HMEE108M : Électronique analogique

HMEE108M :
Électronique analogique
Filtrage analogique / Filtres actifs
E. LE CLÉZIO
Université de Montpellier
2
Table des matières
Table des matières
3
1 Filtrage analogique
1.1 Gabarit d’un filtre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Normalisation de la fréquence et Transformations . . . . . .
1.3 Fonctions d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
10
15
2 Filtres passifs
25
2.1 Exemples de synthèse de fonction de transfert . . . . . . . . 25
3 Filtres actifs
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Amplificateurs Opérationnels . . . . . . . .
3.3 Cellules universelles . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Synthèse et Mise en cascade des filtres . . .
3.5 Synthèse globale et simulation d’un filtre LC
3
.
.
.
.
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.
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.
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.
.
.
.
.
.
29
29
30
33
36
37
1
Filtrage analogique : synthèse de la
fonction de transfert
1.1
Gabarit d’un filtre réel
Un filtre est un dispositif (naturel ou manufacturé) qui a pour caractéristique de laisser passer certaines fréquences, tout en rejetant celles qui sont
situées hors d’une bande fréquentielle particulière dite bande passante. Un
filtre idéal transmet toutes les composantes utiles du signal sans atténuation
ni déphasage tout en éliminant toutes les autres fréquences.
Filtres idéaux
Les quatre types essentiels de filtres sont présentés sur la figure 1.1.
Figure 1.1: Les quatre filtres idéaux.
5
1. Filtrage analogique
Filtres réels
Les filtres idéaux ne sont naturellement pas réalisables. En pratique,
l’atténuation dans les bandes rejetées n’est jamais infinie, et celle dans les
bandes acceptées n’est jamais nulle. Le filtre est alors défini par son gabarit devant contenir sa réponse fréquentielle, et par quatre paramètres
[Amin , AM ax , fp , fa ] :
– Amin est la valeur minimale en dessous de laquelle l’amplitude du
signal ne doit pas descendre, dans la bande de fréquences acceptées.
– AM ax est la valeur maximale au dessus de laquelle l’amplitude du
signal ne doit pas monter, dans la bande de fréquences rejetées.
– fp est la fréquence à partir de laquelle le signal entre dans une bande
passante (amplitude supérieure à AM ax ).
– fa est la fréquence à partir de laquelle le signal entre dans une bande
rejetée (amplitude inférieure à Amin ).
Gabarits
Les gabarits des quatre types de filtres sont présentés sur la figure 1.2.
À partir du gabarit PB (resp. PH) est mesurée sa sélectivité :
Figure 1.2: Gabarits des quatre types de filtres.
kP B =
6
fp
fa
;
kP H =
fa
.
fp
(1.1)
1.1. Gabarit d’un filtre réel
La bande passante à −3 dB est aussi une caractéristique importante. Elle
correspond à toutes les fréquences pour lesquelles l’atténuation du filtre est
inférieure à 3 dB.
Quelles sont les conséquences sur l’amplitude et la puissance du signal ?
Pour un filtre PBande, les paramètres caractéristiques sont :
f02 = fp+ fp− ,
k=
fp+ − fp−
,
fa+ − fa−
B=
fp+ − fp−
.
f0
(1.2)
Le filtre est à bande étroite si B < 0.1 et large bande si B > 0.5.
Réponses en module et phase d’un filtre
Le gabarit du filtre ne fournit qu’une information sur le module du
signal. Le déphasage induit par le filtre peut cependant distordre le signal.
Il peut alors être pertinent d’observer l’évolution fréquentielle de la phase
du filtre (figure 1.3).
(a)
(b)
Figure 1.3: Réponse en fréquence théorique d’un filtre passe-bas : (a) Module ;
(b) Phase.
Réponses en module et phase de filtres RC
Soit le filtre RC présenté sur la figure 1.4(a) :
7
1. Filtrage analogique
1. Calculer la relation entre Vin et VC .
2. Spécifier le type de filtre obtenu.
3. Calculer la relation entre Vin et VR .
4. Spécifier le type de filtre obtenu.
(a)
(b)
Figure 1.4: Filtres : (a) RC ; (b) CR.
Soit le filtre CR présenté sur la figure 1.4(b) :
1. Calculer la relation entre Vin et VC .
2. Spécifier le type de filtre obtenu.
3. Calculer la relation entre Vin et VR .
4. Spécifier le type de filtre obtenu.
En associant plusieurs cellules RC il est possible de réaliser des filtres
plus efficaces sur le plan de la sélectivité (figures 1.6 et 1.7). Par contre le
filtre introduit une atténuation plus élevée. L’ordre d’un filtre est le nombre
d’éléments réactifs (condensateurs, inductances) du filtre.
8
1.1. Gabarit d’un filtre réel
0
0
−10
|H(f)| (dB)
|H(f)| (dB)
−20
−40
−60
−80
0
10
−20
−30
−40
1
10
2
3
10
4
10
5
10
10
−50
0
10
6
10
1
2
10
100
80
arg(H(f)) (°)
arg(H(f)) (°)
0
−60
5
10
10
6
10
60
40
20
−80
−100
0
10
4
10
Fréquences (Hz)
−20
−40
3
10
Fréquences (Hz)
1
10
2
3
10
4
10
5
10
10
0
0
10
6
10
1
2
10
(a) H(ω) =
3
10
4
10
5
10
10
6
10
Fréquences (Hz)
Fréquences (Hz)
1
1+jRCω
(b) H(ω) =
jRCω
1+jRCω
Figure 1.5: Réponses en fréquence de filtres : (a) RC ; (b) CR.
