ dite équation de Taylor – Goldstein qui gouverne la structure verticale d’une perturbation dans un écoulement parallèle et stratifié, on rappelle g dρ que N2 = − = le carrée de la fréquence de Brunt-Väisälä. ρo d z Si on considère un écoulement limité par deux plans : z = 0 et z = H on y imposera qu’il n’y pas de vitesse verticale w = 0 ; soit : Ψ (0 ) = Ψ (H) = 0 on a donc à résoudre un problème de valeur propre : si c est une valeur propre pour Ψ alors le complexe conjugué c ∗ l’est aussi pour Ψ ∗ . On peut transformer notre équation : pour cela effectuons le changement de fonction Ψ = u − c ⋅ Φ on aboutit à : ( ) 2 ⎡ ⎧ ⎫⎤ d ⎡ dΦ⎤ ⎢ 2 1 d2 u 1 ⎪ 1 ⎛⎜ d2 u ⎞⎟ 2 ⎪⎥ − k u−c + + −N ⎬ Φ = 0 u−c ⎨ d z ⎢⎣ d z ⎥⎦ ⎢ 2 d z 2 u − c ⎪ 4 ⎜⎝ d z 2 ⎟⎠ ⎪⎭⎥⎦ ⎩ ⎣ avec : Φ (0 ) = Φ (H) = 0 ( ) ( ) multiplions cette équation par le complexe conjugué Φ ∗ et intégrons sur le domaine vertical [0, H] en utilisant les conditions aux limites on obtient E.H.T.P. Chapitre 4 4-14 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique 2 2 ⎞ ⎛ dΦ 2 H ⎛ d2 u ⎞ ⎤ Φ 1 1 H d2 u 2 2⎟ 2 ⎜ ⎥ ⎢ ⎜ ⎟ dz = ∫ u − c Φ dz + k Φ dz + ∫ ∫ N − ⎜ ⎟ ⎜ dz 4 ⎝ d z ⎟⎠ ⎥ u − c 2 0 d z2 0⎢ 0 ⎠ ⎝ ⎦ ⎣ où les bars verticales désignent la valeur absolue du complexe. La partie imaginaire de cette expression avec c = c R + i c Ι est : H⎡ ( 2 H⎡ ) 2 2 2 ⎞ H ⎛ dΦ ⎛ d2 u ⎞ ⎤ Φ 1 2⎟ 2 ⎜ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ + k Φ dz cΙ ∫ N − ⎜ dz = − c Ι ∫ ⎜ dz ⎟ 4 ⎝ d z ⎟⎠ ⎥ u − c 2 0⎢ 0 ⎠ ⎝ ⎣ ⎦ 2 ( ) 2 Si l’écoulement est tel que N2 〉 0,25 d2 u d z partout dans le fluide alors cette égalité nécessite c Ι que multiplie une quantité positive est égale à c Ι que multiplie une quantité négative donc c Ι ne peut être que nulle. En définissant le nombre de Richardson par : − h ρo ∂ ρ ∂ z N2 Ri = = 2 2 ∂u ∂ z du d z 1 ® on peut confirmer que si l’inégalité : Ri 〉 a lieu dans le domaine 4 la stratification du fluide est stable fluide: g dρ est une constante alors la densité augmente ® Si N2 = − ρo d z linéairement avec z (z mesuré négativement vers le haut et z = 0 à la ρ N2 surface libre ): ρ = − o z τ 2 u∗ ≡ ⇒ vent : τ = ρou∗ g z ρa surface 0 z=0 ( ) ( couche de mélange thermocline océan stratifié ( ) ) h ρ2 ρ1 z = −h ρ=− ρ oN z g 2 ρ est l’écart de densité de sa valeur de référence ρo , qui est la valeur initiale à la surface. Au bout d’un temps t la stratification est partiellement érodée et une couche de mélange h se développe. Dans cette couche la densité est homogène et dans le cas d’absence d’échauffement en surface, d’évaporation et de précipitation elle a la densité moyenne ρ oN 2 h . initiale sur cette profondeur : ρ1 = 2g E.H.T.P. Chapitre 4 4-15 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Au – dessous de cette couche à sa base la densité est également ρ oN 2 h inchangée : ρ 2 = ρ(z = −h) = ainsi il existe un saut de densité : g ρ oN 2 h ∆ρ = ρ 2 − ρ1 = 2g le mélange a induit un upwelling des eaux denses et un downwelling des eaux légères, qui a pour conséquence un gain en énergie potentielle. Ce gain d’énergie pendant t est donné par : 1 EpGain = ∫−Hh ρ1 g z d z − ∫−Hh ρ g z d z = ρ oN 2 h 3 12 ↓ ↓ APRES AVANT ainsi le taux d’augmentation d’énergie potentielle est : d Gain 1 dh Ep = ρ oN 2 h 2 dt 4 dt ce surplus d’énergie est apporté par le vent. Si la contrainte du vent est τ = ρou∗2 dont la puissance est τ u∗ = ρou∗3 . En introduisant un coefficient m de proportionnalité pour tenir compte de la part de cette puissance prise par l’énergie cinétique turbulente et non par le mélange : d Gain 1 dh dh Ep = m ⋅ ρou∗3 = ρoN2h 2 ⇒ N2 h 2 = 4m ⋅ u∗3 dt 4 dt dt Par les observations et des expériences en laboratoire on estime que m = 1,25 . L’intégrale de cette équation est : 1 ⎛ 12 m u∗3 ⎞ 3 h = épaisseur de la couche de mélange = ⎜⎜ t ⎟⎟ 2 N ⎝ ⎠ donc l'épaisseur de la couche de mélange est variable en 3 t ... Ce qui nous intéresse est le calcul de la longueur de Monin – Obukhov. Aussi tôt qu’une couche à la surface est érodée la couche adjacente par en – dessous qui est encore stratifiée s’érode au taux dh d t , la turbulence surmonte ce saut de densité ∆ρ en produisant un flux de densité à la base de cette couche de mélange : 2 m ρou∗3 dh / / ⋅ ∆ρ = wρ = dt gh ρ oN 2 h dh et N2h 2 or on établit que : ∆ρ = ρ 2 − ρ1 = = 4m ⋅ u∗3 alors : 2g dt E.H.T.P. Chapitre 4 4-16 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique L = Longeur de Monin − Obukhov ≡ ρou∗3 = 1 h 2m κ κ g w /ρ/ avec les valeurs κ = 0,4 et m = 5 4 on a exactement : L = h c'est – à – dire que la profondeur de mélange h est de l’ordre de la longueur de Monin – Obukhov ce qui confère un sens physique à cette longueur L. 3 – 3) Formation et Croissance des vagues d’un point de vue pratique : Lorsqu’une brise légère souffle par bouffées séparées par le calme, de petites vagues très courtes (donc très lentes) sont crées. En raison de leur faible longueur d’onde, la dissipation par viscosité est très grande. Elles disparaissent donc rapidement lorsque le vent cesse. Si la vitesse du vent dépasse 2 m / s , les vagues croissent et le mouvement s’étend peu à peu en profondeur selon la croissance de leur longueur d’onde. L’eau se couvre de vagues de dimension sensiblement constantes. Si la vitesse du vent dépasse 5 m / s , la vitesse d’augmentation de la hauteur est supérieure à la vitesse d’augmentation de la longueur d’onde : il en résulte une augmentation de la cambrure : celle – ci est limitée. Certain vagues deviennent instables ; elles dissiperont leurs excès d’énergie emmagasiné sous forme de ‘’moutons’’. Il y a donc un déferlement partiel en ce sens que la vague n’est pas entièrement détruite. Les vagues en moyenne ont des hauteurs qui croissent au rythme de leur longueur d’onde. Quelques vagues ont des cambrure de l’ordre de 14% et déferlent. En pratique, il y aura apparition de ‘’moutons’’ lorsque la cambrure moyenne sera de l’ordre de 8%. Lorsque la vitesse du vent dépasse 5 m / s , la longueur d’onde augmente plus vite que pour des vents plus faibles. Pratiquement, le champ de vent actif n’est jamais défini. Il existe une zone de génération. La longueur de cette zone, comptée dans la direction du vent est appelée ‘’fetch’’. Différents auteurs ont établi des courbes donnant sur un même graphique, en fonction de divers valeurs du vent, la période T, d’une part pour les différentes valeurs de la durée du vent, d’autre part pour différentes valeurs du fetch. ♦ On reprend ici une partie déjà traitée au Ch02 qui concerne les interactions air – mer : Houles de tempête (Storm Surge) Ce sont des ondes longues. Une tempête qui s’exerce sur la surface libre d’un plan d’eau d’un grand ouvrage hydraulique à surface libre ou sur une étendue océanique proche de la côte peut engendrer des fluctuations du niveau d’eau si la tempête est suffisante en durée et en énergie. E.H.T.P. Chapitre 4 4-17 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Ce phénomène est connu sous la désignation de houle de tempête ou la marrée météorologique : les principales causent du basculement du plan d’eau sont : la contrainte du vent sur la surface libre (qui s’oppose à la contrainte sur le fond), l’accélération de Coriolis car les ondes sont longues, fluctuations de la pression atmosphérique…Etc. Le calcul de la marrée météorologique nécessite des données sur le vent et la pression atmosphérique : leur variation dans le temps et dans l’espace sur le plan d’eau en question. Il existe divers nom : Antilles (hurricanes) et en mer de chine (Typhons) Un ouragan est une tempête cyclique. Le mécanisme responsable de sa formation est le réchauffement d’air humide qui coule vers son centre (eye: œil ) de l’ouragan où il cède son excès de chaleur en montant et il se produit alors une condensation de l’humidité dans l’air. Une fois l’air au centre il coule vers l’extérieur en hautes altitudes. Au niveau du sol l’accélération de Coriolis impose un écoulement vers le centre de l’ouragan dans le sens contraire des aiguilles d’une montre (en sens inverse pour l’hémisphère sud) : c’est donc un mouvement en spiral. A la résonance Tourbillon ponctuel vθ ≈ Γ 2 πr VF = C g ≈ K ⋅ gh Direction de déplacement 50 mph K ≈1 Zone calme R 2R 40 mph Œil 3R 4R h diminue alors VF diminue en allant vers la côte 30 mph 7R Si la condition : d η d z 〉 0 est vérifiée on a absence de convection (stable) η = entropie / unité de masse Voir Ch01 FGP Voir pour plus de détail Ch02 HM 20 mph M Les vitesse du vent augmentent à un maximum Vx (vers10m de la surface de la mer) dans un rayon R du centre de faible valeur et puis diminue rapidement vers le centre (eye = zone calme). La pression chute de la pression ambiante aux limites extérieurs à une valeur plus faible au centre qu’on désigne par CPΙ (Central Pressure Ιndex) donnée en général en unité de longueur mercure Hg (inches mercury) . L’autres paramètres importants caractérisant un ouragan est sa vitesse de déplacement VF (forward speed) et sa direction. Ainsi les paramètres E.H.T.P. Chapitre 4 4-18 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique sont : CPΙ , R , Vx ,L . Rayers (1954) propose une formule empirique pour R ⎛ − ⎞⎟ ⎜ représenter la distribution de pression : p a − pr = (p a − CPΙ ) ⋅ 1 − e r ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ où pr est la pression à une distance r du centre (eye) de l’ouragan et p a est la pression ambiante qui en générale de l’ordre de 29,92 d’Hg. Pour chaque zone : R et VF sont des caractéristiques données pour la surface mise en jeu où ils sont des constantes : Les lignes concentriques donnent la vitesse du vent à 10m de la surface d’eau, les flèches indiquent la direction du vent. Pour une valeur de R fixée : ( R : petit ≈ 7n.m. moyen ≈ 14n.m. grand ≈ 26 n.m. ) on peut déterminer sur le graphe sur quel étendu la vitesse du vent excède une valeur voulue. Calcul des houles de tempête : Ce calcule nécessite la résolution numérique avec effet de la couche limite les équations hydrodynamiques ( par la méthode des éléments finis par exemple). Si en première approximation on adopte une approche quasi – hydrostatique (pour un avant projet) on a donne les composantes : ♣ Elévation initiale : On observe au rivage une montée du niveau d’eau de 0,5m ou plus au – dessus du niveau de la marée astronomique, ceci avant l’arrivée de la tempête : [0,6 − 0,75]. ♣ Elévation de pression : En appliquant la loi hydrostatique : la variation du niveau d’eau Sp due à un écart de pression ∆p qui s’exerce sur la surface libre entre ∆p 2 points : Sp = ρg si ∆p est la chute de pression entre la périphérie de l’ouragan et un point à l’intérieur de celui – ci alors : R − ⎞⎟ p a − pr p a − CPΙ ⎛⎜ = Sp = 1− e r ⎜ ⎟ ρg ρg ⎝ ⎠ L’élévation de pression au centre (eye) est de l’ordre de 1m. ♣ Excitation d’ondes longues : Pour plus d’information à ce sujet voir la partie de ‘’l’interaction air – mer’’ : soit une perturbation qui s’exerce sur un plan d’eau en se déplaçant engendre des ondes. Ceux – ci atteignent leur amplitude E.H.T.P. Chapitre 4 4-19 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique maximale quand la vitesse de déplacement de cette perturbation est égale à la célérité de ces ondes ; en faible profondeur c’est gh ; ceci si la perturbation dure un temps suffisant pour que l’onde se développe et se forme ( c’est – à – dire atteindre l’équilibre entre le taux énergétique entrant de l’air à l’eau et celui dissipé dans l’eau). La profondeur critique définit par : VF = gh pour des ouragans de vitesse 10,20 et 30 Knots (nœud) sont respectivement 3m,11m et 26m. Ce phénomène entraîne une résonance (amplification) de l’élévation de pression précédemment citée. ♣Transport de masse et remontée d’eau sur le rivage (wave setup) : Les ondes engendrées par une tempête causent également une élévation S ww du niveau l’eau (wave setup at the shore) qui résulte d’un transport de masse : on peut utiliser l’équation de Saville (1961) pour ces ondes quand elles déferlent sur une plage : ⎧⎪ Hb ⎫⎪ S ww = 0,19 ⋅ ⎨ 1 − 2,82 ⎬ ⋅ Hb ⎪⎩ gT 2 ⎪⎭ ♣ Inclinaison de la surface libre due aux contraintes du vent et du fond : La contrainte que le vent exerce sur la surface d’eau est donnée par : τ s = C d ⋅ ρ a ⋅ U2 où ρa est la masse volumique de l’air à une certaine distance de la surface libre (10m en général) et C d un coefficient fonction de la rugosité de surface et du régime hydrodynamique de la couche limite. Wilson propose en se basant sur plusieurs mesures un C d variant de 1,5 ⋅ 10 −3 pour un vent fort à 2,4 ⋅ 10 −3 pour un vent très fort. Il est souvent recommandé d’écrire : τ s = K ⋅ ρ ⋅ U2 avec ρ la masse volumique de l’eau et on adopte pour K une formule couramment utilisée : K = 1,21⋅ 10 −6 + 2,25 ⋅ 10 −6 ⎛ 5,6 ⎞ ⎜1 − ⎟ U ⎠ ⎝ 2 avec U en m/s. La contrainte qu’exerce le vent sur la surface engendre un courant qui, en eau de profondeur suffisamment faible, induit une contrainte τb qui s’exerce sur le fond . Saville (1952) propose en se basant sur ( ) l’expérience : τ s + τb = 3,3 ⋅ 10 −6 ⋅ ρU2 et si on accepte un K de E.H.T.P. Chapitre 4 4-20 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique l’ordre K ≈ 3 ⋅ 10 −6 on en déduit que τb ≈ 10% qu’on peut utilisée τs si on n’a pas de données, si non on cherche un coefficient Γ tel que τ s + τ b = Γ ⋅ ρ U2 . Pour calculer l’inclinaison de la surface prenons une section proche du rivage de longueur ∆x qui lui est perpendiculaire, de largeur l’unité et soit h et h + ∆S w les profondeurs d’eau aux extrémités du segment ∆x : Débordement & possibilité d’inondation par franchissement (Overtopping) U τs Profil de pression Ux h + ∆S w •V τb h ∆x SWL Profil de pression Hypothèse : Oscillations ondes longues SWW donc l’accélération verticale du fluide négligeable devant g alors distribution de pression hydrostatique Fond marin ∆S w est l’inclinaison de la surface libre due à la contrainte du vent et celle sur le fond. Les 2 contraintes sont de même sens car en suppose que le vent induit un courant de retour proche du fond pour vérifier la conservation de la masse quand l’équilibre est atteint. Exprimons alors cet équilibre mécanique de cette tranche d’eau de mer ; soit : 1 1 2 τ s ⋅ ∆x + τb ⋅ ∆x + ρgh 2 − ρg(h + ∆S w ) = 0 bilan global de la Qté Mment 2 2 ⎧⎪ ⎫⎪ 2 Γ U2 ∆x 2 et τ s + τb = Γ ⋅ ρU alors : ∆S w = h ⋅ ⎨ 1 + − 1⎬ gh 2 ⎪⎩ ⎪⎭ Si le vent souffle sous un angle θ par rapport à la direction x, la contrainte qui agit effectivement est donnée par : (τs + τb ) cos θ = Γ ⋅ ρU2 cos θ = Γ ⋅ ρUUx où Ux est la composante du vent dans la direction x (perpendiculaire au rivage) ; on obtient alors : ⎧⎪ ⎫⎪ 2 Γ U U x ∆x ∆S w = h ⋅ ⎨ 1 + − 1 ⎬ ⎪⎩ ⎪⎭ gh 2 Pour effectuer les calculs et les initiés : le profil du rivage est subdivisé en un certain nombre de segments (pas nécessairement égaux) de longueur disons ∆x où on à une profondeur à peu prés constante h mesurée par rapport à SML. Pour une répartition du vent à un instant donné qu’on détermine sur chaque segment la valeur moyenne de UUx on calcule la nouvelle profondeur par h + ∑ ∆S w où ∑ ∆S w est la valeur cumulée de la variation du plan d’eau pour les segments précédents (En E.H.T.P. Chapitre 4 4-21 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique commence les calculs à partir de l’eau profonde ou bien au bord de la tempête (sa limite). On peut utiliser ce type de modèle (notre équation) pour une baie qui n’a pas une forme régulière par exemple. ♣Elévation sous l’effet de la force de Coriolis : L’accélération de Coriolis cause une déviation vers la droite (dans l’hémisphère nord) des eaux en mouvements, perpendiculairement à la direction du mouvement. Si cette déflexion est contraignée, par exemple par la présence d’un rivage et si ce courant coule le long d’une côte à sa droite (exemple : sur les cotes atlantiques Marocaines) alors l’équilibre des force induit une élévation du niveau d’eau sur le rivage. La figure d’avant illustre pour la composante courant V cette variation du plan d’eau ;on négligent cette fois ci les frottements τ s , τb , l’équilibre de la force de Coriolis et de la force de pression s’écrit : 1 1 2 ρgh 2 + [2ΩV sin ϕ]ρgh∆x + ρg(h + ∆S c ) = 0 2 2 où • 2ΩV sin ϕ est la force de Coriolis par unité de masse • ϕ est la latitude du lieu ( ) • Ω est la vitesse de rotation de la terre 7,28 ⋅ 10 −5 rad / s • ∆S c est l’élévation du niveau d’eau due à Coriolis 2Ω En négligeant les termes d’ordre élevé on obtient: ∆S c = V sin ϕ ⋅ ∆x g Il est très difficile de pouvoir calculer analytiquement le courant V engendré par le vent. C’est Bretschneider (1967) qui a résolu l’équation du mouvement proche d’un rivage très long, en ne tenant compte que des contraintes du vent ,sur le fond et de l’accélération qui en résulte pour obtenir une équation régissante la vitesse le long de la côte, il propose : V = 1 6 Uh K sin θ 14,6 ⋅ n2 où n est la rugosité de Manning (~ 0,035 : valeur typique ) , θ est l’angle entre la direction du vent et la perpendiculaire à la côte (Ox). Cette équation suppose qu’il n y a pas de courant perpendiculaire à la côte: il est utilisable proche la côte. Remarques : • Ces surélévations du niveau d’eau marin (~1m) (dont on a parlé avant) provoquent une réduction du débit d’eau des fleuves qui débouchent dans le milieu marin : ce qui est responsable des inondations des terres en amont. Il est intéressant de signaler que le changement climatique est également (par réchauffement du système climatique : E.H.T.P. Chapitre 4 4-22 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Terre – Océan – Atmosphère) est responsable d’une surélévation du niveau marin ~0,4m par : la fonde des neiges et la dilatation des eaux marines : ce qui donnera naissance à l’inondation des terres basses du littoral. • La technique de remède contre ce genre de problème est l’endiguement des berges (un haussement de leur niveau) pour canaliser et retenir les eaux du