Mémoire 37Cv2 - Olympiades de Physique France

Quand la science s’approche
de la fiction, l’évite-t-elle ?
De simples aimants peuvent-ils faire
léviter un homme ?
DA CONCEICAO Jérémy
DI DOMENICO Clément
Lycée Andrée BOULLOCHE
18 Boulevard Gutenberg
93190 LIVRY-GARGAN
1
Résumé
Dans notre mémoire intitulé « Lorsque la science s’approche de la fiction,
l’évite-t-elle ? », nous présentons dans un premier temps le magnétisme, en
abordant tout d’abord les différents types de magnétisme existant. Puis, nous
montrons le lien qui existe entre électricité et magnétisme par le biais,
notamment, de la célèbre expérience d’Oersted. A la fin de cette grande partie,
nous avons émis plusieurs hypothèses afin de faire léviter un objet, ce qui rejoint
notre objectif de départ, qui est de faire léviter un Homme. Dans une seconde
grande partie, plus expérimentale cette fois, nous expliquons d’où nous est
venue l’idée de réaliser notre maquette grâce à laquelle nous faisons léviter une
balle de ping-pong. Nous présentons alors notre montage, et enfin, nous testons
la viabilité des mesures effectuées (par exemple, celle de l’intensité parcourant la
bobine) via des calculs, que nous avons refaits mais cette fois en se plaçant dans
le cas où l’on ferait léviter un Homme. En conclusion, nous présentons les
différents hoverboards créés à ce jour, et évoquons leurs limites.
Sommaire :
Introduction .................................................................................. 3
I - Qu’est-ce que le magnétisme ? ................................................. 4
1 - Présentation du phénomène .................................................. 4
2 - Lien entre électricité et magnétisme...................................... 5
3 - L’hoverboard et la lévitation magnétique .............................. 6
II - Application pratique et modèle expérimental .......................... 8
1 - Présentation et mise en contexte........................................... 8
2 - Le fonctionnement ................................................................. 9
3 – Viabilité du modèle et étude mécanique.............................. 11
4 - Un hoverboard par sustentation électromagnétique ............ 15
Conclusion ................................................................................... 17
Remerciements ............................................................................ 19
Bibliographie et crédit iconographique ... Erreur ! Signet non défini.
2
Introduction :
Le film Retour vers le futur 2 sorti en 1989 a marqué les années 80 et 90
par la vision d’un monde futuriste, en 2015 précisément, qui y était exposée. De
nombreuses technologies, qui sont courantes aujourd’hui comme le paiement
sans contact, les téléviseurs à écran plat ou encore les films en 3D, y étaient
représentés. Mais l’objet le plus impressionnant est de loin l’hoverboard, cette
planche de skateboard volante dont se sert Marty le héros du film lors d’une
course poursuite endiablée.
Cependant aujourd’hui en 2015, soit au moment des événements du film,
nous ne surfons toujours pas dans les airs à 20 centimètres du sol. Mais la
création d’un tel moyen de locomotion semble se préciser et certaines
entreprises annoncent déjà des prototypes ou des hoverboards fonctionnels.
Malheureusement, à l’image de la vidéo publiée par la société HURv Tech mettant
en scène le skateur Tony Hawk et l’acteur Christopher Lloyd, il s’agit le plus
souvent de rumeurs ou de vidéos truquées.
L’intérêt des fans de ce film pour un projet d’hoverboard est très
important, de nombreux forums et sites Internet sont consacrés à ce sujet, mais
est-il vraiment réalisable ? Peut-on réellement mettre au point un appareil de ce
type qui permettrait de jouer avec la gravité ? Nous allons donc dans ce mémoire
démêler le vrai du faux au sujet de l’hoverboard en explorant un des moyens qui
permettrait de faire léviter un être humain à l’aide d’une machine : la lévitation
électromagnétique. Nous avons choisis d’étudier et de centrer nos recherches
autour de ce phénomène étant donné la relative facilité de créer des modèles
expérimentaux et de réaliser des expériences comme vous le verrez dans la suite
du mémoire.
Alors, Marty, en route vers le futur !
3
I – Qu’est-ce que le magnétisme ?
1 - Présentation du phénomène
La magnétite est un minéral de formule Fe3O4. Elle est connue depuis
l'Antiquité par les Hommes pour sa propriété à attirer certains objets métalliques,
ce que nous connaissons aujourd’hui comme le magnétisme. Certains peuples
comme les Chinois et les Olmèques (600 av. J.C.) utilisaient la magnétite à des
fins divinatoires pour déterminer l’emplacement des tombes, des palais et des
temples. Mais les grecs l'utilisaient aussi pour fabriquer des boussoles
rudimentaires utiles à la navigation.
La propriété de la magnétite est appelée ferromagnétisme. On caractérise
ce phénomène par la propriété de certains corps à s’aimanter sous l’effet d’un
champ magnétique, c’est-à-dire que ces derniers produisent à leur tour un autre
champ magnétique. Certains matériaux tels que les aimants vont garder une
aimantation importante après disparition du champ magnétique extérieur : c’est
l’aimantation rémanente.
On peut caractériser le phénomène du magnétisme grâce à la notion de
champ magnétique. C’est une grandeur physique qui permet de modéliser et
quantifier les effets magnétiques d’un aimant permanent ou d’un électroaimant.
L’unité du champ magnétique est le Tesla (T). Le champ magnétique est aussi
caractérisé par sa bipolarité, il possède toujours un pôle Nord et un pôle Sud.