0
0
−20
|H(f)| (dB)
|H(f)| (dB)
−50
−100
−40
−60
−150
−200
0
10
−80
1
10
2
3
10
4
10
5
10
10
6
10
−100
0
10
1
10
2
200
150
arg(H(f)) (°)
arg(H(f)) (°)
0
−100
−150
1
10
2
3
10
4
10
5
10
10
(a) H(ω) =
1
1+jRCω
6
10
Fréquences (Hz)
4
10
5
10
10
6
10
Fréquences (Hz)
−50
−200
0
10
3
10
Fréquences (Hz)
100
50
0
0
10
1
10
2
3
10
4
10
5
10
10
6
10
Fréquences (Hz)
2
(b) H(ω) =
jRCω
1+jRCω
2
Figure 1.6: Réponses en fréquence de filtres : (a) RC ; (b) CR d’ordres 2.
Fonction caractéristique
Si F (ω) est la fonction de transfert du filtre, M (ω) son module et A(ω)
son atténuation. Alors :
N (ω)
, et
D(ω)
1
1
2
2
A2 (ω) =
=
=
A
(0)
1
+
K(ω
)
.
M 2 (ω)
||F (ω)||2
F (ω) = M (ω)ejΦ(ω) =
(1.3)
(1.4)
K(ω) désigne la fonction caractéristique du filtre. La qualité du filtre se
mesure au fait que K(ω 2 ) est quasiment nulle dans la bande passante et
9
1. Filtrage analogique
0
0
−20
|H(f)| (dB)
|H(f)| (dB)
−50
−100
−40
−60
−150
−200
0
10
−80
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
−100
0
10
1
10
2
10
0
200
−50
150
−100
−150
−200
0
10
1
10
2
10
3
10
3
10
4
10
5
10
6
10
Fréquences (Hz)
arg(H(f)) (°)
arg(H(f)) (°)
Fréquences (Hz)
4
10
5
10
100
50
0
0
10
6
10
1
10
2
10
Fréquences (Hz)
3
10
4
10
5
10
6
10
Fréquences (Hz)
(a)
(b)
Figure 1.7: Réponses en fréquence de filtres : (a) RC ; (b) CR d’ordres 1 et
2.
très élevée à l’extérieur.
1.2
Normalisation de la fréquence et
Transformations
Définition
La plupart des filtres peuvent se construire à partir d’un filtre PB de
pulsation unité et d’une transformation simple. L’objectif de la normalisation d’un filtre est de ramener l’étude de tous les types de filtres à l’étude
d’un filtre passe bas afin de faciliter les calculs. Elle s’effectue différemment
selon le type de filtre.
Normalisation d’un filtre PB
La normalisation des fréquences s’effectue par rapport à la fréquence de
coupure du filtre originel :
S=j
f
ω
=j .
f0
ω0
(1.5)
Ceci permet alors de définir la pulsation normalisée :
x = |S| =
10
ω
.
ω0
(1.6)
1.2. Normalisation de la fréquence et Transformations
Soit Rc la résistance de charge du filtre, la normalisation des composants
suit les règles suivantes :
– Les résistances normalisées sont Rn = RRc .
Le changement de variable précédent impose des valeurs pour :
– L’inductance unité : Lu = Rω0c .
– Inductance normalisée : λn = LLu .
– La capacité unité : Cu = Rc1ω0 .
– Capacité normalisée : γn = CCu .
Les gabarits non normalisés et normalisés d’un filtre PB sont représentés
sur la figure 1.8.
(a)
(b)
Figure 1.8: Normalisation en fréquence de filtres PB : (a) filtre non normalisé ;
(b) filtre normalisé.
Normalisation d’un filtre PH
La normalisation d’un filtre PH s’effectue de la façon suivante :
– Pulsation normalisée :
x=
ω
.
ω0
(1.7)
– Transformation des fréquences :
1
s 7−→ S = .
s
(1.8)
– Transformation des composants :
– Soit Rc la résistance de charge du filtre.
– Les résistances normalisées sont Rn = RRc .
11
1. Filtrage analogique
– Les inductances vont se transformer en capacités : λn 7→
– Les capacités vont se transformer en inductances : γn 7→
(a)
1
.
λn
1
.
γn
(b)
Figure 1.9: Normalisation en fréquence de filtres PH : (a) filtre non normalisé ;
(b) filtre normalisé.
Les gabarits non normalisés et normalisés d’un filtre PH sont représentés
sur la figure 1.9.
ARRET DU 27/04/2012 problème de "enditemize non résolu"
Normalisation d’un filtre PBande
– Le gabarit initial du filtre est symétrique par rapport à
f0 =
q
f1 f2 =
q
f10 f20 .
(1.9)
– Pulsations normalisées :
0
0
|f12 − f02 |
|f12 − f02 |
X1 =
=
.
f20 (f2 − f1 )
f20 (f2 − f1 )
f2 − f1
∆x =
.
f0
(1.10)
– Transformation des fréquences :
1
1
(s + ).
∆x
s
1 1 |f 2 − f02 |
x 7−→ X =
x− =
.
∆x x
f (f2 − f1 )
s 7−→ S =
– Transformation des composants :
12
(1.11)
(1.12)
1.2. Normalisation de la fréquence et Transformations
– Une inductance va se transformer en une capacité en série avec une
λn
+ ∆x
.
inductance : λn 7→ ∆x
λn
– Une capacité va se transformer en une capacité en parallèle avec
γn
une inductance : γ1n 7→ ∆x
+ ∆x
.
γn
(a)
(b)
Figure 1.10: Normalisation en fréquence de filtres PBande : (a) filtre non
normalisé ; (b) filtre normalisé.
Normalisation d’un filtre RBande
– Le gabarit initial du filtre est symétrique par rapport à
f0 =
q
f1 f2 =
q
f10 f20 .
(1.13)
– Pulsations normalisées :
f2 − f1
.
f20 − f10
f 0 − f10
∆x = 2
.
f0
X1 =
(1.14)
– Transformation des fréquences :
∆x
.
s + 1s
∆x
f (f20 − f10 )
=
x 7−→ X = .
|f02 − f 2 |
x − x1 s 7−→ S =
(1.15)
(1.16)
– Transformation des composants :
13
1. Filtrage analogique
– Une inductance va se transformer en une capacité en parallèle avec
une inductance : λn 7→ λn1∆x + ∆xλn .