fleuve ou une digue longitudinale pour le milieu marin. E.H.T.P. Chapitre 4 4-23 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Une consultation en continu et un entretien en cas de nécessité de ces ouvrages est de grande importance : pour le colmatage des brèches qui résultent des inondations précédentes … Un vent régulier entraîne dans sa direction les eaux superficielles ; 0,013 ⋅ U(m s ) Ekman propose la formule : V (m s ) = pour ϕ ≠ 0 sin ϕ Complément Théorique sur le modèle résonant de l’interaction air – mer de Phillips L’écoulement est par hypothèse à potentiel de vitesse et l’eau est supposée profonde alors : ⎧ ( 2) ⎪limite ϕ = 0 z → −∞ ⎪ ⎪⎪ • ∂ ϕ ∇ 2 ϕ = 0 (1) avec les conditions aux limites : ⎨η = (3 ) ∂ z ⎪ z =0 ⎪∂ ϕ p σ ⎪ ( 4) + gη = a + ∇ 2 η z =0 ⎪⎩ ∂ t ρ ρ où σ est la tension superficielle à l’interface air – mer. La pression atmosphérique qui s’exerce sur le surface de la mer p a n’est r r plus constante : p a ( x, t ) , de même on a : η( x, t ) Exprimons leur transformée de Fourier généralisées par : r r r r iκ • x η(x, t ) = ∫ B(κ, t ) e dκ (5) r r r r p a (x, t ) = ∫ ϖ(κ, t ) eiκ • x dκ (6) c’est la dépendance du temps qui nous intéresse dans l’équation (5). r Le problème que nous étudions est linéaire donc facile. Si κ = κ il est évident qu’une fonction potentielle satisfaisant (1 – 2 et 3) exprimée sous la forme d’une transformée de Fourier généralisée est : r r B / (κ, t ) κ z iκr • xr e e dκ (7) ϕ (x, z, t ) = ∫ κ Le prime ‘’ / ’’ indique la dérivée par rapport au temps. Si nous prenons la transformée de Fourier généralisée de l’équation (4) et en reportant p [équation (6)] et ϕ [équation (7)] on obtient : B // (κ, t ) 1 σ + gB(κ, t ) = ϖ (κ, t ) − κ 2B(κ, t ) (8) κ ρ ρ qu’on peut arranger sou la forme d'un oscillateur forcé : E.H.T.P. Chapitre 4 4-24 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique κ σ κ3 (10) ϖ(κ, t ) (9) où ω2 = g κ + ρ ρ Il est évident que l’équation (10) n’est autre que la relation de dispersion de la houle de nombre d’onde κ et de pulsation ω en eau profonde sous les effets de la pesanteur g et de la tension inter – faciale air – mer σ. L’équation (9) régit B connaissant ϖ. Elle est analogue à celle d’un oscillateur de pulsation ω excité par les forces généralisées ϖ (spectre des fluctuations de la pression atmosphérique à surface libre de la mer). Le résultat B est le spectre de l’élévation du plan d’eau marin. Quand le vent commence à souffler ϖ dépend principalement de la structure turbulente du vent, mais quand les vagues sont significatives l’effet d’abritages (formation de tourbillons derrière la vague se manifeste) prend de l’ampleur et doit être introduit dans le modèle. Alors dans la phase initiale les vagues sont petites : ϖ et B sont indépendantes. Si on suppose que ϖ est une fonction connue, on peut trouver une solution générale de (9) soumise aux conditions initiales exprimant le repos : r r B(κ, t ) = 0 à t = 0 et B / (κ, t ) = 0 à t = 0 (11) dans ce cas la solution est donnée par : r iκ t r −i ω(t − τ ) i ω(t − τ ) −e d τ (12) B(κ, t ) = ∫0 ϖ(κ, t ) e 2 ρω Si nous voulons aller plus loin il est nécessaire d’avoir des informations sur ϖ(κ, t ) donc nous disposons de peu d’informations. Mais comme les fluctuations de pression atmosphérique sont associées à la fluctuation du champ de vitesse du vent ; on peut à partir de 2 idées fondamentales concernant leur structure : • Les tourbillons dans un vent turbulent sont convectés à l’eau par le champ moyen du vent. Par conséquent le champ de pression qui lui est associée sera transmis à travers la surface d’eau par le mouvement moyen du vent. • Le champ de pression n’est pas transmis à travers la surface d’eau comme dans le cas d’un corps rigide, mais elle même évolue lentement dans le temps puisque les tourbillons turbulents interagissent. Ces propriétés nous conduisent à la notion de l’existence d’un instant r ϑ(κ ) dépendant du nombre d’onde qui caractérise la durée de vie d’un tourbillon quand on le suit dans son mouvement. On s’attend à ce que r ϑ(κ ) soit plus grand que la période apparente des fluctuations dans le mouvement observées en un point donné. La fréquence des fluctuations observée en un point fixe est : ωc ~ U L où U est une vitesse moyenne B // (κ, t ) + ω2B(κ, t ) = { E.H.T.P. Chapitre 4 } 4-25 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique de l’écoulement et L est la longueur d’onde appropriée [ Tc ~ ωc−1 ] : on r 1 L s’attend donc à : ϑ(κ ) 〉〉 Tc ~ ~ U U⋅ κ Ce qui nous indique que le champ de pression apparaîtra varié très lentement si on effectue les observations d’un point qui se déplace à la vitesse du vent. Ce qui nous conduit à traiter le problème d’interaction air – mer en 2 parties : r 1. Pour les instants t 〈 ϑ(κ ) : dans ce cas le champ de pression agit comme si le surface libre est rigide. r 2. Pour les instants t 〉 ϑ(κ ) : dans ce cas on doit tenir compte du champ de pression du vent. Commençons par l’état initiale de génération d’onde t 〈〈 ϑ(κ ) : le vent r r r agit sur la plan d’eau comme s’il est rigide, soit : p a (x, t ) = p x − U ⋅ t (13) où U est la vitesse de convection. On cherche maintenant l’effet de cette restriction sur le spectre de pression. En prenant la transformée de r r r r r r −2 Fourier généralisée de (13) : ϖ(κ, t ) = (2π ) ∫ p x − Ut e −iκ • x dx (14) r r r r Posant ξ = x − U t . En résolvant en x et en reportant dans l’équation (14) r r r − iκr • ξr r r − iκ • x −2 (2π) ∫ p ξ e on obtient : ϖ(κ, t ) = e dξ ou bien r r r r ϖ (κ, t ) = exp − i κ • U t ϖ(κ,0 ) (15) ( ( { [ ( () )] ) ) } En reportant l’équation (15) dans notre solution (12) r r i κ ϖ(κ,0 ) t ⎧ −i ω t i (ω − ω1 )τ i ω t −i (ω − ω1 )τ ⎫ e B(κ, t ) = −e e ∫0 ⎨e ⎬ d τ (16) 2ρω ⎭ ⎩ r r où ω1 = κ • U : la fréquence de la pression transmise est observée en un point fixe. En effectuant le calcul on obtient : r r κ ϖ(κ,0 ) ⎧ −i ω1 t ω + ω1 −i ω1 τ ω − ω1 i ω1 t ⎫ − − B(κ, t ) = e e ⎨e ⎬ (17) 2ω 2ω 2 2 ⎩ ⎭ ρ ω − ω1 ( ) Cette équation donne les différentes composantes d’onde en fonction des composantes de pression. A partir de cette équation (17) il est possible de concevoir une relation fonctionnelle entre le spectre d’énergie du champ de houles et celui de la pression. Définissons : r r r r r Φ (κ, t ) δ κ − κ / = B(κ, t ) B∗ (κ, t ) (18 – 1) et r r r r r Π (κ, t ) δ κ − κ / = ϖ(κ, t ) ϖ ∗ (κ, t ) (18 – 2) E.H.T.P. Chapitre 4 ( ) ( ) 4-26 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique A partir de (17) et en effectuant le calcul algébrique qui nécessite le produit de grandeurs complexes conjuguées et en suite une intégration r/ r κ2 ⋅ t 4 ( ) sur κ . On obtient : Φ κ, t = ρ2 r Π (κ, 0 ) Γ(Ω , Ω1 ) (19) où (20 − 1) ⎧ Ω1 = ω1 ⋅ t = κ ⋅ t ⋅ U ⋅ cos α ⎪ σκ 3 ⎪ Ω = ω ⋅ t = g κ + ⋅t (20 − 2) ⎪ ρ ⎪ ⎪ ⎧ 3 Ω 2 Ω + Ω1 1 ⎨ Γ(Ω , Ω ) = ⋅⎨ + − cos(Ω − Ω1 ) 1 2 ⎪ 2 2 2 2 Ω 2 Ω 1 ⎩ 1 Ω − Ω1 ⎪ ⎪ ⎫ Ω − Ω1 Ω 2 − Ω12 ⎪ + cos(Ω + Ω1 ) + cos 2 Ω (21) ⎬ 1 2 ⎪⎩ Ω1 Ω1 ⎭ L’équation (19) exprime le spectre énergétique de la houle en fonction du spectre énergétique de pression. Elle montre à première vue que la r r dépendance du nombre d’onde est de la forme : Φ (κ ) ~ κ 2 Π (κ ) ; on observe que le membre de droite de cette égalité est un gouffre (puits) vers où les tourbillons turbulents de petits dimensions dans le champ du vent s’inhibent (c’est à cette échelle qu’on a une forte dissipation r d’énergie) : Le maximum de κ 2 Π (κ ) se produira quand le nombre d’onde est de l’ordre de celui associé à la dissipation ; donc vers le r maximum de Φ (κ ) c’est–à –dire vers les grands nombres d’onde (petites échelles). Autrement dit les composantes fluctuantes de la pression atmosphérique de grands nombres d’onde sont plus efficace à exciter les courtes longueurs d’onde qui leur sont associés dans le spectre de la houle que les petits nombres d’onde qui génèrent les houles longues. Comme les petits tourbillons qui sont responsable de la forte dissipation dans un vent turbulent sont de l’ordre de 1cm les vagues correspondantes sont de même ordre 1cm. Ceci se produit en principe dans les premières phase de leur génération et ne représentent l’état de la mer qu’on observe dans la nature. La réponse en fréquence Γ contient une sélection résonante. Γ sera importante pour : ( ) ( ) 2 • Si Ω ≈ Ω1[à cause du facteur 1 Ω 2 − Ω12 ] • Ou bien toutes les fois que Ω 〉〉 Ω1 [à cause des coefficients de la forme (Ω ± Ω1 ) Ω1 = [Ω Ω1 ] ± 1 ] et leur produit . E.H.T.P. Chapitre 4 4-27 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Pour le premier cas la vitesse de convection du champ de pression est égale à la célérité des vagues dans la même direction que ces nombres d’onde, avec Ω = Ω1 on a ω = ω1 équations (20 – 1 et 2) tant que : g σκ + = c (κ ) (22) κ ρ c’est la condition de résonance. Qui traduit que le forçage turbulent à une certaine échelle a la même fréquence, c’est – à – dire la même vitesse et comme une onde de surface de même nombre d’onde. On peut faire un développement au voisinage de la condition de résonance comme suit : Posons ∆ ≡ Ω − Ω1 et sa substitution dans (21) donne alors U ⋅ cos α = Γ(Ω , Ω1 ) = + 1 (2Ω1 + ∆ ) 2 1 ⎧ 3 Ω12 + 2Ω1∆ + ∆2 2Ω1 + ∆ cos ∆ ⋅ 2⎨ + − Ω1 2Ω12 ∆ ⎩2 ⎫ ∆(2Ω1 + ∆ ) ∆ Ω cos(2Ω1 + ∆ ) − cos 2 1⎬ Ω1 Ω12 ⎭ Pour ∆ 〈〈 1, qui signifie Ω ≈ Ω1, notre égalité devient : ⎛ ∆ ⎞⎫ 1 ⎧1 − cos ∆ ⎜⎜ ⎟⎟⎬ (23) + O ⎨ Ω 2Ω12 ⎩ ∆2 ⎝ 1 ⎠⎭ −1 Si en plus Ω1 〉〉 1, c’est – à – dire t 〉〉 ω1 , alors : 1 ⎧1 − cos ∆ ⎫ 1 ⎧1 − cos ∆ ⎫ Γ(Ω , Ω1 ) ≈ = ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ (24) 2Ω12 ⎩ ∆2 ⎭ 2ω12 ⋅ t 2 ⎩ ∆2 ⎭ Nous obtenons, équation (19), en approximation : Γ(Ω , Ω1 ) = r κ2 ⋅ t 2 Φ(κ, t ) ≈ 2ρω12 r ⎧1 − cos ∆ ⎫ Π (κ, 0 ) ⎨ ⎬ (25) ⎩ ∆2 ⎭ Bonne validité quand ω1−1 〈〈 t 〈〈 ϑ(κ ) & ω1 ≈ ω . On observe que le spectre énergétique Φ se comporte en t 2 ; donc les composantes augmentent linéairement dans le temps en amplitude car E ∝ H2 : c’est un résultat de la résonance mécanique. Le nombre d’onde κ pour n’importe quelle direction α pour lequel Φ (κ ) est maximale est déterminé par : ∆ = 0 . Des équations (20) on a : 1 2 ⎞ ⎛ σκ ⎟ ∆ ≡ Ω − Ω1 = κ ⋅ t ⋅ U ⋅ cos α − ⎜⎜ gκ + ⎟ t (26) ρ ⎝ ⎠ σκ 2 qui pour ∆ = 0 devient : − κ ⋅ U2 ⋅ cos 2 α + g = 0 (27) ρ 3 E.H.T.P. Chapitre 4 4-28 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Pour chaque U cos α au – dessus d’un certain minimum, l’équation (27) donne 2 nombres d’onde résonant : un pour l’onde de gravité et l’autre pour la tension superficielle. On peut déterminer la valeur quadratique moyenne du déplacement de η2 = ∫ Φ (κ ) dκ (28) Mais Φ (κ ) n’est significative que proche de la courbe ∆(κ ) = 0 et dans un cercle de rayon κ max . On peut ainsi obtenir une approximation de cette intégrale en prenant localement des coordonnées orthogonales : s le long de ∆(κ ) = 0 et n normal à cette courbe. Ce changement de variables nous conduit à : ∂ (κ, α ) η2 = ∫ Φ (κ ) dκ = ∫∫ Φ (κ ) κ dκ dα = ∫∫ Φ (κ ) κ dn ds (29) ∂ (n, s ) Comme la bande de résonance est étroite on peut évaluer le Jacobien le long de ∆(κ ) = 0 . De l’équation (26) , en prenant ∆ = 0 , on obtient : 2 κ U cos α ⎧∂ κ 1 ⎧∂ α = =− ⎪∂ n ⎪ t κ U sin α t g − σκ 2 ρ ⎪∂n ⎪ (30) (31) ⎨ ⎨ 2 ⎪ ∂ κ κ U2 cos α ⎪∂ α = g − σ κ ρ ⎪∂ s = ⎪⎩ ∂ s κD D ⎩ la surface libre par : [ ( où )] ( ( D 2 = κ U2 sin 2α ) + (g − σκ ρ) 2 2 ) 2 (32) Par conséquence le Jacobien évalué en ∆ = 0 est : J ∆ = 0 = 4 U cos α tD En reportant J dans (25) et en utilisant (29) alors : 2κΠ (κ,0 ) ⋅ t +∞ 1 − cos ∆ 2πκΠ (κ,0 ) ⋅ t d∆ = 2 ∫ 2 2 ρ U D cos α − ∞ ∆ ρ U D cos α c’est la contribution à la valeur quadratique moyenne du déplacement par unité de largueur le long de la band résonante. La contribution par unité d’angle est trouvée en multipliant ceci par ∂ s ∂ α , d’après (31) et 2πκΠ (κ,0 ) ⋅ t (32) on a : (33) Ψ (α ) = 2 2 ρ U cos α g − σκ ρ où κ et α sont reliés par l’équation (27). Les propriétés les importantes des vagues résonantes durant les phases initiales sont obtenues à partir de l’équation (33) : du fait que le ( ) déplacement quadratique moyen est donné par: η2 = ∫ ∫ Ψ (α ) dα dκ α κ ~ ∆ =0 E.H.T.P. Chapitre 4 4-29 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique • Note à propos du modèle de Miles : « Shear – flow model » Supposons que le vent U a pour composantes ( u , w ) et le mouvement d’air est couplé à l’onde de surface dont la célérité est c. Comment l’onde peut – elle extraire son énergie moyen du mouvement de l’air ? Formellement on peut écrire que le taux d’extraction d’énergie du vent • • ∞ dE ∂U moyen par unité de surface , E = , est : E = ρa ∫ uw dz (1) dt ∂z 0 ⎛ ∂U⎞ ⎟⎟ est le taux de transfert d’énergie air–mer par unité de volume. ρa uw ⎜⎜ ⎝∂z⎠ C’est la puissance fournie par la contrainte de Reynolds contre le gradient de la vitesse moyenne. La contrainte de Reynolds uw doit être calculée par une théorie d’instabilité (Lin: 1955). Qui sous l’hypothèse d’écoulement parallèle parfait conduit à : π U// w2 : z 〈 z c (2) ρa uw ≈ ρa / κU z = zc z = zc où κ est le nombre d’onde et z c est la hauteur au dessus du plan d’eau où la vitesse moyenne du vent est égale à la célérité c : U = c en z = z c . Selon cette analyse : la contrainte de Reynolds est uw = 0 pour z 〉 z c et au – dessous de cette hauteur critique ( zc ≈ L 10 ) elle est constante. Le facteur w 2 z = zc est l’intensité turbulente de la fluctuation de la vitesse verticale w au niveau critique. N.B. : si la direction de propagation des vagues fait un angle α avec la direction du vent moyen on doit remplacer U par U ⋅ cos α . L’équation (2) montre que la contrainte de Reynolds dépend de la courbure U// et du gradient U/ du profil moyen du vent au niveau critique. z U(z ) z = zc uw = 0 zc ≈ L 10 couche limite uw = C critique c En reportant (2) dans (1) on obtient : ⎧ ⎫ ∂U // • • πρa c U// ⎪ zc ⎪ π U 2 ⋅w dz ⇒ E ≈ − E ≈ −ρa ∫0 ⎨ ⎬ / z κ ∂ κ U/ z z = U c ⎪⎩ ⎪⎭ z = zc E.H.T.P. Chapitre 4 te 4-30 Interactions air – mer ⋅ w2 z = zc z = zc (3) ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique puisque U z = z ≡ c et U z = 0 ≡ 0 . c On a établit que l’énergie pour une onde sinusoïdale de petite amplitude E = ρ w gη2 et puisqu’en eau profonde: au second ordre est : 2 ω2 2 ρ w • η = ω = gκ alors E = ρ w gη = ρ w η (4) κ κ comme ω = c ⋅ κ le temps nécessaire pour décrire une phase de 1 radian est ϑrad = 1 cκ on peut utilisé ce résultat pour normaliser le taux 2 2 1 1• d’augmentation ζ d’énergie : ζ = E (5) cκ E qui représente la fraction dont l’énergie augmente par radian. En reportant les équations (3) et (4) dans (5) alors : ⎛ w2 ⎞ ⎜ ⎟ // π ρa U z z = c ⎜ ⎟ (6) ζ=− ⋅ 2 ⎜ ⎟ κ ρ w U/ • z = zc ⎜ ⎟ η ⎝ ⎠ Ainsi le taux de transfert d’énergie dépend de la pente et de la courbure du profil du vent ; par conséquent il est sensible à tout changement du profil de vitesse du vent : principalement proche de la surface libre. Le calcul de w •2 η pour expliciter (6) nécessite la résolution 2 zc numérique de l’équation d’Orr–Sommerfeld non visqueuse (Miles 1960). Si on prend un profil de vent logarithmique : U = U0 + U1 ⋅ loge (z z o ) où z 0 est la hauteur de rugosité, U0 limite inférieure du profil z = z 0 et U1 est la vitesse de référence. On a vu qu’on peut également exprimer le profil du vent sous la forme: U = u∗ ⋅ κ −1 ⋅ loge (z z o ) (voir Ch9 FGP: CLA) où κ −1 = Von Karman = 2,5 . Si on prend U0 = 0 alors U1 = 2,5 ⋅ u∗ pour un profil de vent qui correspond à une surface marine rugueuse. Selon Ellison (1956) on s’attend à ce que la longueur de rugosité z 0 (c’est une constante d’intégration) soit donnée par : r r r 2 2 ( ) τ = ρ ⋅ ⋅U C z U o a d C d (z ) = (κ [loge (z z o ) − ψ m (z L )]) u∗ avec r z0 ~ r r où g C10 ~ 2,6 ⋅ 10 − 3 τo = ρa C10 U10 ⋅ U10 Où u∗ = τo ρa est la vitesse de frottement de Prandtl et τo est la contrainte que le vent exerce sur la surface libre. Par une approche d’analyse dimensionnelle Charnock (1955) propose : z o = αu∗2 g Wu (1980) propose un α ≈ 0,0185 ( E.H.T.P. Chapitre 4 ) 4-31 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique u∗ [loge (z z o ) − ψ(z L ) ] avec ψ m (z L ) = 0 pour conditions neutres κ L est la longueur de mélange de Monin & d’Obukhov et ψ un paramètre de stratification. C d ⋅ 10 3 coefficient de résistance au − dessus de l' eau U(z ) = 20 U10 (m s ) 2 indicatif 1,4 15 1,8 Sous des conditions 1,2 presque neutres & stables : 10 1 convection 5 − 15 − 10 − 5 instable 0 ( ) 0,2 0,8 0 − 20 10 3 C10 = 0,8 + 0,65 ⋅ U10 1,6 5 10 Tair − Tsea o C 15 20 stable 2,0 1,6 10 3 C10 1,2 0,8 − 5° 0° 0,4 0 5 ° Tair − Tsea = +5 C 10 15 20 25 U10 (m s ) Remarque : Des travaux (1960 Miles) pour inclure dans un modèle unique les 2 mécanismes responsables de la formation des vagues : • Le modèle résonant de Philips (1957) : action des fluctuations de pression. • Le modèle de Miles (1957) : action du cisaillement du vent. existent, nous le présentons dans la suite de ce cours. E.H.T.P. Chapitre 4 4-32 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Energie solaire et Bilan thermique de l’interaction air – mer & Thermocline saisonnière & distribution de température La diminution avec la profondeur de l’éclairement sous – marin correspond essentiellement à l’absorption de l’énergie solaire par les eaux. Cet échauffement solaire provoque un gradient de densité qui se traduit par une stratification des eaux et un courant de densité. ξa = 0,9 pas de nuages Atmosphère rayonnement solaire ξa = coefficient de transmission Qs θ incidence du soleil par rapport au zénith. convection thermique (-10 W/m2) Qn (+150W/m ) (-90 W/m2) Q c Evaporation/condensation rayonnement 2 Q atm Air ξa = 0,1 nuages et brouillard Qe Q s = ξ a S(1 − A ) cos θ capacité thermique d'eau Océan Qt (-50 W/m2) Q adAlbédo A ≈2 5% advection 0 W/m (Q s + Qatm )(1 − A eau ) = Q t + Q e + Qc + Qn + Qad ⇒ Q t = Q capa − thermique d' eau = (1 − A )[Q s + Q atm ] − (Q évap + Qn + Qadvec ) 80 < Qs < 200 W/m2 , 0 < Qc < - 40 W/m2 , - 50 < Qe < - 160 , - 100 < Qad < - 200 W/m2 Flux de Chaleur latente Qe ♦→ Flux de chaleur du au rayonnement solaire QS. Flux de chaleur de grande longueur d'onde Qn. Flux de chaleur par conduction et convection Qh = - λair Cp,air dT/dz Les échanges thermiques avec l’atmosphère entraînent un refroidissement superficiel qui annule localement la stabilité et peut aussi se propager en profondeur par conduction thermique turbulente; les vents renforcent ce processus par brassage plus ou moins profond : on a alors une couche se surface plus ou moins homogène (homothermale) dont la température et l’épaisseur varient dans le temps et sous cette couche de mélange apparaît la thermocline (forts gradients verticaux de densité : qui constitue un barrage à la propagation de la quantité de mouvement ou de chaleur et à la diffusion des substances dissoutes). Le profil thermique (décroissance de la température avec la profondeur) résulte donc de l’échauffement (apport) solaire et du refroidissement superficiel par les échanges thermiques avec l’atmosphère : on peut calculer l’épaisseur de couche de mélange connaissant l’apport solaire et les échanges avec l’atmosphère (température superficielle) ; mais l’advection par les courants marins peuvent perturber la situation. La température moyenne des eaux superficielles est de l’ordre de 280C dans les régions intertropicales et sur les quelques 20 à 30m en couche de surface on a un immense réservoir d’énergie solaire stockée. Mais vers 1000m les couches profondes ont une température voisine de 40C E.H.T.P. Chapitre 4 4-33 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique • Equation du bilan thermique : à l’échelle globale On peut écrire le bilan thermique des échanges océan – atmosphère sous la forme : Q s (1 − A ) = Q t + Q e + Q c + Qn + Q ad où • Q s (1 − A ) = l’apport solaire diminué de la fraction correspondante à l’albedo de la mer : c’est le rayonnement solaire absorbé par les eaux pendant l’intervalle de temps considéré. Q s est donné en fonction du temps par les enregistrements aux stations météorologiques; on peut aussi se rapporter à des tables ou Atlas climatologiques donnant les valeurs de l’éclairement solaire par ciel clair en fonction de la latitude. Des formules empiriques permettent de tenir compte de la nébulosité (en moyenne de ~20%). L’albedo (du latin : albus signifie blanc) de la mer A est ~6% en été à 8% en hiver : une valeur moyenne de 7% peut être adoptée. • Q t = la variation pendant le même intervalle de temps du contenu calorifique des eaux (capacité thermique). Sa valeur résulte de l’absorption du rayonnement solaire, des échanges thermiques à travers la surface et des apport de chaleur par advection. Les coefficients de conduction d’eau sont : λ glace ~ 2,2 , λ liquide ~ 0,55 et d’air λ air ~ 0,024 Wm −1K −1 • Q e = l’échange avec l’atmosphère par évaporation • Q c = l’échange avec l’atmosphère par convection thermique • Qn = l’échange avec l’atmosphère par rayonnement infrarouge (dit également rayonnement net ou nocturne) • Q ad = l’échange de chaleur par advection marine • Pénétration du rayonnement solaire dans la mer et évaluation de la température correspondante aux eaux : La diminution de l’éclairement sous – marin avec la profondeur correspond à une absorption d’énergie, si on néglige l’éclairement ascendant qui ne représente que quelques centièmes du flux dE d dF descendant, on peut écrire : W m3 = − = κ ⋅ Ed dS ⋅ dz dz ⎧⎪E d = éclairemen t en ( W ⋅ m − 2 ) avec ⎨ alors ⎪⎩si z m ⎯⎯ ⎯→ κ en (m −1 ) où E d = l’éclairement descendant & κ est le coefficient d’extinction définit par exemple entre les cotes : z1 et z 2 : z 2 ≥ z1 par : ( E.H.T.P. Chapitre 4 ) 4-34 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique κ [z1,z 2 ] = loge E z1 − loge E z 2 dz Pour un bilan thermique de grandes périodes on introduit souvent la quantité q : c’est l’énergie solaire absorbée par unité de surface : ce n’est que l’intégrale de l’éclairement dans le temps : on le désigne par ‘’irradiation’’ l’unité est Joules ⋅ m −2 . Les études in situ ont montré que le coefficient d’extinction κ peut être admit comme constant au cours de la journée solaire (indépendant de la hauteur du soleil). Mais il est variable avec la profondeur dans les premiers mètres par suite de l’absorption sélective exercée par les eaux, principalement pour les courtes longueurs d’ondes. Au delà des 5 premiers mètres de profondeur (70% sont absorbé dans cette couche) il devient sensiblement constant. Mais il varie géographiquement et avec les saisons sous l’influence des phénomènes locaux et transitoires qui modifient la transparence des eaux. Il n’existe pas d’enregistrements continu de l’éclairement sous – marin en chaque station : on adopte alors une valeur moyenne du coefficient d’extinction déduite des mesures dans la zone d’étude : κ = κ ≈ 6 ⋅ 10 − 2 m −1 à Nice κ = κ ≈ 0,5 m −1 forte eutrophisation En surface on a l’irradiation Q s (1 − A ) = q0 ; entre 0 et 5 mètres de profondeur si on admettant une absorption de 70% alors l’irradiation à 5m est q5 = 0,3q0 . A toute profondeur supérieure on aura : qz = 0,3q 0 e − κ(z − 5 ) L’énergie absorbée entre z et z + dz est : ( qz − qz + dz = 0,3q 0 e − κ(z − 5 ) 1 − e − κ⋅dz Qs ) atmosphère q0 = Q s ⋅ (1 − A ) = rayonnement solaire absorbé z z + dz Eau de mer dE d = − κ ⋅ E d ⇒ E d = E d,0 e − κ z Loi de Beer dz où E d = éclairemen t déscendant Joules / m 2 ( ) On peut ainsi tracer la fraction d’énergie solaire absorbée chaque mois par unité de surface océanique et par mètre de profondeur à différent niveau. Cette énergie absorbée se traduit par une élévation de la E.H.T.P. Chapitre 4 4-35 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique température de l’eau qu’on peut calculer en faisant intervenir la masse volumique ρ et la capacité thermique c p de l’eau de mer, on a : ⎧ 3 ⎪c p ~ 10 Joules 0 K ⋅ Kg ⎪ ⎪ EAU : ⎨ρ ~ 10 3 Kg 3 m ⎪ ⎪ 1⎛ ∂ρ ⎞ ⎟⎟ ~ 3,5 ⋅ 10 − 4 0 K −1 ⎪β = − ⎜⎜ ρ ⎝ ∂ T ⎠P ⎩ T0 C = T 0 − 273 ,16 K ρc p dT = β Tdp + ρTdη η & ρη sont respectivement l’entropie par unité de masse et de volume. L’équivalent mécanique J de la calorie est : 1calorie = 4,186 joules Q s en KJ ⋅ cm Q s (1 − A ) en KJ ⋅ cm −2 −2 ⋅m −1 1,00 80 z = 10 m 0 ,80 60 0,60 40 0, 40 z = 20 m z = 30 m 0,20 20 ETC Mois 01 06 12 z = 6m 01 06 Mois 12 Q s est le flux solaire moyen par mois qu’on re – moyenne sur plusieurs années consécutives sur le site en étude (On peut pour cela utiliser les données des stations météorologiques). Q s (1 − A ) + (1 − A )Q atm = Q t + Q e + Q c + Qn + Q ad nuage vent Qs z z + dz Q évap Qn atmosphère Q adv Q s ⋅ (1 − A ) Eau de mer Q atm Q atm ⋅ (1 − A ) T (z, t ) La lumière est transformée en partie en énergie calorifique qui entraîne une augmentation de la température de l’eau par absorption dans la capacité thermique (en l’emmagasinant à l’état latent c – à – d potentiel). De l’équation du bilan thermique on déduit la quantité de chaleur emmagasinée dans la capacité d’eau [ ρc p ] pendant dt : Q t = Qcapa − thermique d' eau = (1 − A )[Q s + Q atm ] − (Q évap + Qn + Qadvec ) E.H.T.P. Chapitre 4 4-36 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique On a tenu compte dans ce bilan du flux de chaleur dû au rayonnement atmosphérique Q atm . L’énergie stockée dans la colonne d’eau dz est : ( ) dH = ρ c p Tdz J m 2 . L’équation du bilan thermique s’écrit alors, pour la colonne d’eau de surface S(z ) et de hauteur dz , comme suit : ∂H = {(1 − A ) ⋅ [Ps + Patm ] − Pn } − (Pévap + Padvec ) en Watt m 2 ∂t On peut écrire empiriquement pour le flux de chaleur solaire : ( ( ) te ) 2 sin[h(t )] r2 h est la hauteur du soleil fonction de : latitude, déclinaison et la longitude du soleil sur la sphère céleste. Nous avons tenu compte de l’excentricité de l’orbite de la TERRE c -à- d « ellipticité de l’orbite terrestre », qui fait varier la distance TERRE – SOLEIL : r = rTSrM−1 de 0,983 UA (Unité Ps = P0 1 − 0,65C 2 avec P0 = C solaire ~ (1376 w / m ) Astronomique 1 UA ≈ 1,4968 ⋅ 10 8 Km ) à périhélie « en janvier » à 1,017 UA en juillet « aphélie » : ce qui fait varier l’irradiation solaire S de 1320 à 1410 W/m2 (en réalité le flux passe de 1324 Wm − 2 en juillet à 1415 Wm − 2 en janvier) « ce qui donne une variation de l’ordre de 7% ». On signale que UA est la distance moyenne Terre –soleil. Car la terre décrit une ellipse autour du soleil qui occupe un foyer. C est le coefficient de nébulosité compris entre 0 et 1 : il caractérise l’état du ciel. On sait (Kepler) que la terre parcourt une ellipse de faible excentricité dans un plan passant par le soleil , l’écliptique , en 365 jours 5 heures 48 mn 46 sec si on néglige de faibles perturbations . A la variation de la distance terre – soleil correspond une variation de l’éclairement énergétique de 3,5 % ( respectivement – 3,5%) au solstice d’hiver le 22 Décembre ( respectivement au solstice d’été le 22 Juin ) par rapport à l’éclairement énergétique aux équinoxes les 21 Mars et 23 Septembre .On définit aux équinoxes la constante solaire qui vaut : S 0 = 1353 W ⋅ m −2 selon les mesures de la NASA . Une formule approchée donnant le coefficient de correction a apporté à la constante solaire selon le jour de l’année est : υ = 1 + 0,034 ⋅ cos [ 0,986 × (J − 3 ) ] ( tel que : Ps = υ ⋅ S 0 ⋅ 1 − 0,65C 2 ) où J est le numéro du jour de l’année depuis le 1er Janvier . Il faut tenir compte de l’absorption atmosphérique pour disposer du flux solaire incident sur le plan d’eau maritime : ABSORBTION SELECTIVE Deux constituants atmosphériques jouent un rôle plus particulier : E.H.T.P. Chapitre 4 4-37 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique • L’ozone responsable du cutt – off (coupure) observé dans les U.V. et les Rayons X. • L’eau présente sous diverses formes et dont la concentration diminue rapidement avec l’altitude . L’eau est à l’origine de nombreuses bondes d’absorption plus particulièrement dans l’infrarouge proche ( spectre de vibration et de rotation ) . L’absorption par l’eau peut être caractérisée par l’épaisseur condensable . Celle-ci est déterminée par corrélation statistique avec l’humidité absolue mesurée au niveau du sol conformément à la formule de HAHN : w cm = 0,17 ⋅ e où e est la tension de vapeur au sol en mbar . • Les fortes longueurs d’onde I.R. sont principalement atténuées par CO2 < dioxyde de carbone > et O3 < ozone >. Complément : Expérience de Bernard & Nombre de Rayleigh : Ra Soit un fluide pesant au repos maintenu entre 2 plans horizontaux distant de h. On applique un écart de température constant ∆T entre ces deux plans, que se passe – t – il alors ? π r e3 π To + ∆T / r g h To ∆T = C te Gaz Parfait On observe que : 1°) Si ∆T 〉 0 : le fluide le plus proche de π (plan inférieur) est plus lourd que celui proche du plan π / : la stratification est stable avec un flux de → ⎛r ⎞ ⎜ chaleur ⎜ q = −λ grad T ⎟⎟ du haut vers le bas : ⎝ ⎠ z r h q ∂T r r ⎛∂T⎞r 〉0 r ⎟⎟ e 3 q = qo e 3 = −λ ⎜⎜ z ∂ e3 ⎝∂z⎠ T To To + ∆T 2°) Si ∆T 〈 0 : on observe une distribution de densité instable ; une perturbation engendre des mouvements convectifs et comme les effets visqueux s’opposent à ces mouvements il existe alors un écart de température critique pour qu’ils aient lieu ( ∆T = ∆Tcr ) . Par définition du nombre de Rayleigh Ra : E.H.T.P. Chapitre 4 4-38 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Ra ≡ β ⋅ g ⋅ Département d’Hydraulique h3 ∆T g h3 ∆T 1 ⋅ = ⋅ ⋅ car β = pour un gaz parfait où ν D T To ν D T To ( ) λ ⎧ 2 = ≡ diffusivit é thermique en m s D T ⎪ ρCp ⎪ ⎨ ⎪Pr = nombre de Prandtl ≡ ν ← ν = Viscos ité dynamique = µ en m 2 s ⎪⎩ masse volumique DT ρ ( ) β = −ρ −1(∂ ρ ∂ T ) est le coefficient de dilatation thermique. On a : Racr ~ 50000 pour l’apparition de la convection libre. N.B. : Heat Flux par N. PINARDI 1996 Soleil QS QB 100 30 énergie interne + potentielle 20 perte infrarouge atmosphère 50 14 14 30 6 24 chaleur Latente : Q Qh Chaleur sensible 24 e évaporation Diagramme schématique des flux d' énergie dans système climatique Selon N. PINARDI le bilan d’énergie à l’interface air – mer est donné par: Q T = QS − QB − QH − QE où Q S : flux d’énergie solaire QB : flux d’énergie radiative thermique infrarouge QH : flux de chaleur sensible QE : flux de chaleur latente Pour la modélisation de l’intéraction à l’interface air – mer on utilise des formules empiriques : ⎧C = Couverture nuageuse ⎧QB = 0,98σTs4 0,39 − 0,05 e a 1 − 0,6C 2 ⎪ ⎪ r ⎪e a = pression de vapeur d' eau ⎪⎪QH = ρa Cp CH U (Ts − Ta ) ⎪ où ⎨q = humidité spécifique ⎨ r ⎪Q = flux de radiation solaire ⎪QE = Lρa CE U (qs − qa ) ⎪ ΙO ⎪ ⎪⎩Q S = Q ΙO (1 − α )(1 − 0,7C) ⎪C ≈ C = 1,1 ⋅ 10 −3 (Neutre) ⎩ H E ( E.H.T.P. Chapitre 4 )( ) 4-39 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Diffusion par l’atmosphère et par les aérosols Diffusion moléculaire : Dans le domaine des longueurs d’onde visibles , il y a une diffusion de la lumière par les molécules d’air : « diffusion de RAYLEIGH ». Selon Rayleigh le coefficient d’extinction par diffusion et par unité de longueur α λ est inversement proportionnel à la quatrième puissance de la longueur d’onde du rayonnement : ⎧ N = nombre de molécules par unité de volume 32 π 3 1 ⋅ ( n − 1) ⋅ αλ = où ⎨ 3N ⎩ n = indice de réfraction du gaz λ4 Diffusion par les aérosols : Ce sont les poussières atmosphériques pour les aérosols l’absorption est proportionnelle à la puissance (-1,3) de la longueur d’onde selon MIE : α λ ∝ ⋅ 1 1,3 λ « diffusion de MIE » • La loi de transmission classique d’un rayonnement dans un milieu homogène isotrope (absorption par les gaz et substances dissoutes) s’écrit : LOI DE LAMBERT & DE BEER (proposée en 1852 par Beer) P −α ⋅ l Pl = P0 ⋅ e λ τ = facteur de transmission = l dPl = − α λPl dl P0 ⎧⎪ Pl flux transmis après un parcours de longueur l dans le milieu où ⎨ ⎪⎩ P0 flux initial en ( W m 2 ) logarithme Log e (Pl P0 ) = −α λ l ⎯⎯ ⎯ ⎯→ Log10 (Pl P0 ) = −α λ l ⋅ log10 e = −0,43429 ⋅ α λ l naturel En posant K λ = 0,43429 ⋅ α λ on obtient : Pl = P0 ⋅ 10 −K λ ⋅ l On en déduit le facteur d’absorption “ par conservation d’énergie ” . Par superposition de plusieurs milieu , la transmission totale serait égale au produit des transmissions partielles . Notons que les aérosols réduisent le flux transmis donc il en résulte un refroidissement. On peut écrire pour le flux atmosphérique par rayonnement : ( 4 Patm = χ ⋅ σTair 1 − 0,17C 2 ) où χ est un coefficient empirique de l’ordre de : χ ~ 0,937 ⋅ 10 −5 . σ est la constante de Stéfan – Boltzmann : σ = 5,67 ⋅ 10 −8 W / m 2 0 K 4 . Le plan d’eau émis par mètre au carré la puissance : Pn = ε ⋅ σTs4 l’émittance de l’eau est : ε ≈ 0,96 Ts est la température à la surface libre d’eau. E.H.T.P. Chapitre 4 4-40 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Pour déterminer empiriquement le transfert de chaleur par évaporation à l’interface air – eau on propose la formule empirique de Rhower : ⎧a ≈ 0,000308 Pévap = ρ ⋅ e ⋅ (a + b ⋅ U)(e s − ψ ⋅ e a ) (L + Cp ⋅ Ts ) où ⎨ ⎩b ≈ 0,000185 U (m s ) est la vitesse du vent : il favorise l’évaporation et provoque le 6 brassage de l’eau : "couche de mélange". (Leau évaporatio n ≈ 2,25 ⋅ 10 J Kg) ou la formule de Kohler : [ ] Pévap = ρ ⋅ b ⋅ U (e s − ψ ⋅ e a ) (L + Cp ⋅ Ts ) avec Pévap en Kcal m 2 ⋅ jour . ψ est l’humidité relative % de l’air et en (Kcal Kg) L = chaleur Latente ≈ 595,9 − 0,54 ⋅ Ts et où e s & e a sont respectivement les tensions de vapeur saturante aux températures Ts & Ta qu’on peut calculer par la formule empirique de 7,45T Magnus – Tetons : e = 4,575 ⋅ 10 T + 235 en mbars (1mb = 100 Pascals ) La chaleur sensible échangée par le plan d’eau avec l’air peut être calculée par la formule : Ps = Pconv + Padv = 278 ,7 ⋅ ρ ⋅ (a + b ⋅ U) ⋅ (Ts − Ta ) en Kcal m 2 ⋅ jour ( ) U (m s ) est la vitesse du vent à 2m de la surface libre. ρ Kg m3 est la masse volumique de l’eau de mer à la température Ts de la surface libre. Le coefficient global de convection air – eau est : α ~ 8 Kcal h ⋅ m 2 0 C la puissance échangée par unité de surface est en appliquant la loi de Newton : Pconv = α ⋅ (Ta − Ts ) en Kcal m 2 ⋅ h 1Kcal = 4186 Joules Une inconnue subsiste pour fermer le problème : la température de la surface d’eau Ts ? ne disposons pas en général de cette donnée on peut l’obtenir en utilisant les données de la télédétection spatiale ou l’estimer en admettant que le plan d’eau se comporte comme un corps noir qui reçoit respectivement du soleil, du corps noir de l’espace et de l’atmosphère un flux d’énergie alors que la surface libre convecte et rayonne également de la chaleur, à l’équilibre thermique on a : 4 Ps + σTesp + Patm + α(Ta − Ts ) = ε ⋅ σTs4 ⇒ ? peut – on l’écrire ? ( ) ( ) 4 υ ⋅ S 0 ⋅ 1 − 0,65C 2 + σTesp + χ ⋅ σTa4 1 − 0,17C 2 + α(Ta − Ts ) = ε ⋅ σTs4 La température des couches superficielles décroît régulièrement de l’Equateur vers les Pôles. En été dans l’océan Atlantique : Ts ≈ 25 0 au E.H.T.P. Chapitre 4 4-41 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique large de l’Afrique du Nord ,200 au large du Portugal et 100 au large de l’Irlande. La température du corps noir de l’espace est de l’ordre de : Tesp ~ Ttropopause ~ −63 0 C ~ 210 0 K La condition limite thermique (ou de quantité de mouvement) à l’interface air – mer est obtenue en exprimant que le flux de chaleur est continu à cette limite sauf pour les sources et puits de cette surface libre. Ce flux à cette interface océan – atmosphère est déterminé par le flux de chaleur correspondant dans la couche limite atmosphérique qui introduit des paramètres de calage et des variables atmosphériques. Les flux de quantité de mouvement, de chaleur sensible et vaporisation d’eau dans l’atmosphère au niveau de la surface libre sont : (Voir Références : Jacques C. J. Nihoul : Three – Dimentional Matematical Model of the marin environment Application to the Adriatic Sea University of liège pp78 