Mariages, couplages et couvertures

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Le problème du site de rencontres
Le site a une liste de garçons et de filles.
Chaque fille se déclare séduite par un certain nombre de garçons.
Comment apparier les filles et les garçons de sorte que chaque
fille se trouve avec un garçon qui lui agrée?

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Problème de l’assignation de tâches
Un contremaître a une liste de travailleurs et de tâches.
Chaque travailleur est compétent pour un certain nombre de
tâches, mais ne peut en effectuer qu’une seule.
Comment distribuer les tâches de sorte que chaque tâche soit
remplie par un travailleur compétent?

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Couplage
Un couplage dans un graphe est un ensemble Md’arêtes tel que
Mne contient pas de boucles et deux arêtes de Mn’ont jamais
d’extrêmité en commun.
Un couplage maximum est un couplage dont le nombre d’arêtes
est maximal.
Un couplage parfait est un couplage qui est incident à tous les
noeuds.
Observation: Un couplage parfait, s’il existe, est maximum.

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Couplages maximaux, chemins alternés et chemins
augmentés
Pour un couplage M, un chemin M-alterné est un chemin qui
passe alternativement par une arête de Met par une arête hors
de M.
Un chemin M-augmenté est un chemin M-alterné dont les noeuds
d’origine et de destination ne sont pas incident à une arête de M.
Théorème (Berge, 1957): Un couplage Mest maximum si et
seulement s’il n’y a pas de chemin M-augmenté.