Algorithme(s) de type Chudnovsky

Algorithme(s) de type Chudnovsky-Chudnovsky
pour la multiplication dans les extensions finies de Fq
Julia Pieltant
Inria Saclay - ˆ Ile-de-France
Journ´ees C2
25 mars 2014

Plan
1. Introduction — Position du probl`eme
Diff´erentes notions de complexit´e
Lien avec le probl`eme de la d´etermination du rang de tenseur
Complexit´e bilin´eaire sym´etrique et asym´etrique
2. Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . .
Quelques bornes de complexit´e bilin´eaire
Algorithmes de type ´evalutation-interpolation
3. Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky
Principe g´en´eral
Application
R´esultat principal
Bornes th´eoriques

Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky
Diff´erentes notions de complexit´e
Complexit´e de la multiplication dans Fqnsur Fq:
Nombre minimal d’op´erations ´el´ementaires dans Fqn´ecessaires pour calculer le produit
de deux ´el´ements quelconques x,yPFqn.
Types d’op´erations :
‚addition : pα, βq ÞÑ α`βo`u α, β PFq,
‚multiplication scalaire : xiÞÑ α¨xio`u α, xiPFq, et αest une constante,
‚multiplication non-scalaire ou bilin´eaire : pxi,yjq ÞÑ xi¨yjo`u xi,yjPFqd´ependent
des ´el´ements xet yde Fqndont on effectue le produit.
Le nombre minimal de multiplications bilin´eaires n´ecessaires pour effectuer le produit de
deux ´el´ements quelconques de Fqnest appel´e complexit´e bilin´eaire de la multiplication
dans Fqnsur Fq, et not´ee µqpnq.
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Introduction Vers l’algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky. . . Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky
Diff´erentes notions de complexit´e
Complexit´e de la multiplication dans Fqnsur Fq:
Nombre minimal d’op´erations ´el´ementaires dans Fqn´ecessaires pour calculer le produit
de deux ´el´ements quelconques x,yPFqn.
Types d’op´erations :
‚addition : pα, βq ÞÑ α`βo`u α, β PFq,
‚multiplication scalaire : xiÞÑ α¨xio`u α, xiPFq, et αest une constante,
‚multiplication non-scalaire ou bilin´eaire : pxi,yjq ÞÑ xi¨yjo`u xi,yjPFqd´ependent
des ´el´ements xet yde Fqndont on effectue le produit.
Le nombre minimal de multiplications bilin´eaires n´ecessaires pour effectuer le produit de
deux ´el´ements quelconques de Fqnest appel´e complexit´e bilin´eaire de la multiplication
dans Fqnsur Fq, et not´ee µqpnq.
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Diff´erentes notions de complexit´e
Complexit´e de la multiplication dans Fqnsur Fq:
Nombre minimal d’op´erations ´el´ementaires dans Fqn´ecessaires pour calculer le produit
de deux ´el´ements quelconques x,yPFqn.
Types d’op´erations :
‚addition : pα, βq ÞÑ α`βo`u α, β PFq,
‚multiplication scalaire : xiÞÑ α¨xio`u α, xiPFq, et αest une constante,
‚multiplication non-scalaire ou bilin´eaire :pxi,yjq ÞÑ xi¨yjo`u xi,yjPFqd´ependent
des ´el´ements xet yde Fqndont on effectue le produit.
Le nombre minimal de multiplications bilin´eaires n´ecessaires pour effectuer le produit de
deux ´el´ements quelconques de Fqnest appel´e complexit´e bilin´eaire de la multiplication
dans Fqnsur Fq, et not´ee µqpnq.
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