Dans le cadre de deux aimants droits, on remarque expérimentalement
que les pôles opposés s’attirent alors que les pôles semblables se repoussent,
comme le montre le schéma suivant.
Fig.1
A partir du XVème siècle, les premières études scientifiques sur le
magnétisme commencent avec l’anglais Gilbert, et vont continuer jusqu’à nos
jours avec Coulomb, Ampère, Faraday et Maxwell.
4
Aujourd'hui grâce aux avancées scientifiques on peut distinguer deux
autres types de magnétisme :
- Le paramagnétisme. Lorsqu’un corps paramagnétique est plongé dans un
champ magnétique, celui-ci va générer un champ magnétique, qui est dirigé
dans le même sens que celui appliqué. Cette aimantation disparaît cependant
quand le champ magnétique n’est plus appliqué. Les corps paramagnétiques
possèdent une susceptibilité magnétique positive et très proche de 0. Mais le
paramagnétisme est particulier car il peut changer selon les conditions
extérieures.
Par
exemple,
un
corps
ferromagnétique
peut
devenir
paramagnétique s’il dépasse sa température de Curie. Le matériau perd alors son
aimantation spontanée, mais peut la retrouver lorsque sa température redescend
en dessous de sa température de Curie.
- Le diamagnétisme qui est le contraire du paramagnétisme. Lorsqu’on applique
un champ magnétique sur un matériau diamagnétique, celui-ci va générer un
champ opposé à celui appliqué. Au niveau de l’atome, le diamagnétisme est dû à
une perturbation du comportement des électrons autour du noyau atomique.
Cependant son effet est souvent masqué par celui des deux autres types de
magnétisme (paramagnétisme et ferromagnétisme) qui sont nettement plus
importants.
Toutes ces propriétés magnétiques sont expliquées par un unique
phénomène, celui de la susceptibilité magnétique. Il s'agit de la capacité d’un
corps à s’aimanter sous l’action d’un champ magnétique.
En fonction du signe de la susceptibilité pour un élément donné, on peut
déterminer ses propriétés magnétiques.
- Les corps diamagnétiques sont caractérisés par une susceptibilité magnétique
négative très proche de 0.
- Les corps paramagnétiques et ferromagnétiques ont eux une susceptibilité
magnétique positive, à l'origine du champ créé dans le même sens du champ
magnétique appliqué. C’est pour cette raison qu’ils sont attirés par un aimant par
exemple.
2 - Lien entre électricité et magnétisme
Christian Oersted fut le premier à faire le lien entre magnétisme et
électricité en 1819. En effet, il réalisa une expérience dans laquelle il rapprocha
une boussole d’un circuit électrique. Lorsque le courant ne passe pas, la boussole
continue de pointer le nord magnétique terrestre. Cependant lorsque le courant
circule l’aiguille dévie de sa position initiale. Nous avons reproduit cette
expérience (Fig. 2 et 3).
Le lien entre électricité et magnétisme peut être aussi mis en valeur par
une autre expérience. On relie un voltmètre à une bobine de fil de cuivre. On
passe un aimant droit à l'intérieur de la bobine en faisant des va-et-vient. On
remarque alors que le voltmètre affiche une tension.
5
On peut expliquer de manière générale ce phénomène relativement
complexe en admettant qu'un champ magnétique provoque un mouvement
d'électrons qui se traduit par l'apparition d'un courant électrique.
L’électromagnétisme est utilisé par exemple pour produire de l’énergie
avec les dynamos de nos vélos ou les alternateurs dans les centrales
hydroélectriques. Ici, la force motrice fait bouger l’aimant dans la bobine (le plus
souvent il s’agit d’un mouvement rotatif) ce qui produit un courant électrique qui
permet ensuite d’alimenter l’éclairage du vélo ou bien des foyers d’habitation en
énergie.
On le retrouve aussi dans les accélérateurs de particules comme le LHC
(Large Hadron Collisionner): ils ont pour rôle de propulser les particules et de les
guider le long de l’accélérateur pour après les faire se rencontrer violemment.
3 – L’hoverboard et la lévitation magnétique
Nous avons vu au travers de différentes expériences que deux aimants
pouvaient se repousser ou s’attirer. Il est donc peut être envisageable d’utiliser
cette force pour compenser le poids d’un solide et donc de le faire ainsi « voler »,
en dépit de la gravité. On appelle ce phénomène la lévitation électromagnétique.
Mais avant tout, il est nécessaire de faire quelques remarques au sujet du
champ magnétique. On modélise en physique le champ magnétique par des
lignes de champs. Les lignes de champs pour un aimant droit sont orientées du
pôle Nord vers le pôle Sud (Fig. 4 et 5).
Nous souhaitons donc réaliser une lévitation électromagnétique. Plusieurs
possibilités s’offrent à nous :
1) Utiliser deux aimants, placés l’un au dessus de l’autre et de manière à
ce que les pôles semblables se fassent face. En théorie on devrait avoir un
aimant fixe au sol et un autre qui flottera dans les airs juste au dessus,
repousser par la force des deux champs magnétiques comme le montre la Fig. 6.
Cependant en pratique, ce système n’est pas stable, et, à cause du
manque d’équilibre, la force d’attraction entre les pôles différents l’emporte sur la
force de répulsion. Un hoverboard constitué d’un aimant sur la planche et qui
glisserait propulsée par un « rider1 » sur un tapis d’aimant semble donc
irréalisable.