– Une capacité va se transformer en une capacité en série avec une
1
inductance : γn 7→ ∆xγ
+ ∆xγn .
n
(a)
(b)
Figure 1.11: Normalisation en fréquence de filtres RBande : (a) filtre non
normalisé ; (b) filtre normalisé.
Résumé
La plupart des filtres peuvent se construire à partir d’un filtre PB de
pulsation unité et d’une transformation simple. Soit F (p) le filtre PB de
pulsation de coupure unité. La bande normalisée est donc comprise entre 0
et 1 rad/s. Alors :
p
) fournit un filtre PB de fréquence de coupure fc ,
– F ( 2πf
c
1
– F ( p ) fournit un filtre PH de fréquence de coupure unité,
– F B1 p + p1 fournit un filtre PBande symétrique de largeur B et de
fréquence
centrale
unité,
1
fournit un filtre RBande symétrique de largeur B et de
(p+ p1 )
fréquence centrale unité.
– B est défini par (1.2).
– F
14
1
B
1.3. Fonctions d’approximation
1.3
Fonctions d’approximation
Définition
La fonction d’approximation d’un filtre est une fonction de la fréquence
réduite qui :
– s’inscrit dans le gabarit
– est le carré du module d’un gain complexe de la fréquence réduite.
Elle représente donc le carré de gain complexe du filtre passe bas prototype
à réaliser. Comme pour la fonction de transfert, la fonction d’approximation
F (ω) peut s’écrire :
F (ω) =
N (ω)
.
D(ω)
(1.17)
Si N (ω) est constant alors que D(ω) est un polynôme, le filtre est dit polynomial. Le numérateur de la fonction d’approximation ne possède pas de
zéros et le gain complexe ne s’annule qu’à l’infini. Sinon, il est non polynomial et la fonction d’approximation possède des zéros.
Propriétés
Étant le carré du module d’un gain complexe, qui est lui-même une
fraction rationnelle à coefficients réels de ω, la fonction d’approximation
est :
– Une fraction rationnelle à coefficients réels de ω,
– Une fonction paire de ω, c’est à dire F (ω) = F (−ω).
– Une fonction qui tend vers 0 à l’infini (PB prototype) : le degré du
numérateur est inférieur au degré du dénominateur.
– Une fonction qui doit s’inscrire dans le gabarit.
Choix de la fonction d’approximation
Ce choix se fait en deux étapes :
1. Choix d’une famille de fonctions (fonction de Butterworth, fonction
de Tchebicheff, fonction de Bessel . . . ). Ces familles définissent des
familles de filtres portant le même nom (filtres de Butterworth, . . . ).
2. Choix des paramètres dans la famille choisie.
15
1. Filtrage analogique
Filtres polynomiaux
Un filtre est polynomial si l’inverse de sa fonction de transfert peut
s’écrire sous la forme d’un polynôme. Lorsqu’un filtre doit être placé en
entrée ou sortie d’un appareil de mesure, il est nécessaire que son gain soit
le plus constant possible dans la bande passante du dispositif de manière à
ne pas perturber la mesure. Une première catégorie de filtres satisfait à ces
exigences :
– Leur gain, maximum à la fréquence nulle, est relativement constant
dans la bande passante,
– Ils obéissent au critère du méplat (maximally flat in english),
– La courbe de gain présente un maximum de dérivées nulles pour f = 0,
– Ils appartiennent à la famille des filtres de Butterworth.
Lorsque le signal utile est présent à une fréquence donnée, mais se trouve
bruité par des fréquences plus élevées, la constance du gain dans la bande
passante devient un critère moins important que celui de la décroissance
du filtre au delà de la fréquence de coupure. Les filtres de Tchebytchev possèdent un gain susceptible de varier de quelques dB dans leur bande
passante, mais assurent une décroissance forte du signal au delà de leurs fréquences de coupure. Lorsque le critère recherché concerne une minimisation de
la distorsion, le filtre doit posséder une variation linéaire de la phase en fonction
de la fréquence. Les fonctions de Bessel possèdent, pour un degré donné,
une phase la plus linéaire possible. Cette qualité est obtenue au détriment de
la chute du gain au delà de la fréquence de coupure.
Filtres de Butterworth
Le critère du méplat stipule que X(ω) = |H(jω)|2 possède le maximum de
dérivées nulles pour f = 0. Ceci conduit à deux expressions :
– Pour n pair, les pôles H sont les racines 2nièmes de −1.
– Exemple, n = 2 (Filtre de Butterworth d’ordre 2) :
H(jω) =
(jω)2 +
K
√
2jω + 1
.
(1.18)
– Pour n impair, les pôles H sont les racines (2n + 1)ièmes de −1.
– Exemple, n = 3 (Filtre de Butterworth d’ordre 3) :
H(jω) =
16
(jω)3
K
.
+ 2(jω)2 + 2(jω) + 1
(1.19)
1.3. Fonctions d’approximation
0
|H(f)| (dB)
−50
−100
−150
−200
0
10
1
2
10
10
3
4
10
10
5
10
6
10
Fréquences (Hz)
0
arg(H(f)) (°)
−50
−100
−150
−200
−250
−300
0
10
1
2
10
10
3
4
10
10
5
10
6
10
Fréquences (Hz)
Figure 1.12: Filtres de Butterworth d’ordres 2 (bleu) et 3 (rouge)
Propriétés des filtres de Butterworth
Elles sont déduites de l’expression du gain :
K
|H(jω)| = √
2n
ω +1
(1.20)
Par conséquent,
– Si ω << 1, la fonction de transfert est constante.
– Si ω >> 1, la fonction de transfert décroît en −20n log(ω).
– Le déphasage est égal à −90no pour la fréquence infinie et −45no pour la
fréquence de coupure.
