Rapport de Christian Lavault sur le mémoire d`HDR de M. Akka

Professeur Christian Lavault
LIPN, CNRS UMR 7030, Universit´e Paris 13
Rapport de Christian Lavault
sur le m´emoire d’HDR de M. Akka Zemmari
Apr`es un travail de th`ese effectu´e sous la direction de Yves M´etivier et Nasser Saheb (Contri-
bution `a l’analyse d’algorithmes distribu´es, 2000), le pr´esent m´emoire d’habilitation `a diriger des
recherches de Akka Zemmari traite de ses activit´es de recherche ces dix derni`eres ann´ees.
Intitul´e Pr´esentation et analyse de quelques algorithmes distribu´es probabilistes, ce m´emoire
est constitu´e de trois grandes parties, chacune motiv´ee par l’´etude de probl`emes classiques de
l’algorithmique distribu´ee : «l’´election »(chapitres 2 et 3), la «construction d’un stable maxi-
mal »(Maximum Independent Set ou MIS) et la «coloration »d’un graphe connexe, quelconque,
anonyme et synchrone (chapitres 4 et 5), enfin la communication «par rendez-vous »(Hanshake)
dans un r´eseau anonyme synchrone (chapitres 6 et 7).
1 Deux ´elections distribu´ees probabilistes
Les r´esultats de cette premi`ere partie s’inscrivent dans le droit fil des travaux de recherche
effectu´es par Akka Zemerri, en commun avec Yves M´etivier et Nasser Saheb-Djahromi, puis avec
Abdelaaziz Hibaoui et John Michael Robson. Cette partie condense plusieurs articles publi´es dans
diverses revues et conf´erences internationales, Inf. and comput.,Inf. Process. Letters, FPSAC,
Sirocco, Imacs, etc.)
Les chapitre 2 et 3 traitent de la probl´ematique de l’´election «uniforme »synchrone, res-
pectivement dans les arbres et les polyomino¨ıdes. Dans les deux cas, un algorithme d’´election
´equitable (ou uniforme) pour chaque classe de graphes est propos´e et analys´e. L’´equit´e des algo-
rithmes, c’est-`a-dire l’´equiprobabilit´e 1/n d’ˆetre ´elu pour tout sommet de tels graphes de taille
n≥1, est obtenue grˆace `a trois propri´et´es inh´erentes `a l’algorithme d’´election propos´e dans
les k-arbres. Primo, l’affectation d’un mˆeme poids initial `a chaque sommet, secundo le mode de
transmission et de prise en compte de ce poids par le sch´ema distribu´e d’´elimination, un par un,
de tous les sommets devenus feuilles, jusqu`a l’obtention d’un ´elu. Grˆace enfin aux propri´et´es de
la distribution exponentielle de param`etre λ: la dur´ee de vie d’une feuille vsuit en effet une
loi exponentielle de param`etre λ(v), calcul´e localement lorsque vdevient feuille de l’arbre dans
le processus d’´elimination. Lorsque sa dur´ee de vie expire, venvoie son poids `a son p`ere dans
l’arbre, qui l’ajoute `a son propre poids.
Il faut noter que l’algorithmes d’´election uniforme dans les polyomino¨ıdes est une
g´en´eralisation directe de l’´election dans les k-arbres, par construction de l’unique arbre cou-
vrant standard d’un polyomino¨ıdes quelconque. Dans ces deux classes de graphes, la complexit´e
en moyenne de l’´election uniforme, i.e. la dur´ee moyenne de vie des sommets ou encore le temps
d’absorption d’un processus markovien irr´eversible de taille n≥1 en temps continu, est O(log n)
(Hn−1 pr´ecis´ement), o`u nest la taille du graphe consid´er´e.