et Busch 1977 : fluxes in the surface boundary layer over the sea, in Modelling and Prediction of the Upper layers of the Ocean, E. B. Kraus (ed), Pergamon Press, Oxford 72 – 91). r r r r r FMa = −ρa CM U10 − U0 ⋅ U10 − U0 Quantité de mouvement r r FTa = −ρa c pa C T U10 − U0 ⋅ (T10 − T0 ) Chaleur sensible r r v FLa = −ρa CL U10 − U0 ⋅ c10 − c 0v Vaporisation r • U10 = la vitesse du vent à la hauteur de10m de la surface libre • T10 = la température de l’air à la hauteur de10m ( ) ( ) v = l’humidité spécifique de l’air à la hauteur de 10m • c 10 r Leur correspondant à la surface libre sont : U0 , T0 & c 0v . Et CM , C T , CL sont les coefficients globaux d’échange ; ρa la masse spécifique de l’air au niveau marin ( ρa ~ 1Kg m3 ) et c pa est la chaleur spécifique de l’air à pression constante ( c pa ~ 10 3 m 2 s 2 0 K ). En exprimant la continuité du flux de quantité de mouvement et en r ~ ∂u r r r r ρ négligeant U10 devant U0 on obtient : ν = a CM U10 ⋅ U10 en z = η ∂ z ρ0 r r r ρ − ρ0 avec v = u + w e 3 . Par définition de la poussée : b = −g , de ρ0 1 r/ r/ w • w et du taux de dissipation l’énergie cinétique turbulente e = 2 rr rr r turbulente de l’énergie cinétique ε = ν ⋅ ∇w / : ∇w / où w / est la E.H.T.P. Chapitre 4 4-42 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique r r r fluctuation de la vitesse w / = v − v . L’équation de continuité est : r r r divv = ∇ • v = 0 dans le cadre de l’approximation de Boussinesq. Les équations qui régissent les 2 composantes horizontales de la vitesse u, v, la poussée b et le taux de dissipation turbulente d’énergie ε sont de r ⎛ ~y r ⎞ r ∂y r y ( ) + ∇ • y ⋅ v = Q + ∇ • ⎜⎜ λ ⋅ ∇y ⎟⎟ la forme : ∂t ⎝ ⎠ où Q y production–destruction de y. Ce sont des équations de diffusions. A partir de la définition de la poussée b on peut écrire pour l’eau de mer : db = β g dT − β / g dc s où c s est la salinité de l’eau de mer avec 1 ∂ρ 1 ∂ρ ~ 1 (sans dimension ) β=− ~ 1,5 ⋅ 10 − 4 0 K −1 & β / = ρ ∂ cs ρ ∂T Ainsi le flux de poussée FB0 dans l’eau peut s’écrire en terme des flux de chaleur FT0 et de salinité FS0 sous la forme : βg 0 FB0 = FT − β / gFS0 (a) ρ0c p Il existe une discontinuité du flux de chaleur à l’interface air – mer dû à l’absorption et à l’émission du rayonnement et à l’évaporation. On a : ( ) ( ) FTa = FS+ − FS− + Fn+ − Fn− − LFLa + FT0 où FS+ et FS− sont respectivement les flux entrant et sortant du rayonnement dans le domaine des ondes courtes et Fn+ et Fn− les flux entrant et sortant du rayonnement en ondes longues et L la chaleur latente de vaporisation (L eau ≈ 2,48 ⋅ 10 6 J / Kg) . La formule empirique suivante est largement utilisée pour paramètriser le flux du FS+ − FS− = CS ⋅ (1 − A ) ⋅ F0 rayonnement : où A est l’albedo de la surface marine, F0 est le flux du rayonnement d’ondes courtes en surface provenant du soleil et du ciel claire c’est – à – dire sans nuages (il dépend de la contenance en vapeur de l’air et l’angle zénithal du soleil) alors que CS est un coefficient approprié. Fn+ − Fn− = −C1 ⋅ σT04 σ est la constante de Stefan – Boltzmann et C1 est un coefficient fonction des conditions dans la couche limite atmosphérique. Le flux de salinité peut s’écrire : FS0 = − Fpa + FLa c 0s ( E.H.T.P. Chapitre 4 ) 4-43 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique où Fpa est le flux de précipitation atmosphérique Fpa ≤ 0 et c 0s est la salinité en surface. r Reportons dans l’équation (a) et en négligeant de nouveau U0 devant r U10 on obtient comme condition au limite pour la poussée : ~b r r ∂b βg a v λ = ρa c p C T U10 (T10 − T0 ) + ρaLCL U10 c 10 − c 0v ∂ z ρ0c p [ ( ] ) + CS (1 − A )F0 − C1σT04 r v + β / gc 0s ρa CL U10 c 10 − c 0v − Fpa en z = η [ ( ] ) La salinité de l’eau de mer résulte du fait que les différentes rivières y drainent les sels des sols et c’est leur accumulation dans le temps qui la rendu le plus grand réservoir en sels. Le flux d’énergie cinétique turbulente est petit vis – à – vis du travail engendrer par le cisaillement du vent. Par la même approche on peut le paramétriser sous la forme : ~e r 3 ∂ e ρa λ CE U10 en z = η = ∂ z ρ0 Le flux de turbidité peut être supposé nul à l’interface air – mer. Les valeurs des coefficients d’échange global CM , C T , CL , CF &CS sont obtenues à partir des mesures et des observations. Résumons : Les conditions limites à l’interface air – mer z = η r ~ ∂u r r r •ν = C0 1 + 0,1⋅ U10 U10 ⋅ U10 ∂z ( ) ( ) v ⎡ r r L c10 − c 0v ∂b = C0 10 − 3 ⎢α T U10 (T10 − T0 ) + α L U10 ∂z c ps ⎢⎣ α α ⎤ v ⎞ + S {1 − (1 − γ S ) m}F0 − 1 ⎛⎜1 − 5 c10 ⎟ 1 − 0,6m 2 ⋅ σT04 ⎥ ⎠ 2 4 ⎝ ⎦ ~e r 3 ∂e • λ = 2α E 10 − 3 U10 ∂z ~b • λ ( ) où C0 = 0,63 ⋅ 10 −3 est le coefficient de drague minimal ; α T , α L , α E , α S et α1 sont des constantes sans dimension de l’ordre de 1 ; m est un coefficient qui tient compte des nuages et γ S un paramètre représentant l’effet de l’altitude du soleil en tenant compte des radiations qui peuvent passer à travers les couches nuageuses. Les flux de salinité dû à l’évaporation et la précipitation sont supposés se compenser ou sont négligeables. E.H.T.P. Chapitre 4 4-44 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Les paramètres nécessaires (données) à l’interface air – mer r v U10 , T10 , c10 , T0 , c 0v : vitesse, températur e, humidité à 10 & 0 m F0 flux de rayonnement entrant sans nuages Fp flux précipitation − évaporatio n , m effet des nuages γ S coefficient représen tan t les effets de l' altitude du soleil et de la présence des nuages σ = cons tan te de Stefan − Boltzmann ~ 5,67 ⋅ 10 − 8 W m 2 0 K 4 C0 ~ 0,63 ⋅ 10 − 6 , (α T , α L , α s ) ~ 1 coefficients sans dimension Rappel : Les lois du rayonnement thermique Le rayonnement électromagnétique émis par un corps noir dépend de la température absolue T de la surface émettrice et de la longueur d’onde λ conformément à la loi de Planck : −1 C ⎧⎪C1 = 3,74 ⋅ 10 −16 W ⋅ m 2 C1 ⎛⎜ 2 λT ⎞⎟ ⎛ ⎞ Watt − 1 en ⎜ W (λ, T ) = 5 ⋅ e ⎟ ou ⎨ 2 ⎟ ⎝ m ⋅ m⎠ λ ⎜ ⎪⎩C 2 = 0,0143 m⋅0 K ⎝ ⎠ Le spectre d’émission présente un maximum pour un λ qui est relié à la température par la relation de Wien : λ max ⋅ T = 2898 µm⋅0 K L’énergie totale émise par un corps dépend de sa température en accord avec la loi de Stefan – Boltzmann : WT = σ ⋅ T 4 Watt m 2 où ( ) σ = 5,67 ⋅ 10 −8 W / m 2 0 K 4 . Les propriétés des différents émetteurs sont : Emetteur Température ( K ) λ max (µm) Espace Tropopause Surface de la terre Surface du soleil 4 210 273 – 310 6000 727 13,8 10,6 – 9,3 0,5 0 ( ) W λ, T T =C te N.B. : On peut disposer des données des stations météorologiques qui sont : ⎧La vitesse du vent : U ⎪L' humidité relative : ψ ⎪⎪ ⎨La températur e de l' air : Ta ⎪La nébulosité : C Ι = Ι o exp(− l k ) ⎪ ⎪⎩L' évaporatio n L Loi de Beer pour l'eau Ces mesures sont effectuées chaque 3 heures. Les problèmes d’aménagement des eaux côtières et des mers continentales, E.H.T.P. Chapitre 4 4-45 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed λ ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique l’engineering côtier et off – shore, la pollution marine, eutrophisation, production primaire, les dynamiques des chaînes alimentaires et la pêche … etc. sont associés aux processus à la mèsoèchelle et synoptique de fréquences dans l’intervalle : 10 −7 − 10 −4 s −1 ESTIMATION DE L’ENERGIE SOLAIRE INCIDENTE SUR UNE SURFACE QUELCONQUE ECLAIREMENT DU AU RAYONNEMENT SOLAIRE DIRECT Ι∗ : L’estimation de l’éclairement énergétique Ι ∗ : parvenant au sol peut être réalisée à partir d’abaques qui permettent successivement de tenir compte de : ‘voir cours sur physique statistique et rayonnement’ ⎧• de l' absorption par les gaz atmosphéri ques ⎪ ⎨• de la diffusion moléculair e ⎪• de la diffusion par les aérosoles ⎩ Ι ∗ : est le rayonnement solaire direct parvenant au sol sous incidence normale. Pour une surface horizontale : S∗ = Ι ∗ ⋅ sin (h) . Statistiquement C.PERRIN DE BRICHAMBAULT préconise pour la France les conditions normalisées suivantes : ⎡ ⎤ 1 Ι ∗moyen ≈ 1230 ⋅ exp ⎢ − ⎥ conditions normales 3,8 ⋅ sin ( h + 1,6 ) ⎥⎦ ⎢⎣ où Ι ∗ est en (W / m2) et h est la hauteur du soleil en degrés. CONDITIONS METEOROLOGIQUES Cyclone extra – tropical : Ces cyclones dans la bande 30° - 60° latitude définissent les conditions du fetch applicables pour prévoir la genèse de la houle ainsi que les interactions air – mer. C'est principalement ces extra – cyclones qui sont les plus fréquents et qui produisent la houle dans l’océan mondial. Quand une surface océanique est soumise à une dépression (~2inHg) l’air autour immédiatement bouge vers elle. L’air arrivant au centre est aspiré verticalement (conservation de la masse) ceci dure quelques heures voir jours avant que l’écoulement radial initialement radial ne devient circulaire car la force de Coriolis (rotation de la terre) prend le dessus : cette rotation est dans le sens des aiguilles d’une montre dans l’hémisphère sud et l’inverse pour l’hémisphère nord. La vitesse du vent dépend bien entendu de la différence des pressions entre les isobares consécutives, en météorologie on travaille à l’échelle synoptique en climatologie : l’intervalle de temps est de 3 ou 6 heures. Plus les isobares sont proches plus le vent est fort : c’est le vent géostrophique c’est – à – dire qui exprime, par l’analyse d’ordre de grandeur, l’équilibre entre le gradient de pression horizontal et la force E.H.T.P. Chapitre 4 4-46 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique de Coriolis . Son module se calcule, en tout point, à partir de l’espacement des isobares sur la carte des isobares à l’échelle synoptique : ⎧ϕ = latitude en deg ré ⎪∆p = pression différentielle en millibars Ugs ⎛ 0,52 ⎞ ∆p ⎪ =⎜ où ⎨ ⎟ g ⎝ sin ϕ ⎠ ∆n ⎪∆n = espacement des isobares en deg ré latitude ⎪⎩Ugs = vent géostrophique La vitesse du vent qui nous intéresse dans la production d’ondes est la valeur moyenne de celle qui a lieu proche de la surface libre océanique. C’est ce qu’on désigne par \\ le gradient du vent //. Elle peut se calculer à partir du vent géostrophique en permettant la variabilité de la latitude, la courbure des isobares (force centripète ↔ courbure) et la stabilité des masses d’air (thermique): Les 2 premiers termes sont donnés par : ⎧Ugr = vitesse gradient du vent U2gr ⎪ Ugr = Ugs ± ⎨Ω = vitesse angulaire de la terre(= 0,729 rad / s ) 2 Ω r sin ϕ ⎪r = rayon de coubure des isobares en nautical miles ⎩ vent géostrophyque ± composante cyclostrophyque Le signe moins est utilisé pour les cyclones et le signe plus pour les anticyclones. Notons que pour des isobares rectilignes (parallèles " // " ) c'est - à - dire (r → ∞ ) on a : Ugr = Ugs . La vitesse du vent à l’interface air – mer varie également pour le même vent géostrophique quand les températures d’air et d’eau différent. Ce qui influence la distribution verticale du vent, donc le cisaillement. Un autre mécanisme responsable de la variabilité du vent géostrophique est celui de la force de friction ou drag – effet sur ce vent ; qui se traduit par un changement de direction vis – à – vis de l’alignement aux isobares. Pour un système cyclonique la vitesse gradient du vent est fléchie à peu prés de 15° vers le centre de basse pression. Il faut tenir compte de ce mécanisme quand on enregistre un spectre de houle en un endroit à la côte. 0,90 Ugr Ugs 0,80 0,70 ( ) Tsea − Tair 0 F 0,60 −5 E.H.T.P. Chapitre 4 0 10 4-47 Interactions air – mer 20 30 ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Le coefficient de Drag (de résistance) dans la contrainte que l’air exerce sur l’eau dépend de la hauteur (rugosité) et de la stabilité de l’atmosphère caractérisée principalement par la différence entre la température de surface de l’eau et celle de l’air avoisinant (Tsea − Tair ) : Dans des conditions instables la mer est plus chaude que l’air adjacent et il se produit un mélange plus turbulent dans basse atmosphère, ce qui se traduit par une augmentation de la contrainte du vent sur la surface : Couche Limite Atmosphérique sur l’Océan [CLAO] les vagues sont donc plus hautes dans les conditions instables que sous les conditions stables. L’air circulant autour et vers le centre de basse pression consistera en des arrivages d’air chaud et d’air froid. Le dernier étant plus dense que l’air chaud tendra à passer par dessous et forcera donc l’air chaud à passer par dessus. Ceci constitue un front droit qui est normalement associé à la formation de nuages et de précipitations. La localisation de ces fronts froids peut se déterminer par un changement brusque de la direction du vent, ou par les changements d’humidité et de température. De manière similaire les fronts chauds peuvent se former, qui résultent de la combinaison de front droit et de front chaud. Un ouragan est une tempête tourbillon. Le mécanisme responsable de sa formation est le réchauffement d’air humide qui coule vers le centre du cyclone (eye: œil ) où il cède son excès de chaleur en montant (aspiration) et il se produit alors une condensation de l’humidité dans l’air. Une fois l’air au centre il coule vers l’extérieur en hautes altitudes. Dynamique géostrophique d’un fluide stratifié : Dans la plus part des fluides géophysiques en présence de régions avec des densités différentes résultent une convection : fluide chaud fluide froid au voisinage d' un ←⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ (léger ) (plus dense ) le champ de pesanteur agit en poussant : ⎧le fluide dense vers le bas il en résulte ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ un mouvement horizontal ⎨ ⎩le fluide léger vers le haut la rotation de la terre agit pour défléchir ce mouvement horizontal. En r exprimant l’équilibre géostrophique : ρ(x, y ) ↔ v (x, y ) air z chaud y air froid x E.H.T.P. Chapitre 4 4-48 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique ( ) 1 ∂p ⎧ té ment Géosprophi e Q M selon x : fv − = − ⎪ ρo ∂ x ⎪ ⎨ ⎪Hydrostatisme Q té Mment selon z : 0 = − 1 ∂ p − g ρ ⎪⎩ ρo ∂ x ρo ∂v 1 ∂ ∂p 1 ∂ ∂p g ∂ρ =− =− =+ de Eliminons la pression : − f ∂z ρo ∂ z ∂ x ρo ∂ x ∂ z ρo ∂ x même si il existe un gradient de densité selon l’axe des y ; on a alors : g ∂ρ ⎧∂ v = − ⎪∂ z ρo f ∂ x ⎪ système d’équations du vent thermique à l’équilibre ⎨ ∂ u g ∂ ρ ⎪ =+ ⎪⎩ ∂ z ρo f ∂ y Dans le cas d’un fort contraste de densité, comme dans la traversée des fronts froid ou chaud. Le système peut être par 2 densités ( ρ1 et ρ 2 avec ρ1 〈 ρ 2 ) et par 2 vitesses v1 et v 2 on peut écrire la 1ière relation : ρ1 ( ) v1 froid ρ 2 ∆v g ∆ρ =− ∆z ρo f ∆ x y chaud front v2 x Où on prend : ∆v = v1 − v 2 et ∆ρ = ρ1 − ρ 2 on obtient : g (ρ1 − ρ2 ) ∆ z v1 − v 2 = − ∆x ρo f le rapport ∆z ∆x est la pente de l’interface. Cette équation est la relation de Margules (Margules 1906). Application à l’atmosphère globale : tropiques chauds ∂u ∂z =+ g ∂ρ ρo f ∂ y , ∂ρ 〉0 ∂y ∂u f 〉0 ∂z dans hémisphère Nord pôle froid 〉 0 → vent zonal qui s' intensifie vert l' Est quand l' altitude augmente Anticyclone : Il consiste en un centre de haut pression et un écoulement d’air vers l’extérieur, avec une circulation opposée en direction à celle du cyclone dans la même hémisphère. E.H.T.P. Chapitre 4 4-49 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Cyclones tropicaux : Les centre de base pression générés dans la zone de latitude 0 – 30° de par et d’autre de l’équateur sont caractérisés par des vents forts. Ils produisent les plus grandes vitesses de vent sur la terre et les océans et front froid front chaud v∝ LOW front occlus 1 r isobare circulation d'air pour l ' hémisphère sud Echelle Simpson : 119 ≤ w ≤ 153 Km/h 154 ≤ w ≤ 177 Km/h 178 ≤w ≤ 209 Km/h 210 ≤ w ≤ 249 Km/h w ≥ 249 Km/h l’écoulement d’air suit plus ou moins des trajectoires circulaires. En plus le centre se déplace continuellement, ce qui limite les fetches et la durée de formation d’ondes. Le langage utilisé pour ces cyclones destructives est divers selon la région. Sur la côte Est d’Amérique on les nome HURRICAES. Au Japon on les nome TYPHOONS (typhon). En Inde on les nome MONSOONS: œil 40 grandes vitesses : U 〉 40 knots HIVER Froid (terre) 40 en NM chaud Knot ¥ nœud ETE Chaud Froid Les moussons représentent un des aspects saisonniers de la circulation générale de l'atmosphère 1 nœud = 1852 m/h 200 1000 en NM 80 400 HURRICANE TYPHOON Cyclones Tropicaux dans hémisphère nord Dans l’œil il n’y a presque pas de vitesse horizontale de vent, l’air est aspiré verticalement vers le haut en un fort vortex et la pression chute à sa valeur minimale. E.H.T.P. Chapitre 4 4-50 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Théorie & échelles de la Turbulence Atmosphérique en basse couche La couche limite de l’atmosphère se définit mieux comme la partie de l’atmosphère qui est en contacte avec la surface de la terre qui est continuellement en turbulence (dans la passé on la désignée par couche limite planétaire) : ABL (Atmospheric Boundary Layer). L’épaisseur d’ABL varie de quelques mètres dans la cas d’une stratification très stable à quelques kilomètres dans le cas d’une forte convection. Sa limite supérieure est marquée par une cessation de la turbulence. Sous les conditions convectives non – perturbées : définit par un transfert de chaleur vertical du bas vers le haut à la surface la turbulence cesse à travers d’une couche limite thermique dont il se produit une inversion à une altitude de l’ordre de 1Km. Dans le cas d’une stratification stable : définit par un transfert thermique vertical du haut vers le bas le gradient moyen de la température potentielle peut être positif à travers toute la CLA (dans ce cas l’épaisseur de la Couche Limite Atmosphérique est de quelque mètre d’épaisseur (voir même inexistante si elle est très stable). Si l’ABL est coiffée par une couche de nuages, le sommet de cette couche nuageuse correspond à la base d’une inversion à travers de laquelle la turbulence est étouffée (disparaît) [Voir CH09 MFGP]. Couche Limite