Les filtres de Butterworth de degré n peuvent être réalisés à partir de composants L et C définis par :
2i − 1
π , pour i impair,
= 2 sin
2n
2i − 1
= 2 sin
π , pour i pair.
2n
Ci
Li
(1.21)
(1.22)
Filtres de Tchebytchev
Le critère de choix est ici la pente du gain à la fréquence de coupure,
beaucoup plus grande, à un ordre donné, que pour un filtre de Butterworth. Le
prix à payer est la présence d’une ondulation du gain dans la bande passante
du filtre. Les fonctions de transfert des filtres de Tchebytchev sont données par
17
1. Filtrage analogique
(a)
(c)
(b)
(d)
Figure 1.13: Filtres de Butterworth : (a) n = 2 ; (b) n = 3 ; (c) n = 4 ; (d)
n = 5.
la relation de récurrence suivante :
K
,
T (jω) = q
1 + ε2 Cn2 (jω)
(1.23)
avec C0 (jω) = 1, C1 (jω) = jω, et Cn+1 (jω) = 2jωCn (jω) − Cn−1 (jω).
Propriétés des filtres de Tchebytchev
Les fonctions de transfert des filtres de Tchebytchev dépendent d’un paramètre ε. Il existe donc, pour un ordre donné, une infinité de filtres de Tchebytchev. Dans la bande passante, le gain possède une évolution sinusoïdale entre
1
2
1 et √1+ε
2 . En décibel, l’oscillation vaut ∆dB = 10 log(1 + ε ). Pour les hautes
fréquences et à même ordre, la courbe d’un filtre de Tchebytchev est en dessous
de celle d’un filtre de Butterworth de : A = −20 log(ε) − 6(n − 1). L’amplitude
des oscillations est couramment appelée ronflement. Il existe des tables fournissant les coefficients polynomiaux du dénomi-nateur de la fonction de transfert
des filtres de Tchebytchev, fonctions du ronflement autorisé.
Attention : Pour un filtre de Tchebytchev, la pulsation unité ne correspond
pas à un gain de −3 dB. Elle ne correspond donc pas à la fréquence de coupure
classiquement définie pour les amplificateurs. Les filtres de Tchebytchev de
degré n peuvent être réalisés à partir de composants L et C définis par Li = Gi
18
1.3. Fonctions d’approximation
Figure 1.14: Expression des premiers polynômes de Tchebytchev.
|H(f)| (dB)
0
−20
−40
−60
−80
−100
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
Fréquences (Hz)
arg(H(f)) (°)
0
−100
−200
−300
−400
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
Fréquences (Hz)
Figure 1.15: Filtres de Tchebytchev des quatre premiers ordres comparés
à celui de Butterworth (bleu) ; Ronflement de 3 dB.
19
1. Filtrage analogique
pour i pair et Ci = Gi pour i impair, avec :
2a1
4ai−1 ai
, Gi =
,
γ
bi−1 Gi−1
2i − 1
π , pour i = 1 . . . n,
ai = sin
2n
iπ
bi = γ 2 sin2
, pour i = 1 . . . n − 1,
n

 dB
ln coth 40∆log(ε)
,
γ = sinh 
2n
G1 =
q
ε =
10
∆dB
10
− 1.
(a)
(1.24)
(1.25)
(1.26)
(1.27)
(1.28)
(b)
(c)
Figure 1.16: Filtres de Tchebytchev : (a) n = 3 ; (b) n = 5 ; (c) n = 7.
Filtres de Bessel
La fonction de transfert possédant une phase rigoureusement linéaire avec
la fréquence est la suivante :
F (p) = Ae−τ p ,
(1.29)
où τ est le retard infligé au signal d’entrée. Il ne s’agit cependant pas d’une
fonction rationnelle en p et un tel filtre n’est donc pas réalisable. Les filtres de
Bessel sont des filtres dont la fonction de transfert, pour un degré donné, est la
meilleure approximation possible de l’exponentielle (1.29). Les dénominateurs
20
1.3. Fonctions d’approximation
0
|H(f)| (dB)
−50
−100
−150
−200
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
Fréquences (Hz)
0
arg(H(f)) (°)
−50
−100
−150
−200
−250
−300
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
Fréquences (Hz)
Figure 1.17: Comparaison d’un filtre de Bessel (rouge) et d’un filtre de
Butterworth (bleu) de degré 3.
des fonctions de transfert des filtres de Bessel sont données par la relation de
récurrence suivante :
Bn (p) = (2n − 1)Bn−1 (p) + p2 Bn−2 (p),
(1.30)
avec B0 (p) = 1, et B1 (p) = p.À titre d’exemple, la fonction de transfert d’un
filtre de Bessel du troisième ordre est :
F (p) =
15
.
p3 + 6p2 + 15p + 15
(1.31)
Le facteur 15 au numérateur est présent pour assurer un gain de 1. Le dénominateur correspond au développement limité de ep .
Propriétés des filtres de Bessel
Pour les grandes fréquences, le gain de la fonction précédente tend vers
15/p3 . Il est donc 15 fois supérieur à celui d’un filtre de Butterworth du même
degré. Les filtres de Bessel possèdent une atténuation qui varie beaucoup plus
lentement, au delà de la fréquence de coupure, que ceux de Butterworth. Par
conséquent, ils ne sont utilisés que lorsque la linéarité de la phase est un critère
essentiel.
Filtres non polynomiaux
Un filtre est non polynomial si l’inverse de sa fonction de transfert ne peut
s’écrire sous la forme d’un polynôme. De façon générale, la fonction de transfert
21
1. Filtrage analogique
Figure 1.18: Coefficients des filtres de Cauer de degrés 3 à 6.
F (p) d’un tel filtre s’écrit :
b0 + b1 p + . . . + b n p n
N (p)
=
.