2) On utilise à présent une piste faite d’un matériau diamagnétique
comme le cuivre. On monte sur la planche un aimant ou un électroaimant.
Etant donné que le matériau diamagnétique crée un champ magnétique de
même sens que celui qu’on lui applique, on pourrait obtenir le même phénomène
qu’avec les deux aimants qui se repoussent lorsque leurs pôles semblables se
font face. Si l’on crée un champ magnétique assez puissant, à cause de la
réaction diamagnétique de la piste, il est possible d’arriver à compenser le poids
du « rider », de la planche et de l’électroaimant.
6
1 : Rider, personne qui monte sur la planche
La piste joue ici le rôle de « piège » magnétique pour l’électroaimant, le
forçant à s’éloigner. La position ne serait cependant pas très stable car la
lévitation s’effectuera sur un seul point de la planche et non sur l’ensemble. On
peut régler ce problème en disposant cette fois ci quatre électroaimants sur la
planche un à chaque coin, de manière à uniformiser la force de lévitation et
gagner ainsi en équilibre.
3) Une dernière solution consisterait à fabriquer une sorte de piège
électromagnétique, de manière à forcer la planche à être repoussée, en utilisant
cependant ici des aimants pour la piste et un matériau aux propriétés
magnétique pour la planche.
Nous avons réalisé une expérience en laboratoire à partir de cette idée.
Nous avons utilisé des aimants en néodyme. Après avoir identifié à l’aide d’une
aiguille aimanté où étaient chacun des pôles sur 9 aimants cubiques, nous les
avons disposé en un carré de 3 aimants de coté en alternant à chaque fois pôle
Sud et pôle Nord orienté vers le haut (Fig. 7).
Nous avons ensuite réussi à faire léviter une mine de graphite, qui possède
des propriétés diamagnétiques et qui est aussi très légère, en arrivant à la
coincer entre les champs magnétiques créés par les aimants orientés pôle Sud en
haut et pôle Nord en haut. Il se crée en fait un champ magnétique non uniforme
à la surface du carré, qui peut être représenté comme sur la Fig. 8.
Nous sommes donc parvenus à bloquer la mine dans un des creux du
champ magnétique, et réussir ainsi à la faire léviter.
Nous avons pu observer que la mine de graphite qui est diamagnétique
s’aligne suivant les lignes de champs des différents champs magnétiques créés
par les aimants composant le carré (représentation en 3D Fig. 9). En effet un
matériau diamagnétique a une susceptibilité magnétique négative. L’aimantation
de la mine grâce aux champs magnétiques des aimants est caractérisée par ce
que l’on appelle le moment magnétique. Le moment magnétique sera donc
négatif dans ce cas et donc l’aimantation de la mine se fera dans le sens
contraire du sens du champ magnétique des aimants. D’autre part, la mine va
être repoussée car elle « cherche à fuir » le champ magnétique. L’intensité du
champ diminuant avec la distance entre l’aimant et la mine, la mine va se
retrouver dans une position d’équilibre en lévitant (Fig. 10).
Une dernière solution, la sustentation électromagnétique sera présentée de
manière plus détaillée dans une deuxième partie.
7
II - Application pratique et modèle
expérimental
1 - Présentation et mise en contexte
Dans la première partie de ce mémoire nous avons souhaité éclairer les
notions de magnétisme et d’électromagnétisme afin d'aborder le problème qui
nous était posé, à savoir la lévitation électromagnétique. À présent nous allons
présenter la partie plus expérimentale de notre travail.
Notre but a été de réussir une lévitation électromagnétique comme celle
du film Retour vers le Futur 2. Un moyen de locomotion révolutionnaire se
rapprochait grandement de l’hoverboard par son concept, il s’agit des trains à
sustentation électromagnétique. Ces trains fonctionnent grâce à des rails
composés d’électroaimants et lévitent au dessus de ces derniers ce qui annule
les frottements avec les rails et permet aux trains d’atteindre des vitesses de
près de 500 km.h-1, comme le Transrapid allemand. Nous avons donc envisagé
de créer une maquette de sustentation électromagnétique en laboratoire.
Cette maquette peut être rapprochée de ce que l'on appelle en science un
homéostat. Il s'agit d'un système qui permet de réguler une grandeur autour
d'une valeur fixée. Tirant son origine de la cybernétique, ce principe se principe
se retrouve dans de nombreux domaines tels que les sciences de la vie et de la
Terre avec la régulation de la glycémie et de la testostéronémie. Un homéostat
est toujours constitué de trois éléments distincts. Prenons l'exemple de la
glycémie. La glycémie correspond à la quantité de glucose dans le sang. Une
variation trop importante de cette grandeur peut entraîner des lésions pour
l’organisme. Une augmentation de la glycémie est captée par le pancréas, celuici sécrète alors de l’insuline ce qui fait redescendre la glycémie en stockant du
glucose dans les muscles et le foie. Lors d’une diminution au contraire il va
sécréter du glucagon qui va libérer du glucose dans le sang. Un homéostat est
donc composé d'un capteur-émetteur, ici le pancréas, qui est chargé de capter la
valeur de la grandeur en question, d'un centre intégrateur-comparateur, encore
une fois le pancréas dans notre exemple, qui va comparer la valeur captée avec
la valeur consigne, et enfin d'un effecteur, ici le foie et les muscles, qui est à
l'origine de la régulation du paramètre.