Atmosphérique (CLA) et turbulence en basse couche de l’atmosphère (Voir Chapitre 09 du cours de Mécanique des Fluides Géophysiques) • équations de bilan (conservation) : Les équations de base utilisées en météorologie s’appliquent à une particule de l’air. On commence par écrire les équations : • de Navier – Stokes dans un repère Eulerien en rotation • de transfert d’entropie • de conservation de la masse ∂ ∂ ∂ ρui + ρuiuk = − pδik − σik/ − ρgδi3 − 2ρΩεijk η juk ∂t ∂ xk ∂ xk ( ) ⎛ ∂ ui ∂ uk 2 ∂ ui ⎞ ∂u + − δil ⎟⎟ + ζ l δik σik/ = η ⎜⎜ ∂ xl ⎝ ∂ xk ∂ xi 3 ∂ x l ⎠ ici η est la viscosité dynamique et ζ est une seconde viscosité qui caractérise la compressibilité du fluide. Ω est la vitesse angulaire de rotation de la terre et η j vecteur unitaire le long de l’axe de rotation. où Le tenseur des contraintes est défini par : σik = −pδik + σik/ . L’équation de conservation de la masse (de continuité) est : ∂ ρ ∂ ρu i + =0 ∂t ∂ xi E.H.T.P. Chapitre 4 4-51 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique On peut écrire l’équation de conservation de la quantité de mouvement ∂ ui ∂u ∂ =− σik − ρgδi3 − 2ρΩεijk η juk sous la forme : ρ i + ρuk ∂t ∂ xk ∂ xk en utilisant bien entendu les équations de continuité et de rhéologie. En général on peut traiter le couche limite atmosphérique comme incompressible sauf quand le champ de pesanteur est multiplier par un écart de masse volumique (approximation de boussineq) dans ce cas la ∂ ui =0 conservation de la masse s’écrit : ∂ xi En reportant cette approximation dans l’équation de la conservation quantité de mouvement on obtient alors : ∂ ui ∂ ui ∂ 2ui 1 ∂p + uk + 2Ωεijk η juk = − − gδi3 + ν ∂t ∂ xk ρ ∂ xi ∂ xk ∂ xk où ν = η ρ est la viscosité cinématique. Lumley & Panofsky (1964) et Busch (1973) ont définit un équilibre mécanique d’être un état de référence de l’atmosphère non – perturbée. ∂ pref = −ρ g Dans ce cas on écrit : ∂z où pref est la pression moyenne d’équilibre. L’équation d’état s’exprime comme : p = ρrT où r = R M avec R la constante universelle des gaz parfait et M la masse molaire moyenne de l’air. Comme M varie avec la contenance d’air en vapeur on écrit : p = ρrdTv pour l’air sec avec rd = rdry = 287J ⋅ Kg −1⋅o K −1 et Tv = T(1 + 0,61⋅ q) est une est une température virtuelle où q (%) est l’humidité spécifique en Kg Kg . Le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide donne l’équation générale de transfert de chaleur : local advection ↓ ↓ ⎡∂ s ∂s ⎤ ρT ⎢ + uj ⎥ ∂ x j ⎦⎥ ⎢∂t ⎣ 14442444 3 = σik/ ∂ ui ∂ + ∂ xk ∂ xk ⎛ ∂ T ⎞ ∂ Rk ⎜⎜ k ⎟⎟ − ∂ x ∂ xk ⎝ k ⎠ Taux d' échange de chaleur par unité de volume où s est l’entropie, k le coefficient de conductivité moléculaire et Rk est le flux radiatif. Le changement d’entropie spécifique est : T ⋅ ds = dh − α ⋅ dp = c p ⋅ dT − α ⋅ dp où α = volume spécifique = 1 ρ et E.H.T.P. Chapitre 4 4-52 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique c p la capacité thermique à pression constante et h est l’enthalpie spécifique. Pour un processus isentropique ds = 0 reportons dans cette équation et intégrons alors : R To ⎛ p o ⎞ M c p =⎜ ⎟ T ⎝ p ⎠ où To est la température au niveau où la pression est p o . Par convention p o = 1000 mb et To est désignée par la température potentielle θ : R ⎛ 1000 ⎞ M c p r ⎛ 1000 ⎞ c p θ≡T⎜ =T ⎜ où p est exprimée en (mb ) ⎟ ⎟ p p ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ On peut écrire donc l’équation de conservation d’énergie sous la forme en négligeant la conversion de l’énergie mécanique en thermique : dθ ∂ θ ∂θ θ ∂ 2T α θ ∂ Rk = + uk = χ − dt ∂ t ∂ xk T ∂ xk ∂ xk c p T ∂ xk où χ = k ρ c p est la diffusivité thermique moléculaire. L’équation de conservation de l’humidité q (de masse) est : ∂q ∂q ∂ 2q + uk = Dq ∂t ∂ xk ∂ xk ∂ xk où D q est le coefficient de diffusivité de la vapeur d’eau. Si on a un changement de phase la contenance total d’eau qT = q + ql (où ql la part liquide) doit être utilisé à la place q. Résumé : Notre système (sans condensation) de conservation est : ⎧ ∂ ρ ∂ ρu i =0 + ⎪ ∂ t x ∂ i ⎪ ⎪ 2 ⎪ ∂ ui + uk ∂ ui + 2Ωεijk η juk = − 1 ∂ p − gδi3 + ν ∂ ui ⎪ ∂t ∂ xk ∂ xk ∂ xk ρ ∂ xi ⎪ ⎨ p = ρrdTv ⎪ 2 ⎪ d θ = ∂ θ + u ∂ θ = θ χ ∂ T − α θ ∂ Rk k ⎪ dt ∂ t ∂ xk T ∂ xk ∂ xk c p T ∂ xk ⎪ ⎪ ∂q ∂q ∂ 2q + uk = Dq ⎪ ∂ xk ∂ xk ∂ xk ⎩ ∂t C’est un système fermé : constitué de 7 équations pour 7 inconnues. E.H.T.P. Chapitre 4 4-53 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique • Les équations de l’écoulement moyen turbulent dans CLA : ♦ Décomposition de Reynolds : Les équation à l’échelle moléculaire contiennent des termes non linéaires qui donnent naissance à des solutions chaotiques : c’est pour cela on essaye de filtrer nos équations à une échelle plus grande selon ce qu’on désir modéliser mais du faite de la non – linéarité de ces équation il subsiste des termes de fluctuation (termes de Reynolds) , on écrit pour une variable φ : φ (x, y, z, t ) = φ (x, y, z, t ) + φ / (x, y, z, t ) où φ désigne la moyenne d’ensemble ( conceptuellement N expériences identiques ! ). Cette décomposition de Reynolds doit vérifier des propriétés pour développer des équations d’équilibre : dφ dφ φ = φ , φ / = 0 , φ φ = 0 et = dλ dλ où λ est l’une des variables indépendantes (x i , t ) . On peut alors écrire : ⎧ u j = u j + u /j ⎪ ⎪ρ = ρ + ρ / ⎪⎪ / ⎨p= p+p ⎪ / / ⎪ T = T + T et θ = θ + θ ⎪ q = q + q/ ⎪⎩ En reportant ces relations dans la conservation de la quantité de ∂ ui ∂ ui ∂ 2ui 1 ∂p mouvement : + uk + 2Ωεijk η juk = − − gδi3 + ν ∂t ∂ xk ρ ∂ xi ∂ xk ∂ xk on obtient alors : / / ∂ uj ∂ uj ∂ ui/ ∂ ui 1 ∂p 1 ∂ p/ / ∂ ui / ∂ ui + + uj + uj + uj + uj =− −− ∂t ∂t ∂ xj ∂ xj ∂ xj ∂ xj ρ ∂ xi ρ ∂ xi ( ) ∂ 2 ui + ui/ ρ/ 1 ∂ p + − gδ i 3 + ν − 2Ωεijk η j uk − 2Ωεijk η juk/ ∂ x j∂ x j ρ ρ ∂ xi Dans le gradient de pression le terme 1 ρ a été développé en série de Taylor autour de ρ et on a retenu que le premier terme en fluctuation. En prenant la moyenne de cette équation on obtient : / / ∂ uj ∂ ui 1 ∂p ∂ ∂ u i ∂ ui u j + uj + 2Ωεijk η j uk = − +ν − ∂t ∂ xj ∂ xj ∂ xj ∂ xj ρ ∂ xi E.H.T.P. Chapitre 4 4-54 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Notons que si l’écoulement en moyen est incompressible il en est de même pour l’écoulement fluctuant : ∂ ui ⎫ = 0⎪ ∂ xi ∂ ui/ ⎪ =0 ⎬⇒ ∂ x ∂ ui i = 0⎪ ⎪⎭ ∂ xi Dans l’équation de conservation de la quantité de mouvement les termes ⇒ r r / / de Reynolds sont : τij = −ρ ⋅ ui u j tel que : τ = τij ei ⊗ e j ainsi le dernier terme dans cette équation est la divergence du tenseur ⇒ de Reynolds τ représentant le frottement qui résulte du transfert de la quantité de mouvement par les fluctuations turbulentes. Dans une atmosphère sans accélération ni turbulence cette équation traduit l’équilibre entre la force de Coriolis et le gradient de pression pour la composante horizontale du mouvement d’air. Comme u3 est de plusieurs ordres inférieure que la composante horizontale du vent alors la composante verticale de la rotation de la terre contribue faiblement à l’équilibre. Les composantes du vent géostrophique qui en résultes sont : ⎧ 1 ∂p 1 ∂ p⎫ u g , v g = ⎨− , ⎬ où f = 2Ω sin ϕ (ϕ = latitude du lieu) ⎩ ρ f ∂ y ρ f ∂ x⎭ La même procédure de filtrage s’applique aux équations régissantes la température potentielle et la vapeur d’eau : ( ) et ∂ ui/ θ / ∂θ ∂θ 1 θ ∂ Rk =− + uj − ∂ xj ∂t ∂ xj ρ cp T ∂ xk ∂ ui/ q / ∂q ∂q + uj =− ∂t ∂ xj ∂ xj car la diffusion moléculaire, termes devant χ et D q ,sont négligeables vis à vis de la diffusion turbulente. • La fermeture du problème turbulent : Il n’est pas possible mathématiquement de fermer le problème turbulent (plus d’inconnues que d’équations ui/ u /j : par exemple en prenant des moment d’ordre élevé comme ui/ u /j uk/ K etc pour cela on adopte une approche analogique avec la diffusion moléculaire pour parvenir à ce problème. Le plus courant de ces analogies est celui de Hinze : ⎛ ∂ u ∂ uj ⎞ τij ⎟ = −K ijkl ⎜ i + ⎟ ⎜ ρ ⎝ ∂ x j ∂ xi ⎠ E.H.T.P. Chapitre 4 4-55 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique ⇒ r r r r K = K ijkl ei ⊗ e j ⊗ ek ⊗ e l est un tenseur de viscosité de quatrième ordre [en général isotrope : c’est – à – dire K i jk l =λ1δi j δkl + λ 2 δik δ jl + λ 3 δil δ jk où λ1 , λ 2 et λ 3 sont des constantes (pour la démonstration voir cours d’analyse tensorielle)]. Cette analogie est en réalité non parfaite du faite que le transfert de la quantité de mouvement à l’échelle moléculaire dont le libre parcourt moyen est plus petit que l’échelle de variation du gradient de vitesse alors le transfert moléculaire est dû principalement aux gradients des vitesses (proches voisins). Mais l’échelle des fluctuations turbulences est du même ordre de grandeur que l’échelle des gradients des vitesses et donc le transfert de la quantité de mouvement est affecté par les voisins assez lointains (à ⇒ l’échelle de la turbulence le tenseur K en réalité n’est plus isotrope) ? Pour cela on adoptera l’approche de Boussinesq (1er ordre) : ∂u ∂θ u / w / ≡ −K masse et w / θ / ≡ −K heat ∂z ∂z ∂u ∂w = w / u / = −K mX le tenseur de Reynolds est comme u / w / ≡ −K mZ ∂z ∂x donc symétrique. Le signe moins est introduit pour respecter le sens du transport (de la zone à forte grandeur vers là où elle faible) puisque le gradient va de la zone à faible grandeur vers là où elle est importante tout en étant perpendiculaire aux surfaces iso – valeur. • Couche Limite de Surface CLS : Théorie de Monin – Obukhov Par W. J. Shaw Dépatement of meteorology Montrer CA 93943 CBLs (Convective Boundary Layers) se forment dans un écoulement fluctuant sur une paroi horizontale chauffée : T(z ) ↓ quand z ↑ (stratification thermique est instable: Q = w / T / 〉 0 du bas vers le haut) Sous l’hypothèse d’une turbulence horizontale homogène dans la couche limite se surface : Monin et Obukhov (1954) [Trans. Geophys. Int. Akad. URSS, 151, 163 – 187] ont supposé que les grandeurs fondamentales d’échelle dans cette région sont la vitesse de frottement ∂T u∗ , le flux de chaleur w / T / ≡ −K h , l’élévation z au – dessus de la ∂z surface et le paramètre de poussée g T v est une température virtuelle En plus ils ont admis une forte restriction en imposant que les flux sont constants en z dans la CLS sans tenir compte des effets: de l’humidité et/ou de l’écart de température... sur les structures turbulentes [car la fluctuation de l’humidité cause une un changement de densité dont on E.H.T.P. Chapitre 4 4-56 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique peut tenir compte en remplaçant Tv par T dans la terme de chaleur sensible ainsi que dans le terme de poussé]. En utilisant le théorème de Buckingham (1962) sous l’hypothèse des 4 variables d’échelle introduites avant selon Monin – Obukhov on peut formuler nos lois physique : par exemple considérant la dérivée verticale Selon Monin − Obukhov ) ( du vent de surface ∂ u ∂ z ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ ≡ f z, u∗ , w / T / , g T v donc selon le théorème π on peut écrire : (Analyse dimensionnelle) α ( ) γ ( ) ⎡α ⎤ ⎡ 1⎤ ⎡0⎤ ainsi ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ et ⎢ ⎥ d’où ⎣ β ⎦ ⎣0⎦ ⎣ 1⎦ z ⎛ ∂u⎞ z ⋅ g ⎛⎜ w / Tv/ ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ et ∏ 2 = on obtient : ∏1 = soit donc u∗ ⎝ ∂ z ⎠ T v ⎜⎝ u∗3 ⎟⎠ ⎛ κ z ⋅ g ⎡ w /T/ ⎤ ⎞ κz ∂u f (∏1, ∏ 2 ) = 0 ⇔ ∏1 = Φ (∏ 2 ) ⇒ = φ⎜ ⎢ 3 v ⎥⎟ ⎜ ⎟ u∗ ∂ z T ⎝ v ⎢⎣ u∗ ⎥⎦ ⎠ on a introduit la constante de Von Karman κ pour convenance, ceci ne change pas notre Scaling. ⎛ ∂u⎞ ⎟⎟ w / Tv/ ∏ = ⎜⎜ ⎝∂ z⎠ [ ⎡ κ g w /T/ v posons L = ⎢ 3 ⎢⎣ T v u∗ β⎛ g ⎞ ε ⎜ ⎟ z ⎝ Tv ⎠ ] ⎤ ⎥ ⎥⎦ −1 κz ∂ u ⎛ z⎞ = φ⎜ ⎟ u∗ ∂ z ⎝L⎠ c’est la longueur d’Obukhov. On peut définir une température virtuelle de frottement T v∗ = w / Tv/ u∗ . Sous les conditions neutres la température virtuelle w / Tv/ ≡ 0 alors le paramètre de stabilité de Monin – Obukhov z L est également nul. Dans z ∂u u∗ ∂ z qui ne peut être que constant. Définissant cette constante par ∏ = 1 κ ce qui donne alors φ(0 ) = 1 qui après intégration donne un profil de vent cette situation on n’a qu’un groupe adimensionnel : ∏ = ⎛ z ⎞ u∗ ⎟⎟ loge ⎜⎜ z κ ⎝ o⎠ or le terme de Reynolds correspondant à ce transfert de quantité de ∂u d’après mouvement vertical est : u / w / qu’on ferme par ≡ −K m ∂z notre solution on doit avoir K m = κ u∗ z ce qui montre que la viscosité turbulente est une propriété de l’écoulement que celle du fluide. Il existe 2 conditions de stabilité thermodynamiques pour lesquelles l’analyse dimensionnelle ne donne pas une formulation explicite des fonctions. Le premier désigné par la convection libre locale et c’est la logarithmique pour les conditions neutres : u = E.H.T.P. Chapitre 4 4-57 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique limite quand z L → ∞ . Cette limite est atteinte en stratification instable (flux thermique de la mer vers l’air) puisque u∗ → 0 . Dans ce cas on ne dispose plus de u∗ comme grandeur d’échelle dans la théorie de Monin – Obukhov . Ce qui réduit le nombre de groupement ∏ à 1. On obtiendra par exemple pour la variation de la vitesse verticale : Φ(∏ ) = 0 ⇒ ∏ = constante ainsi ∏ = σ w2 z − 2 ⎡ 3 ⎤ g w / Tv/ ⎥ ⎢ ⎣ Tv ⎦ − 2 3 =C te ⎡ g ou σ w2 α ⎢ ⎣ Tv 2 ⎤3 w / Tv/ ⎥ ⎦ = w 2f 1 ⎤3 w / Tv/ ⎥ ⎡g z ~ z1 3 est l’échelle de la vitesse de où w f = w ∗ = ⎢ ⎣ Tv ⎦ convection . Il est également possible de définir une température de 1 3 Tv ⎤ ) ( 2 ⎡ / / 3 convection libre : Tf = T∗ = ⎢ ⎥ w Tv ⎣g z ⎦ Ainsi en convection thermique libre les paramètres d’échelle sont w f , Tf z et L qui n’est pas présente pour longtemps présente car u∗ n’est pas un paramètre actif. En introduisant u∗ , κ et on prend le signe opposé alors : 2 2 2 ⎡ κ z g w /T/ ⎤ 3 ⎛ z ⎞3 ∑ w (t ) ⎛ z⎞ 2 v = w 2 = u∗2 f w ⎜ ⎟ où σ w = α⎢ ⎥ = ⎜− ⎟ 3 N u∗ ⎥⎦ ⎝ L⎠ ⎝L⎠ ⎢⎣ T v où u∗ est introduite par convenance pour l’exprimer en fonction de z L (en réalité cette relation est indépendante de u∗ ) : σ w2 u∗2 w2 ⎛z⎞ fw ⎜ ⎟ = u∗ ⎝L⎠ 6,0 4,0 2,0 1,0 • 0,8 0,6 0,4 0,02 INDICATIF • •• • •• •• •• •• •• • •• • • • • • • 1 3 −z L 0,1 1,0 4,0 variation de la valeur quadratiqu e moynne de la vitesse verticale normalisée en fonction du paramètre de stabilité de Monin & Obukhov (z L ) E.H.T.P. Chapitre 4 4-58 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique [ ] ⎧⎪ 4 + 0,33(z L )2 3 1 2 = =⎨ à Minnesota au USA 13 u∗ ⎪⎩12 + 0,2(z L ) Les spectres à Minnesota vérifient pour les courtes échelles la réparation ⎧⎪Eu (k ) = α1ε 2 3k − 5 3 de Kolmogrov: ⎨ où α1 = C te de Kolmogrov ≈ 0,52 ⎪⎩E v (k ) = (4α1 3 )ε 2 3k − 5 3 ♣ Le flux de chaleur turbulent obtenu par l’analyse dimensionnelle est : σu ou v u2 ou v 2 u∗ 1 2 ⎤ ⎡ ⎧ dT ⎫ = ⎢χ ⎨ ⎬ ⎥ z =0 ⎢⎣ ⎩ d z ⎭ z = 0 ⎥⎦ ♣ Le flux d’humidité turbulent obtenu par l’analyse dimensionnelle est : κz ∂q ⎛z⎞ = φ q ⎜ ⎟ où q∗ = − w / q / q∗ ∂ z ⎝L⎠ κz ∂θ ⎛z⎞ = φheat ⎜ ⎟ T∗ ∂ z ⎝L ⎠ où T∗ = Q , Q = − w /T/ u∗ 1,0 0,8 •• z h 0,6 0,4 0 • • 0 1 2 u • • 3 2 • • • • •• • 0,2 indicatifs •• •• • • • 4 5 6 • • • •• •• 0 0,5 1 1,5 2 2,5 2 u∗ w 2 • 2 z h • 0,6 • 0,4 • • • • 0,2 0 • • • • • • • 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 − uw u • 2 2 3 θ T∗ 2 • •• 4 5 6 4 5 6 2 • indicatifs •• 0 1 u∗ 1,0 0,8 •• • • • • • •• •• •• •• • • • • •• • • 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 1 − wθ u T ∗ ∗ 2 3 uθ u T ∗ ∗ u∗ ⎛ u∗ ⎞ ⎟ Scaling (l’échelle) hors de la couche de surface. Le φ⎜ f ⎜⎝ f L ⎟⎠ paramètre h L est un indicateur global de la couche limite stratifiée. Voici quelques équations empirique utilisées dans la modélisation : Où h ≡ E.H.T.P. Chapitre 4 4-59 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique ⎧⎪σ 2 = u2 = 0,2w 2 + 4u 2 u ∗ ∗ in CBL : ⎨ d’après l’expérience de Minnesota 2 2 2 2 ⎪⎩σ v = v = 0,2w ∗ + 1,75u∗ Les valeurs des moments de second ordre σu2 = u / 2 , σ 2v , σ 2w , σ 2T = T / 2 et Q x = − u / T / dans le sous – filme visqueux satisfont à : σu = A 1u∗ , σ v = A 2u∗ , σ w = A 3u∗ , σ T = A 4u∗ , Q x = A 5 Q Q dT ⎞ ⎛ ⎛ du ⎞ et Q = ⎜ − λ = T / w / ou T∗ = ≡ ⎜ν ⎟ ⎟ u∗ dz ⎠ z = 0 ⎝ ⎝ dz ⎠ z = 0 avec d’après des expériences de laboratoire : A 1 ≈ 2,4 ; A 2 ≈ 1,7 ; A 3 ≈ 1,0 ; A 4 ≈ 1,3 ; A 5 ≈ 2,5 pour LSLs dans l’atmosphère les mesures sont plus dispersées les valeurs moyennes pour z L 〈 0,1 sont : A 1 ≈ 2,7 ; A 2 ≈ 2,5 ; A 3 ≈ 1,25 ; A 4 ≈ 2,9 ; A 5 ≈ 3,8 pour ASLs où u∗ = − u / w / 12 uw ≡ 0 en z = z c on a : − u h= ∗ f uw ⎛ z ⎞ ⎛z⎞ ≈ ⎜ ⎟ − 1 donc z c = h ≈ − soit 1 ⎜ ⎟ u∗2 u∗2 ⎝ h ⎠ ⎝h⎠ uw ⎡ κ g w /T/ ⎤ ⎛u ⎞ ⎛u ⎞ hf v = φ⎜⎜ ∗ ⎟⎟ où L = ⎢ φ⎜⎜ ∗ ⎟⎟ ⇒ ⎥ 2 f L u f L T u ⎢⎣ v ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∗ ∗ ⎥ ⎦ −1 soit ⎛ ⎛ κg ⎛ u∗ ⎞ w ∗ θ∗ ⎞ κ g w / Tv/ ⎞⎟ hf 1 ⎜ ⎟⎟ = φ⎜⎜ ⎟⎟ = φ = φ⎜⎜ ⎜ ⎟ Ω ϕ u∗ f L 2 sin T u 2 sin u T Ω ϕ ⎝ ⎠ ⎝ ∗ ⎠ ∗ v v ⎠ ⎝ w / Tv/ θ∗ = échelle de température dans la couche de mélange. w∗ 13 ⎡ g / / ⎤ w∗ = ⎢ w Tv h⎥ échelle de vitesse dans la couche de mélange. ⎣Tv ⎦ Il est souvent proposé une relation pour la température virtuelle Tv fonction de humidité spécifique q et la température de l’air T sous la forme : Tv = T(1 + 0,61q ) de tel manière qu’on peut séparer le flux de température Tv en 2 composantes : les flux w / T / & d’humidité w / q / : w / Tv/ = w / T / + 0,61T w / q / d’où E.H.T.P. Chapitre 4 ⎧H = le flux de chaleur sensible ≡ ρc w / T / ⎪ p v ⎨ ⎪⎩E = le flux de chaleur latente ≡ ρL v w / q / 4-60 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique où c p est la chaleur spécifique de l’air à pression constante et L v est la chaleur latente de vaporisation. L’épaisseur de la couche limite atmosphérique est estimée par : A u∗3 où A , B et C sont des constantes δ CL = / / Bg w Tv T + C L’effet de la turbulence sur le vent géostrophique se traduit par : ⎛ ∂ u/ v / ∂ v / v / ∂ u/ w / ⎞ ⎧ 1 ∂p ⎟ + + f u − ug = −⎜ = − u ⎪ g ⎜ ∂x ∂z ⎟ ∂y ρf ∂y ⎝ ⎠ où ⎪ avec f = 2Ω sin ϕ ⎨ ⎛ ∂ u/u/ ∂ u/ v / ∂ u/ w / ⎞ ∂ 1 p ⎪v = ⎟ − f v − v g = −⎜ + + ⎪ g ρf ∂x ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎩ ⎝ ⎠ ces équations doivent être couplées