F (p) =
D(p)
a0 + a1 p + . . . + am p m
(1.32)
Filtres de Cauer
Un filtre de Cauer ou filtre elliptique est un filtre non polynomial possédant
un comportement de type Tchebytchev, aussi bien en bande passante qu’en
bande affaiblie. La fonction de transfert F (p) d’un filtre de Cauer s’écrit :
F (p) =
b0 + b1 p + . . . + b n p n
N (p)
=
.
D(p)
a0 + a1 p + . . . + am p m
(1.33)
Les calculs permettant d’obtenir les coefficients ai et bi sont relativement compliqués, et il est courant de se référer à des tableaux.
Propriétés des filtres de Cauer
Cauer a montré que les filtres elliptique sont optimaux en ce sens qu’aucun
filtre, à ordre donné, ne présente une coupure plus raide. Noter que les ordres
du numérateur et du dénominateur sont égaux. La coupure d’un filtre de Cauer
est donc très raide mais la phase n’est pas linéaire. Les calculs permettant
d’obtenir les coefficients ai et bi sont relativement compliqués, et il est courant
de se référer à des tableaux.
22
1.3. Fonctions d’approximation
0
|H(f)| (dB)
−20
−40
−60
−80
−100
−120
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
Fréquences (Hz)
arg(H(f)) (°)
400
200
0
−200
−400
−600
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
Fréquences (Hz)
Figure 1.19: Comparaison de filtres de Cauer de degré 3 (bleu), 4 (rouge),
5 (vert) et 6 (noir).
23
1. Filtrage analogique
2
|H(f)| (dB)
1
0
−1
−2
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
Fréquences (Hz)
200
arg(H(f)) (°)
100
0
−100
−200
−300
−400
−500
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
Fréquences (Hz)
Figure 1.20: Comparaison de filtres de Cauer de degré 3 (bleu), 4 (rouge),
5 (vert) et 6 (noir) ; zoom.
24
2
Filtres passifs
2.1
Exemples de synthèse de fonction de
transfert
Propriétés des filtres passifs
Un filtre passif ne nécessite aucune source d’énergie pour fonctionner. Un
filtre passif est nécessairement stable : sa fonction de transfert ne possède
pas de pôles à partie réelle positive (il s’agit d’un polynôme de Hurtwitz). Il
est constitué essentiellement de résistances, d’inductances et de condensateurs.
En hautes fréquences, il peut être nécessaire d’ajouter des gyrateurs qui sont
réalisables avec des ferrites. Son impédance d’entrée n’est donc jamais infinie
et son impédance de sortie jamais nulle. De plus, elles varient avec la fréquence.
La fonction de transfert d’un filtre passif ne peut donc être considérée qu’en
association avec un générateur et une charge d’impédance déterminée. Une
adaptation d’impédance est donc recherchée, mais elle n’est valide qu’à une
seule fréquence qui est, par convention :
– nulle pour un PB,
– la fréquence centrale pour un PBande, ou un RBande.
Synthétiser un filtre consiste à déterminer les composants constituant le filtre
à partir de la fonction de transfert de celui-ci. Il s’agit d’une démarche difficile
basée sur les propriétés mathématiques des fonctions de transfert et des impédances. La difficulté réside dans la détermination de la structure du filtre, i.e.
la configuration des composants.
Synthèse des immitances
Une immitance est une impédance ou une admitance. Les deux polynômes
(p)
sont des polynômes d’Hurwitz
N (p) et D(p) d’une immitance Z(p) = N
D(p)
et ne possèdent donc que des coefficients positifs. En hautes fréquences, une
immitance quelconque ne se comporte que comme une résistance (indépendant
25
2. Filtres passifs
Figure 2.1: Synthèse de Foster : montage en série.
de f ), une inductance (évolution en f ) ou une capacité (évolution en 1/f ).
Par conséquent, les degrés de N (p) et D(p) ne sont, au maximum, différent
que d’une unité. Un dipôle sans perte (constitué de L et de C) possède une
immitance dont la partie réelle est nulle. Elle est de plus une fonction impaire de
p. Pour un dipôle passif sans perte, il existe un pôle ou un zéro à l’origine et les
autres sont sur l’axe imaginaire et alternés. Les pôles et zéros d’une admittance
RC sont réels et négatifs et alternés sur l’axe réel.
Méthodes de Foster
Elles se basent sur l’hypothèse que l’impédance à synthétiser n’est constituée
que par des éléments placés en série ou en parallèle. La fonction de transfert
est alors écrite sous la forme :
Z(p) =
X
X Rc
Ak p + Bk
N (p)
+
= a1 p + a0 +
.
2
2
D(p)
c p + ωc
k p + 2αk p + ωk
(2.1)
Les différents termes sont ensuite identifiés :
– a1 p est une inductance de valeur a1 ,
– a0 est une résistance,
P Rc
est l’association en parallèle d’une résistance Rc /ωc et d’un conden–
p+ωc
c
sateur 1/Rc .
Le troisième terme correspond à la mise en parallèle de trois branches :
– un condensateur 1/Ak ,
A2
– une résistance 2αk Akk−Bk ,
Ak
– la mise en série d’une inductance L = M
avec une résistance R =
k
2
Bk
,
Mk
k
avec Mk = ωk2 + B
− 2αAkkBk .
Ak
La synthèse n’est possible que si Mk est positif. Dans le cas contraire, il est nécessaire de rechercher une autre structure. Une démarche analogue est possible
à partir des admittances.
26
2.1. Exemples de synthèse de fonction de transfert
Figure 2.2: Synthèse de Cauer : montage en échelle.
Méthodes de Cauer
Les méthodes de Cauer font l’hypothèse de structures en échelle. L’impédance
du dipôle s’écrit :
Z(p) =
N (p)
1
= Z1 +
D(p)
Y2 + Z3 + 1
(2.2)
.
1
Y4 +...
Pour identifier les divers composants, une division euclidienne des polynômes
est réalisée :
N (p) = D(p)Q1 (p) + R1 (p).
(2.3)
Soit :
R1 (p)
N (p)
= Q1 (p) +
= Q1 (p) +
D(p)
D(p)
1
D(p)
R1 (p)
.
