Cours 3 Thermodynamique des processus irréversibles

3. Thermodynamique
des processus irréversibles
en mécanique des milieux
continus
Marc François
Introduction
• La plasticité est irréversible : il y a dissipation
thermique intrinsèque
• Thermo. classique : transformations réversibles
• T.P.I.
Onsager (Nobel 1968),
Prigogine (Nobel 1977)
• Application à la mécanique
Germain (1970) Halphen (1975),
Lemaitre (1977)
Variables
• L’état du système est décrit par les variables
d’état (V.E.). En mécanique :
• Les variables sont des variables
internes. En plasticité, on a au moins parmi elles.
• Les variables associées (V.A.) sont
Méthode de l’état local
• Tous les états sont considérés comme des états
d’équilibre.
• Les V.A. sont associées aux V.E. (et pas à leur
dérivées) par l’énergie libre de Gibbs (ou potentiel
d’état). Il décrit les états d’équilibre et les
évolutions réversibles.
• Les évolutions irréversibles sont décrites par les
V.E. (ou les V.A.) et leur dérivées par rapport au
temps.
En plasticité, seulement les V.A.
Énergies
•
Travail des efforts
extérieurs
•
Travail des efforts
intérieurs
•
Quantité de chaleur
reçue de l’extérieur
•
Quantité de chaleur
produite en interne par
dissipation
•
•
•
Énergie interne
Entropie
Énergie libre de Gibbs
extérieur
Expression locale
•
Travail des efforts
extérieurs
•
Travail des efforts
intérieurs
•
Quantité de chaleur
reçue de l’extérieur
•
Quantité de chaleur
produite
volumiques :
•
Pour les potentiels, on
travaille avec les
grandeurs massiques :
•
•
•
•
Énergie interne
Entropie
Énergie libre de Gibbs
Grandeur x quelconque :
T
Expressions connues
•
•
•
On sait depuis le M1
Avec Stokes :
TH2
La puissance thermique
reçue est :
TH1
volumique (rayonnement,
radioactivité, induction…),
surfacique (flux de chaleur
reçu de l’extérieur).
•
Si la conduction obéit à la
loi de Fourier…
•
alors
si qe dérivable…
TH3
•
Quelques valeurs de la
conductivité thermique k
•
Exemple de source de
chaleur interne : carte de
température associée à
un stockage de produits
radioactifs.
VAL − ISO
> 4.25E+01
< 2.68E+02
44.
55.
65.
76.
86.
97.
1.08E+02
1.18E+02
1.29E+02
1.39E+02
1.50E+02
1.60E+02
1.71E+02
1.81E+02
1.92E+02
2.03E+02
2.13E+02
2.24E+02
2.34E+02
2.45E+02
2.55E+02
2.66E+02
GIBI FECIT
Théorème de l’énergie
cinétique
•
Vient de la seconde loi
de Newton
•
Démo “rapide” :
sur chaque particule de D
•
Le indique que la
grandeur n’est pas
forcément différentiable.
On pourra penser à une
succession de chocs
mécaniques (ou
thermiques pour les
quantités de chaleur
abordées ensuite).
V
TEC
Premier principe de la
thermodynamique
•
U (et Ec) sont des
potentiels d’état
•
U est différentiable
(relations de Cauchy)
•
sa valeur ne dépend pas
du chemin parcouru
•
•
∆U est nul sur un cycle
•
En local
•
c’est une fonction des
V.E. :
•
Bilan d’énergie
PPT
négligé en mécanique
PPT+TEC
PPTL
•
Second principe de la
thermodynamique
Écriture «classique»
•
Écriture employée
•
•
réversibilité
SPT
irréversibilité
•
pendant dt
•
Forme locale (depuis TH1)
Hyp.
•
Stokes
•
vrai pour tout domaine D
•
d’où
•
on en déduit les deux dissipations :
•
TH2
forme locale (sur l’intégrande)
Découplage des dissipations intrinsèques et thermiques
•
•
Deux remarques sur la dissipation thermique :
•
R1 si la thermique obéit à la loi de Fourier alors on a
automatiquement :
•
R2 en quasistatique,
On revient à la dissipation intrinsèque …
(à comparer avec SPT)
•
Le permet
de remplacer
PPTL
•
Maintenant on a plus que des fonctions d’état. Mais on en a deux
(S et u)…
•
On introduit alors l’énergie libre de Helmholtz
•
Remarque 1 : on déduit de ceci et de
l’inégalité de Clausius-Duhem sous sa forme en vitesses :
• Remarque :
Helmholtz
TEC
•
en considérant une isotherme, on voit :
VAS
•
On reprend l’expression en développant la différentielle de
•
En rassemblant :
•
Cette expression est vraie pour toute transformation. En
particulier, pour une isotherme réversible, elle implique •
Pour une transformation réversible et sans déformation, on a :
•
Enfin, par analogie, on pose les Ak sont les forces
thermodynamiques associées.
•
La dissipation intrinsèque se résume à :
DIS
•
Les variables d’état Vk et les forces thermodynamiques associées
Ak sont qualifiées de dissipatives.