Le grand m´erite de ces travaux r´eside avant tout dans le renouvellement de l’approche de
l’´election uniforme, fond´ee ici sur un syst`eme de r´e´ecriture locale dans les graphes connexes
et les r`egles de r´e´etiquetages associ´ees (cf. Godard, Litovsky, M´etivier, Sellami et Sopena, en
particulier). Cette approche permet de ramener l’analyse dans un polyomino¨ıde `a celle r´ealis´ee
dans son arbre couvrant standard. Ces algorithmes distribu´es d’´election reviennent alors `a une
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´election uniforme dans un arbre selon les r`egles d’activation mentionn´ees plus haut. Les analyses
mettent ainsi en œuvre des techniques probabilistes tr`es classique, «`a la Feller », o`u la complexit´e
d’une ´election ou dur´ee de vie d’un sommet, est vue `a partir du temps continu d’un processus
de mort pure.
Pour conclure, on peut s’interroger sur la pertinence r´eelle du choix de la topologie de po-
lyomino¨ıde – sinon qu’elle s’int`egre tr`es naturellement dans la continuit´e de l’´election uniforme
dans les arbres. Par ailleurs, l’approche fond´ee sur le syst`eme de r´e´ecriture locale dans les graphes
connexes et les r`egles de r´e´etiquetages associ´ees choisie par M´etivier et al. pourrait s’enrichir d’une
approche de pure combinatoire analytique : l’analyse des graphes connexes, vus comme objets
combinatoires ´etiquet´es (par la m´ethode symbolique et leurs s´eries g´en´eratrices exponentielles
associ´ees, entre autres).
2 Construction d’un stable maximal et coloration
La deuxi`eme partie pr´esente les travaux r´ealis´es en collaboration avec Yves M´etivier, John
Michael Robson et Nasser Saheb-Djahromi. Elle rassemble deux articles, l’un soumis `a une revue
internationale, l’autre `a paraˆıtre dans les actes de Sirocco.
Les chapitre 4 et 5 qui la constituent traitent de deux probl`emes fondamentaux d’algorith-
mique distribu´ee dans les graphes, la construction d’un stable maximal (chapitre 4) et la colora-
tion (chapitre 5).
Construction d’un stable maximal dans un graphe
Le chapitre 4 pr´esente et analyse trois algorithmes distribu´es probabilistes gloutons de
construction synchrone d’un stable maximal (MIS) dans un graphe Ganonyme quelconque
d’ordre n≥1.
Le premier se fonde sur un ´echange de r´eels et se d´ecompose en plusieurs phases ; `a chaque
phase, chaque processus uencore dans Gg´en´ere uniform´ement un nombre r´eel x(u)∈[0,1(, et
le sommet uest dans le MIS si x(u) est un minimum local pour ses voisins. Une fois ces minima
locaux inclus dans le MIS, tout sommet survivant (non inclus dans le MIS ni voisin d’un sommet
du MIS) effectue un nouveau tirage de v.a., et les minima locaux sont inclus dans le MIS ; La
proc´edure est ainsi it´er´ee jusqu’`a l’extinction de tout survivant. Cet algorithme est de complexit´e
moyenne (en nombre de phases) O(log n) et s’ex´ecute en O(log n) avec probabilit´e 1 −o(n−1)
(grande probabilit´e).
Le deuxi`eme algorithme Br´ealise une simulation du premier par envoi/r´eception de messages
de taille O(1), selon le principe suivant. Une phase est compos´ee de «rondes »(rounds). Durant
une ronde, un sommet tire uniform´ement un bit, 0 ou 1, qu’il envoie `a tous ses voisins encore
actifs. En fonction de l’´etat de ces derniers (dans le MIS ou hors du MIS) contenu dans leurs
messages de r´eponse (de O(1) bits), le sommet d´ecide alors soit d’appartenir au MIS, soit de
s’en d´eclarer en dehors, soit de continuer la phase courante, soit encore de d’attendre la phase
suivante. Moyennent un algorithme plus compliqu´e, Bconstruit un MIS de Gen O(log2n) avec
grande probabilit´e.