Dans notre maquette la grandeur à réguler est la hauteur à laquelle se
trouve la balle de ping-pong. Pour cela, nous avons monté une diode
électroluminescente (LED) et un phototransistor l'un en face de l'autre, de
manière à ce que la balle vienne couper le faisceau de lumière. Ce système fait
office de capteur. Ensuite la position de la balle est transmise au circuit
électronique qui est lui le centre intégrateur-comparateur, qui va quant à lui
envoyer un courant plus ou moins fort dans la bobine, notre effecteur, pour
réguler la position de la balle.
8
Donc lorsque la balle est trop haut, elle cache le faisceau et le circuit
délivre moins de courant dans la bobine ce qui fait redescendre la balle. Au
contraire lorsque la balle est trop bas, une quantité importante de lumière
parvient à la photodiode, et dans ce cas, le circuit envoie plus courant dans la
bobine pour faire remonter la balle. On a donc une valeur réelle qui oscille autour
d'une valeur de référence, tantôt plus forte, tantôt plus faible.
La réalisation de ce circuit nous a pris la majeure partie de notre temps en
groupe avec notre professeur. Nous avons trouvé le schéma sur un site Internet
et nous l’avons adapté sur une plaque d'essai, ne disposant pas de moyens de
fabriquer un circuit imprimé. Il nous a fallu apprendre à souder correctement les
composants et nous avons acquis des compétences nouvelles en électronique
grâce à ce projet.
Électroaimant
(bobine)
Cellule de
détection : LED
Phototransistor
Fig. 11 et 12 : Photographie de la bobine et de la cellule de détection et
photographie du circuit électronique.
2 - Le fonctionnement
Mais à présent détaillons le fonctionnement du circuit électronique. On
peut décomposer le circuit en six grandes parties.
Fig. 13 : Schéma du circuit.
9
Le schéma du circuit que nous avons réalisé est présenté en Fig. 13. Les
composants ont été numérotés pour mieux les repérer lors de la description qui
suit.
a) La cellule de détection :
La cellule de détection fonctionne à l’aide d’une LED (LED1) et d’un
phototransistor (T1) placés l’un en face de l’autre avec entre les deux la balle. La
résistance R7 protège la LED qui pourrait être détruite par un courant trop
important.
Un pont diviseur est formé par les résistances R1 et R8 dans lequel est
inséré le phototransistor T1. La tension aux bornes de R1 plus celles de R8 (ainsi
que par le phototransistor) est égale à la tension totale, soit 12 V. Lorsque la
balle cache le faisceau lumineux de la LED1, le transistor ne laisse pas passer le
courant, de la même manière qu’un interrupteur ouvert.
Donc la tension au collecteur est égal à la tension d’alimentation soit 12 V.
On retrouve donc au point A cette même tension qui sera injectée dans
l’amplificateur opérationnel.
b) Le premier amplificateur opérationnel : le suiveur de tension
L'AOP U1A est monté en suiveur de tension : la tension d’entrée, à la
borne +, est récupérée à la sortie grâce à la connexion entre la sortie et la borne
-. Ce dispositif est utilisé afin de ne pas influer sur la partie du circuit avant le
point A lors de l’utilisation du circuit qui suit, le circuit RC et réciproquement. On
isole ainsi les deux étages du circuit.
c) Le circuit RC :
Les résistances R2 et R3 ainsi que le condensateur C1 forment un circuit
RC qui va retarder le signal en provenance de B, il va lui adjoindre un léger
retard. C’est important au niveau de la bobine car il permet un petit temps avant
réaction de la part du circuit pour ne pas trop brusquer le comportement de la
balle (une forte montée ou une forte descente par exemple).
d) Le second amplificateur opérationnel : l'amplificateur de tension
L'AOP U1B est monté quant à lui en amplificateur de tension. Son gain
d’amplification va dépendre de R4 et de R5 qui forme un pont diviseur de
tension. On a ici un rapport de 10 entre R5 et R4 (220/22=10), le signal amplifié
va être 10 fois supérieur à celui d’entrée (B).
e) Le transistor Darlington :
Le signal amplifié arrive à la base du Darlington. Il s’agit en réalité de deux
transistors PNP montés l’un derrière l’autre. Son rôle est celui d’un interrupteur, il
laisser passer le courant venant de l’alimentation (+12 V) en fonction du
l’intensité qu’il reçoit à la base : lorsque celui-ci est en dessous d’une certaine
valeur, le transistor laisse passer le courant et dans le cas contraire, il bloque le
passage du courant. Ainsi c’est un signal carré qui sort du Darlington pour
alimenter la bobine.
10
f) La bobine :
La résistance R9 protège la LED2, qui sert de témoin lumineux de
fonctionnement, d'un courant trop important qui pourrait la détruire. La bobine
L1 est une bobine de relais automobile. Elle est alimentée par le collecteur du
Darlington et la diode D2 empêche des retours de courants résiduels sur la
bobine qui pourraient perturber son fonctionnent, ou même la détruire.
On peut visualiser le signal aux points A, B, C et D avec un oscilloscope et
on obtient les courbes de la Fig. 14. On visualise bien le retard entre A et B avec
le circuit RC, l’amplification entre B et C ainsi que le signal carré du Darlington
qui se bloque ou non en fonction de l’intensité qu’il reçoit.
On peut donc diviser le fonctionnement en deux cas :
Premièrement, la balle coupe le faisceau lumineux et le phototransistor,
qui joue ici le rôle d’interrupteur, ouvre le circuit. Le suiveur récupère alors une
tension importante qui sera tout d’abord « retardé » par le circuit RC puis
amplifié par le second amplificateur opérationnel. Le Darlington va alors bloquer
le courant et la bobine ne sera plus alimentée d’où la disparition du champ
magnétique. Par conséquent la balle redescend.
