TS Physique Détermination des caractéristiques d`une bobine

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TS Physique
Détermination des caractéristiques
d’une bobine
Exercice
résolu
Enoncé
On se propose de déterminer expérimentalement, de plusieurs façons, l’inductance L et la
résistance r d’une bobine.
Remarque : les deux parties du problème sont indépendantes.
A
i
A. Première partie : circuit RL
Voie 1 : u1
R
On réalise le montage ci-contre. Le GBF, non relié à la terre,
peut délivrer des tensions rectangulaires ou triangulaires. La
résistance R est réglable. On visualise les tensions u1 et u2 à
l’aide d’un oscilloscope bicourbe, les deux voies n'étant pas
inversées.
GBF
M
A
L, r
1. Généralités
B
a) Sur le schéma de l’annexe n°1, représenter en convention
A
récepteur les tensions uL et uR aux bornes de la bobine et du
conducteur ohmique.
b) Donner les expressions de uL et uR. En déduire les expressions des tensions u1 et u2.
Voie 2 : u2
2. Réponse à un échelon de tension
Le GBF délivre une tension rectangulaire de valeur 0 ou E = 4,0 V. La valeur de la résistance R
est fixée à R = 85 Ω. On observe l’oscillogramme 1 donné en annexe n°2, sur lequel on a visualisé
la tension u1 au cours de l’établissement du courant.
a)
b)
c)
d)
e)
Justifier l’allure de l’oscillogramme.
Exprimer U1m, valeur de la tension u1 en régime permanent, en fonction de R, r et E.
En déduire l’expression de r.
Utiliser l’oscillogramme 1 pour déterminer la valeur de r.
Par une méthode au choix, déterminer graphiquement la valeur de l’inductance L de la bobine
en utilisant l’oscillogramme 1 en annexe n°2.
1. Réponse à une tension triangulaire
Le GBF délivre à présent une tension triangulaire et on règle la résistance R de telle façon que
R = r.
a) On visualise la tension u1 sur l’oscillogramme 2 ci-dessous. Déterminer la fréquence f du signal.
b) On appuie ensuite sur la touche ADD de l’oscilloscope, et on visualise la tension us = u1 + u2. On
obtient l’oscillogramme 3 ci-dessous. Montrer que us = −
Caractéristiques d’une bobine
L du1
.
r dt
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c) En exploitant les oscillogrammes 2 et 3, déduire de ce qui précède la valeur de L.
Oscillogramme 3
Oscillogramme 2
0V
0V
-1
Sensibilité verticale : 2,0 V.div-1
-1
Balayage : 2,0 ms.div
Sensibilité verticale : 2,0 V.div
-1
Balayage : 2,0 ms.div
2 K 1
B. Deuxième partie : circuit RLC
On réalise le circuit ci-contre en utilisant la même bobine d’inductance
L et de résistance r qu’en première partie. Le condensateur est une
boîte à décades de capacité C réglable. Le condensateur étant
préalablement déchargé, on bascule l’interrupteur pendant quelques
instants en position 1, puis on le bascule en position 2, ce qui déclenche
l’enregistrement de la tension uC aux bornes du condensateur.
Acquisition
i
L,r
U0
uC
C
-
Lorsque C = 38 nF, on obtient le graphe représenté ci-dessous.
1. Quelles sont les valeurs initiales de uC
+
REF
u
u C (V)
et de l’intensité i du courant ?
4
2. Décrire l’évolution de uC en fonction du
temps.
2
3. Compte tenu de l’allure de la courbe,
quelle approximation peut-on faire ?
4. Établir l’équation différentielle vérifiée
par uC.
5.
Montrer
uC (t) = Um . cos(
que
2π
.t + ϕ0 )
T0
la
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2
-4
fonction
est solution de
l’équation différentielle. Déterminer les valeurs de Um et de ϕ0 .
6. Etablir l’expression de la période propre T0 et calculer sa valeur. En déduire celle de
l’inductance L.
Caractéristiques d’une bobine
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(ms)
tt(ms)
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Annexe
Annexe n°2
Annexe n°1
i
Voie 1 : u1
A
Oscillogramme 1
R
GBF
M
A
L, r
B
A
Voie 2 : u2
0V
-1
Sensibilité verticale : 0,50 V.div
-1
Balayage : 0,50 ms.div
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Corrigé
A. Première partie : circuit RL
1. a) Sur le schéma de l’annexe n°1, représenter en convention récepteur les tensions uL et uR aux bornes de la
bobine et du conducteur ohmique.
b) Donner les expressions de uL et uR. En déduire les expressions des tensions u1 et u2.
En convention récepteur :
Or : u1 = uAM = uR => u1 = R.i
et : u2 = uBM = - uMB = - uL => u2 = - r.i – L.
di
dt
2. a) Justifier l’allure de l’oscillogramme.
Sur l’oscillogramme 1, on visualise la tension aux bornes du conducteur ohmique. Cette tension est
proportionnelle à l’intensité i du courant (cf. A.2) et donc la courbe visualisée permet de suivre
les variations de i. Le circuit comporte une bobine, qui s’oppose à l’établissement du courant : le
courant s’établit donc avec un certain retard, ce que l’on observe sur l’oscillogramme.
b) Exprimer U1m, valeur de la tension u1 en régime permanent, en fonction de R, r et E.
En régime permanent, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r. Le
dipôle AB est alors équivalent à deux conducteurs ohmiques en série parcourus par un courant
d’intensité I constante. On peut alors écrire la loi d’additivité des tensions :
E = uAM + uMB = R.I + r.I = (R+r).I => I =
E
R.E
. Par ailleurs : U1m = R.I => U1m =
R+r
R+r
c) En déduire l’expression de r.
D’après la question précédente : U1m.(R+r) = R.E soit : r = R.(
E
− 1)
U1m
d) Utiliser l’oscillogramme 1 pour déterminer la valeur de r.
On détermine graphiquement U1m à l’aide de l’oscillogramme 1. On trouve U1m = 6,8 x 0,5 = 3,4 V
4, 0
=> r = 85 × (
− 1) = 15 Ω
3, 4
e) Déterminer graphiquement la valeur de l’inductance L de la bobine en utilisant l’oscillogramme 1 en annexe n°2.
L
.
R+r
C’est la durée au bout de laquelle l’intensité du courant atteint 63% de sa valeur maximale (en
régime permanent). C’est aussi l’abscisse du point d’intersection de la tangente à l’origine de la
courbe et de l’asymptote de la même courbe. On trouve : τ = 6,0 x 10-4 s.
Dans un dipôle R,L, la constante de temps τ du circuit, s’exprime par : τ =
L = τ.(R + r) soit : L = 6,0 x 10-4x 100 = 6,0 x 10-2 H
3. a) On visualise la tension u1 sur l’oscillogramme 2 ci-dessous. Déterminer la fréquence f du signal.
Par lecture graphique : T = 10,0 ms.
1
1
f=
soit : f =
= 100 Hz
−3
T
10, 0 × 10
b) On appuie ensuite sur la touche ADD de l’oscilloscope, et on visualise la tension us = u1 + u2. On obtient
L du1
.
l’oscillogramme 3 ci-dessous. Montrer que uS = − .
r dt
us = u1 + u2. Or : u1 = R.i = ri et u2 = - r.i – L.
Donc : us = r.i – r.i – L.
di
.
dt
L du1
u
di
di
di 1 du1
= - L.
. Par ailleurs : i = 1 =>
= .
et us = − .
r dt
dt
dt
r
dt r dt
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c) En exploitant les oscillogrammes 2 et 3, déduire de ce qui précède la valeur de L.
La relation précédente nous permet d’établir que : L = −r.
us
 du1 