Le dernier algorithme C, enfin, am´eliore la complexit´e O(log2n) de B, tout en utilisant des
messages de un bit. Cr´ecup´ere ainsi la complexit´e moyenne O(log n) (en bits) et une ex´ecution
en O(log n) avec grande probabilit´e. Son principe est de d´esynchroniser les diff´erentes phases sur
un sommet, permettant ainsi `a un sommet ud’envoyer au sommet v1un bit b1correspondant
`a la phase t1et, au sommet v2, un bit b2correspondant `a la phase t2(t16=t2). La sym´etrie
entre voisins d’´etats distints est ainsi bris´ee et, `a chaque ronde, Cbrise la sym´etrie sur une arˆete
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ave probabilit´e 1/2. La d´etermination du MIS s’effectue `a nouveau par simulation du premier
algorithme, avec des messages de un bit. Comme l’algorithme B,Cest en moyenne optimal mais
sa complexit´e par canal devient ici optimale en O(log n).
Il faut noter que ce dernier algorithme distribu´e et probabiliste de MIS est, `a ma connaissance,
le meilleur connu. Bien que ce point soit secondaire, son coˆut en espace m´emoire est ´evidemmment
´elev´e, O(n2). De plus, l’ind´ependance asymptotique de l’insertion de deux sommets disctincts
dans le MIS est ´egalement d´emontr´ee (§4.5). Cette derni`ere propri´et´e peut raisonnablement faire
penser que la technique utilis´ee est g´en´eralisable `a d’autre probl`emes voisins dans les graphes
(couverture, coloration, etc.).
Coloration de graphe
Le chapitre 5 pr´esente et analyse un algorithme probabiliste synchrone assez simple, dont la
conception s’inspire de celui du chapitre pr´ec´edent.
Au d´ebut de chaque phase, un sommet de Gencore sans couleur connaˆıt l’ensemble de ses
voisins actifs (sommets encore sans couleur d´efinitive). ` A chaque ronde, chaque sommet ug´en´ere
uniform´ement un bit al´eatoire qu’il envoie `a l’ensemble de ces voisins encore actifs, dont chacun
lui retourne son message de un bit. Le sommet usupprime alors de cet ensemble ses voisins
actifs lui ayant renvoy´e un bit distinct de celui qu’il a lui-mˆeme tir´e. Les sommets de Gayant
obtenu ainsi leur couleur d´efinitive arrˆetent l’ex´ecution et sont supprim´es de Gavec leurs arˆetes
adjacentes. Les autres sommets continuent d’ex´ecuter l’algorithme dans le graphe r´esiduel de
G. La couleur finale d’un sommet uest donc le mot ωuform´e par la concat´enation de tous
les bits g´en´er´es par u, de ronde en ronde, durant son ex´ecution de l’algorithme (ωu∈ {0,1}∗,
mono¨ıde libre construit sur l’alphabet {0,1}∪{ε}et muni de la concat´enation : ωupeut ainsi
ˆetre interpr´et´e comme un entier).
L’analyse de complexit´e locale, via la transform´ee de Mellin, fait ainsi apparaˆıtre une
esp´erance du nombre de bits total g´en´er´es par un sommet ude Gde degr´e d(u) = d≥1
asymptotiquement ´egale, pour d→ ∞, `a
E(Ld) = log2(d) + 1
2+γ ln 2 +δ(log2(d)) + Od−2,
o`u δ(x) = −1/ln 2 X
k∈Z\{0}
Γ(2ikπ/ ln 2) exp(−2ikπx) est une fonction oscillante de p´eriode 1
(s´erie de Fourier) et d’amplitude faible, |δ(x)| ≤ 10−6, le terme d’erreur Od−2provenant du
d´eveloppement des singularit´es dans la bande h−1/2,2i(la bande fondamentale ´etant h−1,0i).
L’apparition de fluctuations p´eriodiques provient des pˆoles imaginaires 2ikπ/ ln 2 de la trans-
form´ee de Mellin. On la rencontre dans l’analyse asymptotique de nombreux algorithmes conte-
nant des sommes harmoniques (dyadiques, doublement exponentielles, etc.).