(2.4)
Le processus se poursuit ainsi de suite. Les identifications sont ensuite réalisées :
Z 1 = Q 1 , Y2 = Q 2 , . . .
27
3
Filtres actifs
La plupart des résultats présentés dans cette partie sont issus de l’article
de Paul Bildstein intitulé "Synthèse et réalisation des filtres actifs" publié dans
les Techniques de l’Ingénieur (référence E3 130). Vous pouvez vous y reporter
pour y trouver des compléments. Plusieurs exemples de synthèse de filtres sont
de plus développés.
3.1
Introduction
Limitations des filtres passifs
Les filtres passifs, vus dans la section précédente, ont pour avantage d’être
relativement simples. Cependant, pour les faibles ordres, leur décroissance est
relativement faible et ils ne conviennent donc que lorsque les fréquences à éliminer sont suffisamment éloignées du signal utile. Aux ordres élevés, ils possèdent
une forte atténuation qui limite leur utilisation. De plus, la pente à fc n’est
généralement pas améliorée. Ils sont cependant utilisés pour, par exemple :
– La suppression des radiofréquences dans les circuits audio,
– les condensateurs de blocage de la tension continue,
– l’extraction de la modulation d’une porteuse en télécommunication.
Utilisation de pôles décalés
L’introduction d’inductances sous la forme de circuits LC permet de constituer des filtres dont la bande passante est plate. Cela s’appelle l’utilisation de
pôles décalés dans le domaine de l’analyse des réseaux électriques. Le problème
est que les inductances sont :
– relativement encombrantes,
– chères,
– de caractéristiques difficiles à contrôler du fait des résistances en série,
– non-linéaires,
29
3. Filtres actifs
– susceptibles de posséder des capacités distribuées dans le bobinage,
– sensibles aux inductions magnétiques.
3.2
Amplificateurs Opérationnels
Filtres actifs
L’introduction d’amplificateurs opérationnels dans les filtres permet de reconstituer les caractéristiques de n’importe quel filtre RLC, sans les bobines.
Ces filtres sont alors appelés filtres actifs car ils possèdent un ou plusieurs éléments actifs : les AOPs. Tous les filtres classiques (PB, PH, PBande, RBande)
peuvent être réalisés avec les critères précédemment énoncés :
– rectitude dans la bande passante,
– qualité de la pente,
– linéarité de la phase.
Il est aussi possible de construire des filtres passe-tout dont l’objectif est de
modifier la phase à volonté (égaliseurs de retard). L’inverse existe aussi.
Rappels sur l’AOP
Pratiquement tous les amplificateurs opérationnels ont la même structure
interne : ce sont des circuits monolithiques dont une puce de silicium constitue
le substrat commun. Ils comportent en entrée un amplificateur différentiel suivi
d’un étage adaptateur d’impédance ; l’amplificateur de sortie, de type push-pull,
fonctionne en classe B. Toutes les liaisons sont directes. Ce sont des amplificateurs différentiels caractérisés par :
– Un gain en tension très important : µD = µ = 105 à 107 .
– Une impédance d’entrée très grande : RE ≈ 105 à 1012 Ω.
– Une impédance d’entrée de mode commun très grande : REM C ≈ 108 à
1012 Ω.
– Une impédance de sortie faible : RS ≈ 10 à 500 Ω.
– La réjection du mode commun (µD /µM C ) est très grande.
– La réponse en fréquence va du continu jusqu’à des fréquences assez élevées : le produit gain-bande passante peut dépasser 100 MHz.
– Ils possèdent deux entrées notées + (l’entrée non inverseuse) et - (l’entrée
inverseuse) mais ont une seule sortie.
– Ils utilisent, sauf exception, deux alimentations +U et -U, symétriques
par rapport à la masse. Ces alimentations seront omises sur les schémas.
30
3.2. Amplificateurs Opérationnels
Figure 3.1: Amplificateur opérationnel
Figure 3.2: Montage intégrateur inverseur
La tension de sortie d’un amplificateur opérationnel est donnée par :
1
vs = µD (v + − v − ) + µM C (v + + v − ),
2
1
vs = µD ve + µM C (v + + v − ).
2
(3.1)
(3.2)
Ces amplificateurs sont conçus pour avoir un gain de mode commun µM C aussi
faible que possible afin de ne pas amplifier les signaux présents sur les deux
entrées à la fois (mode commun) et qui correspondent en général à un bruit
parasite.
Montages de base
Ils sont composés d’un AOP et de résistances et de capacités. Ils peuvent
cependant avoir le comportement d’une inductance. L’intégrateur est le système
de base de synthèse des filtres actifs. Pour des fréquences ω << ωt , où ωt est
la fréquence pour laquelle le gain de l’AOP est égal à 1 :
Vs
1
p
1
+
≈ −
.
1
Ve
pRC 1 +
ωt
ωt RC
(3.3)
Il est possible de réaliser un intégrateur non inverseur, mais la réalisation est
un peu plus difficile, du fait de l’appairage de quatre résistances égales. Ce
montage contient un étage de conversion à impédance négative.
31
3. Filtres actifs
Figure 3.3: Montage intégrateur non inverseur
Figure 3.4: Montage additionneur-soustracteur
Figure 3.5: Montage source de tension
Dans la réalisation de filtres actifs, les intégrateurs sont toujours combinés avec
des additionneurs-soustracteurs. La tension de sortie est égale à :
Vs =
X
ai Vi −
X
i
a0j Vj0 .
(3.4)
j
Les coefficients ai et a0i dépendent des valeurs des résistances. Le montage
suivant présente un impédance d’entrée infinie, une impédance de sortie nulle
et un gain K défini par :
Vs = kVe = (1 +
R2
)Ve .
R1
(3.5)
Un convertisseur à impédance négative (CIN) convertit une impédance en son
opposée. Un gyrateur transforme une impédance en son inverse.