Deuxièmement, la balle ne coupe pas le faisceau. Alors c’est exactement
l’inverse, le phototransistor ferme le circuit et en bout de chaîne la bobine est
alimentée par un courant plus fort que dans le premier cas. La balle alors
remonte.
Il est intéressant de remarquer que la balle est donc en permanente
oscillation selon un axe vertical, même si elle n’est pas toujours visible à l’œil nu
car les oscillations peuvent être très faibles. C’est exactement ce que nous avons
expliqué tout à l’heure avec le principe de l’homéostat, l’altitude de la balle varie
autour d’une valeur consigne grâce au circuit.
3- Vérification de la viabilité de la maquette à
l’aide d’une étude mécanique
Le circuit fonctionnant nous nous sommes posés la question de sa viabilité,
c’est-à-dire que sa correspondance avec un modèle mathématique à partir
duquel nous pouvions retrouver des valeurs que nous avions mesurées lors du
fonctionnement du circuit. Pour ce faire nous avons réalisé une étude de
mécanique sur notre maquette dans le but de déterminer une équation globale
concernant son fonctionnement, qui vérifierait les valeurs mesurées. Nous avons
pour cela fait varier deux paramètres : le nombre d’aimants à l’intérieur de la
bobine (donc le champ magnétique créé par les aimants) et la masse du
système. Les deux paramètres ont été modifiés indépendamment à chaque fois
et nous avons mesuré dans chaque cas deux grandeurs : l’intensité du courant
alimentant la bobine pendant le fonctionnement du montage, la distance qui
séparait les aimants du bas de la bobine.
Dans un premier temps, déterminons une équation qui traduit le
fonctionnement du montage.
11
On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le système
étudié est composé de la balle avec les aimants à l’intérieur. Le système est
r
soumis à son poids Ps ainsi qu’à l’action de la l’électroaimant sur les aimants de
r
la balle Fz . On néglige en effet la poussée d’Archimède de l’air et les forces de
frottement.
On représente la situation avec le schéma ci-contre.
Note : On ramène le système à un point (G) afin de
faciliter le raisonnement et les calculs.
r
uz
O
r
Fz
G
r
Ps
On considère que le système lévite, donc qu’il est au
repos. Par conséquent d’après la première loi de Newton, les
forces extérieures qui s’appliquent au système se
compensent.
r
r
r
Donc on a la relation : Ps + Fz = 0
r
r
r
r
r
r
r
Or Ps = Ps u z ; Fz = − Fz u z , donc : Ps u z − Fz u z = 0u z
On projette suivant l’axe z .
On a donc Ps − Fz = 0 ⇔ Ps = Fz
Axe z
Fig. 15a
Par définition : Ps = m s g
Où m s est la masse du système et g l’intensité de pesanteur terrestre, une
constante égale à 9.81 N.kg-1.
r
On a aussi la relation : Fz = m
∂B z r
uz
∂z
Où m est le moment magnétique de l’aimant de la planche et
∂B z
la dérivée
∂z
partielle de champ magnétique de l’électroaimant selon z, ce qui correspond à la
variation du champ magnétique le long de l’axe z.
Le champ magnétique d’une spire de l’électroaimant selon l’axe z est
donné par la relation : B z ( z ) =
µ 0 IR ²
3
2( R ² + z ²) 2
Où z est la distance entre le centre de la bobine et un point considéré de l’axe z
en mètre, R le rayon de la bobine en mètre, I l’intensité du courant qui parcourt
la bobine en ampère et µ 0 la perméabilité magnétique du vide qui est une
constante égale à 4π .10 −7 N . A −2 . Cependant notre électroaimant comporte un
noyau ferromagnétique.
12
On peut donc écrire que :
Bz ( z ) =
µIR ²
2( R ² + z ²)
3
2
, où µ = µ 0 µ rfer avec µ rfer qui est la perméabilité magnétique
relative du noyau ferromagnétique de la bobine. Mais l’électroaimant est aussi
formé de plusieurs spires. Pour simplifier l’étude, on considérera que chaque
r
spire contribue entièrement au champ magnétique selon l’axe u z ce qui est bien
sûr une approximation de la largeur de la bobine. On peut donc écrire le champ
µ 0 IR ²
r
selon l’axe u z : B z −corrigé ( z ) = γ
2( R ² + z ²)
3
2
, avec γ un coefficient qui regroupe le
nombre de spire et la perméabilité relative du matériau ainsi que certaines des
approximations faites sur la bobine et l’état du système.
Nous avons évalué une valeur du coefficient γ . Pour ce faire nous nous
plaçons à une distance z du centre de la bobine égale à 0,7 cm. On mesure
l’intensité circulant dans la bobine. On trouve alors : I = 0,131 A .
A.N. : avec R = 0,60 × 10 −2 m , on obtient Bz ( z ) = 3,78 × 10 −6 mT , alors que la valeur
du champ magnétique, mesurée à l’aide d’une sonde à effet Hall, est égale à 2,3
mT . On détermine γ de manière à ce que Bz − corrigé (z ) = Bz − mesuré (z ) = 2,3 mT
Or Bz − corrigé ( z ) = γ × Bz ( z ) et donc γ =
B z − corrigé ( z )
Bz ( z)
On en déduit donc l’expression : Bz − corrigé ( z ) =
= 608
γ × µ0 IR ²
2( R ² + z ²)
A présent, on dérive B z (z ) par rapport à z .