 dt 
.
L’oscillogramme 2 représente les variations de u1. Entre 0 et 5,0 ms, u1 est une fonction affine de
du1
8, 0
=
= 1, 6 × 103 V.s −1 . L’oscillogramme 3 permet de déterminer la valeur de us
pente :
dt 5, 0 × 10 −3
pendant ce même intervalle de temps. On trouve us = - 6,4 V.
En remplaçant dans l’expression de L, on trouve : L = −15 ×
−6, 4
= 6,0 x 10-2 H
1, 6 × 103
B. Deuxième partie : circuit RLC
1.Quelles sont les valeurs initiales de uC et de l’intensité i du courant ?
Quand l’interrupteur est basculé en position 1, le condensateur se charge. A la date t = 0 de
l’enregistrement, quand on bascule l’interrupteur en position 2, la tension aux bornes du
condensateur est uC (0) = U0 = 5,0 V (valeur déterminée graphiquement). Au même instant, aucun
courant ne circule dans le circuit : i(0) = 0.
2. Décrire l’évolution de uC en fonction du temps.
La tension uC est une fonction sinusoïdale du temps.
3. Compte tenu de l’allure de la courbe, quelle approximation peut-on faire ?
L’amplitude de la fonction t uC(t) ne varie quasiment pas. On peut donc faire l’hypothèse que la
résistance de la bobine est négligeable. On est en présence d’un oscillateur électrique non amorti.
4.Établir l’équation différentielle vérifiée par uC.
2 K 1
Compte tenu de l’orientation du circuit, on a, d’après la loi d’additivité
des tensions : uL + uC = 0 .
Or uL = L.
dq
du
di
et i =
= C. C
dt
dt
dt
5. Montrer que la fonction
2
=> uL = L.C.
uC ( t ) = Um . cos(
d uC
du
et L.C. 2C + uC = 0
dt2
dt
2π
T0
Acquisition
i
2
.t
+ ϕ0 )
est solution de
L,r
uL
C
+
q
-
l’équation différentielle. Déterminer les valeurs de Um et de ϕ 0 .
uC = Um . cos(
et
d2 uC
dt2
= −(
Donc : L.C
du
2π
2π
2π
.t + φ0 ) => C = −( ).Um . sin( .t + φ0 )
T0
dt
T0
T0
REF
2π 2
2π
2π
) .Um . cos(
t + φ0 ) = −( )2 .uC
T0
T0
T0
d2uC
2π
2π
+ uC = 0 => ( )2 .L.C.uC + uC = 0 et uC .(1 − ( )2 .L.C) = 0
2
dt
T0
T0
Puisque la solution uC = 0 n’a pas de sens physique, on en déduit que :
2
2
 2π 
 T0 
1−
 LC = 0 => 
 = LC et T0 = 2π . L.C
 2π 
 T0 
A la date t = 0 : uC = U0 => U0 = Um cos φ0 avec cos φ0 > 0.
 du 
 du 
Par ailleurs i(0) = 0 => C  C 
= 0 et  C  = 0 .
 dt t = 0
 dt t = 0
Donc : sin φ0 = 0 et, puisque cos φ0 > 0, φ0 = 0 et Um = U0= 5,0 V
Caractéristiques d’une bobine
U0
uC
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6. Etablir l’expression de la période propre T0 et calculer sa valeur. En déduire celle de l’inductance L.
On peut considérer que la période des oscillations observés est égale à T0 (amortissement
faible). Graphiquement, on trouve : T0 = 3,0 x 10-1 ms.
2
T0 = 2π . L.C => L =
1  T0 
.
C  2π 
Caractéristiques d’une bobine
2
soit : L =
 3, 0 × 10 −4 
1
-2
×

 = 6,0 x 10 H
2π
3, 8 × 10 −9 

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