avec l’advection horizontale induite par l’air chaud (vent thermique) : ⎧ ∂ ug g 1 ∂T =− ⎪ f T ∂y ⎪ ∂z ⎨ ⎪ ∂ vg = g 1 ∂ T ⎪⎩ ∂ z f T ∂x ( ) ( ) Proche de la surface océanique la contrainte décroît faiblement avec la hauteur conformément à : ⎛ z ⎞ ⎟⎟ où u∗2o est u∗2 en z = 0 (surface ) u∗2 = u∗2o ⎜⎜1 − ⎝ δ CL ⎠ une estimation en premier approximation de l’épaisseur de la couche limite de surface est selon Tennkes (1973) pour une situation proche d’une stratification neutre : ⎛u ⎞ ⎛u ⎞ u hf te te u∗ hs = ∗ φ s ⎜⎜ ∗ ⎟⎟ ⇒ = limite φ s ⎜⎜ ∗ ⎟⎟ ≈ C ⇒ hs = C f u∗ L → ∞ ⎝ f L ⎠ f ⎝fL⎠ où C te a une valeur proche de 0,03 à 0,05. Le flux de chaleur également décroît avec la hauteur : z⎤ ⎡ H(z ) = H(0 ) ⎢1 − 1,2 ⎥ h⎦ ⎣ Remarquez que le flux de chaleur devient négatif approximativement vers (0,8 ⋅ h) ce changement de signe au dessus de 0,8 h résultante d’un transfert de chaleur vers le bas fournit par l’air chaud au dessus de l’inversion au sommet de la PBL (Plannetary Boundary Layer ) (CLP ). On sait que la couche limite dynamique logarithmique correspond à une longueur de mélange de Prandtl l m = κ z proche de la surface libre océanique de sorte qu’on peut écrire : E.H.T.P. Chapitre 4 4-61 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique ⎛ z ⎞ u u u ∂u 12 ⎟⎟ = (τ s ρ) l m = ∗ = ∗ ⇒ u = ∗ loge ⎜⎜ κ lm κ z z ∂z ⎝ o⎠ D’autres travaux il est cherché à généralisé cette approche en introduisant une fonction φm (Ri) (Ri nombre de Richardson) de sorte g (∂ θ ∂ z ) qu’on peut écrire : Ri = θv ∂ u ∂ z ⎧φm 〈 1 : en stratification unstable (l m 〉 κz ) u∗ ∂ u u∗ ⎪ où = = φm ⎯⎯→ ⎯ ⎨φm = 1 : en stratification neutre (l m = κz ) ∂ z lm κ z ⎪φ 〉 1 : en stratification stable (l 〈 κz ) m ⎩ m ( ) En stratification instable: φm = (1 − α ⋅ Ri) − 1 4 où α ≈ 15 . En stratification stable: φm = 1 + β ⋅ Ri où β est déterminé par expérience D’une manière analogue qu’on a déterminé le profil du vent on peut aussi déterminer les profils de température et d’humidité par : T ∂ T T∗ = = ∗ φh • u∗T∗ = − w / T / ∂ z lm κ z où q∗ ∂ q q∗ u∗q∗ = − w / q / • = = φq ∂ z lm κ z ) ( ( ) ( ) =− T v u∗3 12 2 2⎫ 12 ⎧ avec u∗ = ⎨ u / w / + − v / w / ⎬ ≈ − u/ w / quand v / w / u / w / 〈〈1 ⎩ ⎭ il est trouvé par Businger (1971) que : : en écoulement instable ⎧Ri ⎛ z⎞ ⎪ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎨ Ri ⎝ L ⎠ ⎪ (1 − 5 Ri ) : en écoulement stable ⎩ où L est la longueur de Monin – Obukhov : ⎡ κ g w /T/ v L=⎢ 3 ⎢⎣ T v u∗ ⎤ ⎥ ⎥⎦ −1 ( g κ w / Tv/ ) or w / Tv/ = w / T / + 0,61 ⋅ T ⋅ w / q / alors on peut décomposer ( z L ) : ( ) ) ( g κz w / Tv/ z gzκ z z / / / / w T 0 , 61 T w q =− = − + = + ⇒ L LT Lq T v u∗3 T v u∗3 E.H.T.P. Chapitre 4 4-62 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique ⎧ z g κz w / T / =− ↔ chaleur sensible ⎪ 3 L T v u∗ ⎪ T ⎨ ⎪ z g κz T w / q / 0 , 61 = − ↔ chaleur latente ⎪L 3 T v u∗ ⎩ q [ Si on ne dispose pas d’information sur l’humidité relative RH (Relative Humidity) elle est admis souvent qu’elle est de l’ordre de 60% à 75% pour un ciel claire. L’humidité en surface est supposée souvent égale à 100% ]. Un algorithme opérationnel pour estimer l’Humidité spécifique q : e q = 0,62 ⋅ RH ⋅ s p où e s est la pression de la vapeur saturante et p la pression de l’air. La pression de vapeur saturante peur être estimée par : 2 ⎛ 3⎞ ⎛ 10 3 ⎞ ⎟ + C ⎜ 10 ⎟ log10 e s = A + B ⎜⎜ ⎟ ⎜ T ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ T ⎠ ⎧A = 8,42926609 T en o K ⎪ avec ⎨B = −1,82717843 et où e s en millibars ⎪C = −0,071208271 ⎩ Les fonctions φm et φh sont paramétrisées par : 1 ⎧ − ⎧ 1 z 4 z z ⎛ ⎞ ⎪⎜1 − α ⎟ : 〈 0 2 ⎪φm : 〈0 ⎪ ⎪ L L L ⎝ ⎠ φm = ⎨ & φh = ⎨ z ⎪ ⎪ z z φ : 〉0 m 1 : 0 + β 〉 ⎪ ⎪⎩ L ⎩ L L Puisqu’on dispose de peu connaissances sur la correction de la stratification par le gradient de l’humidité, il est alors souvent admit que φ q = φh . L’ordre de α et β sont respectivement 16 et 5. En intégrant la vitesse thermique du vent et le profil d’humidité on obtient les profils de couche de surface : ⎞ ⎛ z ⎞ ⎛u ⎞⎛ τ • u = ⎜ ∗ ⎟ ⎜⎜ loge ⎜⎜ ⎟⎟ − ψ m ⎟⎟ = u∗2 = −u / w / z κ ⎝ ⎠⎝ ⎝ o⎠ ⎠ ρ ⎞ ⎛ z ⎞ H ⎛ T ⎞⎛ ⎟⎟ − ψ h ⎟ où = u∗T∗ = w / T / • T − To = ⎜ ∗ ⎟ ⎜⎜ loge ⎜⎜ ⎟ ρc p ⎝ κ ⎠⎝ ⎝ z oT ⎠ ⎠ ⎞ ⎛ z ⎞ ⎛ q ⎞⎛ ⎟ − ψq ⎟ • q − qo = ⎜ ∗ ⎟ ⎜ loge ⎜ ⎜z ⎟ ⎟ ⎝ κ ⎠ ⎜⎝ ⎝ oq ⎠ ⎠ E.H.T.P. Chapitre 4 4-63 Interactions air – mer E = u∗q∗ = w / q / ρL v ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique L’humidité en surface est conventionnellement supposée être saturée à µ ν = dans la la température de la surface de la mer Ts = To . z o = ρ u∗ u ∗ couche logarithmique. Les fonctions de stratification dans ces relations sont : −1 ⎞ −2 ⎞ ⎧ ⎛ 1 + φm ⎛ 1 + φm π z −1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 2 tg−1 φm + + 〈0 : log ⎪2 loge ⎜ e ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎪ 2 L 2 ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ψm = ⎨ ⎪ z ⎪⎩1 − φm : L 〉 0 ⎧ ⎛ 1 + φh−1 ⎞ ⎟ :z〈0 ⎪2 loge ⎜⎜ ⎟ ⎪ ⎝ 2 ⎠ L ψh = ⎨ et ψ q ≡ ψ h ⎪ z : 〉0 ⎪⎩1 − φh L La difficulté réside par cette approche dans l’estimation des longueurs de rugosité z o , z oT et z oq . ( ) dT ⎞ ⎛ 〈 0⎟ • Note sur le cas d’une stratification instable : ⎜ Q 〉 0 , L 〉 0 , dz ⎠ ⎝ Prandtl (1932) a considéré le cas d’une forte convection atmosphérique sans vent. A l’aide de l’approche théorique empirique par la longueur de mélange il a obtenu les équations : 4 4 1 − dT Q c −à −d ~ z 3 ⎯⎯ − ⎯ ⎯→ λ ≡ λ T = − ~ z 3 , w∗ ~ z3 dz (dT dz ) où w ∗ (vitesse de frottement verticale) est la valeur caractéristique de l’echelle de vitesse verticale fluctuante au niveau z. Pour déterminer la vitesse du vent U(z ) il a adopté l’hypothèse que µ(z ) ~ λ T (z ) (la viscosité est proportionnelle à la diffusivité thermique) ce qui se traduit par : (d U d z) ~ z − 4 3 Complément Les profiles de vitesse , la loi de résistance et le taux de dissipation de l’énergie cinétique dans la Couche Limite Planétaire Stratifiée (CLP) Neutre ou Stable PBL → Planetary Boundary Layer ← CLP par S. ZILITINKEVICH • (1) Couche limite d’Ekman : En régime permanent et un fluide homogène horizontalement, les composantes u et v le long des axes x et y dans PBL satisfont les équations d’Ekman : E.H.T.P. Chapitre 4 4-64 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique y r Ug d τx ⎧ r ey α ⎪ f v − Ug sin α − d z = 0 ⎪ r (1) ⎨ x e d τ x y ⎪− f u − U cos α + =0 g ⎪⎩ dz Yaglom désigne la CLP (ou PBL) par (GSL: Geophysical Surface Layer ) c’est la couche de l’écoulement atmosphérique ou l’océanique adjacente à une limite de cet écoulement (la surface du sol ou de l’océan dans le cas rde l’atmosphère ou le fond océanique). r r r où Ug est la vitesse du vent géostrophique, La contrainte τ = τ x e x + τ y e y r est normalisée par la masse volumique c – à – d (ρ ⋅ τ ) est la contrainte physique. Allongeant l’axe des x le long de la force de frottement en surface alors : τ sx = 0 et l’angle α représente ainsi la déviation du vent ( ) ( ) dans la CLP . Le frottement surfacique sera caractérisé par u∗ = τ xs . Il faut entendre par PBL ↔ CLP la couche 0 〈 z 〈 h à l’extrémité de laquelle la turbulence disparaît alors on a : r ⎧τ x (h) = 0 r r r τ(h) = τ x (h)e x + τ y (h)e y = 0 ⇒ ⎨ (2) ( ) τ h = 0 ⎩ y et où les composantes du vent deviennent celles géostrophiques : ⎧⎪u(h) = Ug cos α (3) ⎨ ⎪⎩v (h) = Ug sin α En intégrant les équations (1) sur z de 0 à h et en utilisant les conditions aux limites (2) et (3) on obtient : h h u∗2 (4) ∫ u d z = h u(h) & ∫ v d z = h v (h) + f 0 0 Une autre relation est obtenue pour le taux de dissipation d’énergie cinétique moyenne (c’est – à – dire le taux de sa transformation en énergie turbulente) par la formule : du dv (5) ε = τx ⋅ + τy ⋅ dz dz En l’intégrant de 0 à h en tenant des conditions (1 à 4) on obtient : h 2 ∫ ε d z = Ug u∗ cos α (6) 0 Les équations (4) et (6) résultent immédiatement de (1) et des conditions aux limites naturelles, c’est – à – dire qu‘elle ne dépendent pas de la présence ou non de la stratification (la force de poussée) qui influence la structure turbulente dans la CLP. E.H.T.P. Chapitre 4 4-65 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Si une source de poussée est présente dans le CLP (disons causée par un échauffement ou un refroidissement de la surface), l’effet de ces forces dans la CLP (PLB) est caractérisé par la valeur moyenne proche de la surface du flux de poussée vertical B∗s ou par des paramètres tel que la longueur de Monin – Obukhov L ou le paramètre de stratification adimensionnel µ : u∗3 u∗3 u∗2 = = L=− κ B s Q β T∗β , µ= − κ 2B s (7) β = γ g f u∗2 où κ est la constante de von Karman (κ = 0,4 ) ; β et γ sont les coefficients de poussée et de dilatation thermique du fluide (pour un gaz parfait γ vaut 1 T ). Dans l’équation dynamique on a le terme additionnel − β g(T − To ) tenant compte de la dilatation du fluide ρ g = ρ(p, T ) g . Strictement parlant quand B s ≠ 0 un état de régime permanent est impossible à atteindre dans CLP du fait qu’il existe un gain ou une perte de poussée (échauffement ou refroidissement) ; qui est décrite par l’équation de transfert de chaleur instationnaire. Cependant on acceptera l’existence d’un état stationnaire même quand au cours du transfert thermique par ajustement de la CLP (PBL) à chaque situation. Quand la stratification est neutre ( B s = 0 ) il n’existe pas de forces de poussée , en stratification stable (B s 〈 0) elles inhibent (suppriment) la turbulence et le seul mécanisme produisant la turbulence est le cisaillement du vent dans les 2 cas. Dans le cas neutral la profondeur (épaisseur) de la CLP est obtenue par la formule de Rossby – Montgomery : u h = Λ o ∗ (8) f où Λ o est une constante universelle sans dimension qui est souvent prise égale à 0,3. Dans la CLP stratifiée stable parmi la liste de paramètres qui définissent la structure de la CLP stationnaire est le flux de poussée proche de la surface B s . Cela se traduit par le fait que l’épaisseur h de le CLP peut être représenté par une formule similaire à (8), mais le paramètre sans dimension Λ o n’est pas constant : Λ(µ ) . Dans le cas de tarification très stable ( µ 〉〉 1) , le comportement asymptotique de cette fonction peut être déterminer par l’analyse de l’équation de conservation de la quantité de mouvement et par des considérations de similitude. Ce qui donne : u∗2 (9) u∗ = − u / w / ~ 0,5 m s h = Ch 12 f Bs E.H.T.P. Chapitre 4 4-66 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique où Ch est une constante universelle sans dimension de l’ordre de 1. Pour l’évaluation empirique de cette constante Λ(µ ) à partir de mesures météorologiques en respectant la condition (8) donne : −1 ⎛ 1 µ ⎞ ⎟ (10) ≡ Λ(µ ) = ⎜⎜ + ⎟ u∗ C Λ κ h⎠ ⎝ o Il est désirable d’avoir une expression empirique de la fonction Λ(µ ) dans le régime de transition 0 〈 µ 〈 10 . Cependant l’équation (10) peut être utilisée avec une bonne approximation en météorologie, car la stratification stable prend place dans CLP atmosphérique pendant une bonne part de la nuit, qui est caractérisée par un µ de l’ordre de quelque dizaine noir des centaines. Dans l’océan µ est de l’ordre de unité voir quelques unités en stratification stable. On adopte ainsi la formule (10). (2) Stratification Neutre : Dans ce cas on a vue que le profil de vitesse du vent proche de la ⎛z ⎞ u surface z 〈〈 h est logarithmique : u(z ) = ∗ loge ⎜⎜ ⎟⎟ & v (z ) = 0 (11) κ ⎝ zo ⎠ et la déflexion de la vitesse suit la lois pour z 〉〉 z o : u −u Ug cos α − u(z ) = ∗ Φ u (ζ ) & Ug sin α − v (z ) = ∗ Φ v (ζ ) ⋅ signe(f ) (12) κ κ où ζ est un paramètre sans dimension : ζ = z h (13) et où Φ u et Φ v sont des fonctions universelles, qui en accord avec (3) vérifient les conditions limites : Φ u (1) = Φ v (1) = 0 . Dans l’intervalle de chevauchement ( z o 〈〈 z 〈〈 h) des 2 formules (12) et (13) où elles sont valable simultanément et en utilisant l’équation (8) on obtient la loi de résistance : h f 2 ⎛ κ ⎞ ⎟ − A 2 ; sin α = − A o C g ⋅ signe(f ) (14) loge C g ⋅ Ro − B o = ⎜ ⎜ Cg ⎟ κ ⎠ ⎝ où Ro est le nombre de Rossby et C g le coefficient de résistance ( ) géostrophique : Ro = Ug f z o , C g = u∗ Ug (15) et où A o et B o sont des constantes universelles dont les valeurs moyennes sont : A o = 4,5 & B o = 1,7 . En accord avec (11) à (15) ainsi que (8) le profil de vitesse dans toute la zone z 〈 h suit la représentation : E.H.T.P. Chapitre 4 4-67 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique ⎤ ⎛z ⎞ u∗ ⎡ u∗ ⎢loge ⎜⎜ ⎟⎟ + fu (ζ )⎥ & v (z ) = − fv (ζ ) ⋅ signe(f ) (16) κ ⎣ κ ⎝ zo ⎠ ⎦ où fu et fv sont des fonctions universelles fonction de ζ , qui s’expriment en fonction de Φ u et Φ v par : fu = −B o − loge (Λ o ζ ) − Φ u et fv = A o − Φ v et qui obéissent aux conditions : fu (0 ) = fv (o ) = 0 (17) et fu (1) = −B o − loge Λ o et fv (1) = A o (18) En tenant compte de l’équation (17), on exprimera les fonctions fu et fv par des polynômes quadratiques : fu (ζ ) = b o ζ + b∗o ζ 2 , fv (ζ ) = a o ζ + a∗o ζ 2 (19) En utilisant la condition (4) pour déterminer les constantes polynomiales. Reportant u et v dans (16) et (19) en tenant compte de (8) on obtient : 3 3 3κ 3 b∗o = − − b o , a∗o = − a o (20) 2 4 2Λ o 4 En plus, en substituant (19) et (20) dans (18) on obtient : κ b o = 6 − 4B o − 4 loge Λ o , a o = 4Λ o − 6 (21) Λo ainsi le profil de vitesse en stratification neutre de la CLP est déterminé par 4 constantes : κ , Λ o , A o et B o . Si on adopte les valeurs recommandées avant pour la CLP – atmosphérique c’est – à – dire : κ = 0,4 , Λ o = 0,3 , A o = 4,5 et B o = 1,7 d’après les formules (20) et (21) on obtient alors : a o = 10 , a∗o = −5,5 , b o = 4 , b∗o = −4,5 Maintenant il n’est pas difficile de déterminer les profils du flux de la quantité de mouvement verticale. Il suffit pour cela de substituer Ug cos α , Ug sin α d’après (3) et u & v selon (16) et (19) dans l’équation u(z ) = (1) et puis intégrer sur z. Les profils de vitesse ainsi obtenue en stratification neutre de la CLP atmosphérique sont : 2 ⎧ u − Ug cos α 17 5 ⎛ z f ⎞ 100 ⎛ z f ⎞ ⎛zf ⎞ ⎪ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ − 125 ⎜⎜ ⎟⎟ = + loge ⎜⎜ u∗ 4 2 3 ⎜⎝ u∗ ⎟⎠ ⎪ ⎝ u∗ ⎠ ⎝ u∗ ⎠ ⎨ 2 ⎪ v − Ug sin α 45 250 ⎛ z f ⎞ 1375 ⎛ z f ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = − ⎪ u 4 3 u 2 u ⎝ ∗⎠ ⎝ ∗⎠ ∗ ⎩ Les profils des flux verticaux de la quantité de mouvement dans la CLP – atmosphérique en stratification neutre sont : E.H.T.P. Chapitre 4 4-68 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique 2 3 ⎧τ 45 ⎛ z f ⎞ 125 ⎛ z f ⎞ 1375 ⎛ z f ⎞ x ⎪ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = 1− 4 ⎜⎝ u∗ ⎟⎠ 3 ⎜⎝ u∗ ⎟⎠ 27 ⎜⎝ u∗ ⎟⎠ ⎪ u∗2 ⎨ 2 3 ⎪ τ y 17 ⎛ z f ⎞ 5 ⎛ z f ⎞ ⎛ ⎞ 50 ⎛ z f ⎞ zf 125 ⎛ z f ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ loge ( ) − 1⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎪ 2 = 4 u 2 u u 3 u 3 u u ⎝ ∗⎠ ⎝ ∗ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ∗⎠ ⎝ ∗⎠ ∗ ⎩ ∗ (3) Loi de résistance en stratification stable : Dans ce cas les paramètres caractérisant la CLP contiennent en plus le flux de poussée en surface B s et donc la longueur d’échelle de Monin – Obukhov L ou bien le paramètre de stratification µ définit par (7). Proche de la surface on a toujours un profil logarithmique comme avant (11) pour z 〈〈 h et z 〈〈 L . La déviation du profil de vitesse analogue à (12) est valable encore mais les fonctions Φ u et Φ v sont fonction de 2 variables ζ et µ . L’épaisseur h de la CLP dépend ici de u∗ , f et B s qui est exprimée sous la forme : Λ(µ ) = ( f h ) u∗ (voir 10). On a par analogie avec l’équation (14) obtenue la même procédure : 2 ⎛ κ ⎞ ⎟ − A 2 (µ ) ; sin α = − A (µ ) C g ⋅ signe(f ) (22) loge C g ⋅ Ro − B(µ ) = ⎜ ⎜ Cg ⎟ κ ⎠ ⎝ on a remplacé les constantes universelles A o & B o par les fonctions universelles A (µ ) & B(µ ) . Le comportement asymptotique de ces fonctions est : A (µ ) → N1 µ et B(µ ) → loge µ − N2 µ pour µ 〉〉 1 (23) où N1 & N2 sont des constantes universelles. (4) Détermination des profils de vitesse et des fonctions universelles A (µ ) & B(µ ) : ( ) En stratification neutre dans l’épaisseur h de la CLP en utilisant la déflexion du profil de vitesse et la loi de résistance pour z 〈〈 h on peut écrire : ⎤ ⎛z ⎞ u ⎡ u u(z ) = ∗ ⎢loge ⎜⎜ ⎟⎟ + fu (ζ, µ )⎥ & v (z ) = − ∗ fv (ζ, µ ) ⋅ signe(f ) (24) κ ⎣ κ ⎝ zo ⎠ ⎦ où fu (ζ, µ ) = −B(µ ) − loge [Λ(µ )ζ ] − Φ u et fv (ζ, µ ) = A (µ ) − Φ v fonction des 2 arguments et obéissantes aux conditions : (25) • fu (0, µ ) = fv (0, µ ) = 0 • fu (1, µ ) = −B(µ ) − loge Λ(µ ) et fv (1, µ ) = A (µ ) (26) comme avant on adopte une interpolation polynomiale quadratique en vérifiant les conditions (25) : fu (ζ, µ ) = b(µ ) ζ + b∗ (µ ) ζ 2 , fv (ζ ) = a(µ ) ζ + a∗ (µ ) ζ 2 (27) E.H.T.P. Chapitre 4 4-69 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique dont les coefficients satisfont d’après (4) à : 3 3 3κ 3 b∗ (µ ) = − − b(µ ) , a∗ (µ ) = − a(µ ) (28) 2 4 2Λ (µ ) 4 Selon Monin et Obukhov proche de la surface z 〈〈 h et si L 〈〈 h le profil de vitesse satisfait à la loi logarithmique plus un terme linéaire : ⎛z ⎞ u ⎡ z⎤ u(z ) = ∗ ⎢loge ⎜⎜ ⎟⎟ + βu ⎥ & v (z ) = 0 (29) κ ⎣ L⎦ ⎝ zo ⎠ où βu est une constante sans dimension de l’ordre de 10. D’après les approximations (24) & (27) et proche de la surface (29) on est conduit à la conclusion quand µ → ∞ que la fonction b(µ ) se comporte comme : β h b ~ u → Chβu µ (30) L et la fonction a(µ ) reste finie. Une expression qui se comporte de la même manière pour µ grand et qui vérifie les conditions pour µ = 0 possède la forme : b(µ ) = b o + Chβu µ et a(µ ) = a o (31) où les constantes sans dimension a o & b o sont données par (21). Les expression (14), (27), (28), (31) et (10) déterminent le profil de vitesse pour une approximation log – polynomiale. En utilisant les expression finales obtenues pour fu et fv dans (26) et en tenant compte des équations (10) & (21) on obtient : 3 ⎧ ⎪A (µ ) = A o + 2 C µ h ⎪ (32) ⎨ ⎞ ⎛ Λ µ 1 ⎪B(µ ) = B + log ⎜1 + o ⎟ − C hβ u µ o e⎜ ⎟ ⎪ C κ h ⎠ 4 ⎝ ⎩ qui contient 6 constantes universelles κ, Λ o , A o , B o , Ch et βu . Une comparaison avec les mesures donne : Ch = 0,85 & βu = 12 dans l’atmosphère En accord avec (10) et (32), en adoptant les constantes obtenues par les évaluations dans l’atmosphère les fonctions universelles A et B prennent la forme : −1 ⎧ ⎞ ⎛ 1 3 µ µ ⎪Λ (µ ) = ⎜ ⎟ ; A (µ ) = 4,5 + + ⎜ 0,3 0,34 ⎟ ⎪ 1,7 ⎠ ⎝ (33 ) ⎨ ⎛ 3 µ⎞ ⎪ ⎟ − 2,55 µ ⎜ ( ) B 1 , 7 log µ = + ⎪ e ⎜1 + 3,4 ⎟⎠ ⎝ ⎩ E.H.T.P. Chapitre 4 4-70 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique (5) Profil de température et la loi de transfert thermique dans la CLP stratifiée neutre ou stable : En accord avec la théorie de la similitude (analyse dimensionnelle) dans le cas de la CLP (PBL) quasi – stationnaire la loi de déflexion de température est vérifiée : θh − θ(z ) = θ∗Φ θ (ζ, µ ) (34) (θh − θs ) = log ⎛ u∗ ⎞ ⎟⎟ − C(µ ) (35) θ∗ f z ⎝ oT ⎠ où z oT est le paramètre de rugosité de température de surface, θ est la température potentielle avec θh et θ s sa valeur respectivement aux deux limites supérieure et inférieure de la CLP, θ∗ = − (Q s κ T u∗ ) est l’échelle de température où κ T = 0,48 est la constante de Von Karman thermique, Q s est le flux vertical de chaleur turbulent, C est une fonction universelle de µ et Φ θ est une fonction universelle de µ et ζ . On rappelle que z est la coordonnée d’un point de la surface , ζ = z h est la hauteur sans dimension. A partir de (10 , 34 et 35) le profil de température suivant ⎡ ⎤ ⎛ z ⎞ ⎟⎟ + fθ (ζ , µ )⎥ (36) est obtenu : θ(z ) = θ s + θ∗ ⋅ ⎢loge ⎜⎜ ⎝ z oT ⎠ ⎣ ⎦ aussi bien que le transfert de chaleur: e⎜ ⎜ où fθ = −C − loge (ζ Λ ) − Φ θ qui est une fonction universelle de µ et ζ satisfaisant les conditions: fθ (0, µ ) = 0 , fθ (1, µ ) = −C(µ ) − loge Λ(µ ) (37) En tenant compte de la première condition on approchera fθ par le polynôme quadratique : fθ (ζ, µ ) = c (µ ) ζ + c ∗ (µ ) ζ 2 (38) comme la stratification de la densité est générée par l’échange de chaleur (ou par l’échange de chaleur et d’humidité) entre l’écoulement d’air et la surface sous – d’adjacente, il est naturel de supposer que quand on s’approche de la limite supérieure de la CLP, le flux de la dθ température potentielle tend vers zéro : limite → 0 (39) d z z →h Cette hypothèse est confirmée par les données expérimentales. En y reportant l’expression de θ (36) et (38) dans (39), on obtient : 1 1 c ∗ (µ ) = − c (µ ) − (40) 2 2 Sachant que sous une stratification très stable, le profile vertical de température potentielle dans l’intervalle L 〈〈 z 〈〈 h est exprimé selon Monin – Obukhov (1954) par une loi – (logarithmique + linéaire) : ⎡ ⎛ z ⎞ z⎤ ⎟⎟ + β θ ⎥ (41) θ(z ) = θ s + θ∗ ⋅ ⎢loge ⎜⎜ L⎦ ⎝ z oT ⎠ ⎣ où β θ est une constante sans dimension. E.H.T.P. Chapitre 4 4-71 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Pour que la formule (41) soit un résultat satisfait comme approximation de (36) et (38) pour L 〈〈 z 〈〈 h , les relations suivantes doivent être vérifiées : c (µ ) z h ~ β θ z L c’est – à – dire pour µ 〉〉 1 , la fonction c (µ ) a le comportement asymptotique : c (µ ) ⎯⎯ ⎯→ Chβ θ µ µ 〉〉 1 (42) La formule d’interpolation la plus simple qui n’annule pas c (µ ) en stratification neutre et ayant (10) en comportement asymptotique en stratification très stable est de la forme : c (µ ) = c o + Chβ θ µ (43) Les formules (36) (38) (40) et (43) déterminent complètement le profile de température potentielle et par conséquent la fonction C(µ ). En accord avec (37) (38) (40) et (43), cette dernière est de la forme : ⎛ Λ µ ⎞ C hβ θ 1 1 ⎟− C(µ ) = c (µ ) − − loge Λ(µ ) = Co + loge ⎜⎜1 + o µ (44 ) ⎟ 2 2 C 2 κ h ⎠ ⎝ où Co = C(0 ) est une constante sans dimension liée à c o par la relation Co = 1 2 − 1 2 c o − loge Λ o . On adopte les valeurs traditionnelles des constantes κ = 0,4 , κ T = 0,48 , Λ o = 0,3 et l’estimation Ch = 0,85 . Il nous restera à les valeurs des constantes Co (ou bien c o ) et β θ . A partir des données de Yamada (On the Similarity Fonctions A, B, et C of the Planetary Boundary Layer J. Atmos. Sci 33(5) 1976 ) Zilitinkevich propose : Co = 3,7 , β θ = 8 (45) la valeur recommandée de Co = 3,7 correspond à c o = −4 ainsi : ⎛ 3 µ⎞ ⎟ − 3,825 µ (46) C(µ ) = 3,7 + loge ⎜⎜1 + 3,4 ⎟⎠ ⎝ La loi de transfert de chaleur (35) et la formule (46) combinées avec la loi de résistance proposée précédemment (14 ou 22) constituent une approche convenable pour calculer les caractéristiques dynamiques et thermiques entre l’air et la surface du milieu sous – adjacente en fonction des paramètres externes, comme la vitesse du vent géostrophique et la différence de température à travers la CLP. L’approximation du profil de température par Les formules (36) (38) (40) et (43) peuvent être utilisées pour la construction de modèle paramétrisé à cycle diurne de la PBL. (Pour l'étude de la dynamique des cyclones et anticyclones voir Ch07 MFGP) Un cyclone (anticyclone) épuise son énergie sur les eaux chaudes océaniques : l'air plus proche de l'étendu océanique est réchauffée par l'eau chaude dont moins dense et subit la poussée (ascension) et c'est la force de Coriolis qui lui confère le mouvement giratoire (c'est: convection de Bernard - rayleigh {stratification instable}). N.B. : Un centre dépressionnaire dans l'hémisphère Nord (cyclone) appelle l'humidité atmosphèrique et induit la formation de nuages, quand E.H.T.P. Chapitre 4 4-72 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique celles - ci rencontrent une zone suffisamment froide (suite à une ascension verticale lente par le courant ascendant dans le cyclone et son advection par le Les vent) : on ont aboutit à des fortes précipitations cyclones une Apparition vers : Août , septembre et Octobre Cyclone Katerina : 26 ⎦ 29/08/2005 Plus de ~ 1132 mords Vitesse du vent ≈ 250 Km h + Louisiane Vitesse du cycline ≈ 16 Km h + Ophélia : 140 Km/h 16/09/05 Caroline Canada Intéraction Thermique Air - Mer Odre : quitter les côtes pour se réfugier dans les terres hautes car la Louisiane en USA a 70% des terres au - dessous du niveau marin. Océan Atlantique trajectoire du cyclone USA Mississippi Caroline Louisiane Changement Climatique Katerina ⎬Avertisseur Ophélia ⎬ douceur Floride D ∼ 100 à 200 Km 20 nœuds Golfe du Mexique 5 -10 nœuds Golf des Antilles 15 nœuds Discontinuité de : Température ou de vitesse Zone de génération : les eaux chaudes 20/09/05 cyclone Rita se dirige du golf Mexique vers le sud © Le Royaume du Maroc dispose des données du satellite MétéoSat. Exemple d’enregistrement donnant l’élévation de la surface d’eau en fonction du temps au site de Casablanca. Pour l'étude statistique voir Ch05 Si Ra = Racr on a apparition de la convection libre (instabilités) Humidité atmosphérique Introduisant de l'eau et de l'air dans un récipient; l'eau s'évapore en partie. La pression partielle de vapeur d'eau contenue dans l'air est appelée tension de vapeur: voir Ch03 de mon cours sur les échangeurs de chaleur Tension de vapeur maximale Vapeur + air eau Vaporisation de l'eau ⎛ T oC ⎞ ⎟ p v (bar ) ≈ Pa ⎜ ⎜ 100 ⎟ ⎝ ⎠ 4 Température d'air Si la température T est maintenue constante, l'évaporation se poursuit jusqu'à ce qu'on atteigne un état d'équilibre tel que, pour toute quantité E.H.T.P. Chapitre 4 4-73 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique d'eau qui s'évapore, il y a une quantité égale de vapeur qui redevient liquide. A ce moment - là on a atteint la tension de vapeur maximum pour la température T (constante). L'air est saturé en vapeur d'eau. Lorsque la température T s'élève la tension de vapeur e augmente : Magnus – Tetons propose : 7,45T e = 4,575 ⋅ 10 T + 235 en mbars (1mb = 100 Pascals ) La pression de vapeur saturante E peur être estimée par : 2 ⎛ 10 3 ⎞ ⎛ 10 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ log10 E = A + B ⎜ + C ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠ ⎧A = 8,42926609 T en o K ⎪ avec ⎨B = −1,82717843 et où E en millibars ⎪C = −0,071208271 ⎩ ou bien en une bonne approximation par 2345 log10 E (en mbar ) = 9,40 − T La chaleur latente de vaporisation est donnée par : L = chaleur Latente ≈ 595,9 − 0,54 ⋅ T en (Kcal Kg) La quantité de vapeur que peut contenir un volume déterminé est proportionnelle à la tension de vapeur en vertu de la loi des gaz. Donc, plus la température est élevée plus est grande la quantité de vapeur d'eau dont l'air peut se charger. Par exemple, pour une pression barométrique de 1000 mb, l'air saturé contient les quantités de vapeur d'eau suivantes, rapportées au kilogramme d'air sec : o -20 -10 0 +10 +20 +30 Température (en C ) Quantité d'eau (en g ) env. 0,8 1,8 3,8 7,8 15 28 Ce qui se passe dans l'atmosphère libre n'est pas semblable à ce qui se passe dans un récipient clos. Le volume d'air atmosphèrique à saturer est immense, de sorte qu'on n'atteigne pas rapidement la saturation et la tension de vapeur reste le plus souvent inférieure à la tension maximale saturante. Humidité d'air : Elle peut s'exprimer de plusieurs manières : 1. Humidité absolue : quantité d'eau en grammes contenue dans 1m3 d'air. 2. Humidité spécifique : quantité de vapeur d'eau en grammes contenue dans 1Kg d'air humide. 3. Rapport de mélange : (Mixing Ratio) quantité d'eau en grammes par Kg d'air sec. E.H.T.P. Chapitre 4 4-74 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique 4. Humidité relative : qui s'exprime en %. Elle est égale au rapport de la tension de vapeur effective de l'eau e à la tension de vapeur maximale E multipliée par 100 : ⎧E = tension de vapeur saturante ⎡ ⎛ e ⎞⎤ ⎢100 ⋅ ⎜ E ⎟⎥ % où ⎨e = tension de vapeur effective ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎩ Si la température de l'air diminue E diminue (voir figure ou formule) à ⎛e ⎞ une certaine limite ( T = Td ) on atteint E = e soit ⎜ ⋅ 100 ⎟% = 100% à la ⎝E ⎠ saturation : c'est le point de rosée (dew point). E E e T Td Le point de rosée est la température à laquelle doit être abaissé l'air pour que la vapeur d'eau qu'il contient commence à se condenser T • Si Td est très différente de T l'air est sec. • Quand les 2 sont proches l'humidité relative est élevée. • La comparaison de Td et T est très utile pour la prévision du brouillard : si on s'attend à ce que la température minimale descende plus bas que Td : l'air saturé et du brouillard pourra se former. • De l'air froid qui a fait un long parcours sur l'Océan est presque saturé d'humidité. S'il se réchauffent en passant ensuite sur un continent chaud, son humidité relative baisse. Hauteur (m) Hauteur (m) Pseudoadiabatique ou HUMIDE 1500 500 NUAGE Niveau de 1000 Evaporation condensation condensation 300 500 100 5 10 T oC Adiabatique sèche 5 10 dT dz = − g Cp 15 Influence de la condensation sur le Refroidissement de l'air ascendant Adiabatique sèche T oC (Dry Adiabatic) Quand une masse d'air se déplace vers le haut par une raison quelconque elle subit un refroidissement de 1o / 100 m , son humidité relative va croître. Si la montée de l'air se poursuit jusqu'à ce que E.H.T.P. Chapitre 4 4-75 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique l'humidité relative atteigne 100%, on atteigne le point de rosée et la vapeur d'eau contenue dans l'air commence à se condenser sous forme de fines gouttelettes, formant un nuage. Le niveau correspondant s'appelle niveau de condensation. Or la condensation libère de la chaleur. Il en résulte que l'effet de refroidissement dû à la détente adiabatique est en partie compensé : autrement dit le gradient de refroidissement devient plus faible que le gradient adiabatique séc. Il varie peu en fonction de la pression (donc de l'altitude) et de la température. Son ordre de grandeur est 0,6 o / 100 m : on l'appelle le gradient adiabatique humide ou pseudo - adiabatique. Dans un nuage qui descend, il se produit une compression adiabatique, donc un réchauffement qui provoque l'évaporation des gouttelettes d'eau. Cette évaporation absorbant une partie de la chaleur due à la compression adiabatique, le réchauffement est inférieur à 1o / 100 m . Il est égale au gradient adiabatique humide. Observation : Lorsque le vent remonte le long des versants d'une chaîne de montagnes, l'air en mouvement se refroidit. Ce refroidissement a lieu tout d'abord selon l'adiabatique sèche, puis, le niveau de condensation étant atteint, une accumulation nuageuse se produit devant la montagne (Stau). A l'intérieur des nuages le refroidissement a lieu selon l'adiabatique humide. Si la couche nuageuse devient très épaisse elle peut donner lieu à des précipitations. L'air étant parvenu sur les crêtes a laissé en arrière l'eau condensée ou précipitée qui, en revanche, lui a abandonné la majeure partie de sa chaleur de condensation. Cet air est donc devenu plus sec et plus chaude. Elle redescend sur le versant abrité du vent et comme cet air est plus sec il n'y a généralement pas de nuages sur ce versant. C Altitude Descente : donne un z réchauffement TA 〈 TD B Montée : donne un refroidissement A Température D TC TB TA TD Ce mécanisme explique le rôle de la chaîne des ATLAS du MAROC. E.H.T.P. Chapitre 4 4-76 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Causes de la formation des nuages en atmosphère instable (voir Ch01 Fluide GéoPhysique) Une grande partie des formations nuageuses doivent leur existence à de l'air ascendant qui, se refroidissent comme on l'a déjà décrits, atteint le niveau de condensation. Le mouvement ascendant peut être dû à différentes causes : Action du relief (montagnes), il peut arriver que des ondes stationnaires se forment sous le vent de la montagne : accumulation Dissolution Ascendant condensation Descendant Dissolution Ascendant condensation Rotation Accumulation & formation de nuages lenticulaires Action des fronts : L'air chaud peut être soulevé par des masses d'air froides. C'est ce qu'on observe dans les fronts : ce qui donne naissance à un système de nuages étendus : AIR CHAUD AIR FROID Formation de nuages dans le cas d'un front Action des ascendances thermiques : convection libre (ou naturelle) Convection Convection Formation de nuages par convection ( CUMULUS ) Une atmosphère stable est caractérisée par l'absence de courants de convection. Tout mouvement ascendant de l'air est freiné et étouffé par E.H.T.P. Chapitre 4 4-77 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique la stratification stable; il peut y avoir même présence d'inversion. Donc les nuages des masses d'air stables ne peuvent se développer dans le sens vertical. Ce sont des nuages plats qui ne peuvent s'étendre que selon l'horizontale. Ce sont des nuages de genres : Stratus (ou Altostratus ou Cirrus ou Cirrostratus). z Instable Stable Inversion Instable Diffusion turbulente température Effet d'une inversion Ce mécanisme peut donner naissance a des Stratus : voir CH09 FGP Soleil espace Instable STRATUS Inversion Forte Stabilité Diffusion turbulente horizontale "importante" Instable + effet du Rayonnement température Formation des nuages par soulèvement : Les nuages qui se forment par soulèvement dans une atmosphère stable sont des nuages à développement horizontal. Ce soulèvement peu être d'origine orographique (montagnes) dont on a déjà parler avant. Formation par mélange de 2 masses d'air : Si de l'air presque saturé d'humidité se mélange avec de l'air froid, il arrive que la température du mélange devient plus basse que son point de rosé. En d'autres termes, une condensation donne naissance à des nuages ou à du brouillard. On signale que le mélange d'air presque saturé d'humidité avec de l'air relativement sec a l'effet contraire. Car l'air froid ne peut se charger que de peu d'humidité, le mélange ne peut pas être saturé. C'est par exemple le cas de l'air maritime (chaud et humide) qui pénètre en altitude au - dessus de masses d'air froid continentales ou au dessus de masses d'air situées sur des régions froides de l'océan : on a formation de nuages par condensation ou apparition du brouillard. E.H.T.P. Chapitre 4 4-78 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Formation de nuages au contact d'une surface froide : Si l'air chaud et humide se déplace au - dessus d'une surface froide, qu'il s'agisse d'un continent ou d'une mer, il peut se former des couches étendues de brouillard au sol (en hivers) ou du brouillard maritime (au printemps et en été). Si le vent dépasse une vitesse de 8 nœuds (Knots) environ ces couches peuvent être soulevées et former un Stratus bas. N.B. : Complexité du mécanisme de formation des nuages La formation des nuages dans des masses d'air stables peut rarement être attribuée à une seule cause : plusieurs processus, dont on vient de parler, se combinent dans des rapports variables pour la formation des nuages. Nuages isolés en morceau À développement vertical Cumulus Filaments Galets Lamelles Nuages étalés subdivisés en : filaments, lamelles ou galets Etalés en voile : Stratus Voici 10 genres de nuages : étage ⎫ contient • ⎬ ⎯⎯ ⎯⎯→ Les Cirrus "Ci", les Cirruscumulus "Cc" supérieur ⎭ ⎧ces nuages contiennen t ⎫ et les Cirrostratus "Cs" : → ⎨ ⎬ ⎩des cristaux de glace ⎭ étage ⎫ contient • ⎬ ⎯⎯ ⎯⎯→ Les Altocumulus "Ac", les Altostratus "As" moyen ⎭ et les Nimbostratus "Ns" étage ⎫ contient • ⎬ ⎯⎯ ⎯⎯→ Les Stratocumulus "Sc", les Stratus "St", inférieur ⎭ les Cumulus "Cu"et Cumulonimbus "Cb" E.H.T.P. Chapitre 4 4-79 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed 13 Etage Département d’Hydraulique Altitude Préfixe Cc Cirr CIRRO Cirro Supérieur Cs Cir Lentille 7 As Lentille Etage Moyen Préfixe : Alto 5 ALTO Cb Niveau de congélation Donne des Cu averses flocon Caste & Orages 2 Cunum St Etage 0 STRATO Sc Inférieur Préfixe : strato Formes stratifiées Forme du nuage Nuages à développement Vertical Formes en rides , rouleaux, galets , lentilles TROPOSPHERE Les étages se chevauchent quelque peu et leurs limites dépendent de la latitude. Le tableau suivant indique