•
Par exemple, en plasticité parfaite, et
sont les variables dissipatives et :
•
Pour les autres modèles, tout dépendra du choix des Vk et des
Ak que l’on précisera dans la suite.
Équation de la chaleur
•
On cherche l’élévation de température dT associée à une
évolution des variables internes
•
On dispose de :
• PPTL
et TH3 • TH2
(Thermique de Fourier)
•
•
Helmholtz
VAS
•
En combinant TH3 et Helmholtz:
•
On exprime la différentielle de
•
@
@
@
⇢d = ⇢
: d" + ⇢
dT + ⇢
dVk
@"
@T
@Vk
Compte tenu des résultats précédents (VAS)
⇢d =
: d"
⇢sdT
Ak dVk
•
Il reste :
•
Il nous reste le terme à exprimer.
TH4
•
On exprime la différentielle de
•
D’où, en utilisant VAS :
•
Comme la capacité calorifique (à déformation constante) est :
•
À l’aide de TH4 et obtenir en fonction des V.E. :
•
Ce qui correspond à l’équation de la chaleur complète :
CHA
variation de
température. conduction
En général Cε thermique
est pris
rayonnement
~constant
Prodution
interne de
chaleur par
irréversibilité
Couplage
thermomécanique
(thermoélasticité).
Couplage
thermomécanique
en général
0.
Causes
Effets
Équation de la
chaleur «classique»
•
Pour le couplage thermomécanique on a aussi besoin
la loi de dilatation (linéaire)
des solides :
Isotrope
Anisotrope
•
Quelques valeurs de la capacité calorifique C en J.g-1.K -1 (Wikipedia)
Les atomes lourds ont moins de capacité calorifique
massique que les légers… On utilise du sodium pour
refroidir les soupapes et les centrales nucléaires.
•
Exemple de sodium caloporteur : les centrales SFR
•
•
•
•
Calcul de dans le cas isotrope :
•
D’où
•
où K est le coefficient de dilatation (c.f. cours tenseurs)
Lamé
partition
Loi de dilatation thermique isotrope :
• Petit bilan :
• Si l’on se donne une énergie libre, on a la
relation entre forces et flux.
• Les évolutions ne sont pas encore
précisées. On doit respecter positivité de la
dissipation :
• Il faut des équations complémentaires…
Phénomènes dissipatifs
linéaires
•
Une relation linéaire entre force et flux garantit la positivité de la
dissipation. De nombreux phénomènes obéissent à de telles lois :
•
•
•
•
•
•
électricité
Thermique
Amortisseur
Fluide newtonien
Loi de Darcy des milieux poreux
Loi générique :
Phénomènes dissipatifs
linéaires couplés
•
Dans le cas où n phénomènes dissipatifs linéaires sont présents
on introduit une matrice d’interactions :
•
•
D’où est positive si est définie positive
•
•
On dit aussi que dérive du potentiel de dissipation
Onsager (Nobel, 68) a démontré que est symétrique
(relations de symétrie d’Onsager). Cela a permit de trouver des
phénomènes physique inverses qui ont été identifiés ensuite.
ou de manière inverse que dérive du potentiel de résistance
Phénomènes dissipatifs
non linéaires couplés
•
Les flux sont fonction des variables internes
•
La relation d’Onsager s’écrit alors
•
Cette approche est valide pour les phénomènes physiques
continus.
•
En mécanique (plasticité, endommagement…) on a des
phénomènes qui se déclenchent à partir d’un certain seuil (la
limite élastique ).
Plasticité,
endommagement…
• Cadre différent : on a un seuil.
• La plasticité est indépendante du temps : on
ne gère pas vraiment la vitesse (ou flux) du
phénomène.
• D’autres règles viennent se greffer…
• C’est l’objet du cours de plasticité 3D.
Bibliographie
•
P. Germain, Q. S. Nguyen et P. Suquet, Continuum Thermodynamics, J. of Appl.
Mech., 50, pp. 1010-1020,1983.
•
B. Halphen et Q. S. Nguyen, Sur les matériaux standards généralisés, J. de
Mécanique, 14, 1, pp. 39-63, 1975.
•
B. Halphen, Thermodynamique des milieux continus. Cours de l'ENPC,
disponible à http://www.enpc.fr/enseignements/Halphen/
•
D. Kondepudi, I. Prigogine : ”Modern Thermodynamics. from Heat Engines to
Dissipative Structures.”, John Wiley & Sons, New York Weinheim 1998.
•
G. D. C. Kuiken, Thermodynamics of irreversible process, Applications to Diffusion
and Rheology, Wiley tutorial series, Ed. J. Wiley.
•
•
J. Lemaitre, Mécanique des matériaux solides, Ed. Dunod, Paris, 1984.
•
C.Vidal, G. Dewel et P. Borckmans, Au dela de l'équilibre, Coll. Enseignement
des sciences, ed. Hermann, 1994.
•
A. Zaoui, Comportement Mécanique des Matériaux, Chapitre 3, Ed. Hermes,
1991.
L. Onsager, Reciprocal relations in irreversible processes I, Phys. Rev. 37, pp.
405-426, 1930.
Kelvin
Carnot
Merci
Prigogine