∂B z ( z ) γµ 0 IR ² ∂ 
1
=
× 
3
∂z
∂z 
2
2
 ( R ² + z ²)





∂B z ( z ) γµ 0 IR ²  3 z R ² + z ² 

=
×  −
3 
∂z
2
(
R
²
+
z
²)





∂B z ( z ) γµ 0 IR ² 
3z
=
×−
5 
∂z
2
 ( R ² + z ²) 2 


On obtient donc au final :
γµ IR ²
∂B z ( z )
=− 0
×
∂z
2
13
3z
( R ² + z ²)
5
2
3
2
D’autre part, on approxime le moment magnétique m par la relation :
m=
SLBr
µ
On modélise ici l’aimant par une spire de section S et de longueur L.
µ est la perméabilité magnétique exprimée par µ = µ r × µ 0 où µ r est la
perméabilité relative au matériau, en l’occurrence le néodyme, égale à 21°C à
0,0117 .
L’expression de Fz est alors :
Fz = −
3γµ 0 IR ² z
SLBr
3SLBrγIR ² z
×
⇔ Fz = −
5
5
µ0 × µr
2( R ² + z ²) 2
2 µ r ( R ² + z ²) 2
Or on a la relation : Ps = Fz = ms g
Donc : m s g = −
3SLBrγIR ² z
2 µ r ( R ² + z ²)
5
2
On isole à présent I : I = −
2 µ r m s g ( R ² + z ²)
3SLBrγR ² z
5
2
On vérifie alors expérimentalement la modélisation.
Intensité
Ecart
relatif (%)
(mA)
Intensité
théorique
I th (mA)
-
131
-
-
25,5
70,0
81,0
92,4
110
60
32
80
118
46,8
34,7
67,1
6,8
28
7,8
19
Masse
m s (g)
Distance
z (cm)
Champ magnétique
Br (mT)
mesurée I exp
à vide
-
-
1
2
3
4
5,143
5,147
5,146
5,149
0,99
1,02
0,963
1,27
Nombre
d'aimant
On observe un écart de 7 à 28% entre les valeurs de l’intensité du courant
calculées et mesurées. Notre modélisation qui est une simplification apparait
donc proche de la réalité.
Nous avons aussi vérifié la formule à l’aide de la masse du système.
Intensité mesurée
(en mA)
60
64
69
Masse (en g)
5.147
5.470
6.006
14
Nous avons tracé I = f (m s ) (Fig. 15b) et la modélisation donne une droite
passant par l’origine qui témoigne d’une relation de proportionnalité entre I et
m s ce qui apparait comme cohérent avec notre modélisation.
Cette modélisation reste encore une approximation, elle ne correspond pas
tout à fait à la réalité puisque nous avons envisagé un système statique alors
qu’en réalité il s’agit d’un système dynamique puisque la balle est en constante
oscillation. Nous avons alors essayé de refaire une étude de mécanique se basant
sur la seconde loi de Newton et sur une mesure de l’accélération de la balle grâce
à une caméra à grande vitesse, mais les résultats des différentes captures étant
inexploitables et les calculs étant d’une grande complexité et pas à notre portée,
nous avons dû y renoncer. La température peut également entre en compte car
la bobine chauffe pendant les mesures.
4- Un hoverboard par sustentation
électromagnétique
Nous avons présenté dans un cadre plus théorique des solutions pour
arriver à une lévitation électromagnétique. Nous sommes parvenu à réaliser ce
phénomène grâce à notre maquette. Mais qu’en est-il de créer un hoverboard
fonctionnelle grâce à cette technique ?
Tout d’abord reprenons les descriptions du champ magnétique et en
particulier du point de vue des lignes de forces.
On peut voir que les lignes de champ sont circulaires autour de l’aimant ici
en deux dimensions, et donc en trois dimensions elles forment une sorte de
sphère qui entoure l’aimant. Cet aspect sphérique du champ magnétique nous
pose un problème de taille dans le cadre de la lévitation électromagnétique.
En effet, nous avions envisagé comme première solution deux aimants se
repoussant pour réaliser une lévitation, un fixé au sol et un autre au dessus de
lui. Or ici la stabilité de l’aimant supérieur, celui qui lévite, serait grandement
compromise (Fig. 16). Il « glisserait » le long du champ magnétique créé par
l’aimant inférieur, à cause de la gravité, où même la force d’attraction prendrait
le dessus sur la force de répulsion.
Cependant, on peut retourner cet aspect problématique à note avantage et
fixant cette fois l’aimant supérieur et en faisant léviter l’aimant inférieur (Fig.
17). En effet, le champ magnétique de l’aimant du dessus crée une sorte de
cuvette, dans laquelle l’aimant inférieur descend par gravité, jusqu’au point le
plus bas. Ainsi, c’est la gravité qui stabilise l’aimant inférieur.