32
3.3. Cellules universelles
Figure 3.6: Convertisseur à impédance négative
3.3
Cellules universelles
Introduction
De nombreux filtres actifs ont été réalisés pour atteindre les performances
des filtres passifs tout en supprimant leurs inconvénients (en particulier les
caractéristiques des inductances). Beaucoup de modèles de filtres actifs existent
car chaque circuit est performant dans un domaine particulier (amplitude, phase,
coupure, . . . ) mais aucun ne rassemble toutes les qualités. Les caractéristiques
de choix d’un filtre actif sont :
– un nombre restreint de composants (actifs et passifs),
– la facilité de réglage,
– un nombre restreint de valeurs des composants (condensateurs),
– la latitude de choix des AOP (vitesses de balayage, bande passante, impédance de sortie),
– contrôle du facteur de qualité (Q élévé),
– la non sensibilité aux dérives des composants et du gain de l’AOP.
Cellules du premier ordre
Leurs fonctions de transfert sont données par :
B(p) =
a0 p + b 0
.
ap + b
(3.6)
Cellules du second ordre
Circuits à source commandée
Les figures suivantes présentent d’autres réalisations de filtres classiques à
base d’AOP. Les résisteurs branchés à la sortie de l’AOP forment un amplificateur de tension de gain K. Les autres composants assignent au filtre sa réponse
33
3. Filtres actifs
Figure 3.7: Cellules universelles du 1er ordre à un AOP.
Figure 3.8: Cellules universelles du 2nd ordre à un AOP.
Figure 3.9: Filtre VCVS Passe-Bas
en fréquence (Butterworth, Tchebychev, Bessel, . . . ) Il est possible d’améliorer
les qualités des cellules en utilisant plusieurs amplificateurs. Les avantages sont
tout d’abord une amélioration de la sensibilité globale, mais aussi une dispersion
moindre de la valeur des éléments et une meilleure flexibilité d’emploi.
34
3.3. Cellules universelles
Figure 3.10: Filtre VCVS Passe-Haut
Figure 3.11: Filtre VCVS Passe-Bande
Figure 3.12: Cellules universelles du 2nd ordre à deux AOPs.
35
3. Filtres actifs
3.4
Synthèse et Mise en cascade des filtres
Pour calculer et réaliser un filtre actif, il est nécessaire de calculer sa fonction
de transfert en tension à partir des spécifications. Elle se présente toujours sous
la forme d’une fraction rationnelle en p. Deux méthodes sont principalement
utilisées : la synthèse en cascade et la synthèse globale. Très différentes dans
leur principe, elles aboutissent à des filtres dont les performances en terme de
sensibilité sont aussi très différentes.
Synthèse en cascade
Très simple et de portée universelle, la synthèse en cascade est basée sur
la décomposition toujours possible de H(p) en termes biquadratiques (et d’un
terme du 1er degré dans le cas où l’ordre m du filtre est impair) :
H(p) =
b0 + b1 p + . . . + bn p n
a0 + a1 p + . . . + am pm
m/2
=
Y
i=1
Ki
a0 ip2 + b0i p + 1
p2
+ Qω0ii p + 1
ω2
0i
m/2
=
Y
i=1
Bi (p) ou
Y
a00 p + 1 (m−1)/2
Bi (p)
a0 p + 1 i=1
(3.7)
Pour réaliser le filtre projeté, il suffit de mettre en cascade m circuits élémentaires biquadratiques de fonctions de transfert Bi (p) (plus un circuit du 1er
ordre lorsque m est impair) en prenant bien soin de veiller à ce qu’il n’y ait pas
de réaction d’un circuit sur l’autre. Cette dernière condition s’obtient facilement
avec des circuits actifs, grâce à la très faible impédance de sortie des amplificateurs opérationnels classiques. Il s’agit donc là d’une méthode très simple à
mettre en oeuvre aussi bien sur le plan des calculs que du point de vue de la
réalisation pratique, des réglages et de la maintenance. Elle est universelle et
convient quelle que soit la fonction de transfert à synthétiser. Malheureusement
cette structure ne bénéficie pas d’une bonne sensibilité par rapport aux variations des valeurs des composants. Il peut être démontré que dans chaque cellule
biquadratique Bi , il existe au moins une sensibilité passive de valeur égale à Qi ,
et ceci quels que soient les schémas utilisés. Si le filtre à réaliser est très sélectif,
les valeurs de Qi peuvent aller jusqu’à des valeurs de quelques dizaines, ce qui
est en général prohibitif. La synthèse en cascade ne convient donc que pour des
réalisations de filtres peu sélectifs dont l’ordre ne dépasse pas 8 ou 10, et pour
des fréquences ne dépassent pas quelques dizaines de kiloHertz.
36
3.5. Synthèse globale et simulation d’un filtre LC
Mise en cascade
Trois précautions sont à prendre en pratique :
– Veiller à ce que l’ordre de mise en cascade préserve la dynamique du filtre.
Forts Q en tête pour des signaux faibles, et faibles Q en tête pour des
signaux de forte amplitude ;
– Pour les filtres ayant des zéros de transmission, veiller à ce que les pôles
et zéros des fonctions biquadratiques soient appairés de façon optimale.
Pratiquement, il faudra associer à une paire de pôles la paire de zéros la
plus proche ;
– Veiller à ce que la répartition des gains des différentes cellules biquadratiques préserve la dynamique de l’ensemble. Une bonne façon de faire
consiste à égaliser les maxima des réponses de toutes les cellules.
3.5
Synthèse globale et simulation d’un
filtre LC
Synthèse globale
Orchard a démontré que les sensibilités des filtres réalisés par un quadripôle LC inséré entre deux résistances, sont, sous certaines conditions, toutes
très faibles, et ceci quels que soient les schémas de ces filtres. Les méthodes
de synthèse globale exploitent toutes cette remarquable propriété en partant
d’un filtre LC prototype qui est copié de diverses façons, afin d’éliminer les
inductances. La sensibilité est alors globalement préservée. Plusieurs manières
de copier un filtre LC ont été développées.
