ch04 - WordPress.com

ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique
E.H.T.P. ZORKANI Mohammed
Chapitre 4 Interactions air – mer
4-1
Chapitre 4 : Interactions "air ↔ mer"
Couche Limite Planétaire
CLP
• Position du problème :
Les temps caractéristiques des ondes de surface est s10à1~t 4
c.
Comme inertielc tt 〈〈 la force de Coriolis est négligeable dans l’équation
de conservation de la quantité de mouvement (la terre n’est pas un
repère absolu[ c – à – d Galiléen]). Cette observation ne s’applique pas
aux ondes de marée )mn25h12T( ≈qui sont très longues: ghTcTL ==
On fait souvent l’hypothèse que le fluide est parfait incompressible dont
l’écoulement est à symétrie cylindrique, c – à – d : 0u2
=
, alors :
0
z
u
x
u3
1=
∂
∂
+
∂
∂ équation de continuité
gpgrad
1
t
ur
r
+
ρ
−=
∂
∂→ équation d’Euler
En prenant le rotationnel de l’équation de conservation de la quantité de
mouvement, on obtient :
⇒=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂→→→→ 0pgradrot
1
urot
tt
u
rot r
r
r te
Curot r
r=
→
Si initialement à 0t
=
0urot ≡
→r alors 0urot:t r
r=∀ → donc il existe un
potentiel de vitesse Φ tel que :
()
⇒
⎩
⎨
⎧
∂Φ∂=
∂Φ∂=
=Φ= →
yu xu
t,z,xgradu 3
1
r
0udiv 2≡Φ∇=
r
Il faut y ajouter les conditions aux limites : à la surface libre (conditions
cinématique + dynamique) et sur le fond de la mer (imperméable).
♣ L’énergie peut se transmettre à l’océan par les fluctuations
de pression ou par le cisaillement du vent en surface
• ËLa surface de contacte entre un domaine irrotationnel et un autre
rotationnel est forcément une surface tourbillon (ou de rotation)
En
Effet
⇒=
∫∫ ∫∫∫
Λτω=⋅ω 0
Sddivdsn
r
r
r
0h →
(
)
1
(
)
2
0
2
r
r
=ω
(
)
0vgraddivdiv ==ω
r
r
0
1
r
r
≠ω
0n11 =ω •
r
SWELLWIND WAVES SHOALING BREAKING
TALUS CONTNENTAL
x
zy
BASSIN OCEANIQUE
Eau profonde
vis – à – vis de la houle
formes du fond : ondes de sables, rides, dunes…
La variabilité océanique affecte
sensiblement le climat terrestre aux échelles
interannuelles. Notre compréhension de
cette variabilité reste limitée par la
complexité des processus à l’œuvre.

ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique
E.H.T.P. ZORKANI Mohammed
Chapitre 4 Interactions air – mer
4-2
1) Influence de l’atmosphère sur le niveau d’eau :
Quand la pression atmosphérique en surface n’est pas constante on a
comme condition limite à la surface libre pour un écoulement potentiel
bidimensionnel :
(
)
0zpour
0
t,y,xp
g
zt
a
t=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=Φ−η
ρ
−=Φ+η (1 – 1)
Voyons voir ce qui se passe si la pression atmosphérique varie dans le
temps harmoniquement sur une eau à profondeur constante :
oscillations forcées par l’atmosphère
dans ce cas on a à résoudre :
(
)
(
)
()
0zen
t,xp
g
1tsinxpt,xp
0
zt
a
t
a
2LimiteCavec =
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
Φ=η
ρ
−Φ−=η
ω=
=Φ∇ ⋅ (1 – 2)
Cherchons des solutions de la forme:
(
)
(
)
tsinz,xtcosz,x ωψ
+
ω
ϕ
=
Φ
Ainsi si
() ( )
xsin
k
e
g
p
z,xx:xsinpxp z
0
alors
0Λ
Λ−ρ
ω
=ϕ⎯⎯→⎯〈+∞−∞〈Λ= Λ
La solution générale en eau profonde est donc donnée par :
tsin
kxsin kxcos
Aetcos
kxsin kxcos
Aexsin
k
e
g
pkzkz
z
0ω
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+ω
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+Λ
Λ−ρ
ω
=Φ Λ
On constate qu’il peut y avoir résonance (amplification).
On signale que si on a pris pour la pression atmosphérique une onde
progressive :
(
)
(
)
xtsinpt,xp 0a
Λ
−
ω
⋅= alors la solution est
() ()
xtcos
k
e
g
p
t,z,x z
0Λ−ω
Λ−ρ
ω
=Φ
Λ
(1 – 3)
à laquelle on peut ajouter n’importe quelle solution pour une pression
nulle en surface. On a résonance si
Λ
≈
k c’est – à – dire s’il existe dans
le spectre atmosphérique un mode proche ce celui propagatif dans l’eau.
On signale que le terme en ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛η+
ρ
∇− g
pa
r apparaît dans l’équation
dynamique, il peut s’écrire sous une forme adoptée pour pouvoir
exploiter les données météorologiques, soit :
()
η
−η∇−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛η+
ρ
∇− 0
gg
parr

ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique
E.H.T.P. ZORKANI Mohammed
Chapitre 4 Interactions air – mer
4-3
où
(
)
t,y,x
0
η est la dénivellation du niveau d’eau due à la variation de la
pression atmosphérique. Comme une chute de pression atmosphérique
moyenne de 1mbar correspond à une augmentation du niveau d’eau de
l’ordre de 1cm d’eau d’après Lacombe; K. Nakatsuji et al. proposent la
formule :
()
(
)
pa
1013.991.0t,y,x
0−=
η (1 – 4) Pascals 100mbars =
où ♦pa est la pression atmosphérique au niveau de la
surface libre exprimée en mb
♦η0 élévation du niveau d’eau de mer en cm
Les mêmes auteurs proposent pour les contraintes de cisaillement à la
surface libre et sur le fond marin respectivement les formules :
U
U10
10
2
s
a
sr
r
r⋅γ
ρ
=τ (1 – 5) s
uu
e2
b
bτβ−⋅
γ
ρ
=
τr
r
r
r (1 – 6)
où u
r : vitesse moyenne sur la profondeur d’eau
U10
r : vitesse du vent à 10m(dite standard)de la surface libre
a
ρ : densité de l’air (~1,205 kg/m3)
ρe : densité de l’eau de mer (= 1.019 103 kg/m3)
γ2
s = 2
b
γ = coefficient de frottement 3 106,2#− ⋅
β : une constante de ~ 0,25 à 0,50 qui tient compte de la
transmission de l’effet du vent au fond marin.
2) Onde à la limite de 2 fluides en mouvement :
Instabilité de Kelvin – Helmholtz
Afin de rendre les calculs plus simples, considérons 2 fluides
caractérisés par : constU,const
constU,const // ==ρ
=
=
ρ
Air
Eau
↔
↔
avec / UU ≠(2 – 1)
où U et /
U sont les vitesses moyennes. Lamb présente la solution du
problème des petites oscillations (ondes infinitésimales) autour de l’état
d’équilibre 0z=. Les potentiels de vitesse s’écrivent :
/
1
// 1
xU
xU
Φ+⋅=Φ
Φ
+
⋅=Φ Air
Eau
↔
↔
(2 –2)

ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique
E.H.T.P. ZORKANI Mohammed
Chapitre 4 Interactions air – mer
4-4
Les fluides sont supposés infinis (physique) vers le haut et vers le bas.
La condition cinématique à l’interface air – eau s’écrit :
zx
U
t
zx
U
t/
1
/
1
∂
Φ∂
=
∂
η∂
+
∂
η∂
∂
Φ
∂
=
∂
η
∂
+
∂
η∂
(2 – 3)
La pression à l’interface du liquide est :
zg
zx
U
2
1
t
p2
1
2
11 −
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Φ∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Φ∂
−−
∂
Φ∂
−=
ρ (2 – 4)
En faisant entrer 2
U5,0 dans le terme (g z) qu’il modifie d’une grandeur
constante, et en négligeant les termes en 2
L− l’équation (2 – 4) devient :
zg
x
U
t
p11 −
∂
Φ
∂
+
∂
Φ
∂
−=
ρ (2 – 5)
Cherchons des solutions de la forme :
(
)
()
()
k
c:avec
ae
eec
ece
)82(
xkti )72(
xktizk )62(
xktizk
//
1
1ω
=
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=η
=Φ
=Φ
−
−ω
−
−ω−
−
−ω
Les conditions cinématiques à l’interface air – eau donnent :
()
()
⎩
⎨
⎧
=−ω
=−ω
kcaUki
ckaUki // (2 – 9)
Exprimons maintenant la continuité de la pression à l’interface :
2
2
2
21
/x
R
1
R
1
pp ∂
η∂
σ=η∇σ=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛+σ=− (2 – 10)
où σ est la tension superficielle (grandeur thermodynamique : fonction
de la température et de la nature des 2 fluides en contact). Remplaçons
p et /
p par leurs valeurs à l’interface air – mer, nous obtenons ainsi la
relation de dispersion et en suite la vitesse de phase :
()
()
2
/
/
/
2
0
2UUcc −
ρ+ρ
ρ⋅ρ
−= où //
/
2
0k
k
g
cρ+ρ
σ
+
ρ+ρ
ρ−ρ
= (2 – 11)
2
0
c possède un minimum s/m23,0~cmin pour l’interface air – eau, car
c’est la somme de 2 fonctions en
(
)
k&k 1−, en effet à l’interface air – mer
on a : 33/ m/Kg10~2,1~ ρ〈〈ρ et s’il n’y a de courant 0UU /=
=
on a :

ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique
E.H.T.P. ZORKANI Mohammed
Chapitre 4 Interactions air – mer
4-5
ρ
σ
+== k
k
g
cc 2
0
2
0
c a une valeur minimale à l’interface air – mer : s/m26,0~cmin .
L’interface air – mer sera parcourue par des ondes sinusoïdales stables
tant que la célérité c reste réelle c’est – à – dire que :
()
()
⇒〉−
ρ+ρ
ρρ
−= 0UUcc 2
/
/
/
2
0
2
()
/
/
2
min
2
/cUU ρρ
ρ+ρ
〈− (2 – 12)
Ainsi à l’interface air – mer, tant que
(
)
s/m46,6UU/〈− la présence du
vent ne change pas la nature de la houle sauf bien entendu sa vitesse
de phase. Mais lorsque
()
s/m46,6UU/〉− on a une augmentation infinie
de l’interface car
() () ()
0UUcUU 2
/
/
/
2/ grandtrésestSi 〈−
ρ+ρ
ρρ
−=⇒−
les modes sont croissants ou décroissants dans le temps ] : génération
d’ondes de surface par le vent. La théorie linéaire ci – dessus ne peut
présenter que les premiers stades de ce mécanisme de résonance. On
appelle cette instabilité : instabilité de Kelvin – Helmholtz . En fait, les
vagues sont générées à des vitesses bien inférieures, ne mettant pas
généralement en action ce processus d’instabilité.
• (A) La turbulence dans les fluides stratifiés :
Dans l’état initial (avant) le centre de gravité est au – dessous du niveau
moyen car 12 ρ〉ρ mais l’état final a son centre de gravité exactement à
mis profondeur : ainsi le centre de gravité s’est élevé par le mélange ce
gain d’énergie potentielle est enlevé au système ? .
2
U
r
1
H
2
H
1
ρ
2
ρdense
léger 1
U
r
221 ρ+
ρ
=ρ U
r
ogènehom
desmélange
couches2
g
r
][ ntcisailleme
avant après
c
k2L π=
cm2~m1073,1~L 2
min −
s/m23,0~cmin
(
) ()
xctikxkti aeae −
=
−
ω
=η