15
On peut prendre comme exemple dans ce cas un rocher qui se trouverait
en haut d’une colline. En plaçant comme origine le niveau de la mer, ce rocher
est en altitude, il possède donc une énergie potentielle de pesanteur, d’où son
instabilité. Le moindre déséquilibre se traduira par la chute du rocher le long de
la pente. Cependant si le rocher arrive dans un creux entre deux collines, alors
son altitude sera plus faible. L’énergie potentielle étant proportionnelle à
l’altitude, son énergie potentielle de pesanteur sera moins importante. L’objet
sera donc plus stable. Exactement comme l’aimant inférieur sur la Fig. 17. C’est
dans cette configuration que l’on parle de sustentation électromagnétique. Nous
avons expliqué ce principe avec des aimants mais il est tout aussi applicable avec
des électroaimants qui créent un champ magnétique, d’où le terme de
sustentation électromagnétique, car on utilise en général des électroaimants.
Mais dispose-t-on d’un champ magnétique assez puissant pour faire léviter
un homme avec sa planche avec cette méthode ?
On se place dans la situation suivante : on souhaite faire léviter un homme
de 80,0 kg et sa planche de 2,00 kg grâce à une bobine qui joue le rôle
d’électroaimant située au dessus de lui. La planche se trouve à deux mètres en
dessous de la bobine afin que l’homme puisse se tenir debout et elle comporte
un aimant.
On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le système
étudié est composé de l’homme avec sa planche. Le système est soumis à son
r
r
poids Ps ainsi qu’à l’action de la l’électroaimant sur l’aimant de la planche Fz . On
néglige en effet la poussée d’Archimède de l’air et les forces de frottement.
On représente la situation avec les schémas suivants :
Électroaimant
r
uz
O
Rider courageux
r
Fz
G
G
Planche
munie d’un
aimant
r
Ps
Axe z
Fig. 18b
Fig. 18a
Note : On ramène le système à un point (G) afin de faciliter le raisonnement et
les calculs.
16
Nous avons opté pour l’aimant le plus puissant trouvé sur le site où nous
avions commandé les aimants nécessaires à nos expériences. Selon les données
du constructeur : Br = 1,29 T ; L = 25,4 mm.
L’aimant a pour dimensions : 25,4 × 50,8 × 50,8 mm.
Donc S = (50.8×10-3)² m².
Après des recherches sur les bobines utilisées dans les alternateurs des
centrales électriques, nous avons décidé d’utiliser pour nos calculs une bobine de
diamètre égal à 1,00 m et possédant 1000 tours afin que la longueur de la
bobine permette que l’homme se tienne debout sur la planche en dessous que
l’aimant soit toujours égal à 2,00 m du centre de la bobine.
Comme dans l’étude précédente, on admet que le système est au repos,
on a par conséquent la même relation :
Ps = Fz avec B z ( z ) =
µ 0 IR ² × N
2( R ² + z ²)
3
2
, avec N = nombre de spires.
On obtient pour Fz :
Fz = −
3 × S × L × Br × I × R ² × z × N
5
2 × µ r × ( R ² + z ²) 2
Or Ps = Fz = m s g , donc m s g = −
3SLBrIR ² zN
5
2µ r ( R ² + z ²) 2
5
2 × µ r × m s × g × ( R ² + z ²) 2
On a donc : I = −
3 × S × L × Br × R ² × z × N
2 × 0,0117 × 82,0 × 9,81× (0.500² + 2,00² )2
I =−
3 × (50,8 × 10−3 )² × 25,4 × 10− 3 × 1,29 × 0,500² × 2,00 × 1000
5
I = 5,53 × 10 3 A
Compte tenu de l’intensité énorme du courant qui circulerait dans la
bobine, l’électroaimant serait grillé dès le début de l’expérience.
L’hoverboard par sustentation électromagnétique n’apparaît donc pas
réalisable de nos jours. De plus, la mobilité d’un tel système serait très limité
voire nulle. La solution que nous avons envisagée se montre beaucoup trop
exigeante et les moyens techniques dont nous disposons actuellement ne
permettent pas d’obtenir des courants électriques assez importants.
17
Conclusion :
Nous avons vu qu’il était théoriquement possible de fabriquer un
hoverboard. Mais qu’en est-t-il réellement ?
Dans un premier temps, nous nous intéresserons au Mag Surf créé par
l’université de Paris Diderot en 2011 (Fig. 19). Une planche placée au-dessus
d’un rail magnétique lévite grâce aux effets de la supraconductivité. La
supraconductivité se manifeste lorsque certains matériaux dits supraconducteurs
sont soumis à des températures très faibles. Le métal va alors perdre toute
résistance électrique à l’origine d’un champ magnétique important qui est créé.
C’est ce dernier effet qui provoque la lévitation d’aimants au-dessus des
matériaux supraconducteurs. Ces derniers sont caractérisés par une
susceptibilité magnétique négative très proche de zéro (environ -10-5), d’où leur
nom de diamagnétiques parfaits.
Cependant une hoverboard de ce type présente quelques inconvénients.
En effet le fait le fait d’utiliser la supraconductivité, que la planche ait besoin d’un
rail pour léviter font qu’elle ne pourrait pas être utilisée dans les espaces urbains.
Ce n’est cependant pas le seul «hoverboard » à avoir vu le jour ces
dernières années. En effet la société Hendo fabrique sa propre hoverboard (Fig.
20), basé sur un autre principe que celle de l’université de Paris Diderot. Quatre
aimants suffisamment puissant pour soulever le poids d’un humain sont placés
sur une planche qui lévite au-dessus d’un support conducteur spécialement
conçu pour la faire léviter. Elle présente toutefois de nombreux défauts comme
sa faible autonomie (d’environ 7 minutes), le bruit qu’elle occasionne ou le fait
de devoir être sur une piste spéciale pour pouvoir l’utiliser.