Copie des composants
Les inductances sont simplement remplacées par des couples condensateurs
+ gyrateurs. Cette méthode est très efficace lorsque le filtre prototype ne possède pas d’inductances flottantes, comme dans le cas des filtres passe-haut.
Copie du prototype modifié par la transformation de
Brutton
Cette transformation consiste à multiplier toutes les impédances du prototype par 1/p, ce qui ne modifie pas la fonction de transfert. Les inductances sont
transformées en résistances et les condensateurs en super-résistances (FDNR)
qui seront réalisées à l’aide d’un convertisseur d’impédance généralisé (GIC). Les
37
3. Filtres actifs
Figure 3.13: Comparaison des différents méthodes de synthèse de filtres
actifs.
résistances terminales sont transformées en condensateurs, ce qui peut poser
quelques problèmes aux fréquences très basses. Cette méthode est très efficace
lorsque le prototype ne comporte pas de condensateurs dans les branches série,
comme c’est le cas pour les filtres passe-bas.
Copie opérationnelle
Les équations différentielles du filtre prototype sont simulées dans un réseau
électronique régi par le même système d’équations. Si les équations différentielles sont du premier ordre, alors la réalisation peut s’effectuer uniquement à
l’aide d’intégrateurs et d’additionneurs-soustracteurs. Plusieurs techniques sont
utilisées pour parvenir à ce résultat, la plus connue étant la technique leap frog
(saute-mouton), très efficace dans le cas de filtres passe-bas. Pour les filtres
plus complexes, des techniques de graphe de fluence ou de représentation par
les équations d’état sont utilisées. Cette technique est la plus puissante mais
aussi la plus complexe à mettre en oeuvre.
Copie philisophique
L’hypothèse de départ est que la faible sensibilité des filtres LC est due
au couplage qui existe entre tous les composants du réseau. En découle la
conjecture, assez bien vérifiée par l’expérience, qu’en ajoutant des couplages
entre des blocs actifs du premier ou du deuxième ordre, les sensibilités seront
diminuées. Plusieurs variantes de ce procédé ont été expérimentées. La meilleure
semble être la synthèse par cellules biquadratiques imbriquées, qui présente
l’avantage d’utiliser les mêmes briques que pour la synthèse en cascade tout en
améliorant les performances de sensibilité.
38
3.5. Synthèse globale et simulation d’un filtre LC
Synthèse d’un filtre LC par des FDNR
Les FDNR (frequency dependant negative resistors) permettent à travers la
méthode de Brutton de simuler le comportement de filtres LC. Soit à réaliser
un filtre passe-bas de Tchebycheff inverse d’ordre 5 correspondant aux spécifications du gabarit représenté sur la figure. En multipliant le s impédances du
schéma par 1/p, la réponse globale n’est pas affectée et on obtient le schéma
représenté sur la figure suivante :
– Les inductances sont transformées en résistances,
– Les capacités se transforment en FDNR,
– Les résistances terminales sont changées en capacités.
– Pour obtenir des valeurs réalisables, la valeur de toutes les impédances
est multipliée par un facteur d’échelle, qui est ici pris égal à 104 , de façon
à obtenir des valeurs standards normalisées de condensateurs.
Les deux FDNR sont réalisées avec des condensateurs de valeur normalisée 10
nF et des résistances centrales de 10 kΩ. La résistance R2 est calculée de façon
que :
Rg2 = 104 C2 /C 2 = 1012 C2 = 20, 41kΩ.
(3.8)
Rg4 = 17, 62kΩ.
(3.9)
De même :
Ce schéma ne passe pas la composante continue et les très basses fréquences.
Pour remédier a ce problème, on place en parallèle sur les condensateurs d’entrée
et de sortie des résistances de valeur très élevée (par exemple 1 MΩ). Ce type de
technique se prête très bien à la réalisation de filtres passe-bas qui ne nécessitent
pas de FDNR flottants.
39
3. Filtres actifs
Figure 3.14: Schéma général d’un filtre en échelle.
Figure 3.15: Graphe opérationnel Leap Frog
Synthèse Leap Frog d’un filtre LC
Un filtre LC en échelle a un schéma de base représenté sur la figure suivante
dans lequel les Zi et Yi sont respectivement les impédances et admittances des
branches. Les équations liant les tensions de noeuds et courants de mailles sont :
(E − V2 )Y1 = I1
(V2 − V4 )Y3 = I3
..
.
(V2n−2 − V2n )Y2n−1 = I2n−1
(I1 − I3 )Z2 = V2
(I3 − I6 )Z2 = V4
..
.
(I2n−1 − I2n+1 )Z2n = V2n .
(3.10)
L’ensemble de ces équations peut être simulé par le diagramme de la figure
suivante (dont l’allure évoque le saute-mouton d’où le nom leap frog). Si le
schéma du prototype à synthétiser est le suivant : les équations suivantes sont
40
3.5. Synthèse globale et simulation d’un filtre LC
Figure 3.16: Schéma du filtre prototype LC.
Figure 3.17: Graphe opérationnel du filtre prototype.
obtenues en remplaçant les immitances par leur valeur.
(E − V2 )
= I1
R1 L1p
(V2 − V4 )
= I3
L3 p
(I1 − I3 )
= V2
C2 p
R4 I3
= V4 .
1 + R4 C4 p
(3.11)
Le schéma opérationnel correspondant est donné sur la figure suivante. Si les
intégrateurs sont réalisés par des intégrateurs de Miller, le schéma final suivant
est obtenu. Il a fallu ajouter trois inverseurs et, en définitive, la réalisation
comporte 7 amplificateurs. Ce type de synthèse est particulièrement bien adapté
aux réalisations de filtres totalement intégrés.
41
3. Filtres actifs
Figure 3.18: Schéma de réalisation Leap Frog dérivé.
42