approximativement ces limites : Etages Supérieur Moyen Inférieur Régions polaires Régions tempérées de 3 à 8 Km de 5 à 13 Km de 2 à 4 Km de 2 à 7 Km de la surface à 2 Km de la surface à 2 Km Régions tropicales de 6 à 18 Km de 2 à 8 Km de la surface à 2 Km Observation : pluies artificielles : Certains substances provoque la formation de cristaux. C'est le cas en particulier de l'acide carbonique solide (CO 2 ) et de l'Iodure d'Argent. Cette dernière substance, qui agit à partir de ( − 4 o ) , peut par conséquent provoquer la formation de pluie à partir de Cumulus dont le sommet a une température d'au moins ( − 4 o ) , à l'intérieur desquels elle est introduite à l'état de très fines particules ? ... etc : A l'état expérimental E.H.T.P. Chapitre 4 4-80 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Electrification des nuages : Cristaux de glace Enclume r r d.d.p. = ∫12 E d l ⇒ d.d.p. = V = E • distance Champs électrique terrestre est de l'ordre de : 1 volt / centimètre au voisinage du sol (il diminue avec l'altitude) + +++ ++++++++++++ ++++ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ E ∗∗ ∗ ∗ Neige ∗∗ ∗ 0 oC quelques milliers de volts/cm +++ +++ --------- Goulettes d'eau Eclairs ~ 2 Ampères ----- E = (V/d) ++++++++ ----- Charge et champs éléctriques d'un Cumulonimbus Il se produit des décharges entre les points séparés par un champ électrique de valeur suffisante : ce sont les éclairs . Ce phénomène électrique peut avoir lieu entre des parties distinctes d'un même nuage, entre 2 nuages voisins et entre la base d'un nuage et le sol. L'échauffement de l'air par le passage d'une décharge électrique produit des ondes de choc (explosion) qu'on entend de 10 à 30 Km : tonnerre (favorisés par l'effet de pointes →"coup de Foudre" <décharge intense et rapide> : prévoir un para - tonnerre). N.B. : Pour une simulation de l’échange de chaleur Océan – atmosphère simple on peut utiliser la formule empirique de Lake Hefner : K Watt m2 deg = (4,6 − 0,09 ⋅ T + 4,06 ⋅ W ) exp(0,033 ⋅ T ) où ( ) T = température de l’eau ( deg) W = vitesse du vent E.H.T.P. Chapitre 4 4-81 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed • • • • • • • • • • • • • Département d’Hydraulique Quelques Références Lin C. C. : The theory of hydrodynamic stability. London : Cambridge University Press 155pp. United Nations Educational and Cultural Organization International ; Atomic Energy Agency INTERNATIONAL CENTER FOR THEORITICAL PHYSICS P.O. BOX 586 34100 TRIEST ITALY : Course on Geophysical Fluid Dynamics 22 April – 10 May 1996 : Large – Scal Ocean Circulation ΙΙ by N. PINARDI. O. M. Philips : On the generation of waves by turbulent winds. J. Fluid Mech., N°2 (1957). O. M. Philips : On the Dynamics of undteady gravity waves of finite amplitude. N°1. The elementary interaction. J. Fluid Mech., N°9 – 2. Local properties of a Random wave J. Fluid Mech (1960 – 61). J. W. Miles : On the generation of surface waves by shear flows. J. Fluid Mech. N°3 – 6 – 7 (1957 – 1960). Costal Engineering : volume N°1 : Generation, Propagation and influence of waves ; volume N°2 : Sedimentation, Estuaries, Tides, Effluents and Modelling. Par R. Silvester ; Elsevier Scienfific Puplishing Company Amsterdam – Oxford – New York 1974. BLAIR KINSMAN : WIND WAVES their generation and propagation on the Ocean surface. Printed in the United States of America C96034 by Prentice – Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 1965. Organisation Météorologique mondiale OMN N°702 : Guide de l’analyse et de prévision des vagues 1998. M. L. Banner & W. L. Melville 1976 : On the Separation of Air Flow Over Water Waves J. Fluid Mech. 77, 825 – 842. United Nations Educational and Cultural Organization International ; Atomic Energy Agency INTERNATIONAL CENTER FOR THEORITICAL PHYSICS P.O. BOX 586 34100 TRIEST ITALY : Course on Geophysical Fluid Dynamics 22 April – 10 May 1996 : Fluctuation Spectra & Variances in convective Turbulence BL : A Re – Evaluation of Old Models by A. M. YAGLOM. United Nations Educational and Cultural Organization International ; Atomic Energy Agency INTERNATIONAL CENTER FOR THEORITICAL PHYSICS P.O. BOX 586 34100 TRIEST ITALY : Course on Geophysical Fluid Dynamics 22 April – 10 May 1996 : Stratified Géostrophic Dynamics by B. CUSHMAN – ROISIN (et Instabilities ,Mixing & Convection in stratified Fluids). L.D. Landau & E. M. Lifschist : mécanique des fluides. Jacques C. J. NIHOUL « GHER » (GeoHydrodynamics and Environment Research) University of Liège Belgium : E.H.T.P. Chapitre 4 4-82 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed • • • • • • • • • • • • Département d’Hydraulique Tree – Dimentional Mathematical Model of the Marine Environment G. L. Geernaert & W. J. Plant (editors) : Surface Waves and Fluxes (Volume Ι) Kluwer Academic Publishers Dordrecht/Boston/London 1990. United Nations Educational and Cultural Organization International ; Atomic Energy Agency INTERNATIONAL CENTER FOR THEORITICAL PHYSICS BOX 586 34100 TRIEST ITALY : Course on Geophysical Fluid Dynamics 22 April – 10 May 1996 : Geophysical Boundary Layers by A. M. YAGLOM (at M Ι T Cambridge USA) United Nations Educational and Cultural Organization International ; Atomic Energy Agency INTERNATIONAL CENTER FOR THEORITICAL PHYSICS BOX 586 34100 TRIEST ITALY : Course on Geophysical Fluid Dynamics 22 April – 10 May 1996 : Geophysical Surface Layers by A. M. YAGLOM (at M Ι T Cambridge MA Departement of Aeronautics & Astronautics USA) United Nations Educational and Cultural Organization International ; Atomic Energy Agency INTERNATIONAL CENTER FOR THEORITICAL PHYSICS BOX 586 34100 TRIEST ITALY : Course on Geophysical Fluid Dynamics 22 April – 10 May 1996 : Velocity Profiles, the resistance & the dissipation of mean flow kinitic energy in a neutral and stably stratified planatary layer by S. ZILITINKEVICH Boundary – Layer Meteorology 49 :1989 1 – 5 by S. ZILITINKEVICH A. S. Monin et A. M. Yaglom (1971) : Statistical Fluid Mechanics Vol1. Ch4 , MΙT Press Cambridge (Mass.). H. A. Panofsky et J. A. Dutton (1984) : Atmospheric Turbulence, Wiley, New York. J. C. Kaimal et J. J. Finnegan (1994) : Atmospheric Boundary Layer Flows, Oxford University Press, New York. B. A. Kader et A. M. Yaglom (1990) : Mean field and fluctuation moments in unstably stratified turbulent boundary layers J. Fluid Mech., 212, 637 – 662. A. M. Yaglom (1994) : Fluctuation spectra and variance in convective turbulent boundary layers : A reevaluation of old models ; J. Phys. Fluids, 6, 962 – 972. J. R. Garratt (1994) : The Atmospheric Boundary Layer, Cambridge University Press, Cambridge. A. M. Yaglom (1994) : Fluctuation spectra and variance in convective turbulent boundary layers : A reevaluation of old models ; J. Phys. Fluids, 6, 962 – 972. E.H.T.P. Chapitre 4 4-83 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique N O E S Vitesse du vent > 6 m/s 5 - 6 m/s 4 - 5 m/s 3 - 4 m/s < 3 m/s Inconu 100 E.H.T.P. Chapitre 4 0 100 200 Kilomètres 4-84 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Zone de genèse des cyclones La capacité de stockage de la chaleur par les océans est 1200 fois celle par l'atmosphère dont la masse est 300 fois celle de l'atmosphère & occupe 70% de la surface du globe terre. + Les différentes parties d'un cyclone : voir Ch07 FGP on dit aussi ouragan [typhon] (tempête tourbillonnaire tropicale ) Aspiration d'air en spirale d'Ekman Hémisphère nord f = 2Ω sin ϕ 〉 0 Différentes parties d’un cyclone Dépression tropicale au centre Echelle Saffir Simpson : 119 ≤ w ≤ 153 Km/h 154 ≤ w ≤ 177 Km/h 178 ≤w ≤ 209 Km/h 210 ≤ w ≤ 249 Km/h Cyclone ⇔ l'ouragan ⇔ typhon L'Organisation Météorologique Mondiale : OMM E.H.T.P. Chapitre 4 4-85 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Répartition du Flux de chaleur dû au rayonnement solaire : USA Maroc ε ⋅ σ ⋅ Ts4 = S ⋅ (1 − A ) ≈ Q 4 Zone rouge est très chaude car est soumis à un flux solaire important : dont l'air au dessus est plus léger alors c'est zone potentiel d'un cyclone dans l'hémisphère nord Différence de température air - mer Golf du Mexique Maroc Voir ma conférence à l’EHTP sur la physique des cyclones ... E.H.T.P. Chapitre 4 4-86 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Trajectoire : résulte de ∆p entre celle au centre - à l'extérieur du cyclone Photo satellite du cyclone Rita au large de la Floride le 20 septembre 2005 E.H.T.P. Chapitre 4 4-87 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Pluies torrentielles Fortes vagues Vents Inondations Le cyclone est un grand aspirateur d'humidité atmosphèrique (formation de nuages) Á fortes précipitations Photos satellitaires du cyclone Rita et sa trajectoire ainsi que des photos d'impact Après KATRINA c'est RITA que se passe - t - il ? Pour définir l’état de la mer d’une manière pratique, les marins ont l’habitude d’utiliser l’échelle Douglas pour la houle et l’échelle Beaufort (Francis Beaufort 1805 amiral de la Royal Navy) pour le vent. On propose le tableau caractéristique suivant : Vagues Description de l’état de la mer Vent () Beaufort Rides pas d’écume Petites vagues sans déferl. Petites vagues avec peu déferl. Petites vagues grossissantes Vagues modérées sans écume Vagues modérées avec écume Vagues larges avec écume Grandes vagues se forment Hautes vagues, déferl. écume Hautes vagues et moins de vue Très hautes vagues Vagues exceptionnelles Vents de provenance de l'Ouest ( ) Vitesse en H ft T sec 33 nœuds 0,5 0 - 0,08 1-3 1,4 0,29 4-6 2,4 - 2,9 1,0 7 - 10 4 3,3 11 - 16 5,4 6,9 17 - 21 6,8 12 22 - 27 8,6 23 28 - 33 10,5 37 34 - 40 12,5 58 41 - 47 14,7 83 48 - 55 16,7 110 56 - 63 18 126 64 - 71 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 Durée vent N m s 2-5 5,5 - 8 E 20 S 1 mm = 1 % ROSE DE VENT Calme 18 mn 39 mn 1,7 h 2,4 h 5,2 9,2 14 13 37 52 73 95 BEAUFORD 2-3 4 8,5 - 13,5 5-8 ≥ 14 7 - 12 0-1 Pour les courants marins on choisi comme direction le cap. E.H.T.P. Chapitre 4 4-88 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Prévision de la houle par la méthode SMB (Sverdrup, Munk et Bretschneîder) : développée par H. V. Sverdrup, W. H. Munk aux USA et C. L. Bretschneïder Première publication Mars 1947 : « Wind, Sea and Swell » dans U. S. Navy Hydrographic Office Publication N°601 par H. V. Sverdrup et W. H. Munk Elle faut trouver : H (amplitude),c (célérité) ou T (période)= Ψ (U, F, t d , g) L’analyse dimensionnelle permet d’écrire : c ⎛ gT ⎞ ⎛ gF gt d ⎞ gH ⎛ gF gt d ⎞ = g ⎟ ⎜ 2, ⎟ et ⎜= ⎟ = f⎜ 2 , U ⎝ 2πU ⎠ ⎝ U U ⎠ U2 ⎝U U ⎠ ces fonctions sont données sous forme de courbes où H et T sont les valeurs significatives de l’amplitude (crête – creux) et de la période du spectre local de la houle. Exemple numérique : Soit un vent de 30 m/s qui souffle sur un fetch de 200 miles pendant 8h; on a alors : gH gT gF 9,81 ⋅ (200 ) ⋅ (1854 ) = 0,78 • = = 4,04 ⋅ 10 3 ⇒ 2 = 0,10 et 2 2 2πU U U (30 ) • gt d 9,81⋅ (8 ) ⋅ (3600 ) = = 9,42 ⋅ 10 3 ⇒ (30 ) U 2 ⎧ ( 30 ) (0,094 ) = 3,6 m ⎪H = Hs = gH gT ⎪ 9,81 = 0,094 et = 0,64 ⇒ ⎨ 2πU U2 ⎪T = T = 2π(30 )(0,64 ) = 12,3 s s ⎪⎩ 9,81 Ces courbes ont pour asymptotes (c'est - à - dire SMB − FDS ) : g H1 3 gT1 3 = 0 , 268 et = 1,95 où ⇒ H1 3 (m ) = 0,0268 ⋅ U2 (m / s ) 2 2πU U pour des valeurs grandes de gF U2 et de gt d qui définissent bien entendu U la condition : SMB − FDS (voir ch05 HM) Une vague, qui quitte la zone du fetch, au bout d’une distance D qu’elle parcoure en eau profonde nécessite un temps : D 2D 4πD tD = = = cg c0 gTs donc les ondes de grandes périodes arrivent avant les courtes en un endroit donné (pour un enregistrement on aura l’arrivée dans le temps du spectre en fonction des périodes T de celui – ci). E.H.T.P. Chapitre 4 4-89 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Ë Echelle de Fujita : l'échelle de Fujita classe les tornades (mouvement tourbillonnaire de l'atmosphère: c'est un tourbillon) en fonction des dégâts causés. Elle a été conçue en 1971 par le météorologiste américain d'origine japonaise Telsuya théodore Fujita : Désignation Vents Classe Dommages F0 F1 F2 F3 F4 F5 Légers Modérés Forts Très forts Dévastateurs Incroyables 64 à 116 Km/h 117 à 180 Km/h 181 à 252 Km/h 253 à 330 Km/h 331 à 417 Km/h 418 à 509 Km/h Cheminées, fenêtres et antennes Automobiles arbres déracinés Toits arrachés et hangars démolis Murs extérieurs et toits projetés Destructions des habitations Maisons rasées ... E.H.T.P. Chapitre 4 4-90 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique h3 ∆T g h3 ∆T Ra ≡ β ⋅ g ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ν D T To ν D T Naissance des cyclones là où l'eau de mer est plus chaude que l'air : convection de Bernard - Rayleigh si Ra ≥ Rac E.H.T.P. Chapitre 4 4-91 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed E.H.T.P. Chapitre 4 Département d’Hydraulique 4-92 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique ♦ INVERSIONS SYNOPTIQUES ♦ A l’échelle synoptique, l’action combinée des gradients horizontaux de pression et de la force de Coriolis provoque un mouvement en spirale d’air, dans le sens des aiguilles d’une montre dans l’hémisphère Nord autour des centres de haute pression et dans le sens inverse autour des centres de basse pression. Le freinage du vent à la surface du sol provoque une légère déflexion des vents et, en vertu de l’équation de continuité, il en résulte des courants ascendants dans le cyclone et descendant dans anticyclone : V FF FC GP L H V FF Cyclone Anticyclone Hémisphère Nord SOL La résultante du gradient de pression (GPH), de la force de Coriolis (FC) et de la force de friction provoque un mouvement en spirale : centripète et ascendant dans un cyclone (L) , centrifuge et ascendant dans un anticyclone (H) Sur la carte des isobares représentée à la figure si dessous à titre d’exemple révèle l’existence de fronts séparant de façon marquée les masses d’air chaud des masses d’air froid : Dorsale Trajectoires (Surpression) Pour que des ouragans se forment, des conditions spécifiques doivent être réunies, à savoir des eaux océaniques chaudes, une humidité élevée et des vents favorables à la surface de l'océan. E.H.T.P. Chapitre 4 4-93 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique L H • Masse d' air chaud au Sud du front L • Masse d' air froid au Nord du front H L Exemple de carte synoptique montrant les isobares et les fronts (en traits gras ) et indiquant les frontières entre les masses d’air chaud et les masse l’air froid REMARQUE : Les courants ascendants favorisent l’établissement de conditions de stabilité neutre favorables au mélange turbulent verticaux (cyclone). Au contraire, dans un anticyclone, une inversion se forme généralement à une hauteur de quelques kilomètres inhibant le mélange turbulent vertical. Les anticyclones chauds aux latitudes de 30 0 N et 30 0 S dans l’Atlantique et dans l’océan Pacifique sont quasi – stationnaires et l’inversion qui leur est associée a un caractère semi – permanent préjudiciable à la dispersion turbulente (une des causes du smog à Los Angeles est l’influence d’un anticyclone du Pacifique semi – permanent ). Les anticyclones froids des latitudes modérées, situés entre les cyclones migrateurs, créent des conditions d’inversion moins sévères parce qu’ils sont rarement stationnaires et sont fréquemment instables dans leurs basses couches en conséquence de l’échauffement venant du sol. Néanmoins ces zones de hautes pressions peuvent occasionnellement être relativement stationnaires et poser des problèmes (c’est le cas, par exemple, en automne dans le sud – est des Etats – Unis où elles sont principalement renforcées par des extensions vers l’Ouest de l’anticyclone de Bermudes – Açores ). En plus des inversions de ‘’subsidence’’ (dues aux courants chauds descendants), il y a une inversion permanente à quelques 10 Km où la tropopause agit comme un couvercle sur la diffusion atmosphérique (à l’exception du voisinage des courants de jets ). E.H.T.P. Chapitre 4 4-94 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Fluide parfait : hors de la couche limite Equations intrinsèques : repère local v v ⎡∂ v ∂ v ⎤ v v 2 v Fc r ∇p ⎢ ∂ t + v ∂ s⎥u + r n + ρ = g − ρ ⇒ ⎣ ⎦ 1 ∂p v ∂v ∂v v r • +v =− ∂t ∂s ρ ∂ s Fc = f b ∧ v r r ) 2 v = v ⋅ u v 1 ∂p • + fv = − r r r ρ ∂n Fc = f v n 1 ∂p f = 2Ω sin ϕ •g= − ρ ∂b r v (ν m + ν t ) ⋅ Lapv ≈ ν t (Lapv ) ⋅ u + L s r u n M b Dépression tropicale ou sub - tropicale On peut y introduire la dissipation : Si on accepte la distribution de pression de Mayer : alors ∂ p = 0 ∂s On peut y introduire l'effet β - plan ∂p ∂p = − Lap (νt v ) ≅ ∂ /∂ z[∂ (νt v )/∂ z] Si Lh >> Lv ∂ n ∂r p a − pr = (p a − CPΙ ) ⋅ [1 − exp(− R r )] car Utilise les relations de Fresnel pour effectuer les calculs u=s n = −r b=z Loin de la surface libre océanique Francis Beaufort en 1805 2Ω cos ϕo β= : f = fo + β y R ) v2 1 ∂p + f ⋅v = r ρ ∂r ρ-1∂ p/∂ r E.H.T.P. Chapitre 4 v2/r + f v r u s v n r v 4-95 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique Voir à ce sujet ma conférence sur la physique des cyclones. Connaissant les distributions de pression (par exemple celle de Mayer) et de la masse volumique on peut calculer la distribution de température par l'équation d'état du gaz parfait rapportée à unité de masse d'air : R 8,314 ⎧ ≅ 287 m 2 / s 2 ⋅0 K ⎪p = ρ ⋅ r ⋅ T ↔ r = = M 0,02897 ⎨ ⎪c p − c v = r : du = c v (Τ ) ⋅ dT , dh = d (u + rT ) = c p (Τ ) ⋅ dT et [ γ (T ) 〉 1 ( ≈ 1,4) ] ⎩ ( ) r ⎧ ⎫ ⎪c v = ≈ 718 J / Kgo K =γ γ −1 ⎪ ⎪ cv avec ⎬⇒⎨ γ ⋅r ≈ 1005 J / Kgo K c p − c v = r ⎪⎭ ⎪c p = ⎪⎩ γ −1 1 ⎛∂V⎞ 1⎛ ∂ρ⎞ ⎟ = coefficient de dilatation des gaz : ⎟⎟ = − ⎜⎜ α ≡ ⎜⎜ V ⎝ ∂T⎠ ρ ⎝ ∂ T ⎟⎠ 1 o −1 α≈ K 273 On peut, en première approximation, écrire que : ρ = ρo (1 − α ⋅ T ) cp • On peut tenir compte de la présence de l'humidité dans l'air dans l'équation d'état : revoir la 2ième partie à ce sujet. E.H.T.P. Chapitre 4 4-96 Interactions air – mer ZORKANI Mohammed