Même si des projets d’hoverboard voient le jour, on peut tout de même
dire que ces derniers sont encore assez éloignés de l’hoverboard du film Retour
vers le futur II.
Le fait de faire léviter une planche grâce au magnétisme sans
infrastructure particulière semble encore aujourd’hui assez compliqué. On
pourrait peut-être utiliser le champ magnétique de le Terre, mais cela paraît plus
relever de la science-fiction que du réel.
Alors pour l’instant on peut dire que la science se rapproche de plus en
plus de la fiction et qu’elle ne semble pas vouloir l’éviter. Mais pour le moment
leurs chemins ne se sont pas encore rencontrés et il s’agit peut être de l’ordre
naturelle des choses : l’imagination des hommes étant infinie, ils trouveront
toujours un défi à relever pour la science.
18
Remerciements :
Nous tenons sincèrement à remercier nos professeurs de physique
encadrant, qui nous ont énormément aidés dans la réalisation de ce projet
d’Olympiades. Un grand merci à M. Livolsi qui nous a encadré dans cette
aventure depuis le début, dès la Première, qui nous a expliqué les notions
complexes sur le magnétisme et qui nous a fait par de son maniement expert du
fer à souder (ainsi que de la crème apaisante Biafine® qui va avec). Nous le
remercions ainsi que M. Rouillard, c’est grâce à leur patience et à leur maîtrise
de l’électronique que notre maquette à pu être mise au point aujourd’hui. Une
attention toute particulière pour M. Rouillard qui au dernier moment nous a
énormément aidé pour les calculs de la deuxième partie, qui se sont avérés plus
compliqués que prévu. Merci à M. Jacob qui nous a évité certaines erreurs
monumentales grâce à ces nombreuses relectures du mémoire que vous venez
de lire.
Nous les remercions tous les trois d’avoir pris sur leur temps pour que
nous avancions dans ces Olympiades, et toujours dans la bonne humeur malgré
les échéances qui se rapprochaient dangereusement.
Nous tenons à remercier les membres du jury des sélections régionales qui
nous ont beaucoup aidés pour améliorer notre mémoire et notre projet par leurs
conseils précieux.
19
Bibliographie et crédit iconographique :
Bibliographie / Sitographie :
- Électromagnétisme : Fondements et applications, José-Philippe Pérez, Robert
Carles, Robert Fleckinger chez Dunod.
-https://hal.archivesouvertes.fr/file/index/docid/377393/filename/these_Pigot.Ch.pdf
- http://www.photology.fr/
- http://tpetrainmagnetique.free.fr/
- http://www.conrad.fr
- http://www.supermagnete.fr/
Crédit iconographique :
Couverture :
http://cinema.jeuxactu.com/news-cinema-7-choses-que-retour-vers-le-futur-2a-predites-pour-2015-24962.htm
Fig. 4 : http://www.chimix.com/an11/bac11/st2s7.html
Fig.13 :
http://www.photology.fr/levitationimages/levitation_schemasuspens_v3.jpg
Fig. 14 : http://www.photology.fr/
Fig. 19 : http://www.supraconductivite.fr/media/images/pages/magsurf1.jpg
Fig. 20 :
http://www.gqmagazine.fr/uploads/images/thumbs/201443/3f/l___hoverboard_
de_retour_vers_le_futur_sera_dans_les_temps_3959.jpeg_north_780x_white.jp
g
Les autres illustrations de ce mémoire ont été prises lors de nos expériences et
les schémas et représentations ont été réalisés par nos soins, à l’aide du logiciel
d’infographie 3D Blender ou grâce à l’éditeur de schéma intégré à Word.
20
Annexes
Fig. 2 et 3 :
Expérience d’Oersted montrant la déviation de l’aiguille en fonction du passage
du courant.
Note : A gauche l’interrupteur est ouvert et le courant ne passe pas, l’aiguille
pointe donc au nord. A droite, l’interrupteur fermé laisse passer le courant et
l’aiguille pointe dans une direction presque perpendiculaire au fil.
Fig. 4 et 5 :
Schéma des lignes de champ d’un aimant droit et photographie des lignes de
champ mises en valeur (les tiges en métal s’alignent selon les lignes de forces de
l’aimant).
Fig. 6 :
Lévitation magnétique de deux aimants maintenus alignés par un axe.
Fig. 7 et 8 :
21
N
S
S
N
N
S
N
S
N
Représentation vue de dessus du carré d’aimants et représentation simplifiée en
3D de l’intensité du champ magnétique
Note : Les points les plus hauts représentent les intensités les plus fortes du
champ.
Fig. 9 :
Représentation de lignes de champ du carré de 9 aimants.
Fig. 10 :
Lévitation d’une mine de graphite.
Fig. 14 :
22
C
B
Signal en différents points du circuit représenté à l’oscilloscope numérique.
Fig. 15b :
Evolution de l’intensité en fonction de la masse
Fig. 16 :
Aimant supérieur
Champ magnétique
de l’aimant inférieur
Aimant inférieur
Fig. 17 :
23
Champ magnétique
de l’aimant
supérieur
Aimant supérieur
fixe
Note : Pour des soucis de représentation plus claire, le champ magnétique de
l’aimant supérieur sur le premier schéma et de l’aimant inférieur pour le
deuxième schéma n’est pas représenté.
Fig. 19 :
Hoverboard utilisant des supraconducteurs réalisée par l’Université de Paris
Diderot.
Fig. 20 :
Hoverboard de l’entreprise HENDO
24