Cette s´erie de Fourier (terme oscillant) de faible amplitude caract´erise les autres moments
de la v.a. Ld, en particulier sa variance. Mˆeme remarque concernant le §5.4 (Cas particuliers)
qui traite des cycles, des graphes al´eatoires G(n, p) (Erd¨os-R´enyi) et des graphes complets, pour
lesquels la complexit´e globale moyenne de l’algorithme peut-ˆetre vue comme la hauteur moyenne
d’un trie. En revanche, on peut noter que la proposition 5.2 comme son corollaire 5.4 demeurent
valides, mˆeme lorsqu’on n´eglige brutalement ces faibles oscillations, δ(log2(d)), par un terme
O(1). Seule la vitesse de convergence en probabilit´e du rapport Ld/log2(d) ainsi que celle de son
corollaire 5.4 en sont affect´ees.
Pour conclure l’´etude de cet algorithme, il faut signaler son optimalit´e O(log n) et O(log n)
avec grande probabilit´e, ainsi que l’am´elioration qu’il apporte `a la complexit´e en bits, au re-
gard des autres algorithmes distribu´es probabilistes de coloration. Le seul point posant vraiment
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probl`eme est celui du nombre de couleurs requis, bien sup´erieur `a l’algorithme de O(∆/ln ∆)-
coloration (pour un graphe sans triangle) de ¨ Ojvind Johansson (1999) (∆ est le degr´e maximal
de Get la constante inf´erieure, en fait, `a 9). Il s’agit, dans le cas pr´esent, d’un compromis sans
doute encore n´ecessaire pour maintenir la taille de messages de un bit. . .
Cette partie m´ediane du rapport, qui regroupe aussi ses travaux les plus r´ecents, est sans
conteste la plus aboutie du manuscrit de Akka ; il s’agit d’une recherche originale et de qualit´e.
3 Le probl`eme des rendez-vous
La derni`ere partie est r´ealis´ee en collaboration avec Abdelaaziz El Hibaoui Yves M´etivier,
John Michael Robson et Nasser Saheb-Djahromi.
Les deux derniers chapitres abordent le probl`eme du rendez-vous (Handshake), technique de
communication exclusive entre couple de processus voisins, et ce, de deux mani`ere diff´erentes.
La premi`ere solution (chapitre 6) fonctionne par tirages et envoi/r´eception de messages de un
bit, quant `a la seconde, dite «`a agenda dynamique », elle exploite les propri´et´es des variables
al´eatoires continues (chapitre 7). Dans les deux cas, une notion d’«efficacit´e »d’un algorithme
distribu´e probabiliste est introduite et utilis´ee pour juger de son «optimalit´e »(dans un sens
pr´ecis´e par les articles publi´es).
3.1 Solution par tirages et ´echanges de un bit
Le chapitre 6 pr´esente et analyse un algorithme probabiliste probabiliste synchrone de rendez-
vous dans un graphe connexe quelconque Gdont les messages sont de taille un bit. Cet algorithme
fait d’abord l’hypoth`ese d’un temps discret, puis ensuite d’un temps continu – ce qui permet,
comme dans la solution du chapitre 7, d’exploiter des propri´et´es sp´ecifiques aux v.a. continues
(cf. ci-dessus).
Dans l’algorithme, chaque sommet de Gchoisit al´eatoirement et uniform´ement l’un de se
voisins, auquel il envoie le message h1i, tandis qu’il envoie h0i`a tous ses autres voisins. Un
rendez-vous est r´ealis´e entre deux sommets voisins, uet v, si, et seulement si, uenvoie h1i`a
vet venvoie h1i`a u. Dans les deux cas, discret et continu, l’analyse, porte sur la probabilit´e
de succ`es, i.e. l’obtention d’au moins un rendez-vous dans G, sur le calcul du nombre moyen
de rendez-vous, puis sur leur distribution asymptotique dans quelques classes de graphes (cycles
et chaˆınes, avec un d´eveloppement particulier pour le graphe complet). Cette mˆeme analyse est
reprise pour les graphes al´eatoires G(n, p).
3.2 Solution «`a agenda dynamique »
Le chapitre 7 utilise une technique algorithmique diff´erente de rendez-vous dans un graphe
G. L’algorithme repose sur l’utilisation d’un «agenda dynamique »fond´e sur un m´ecanisme
d’horloge physique globale en temps continu auquel chaque sommet a acc`es et proc`ede par
anticipation. Ce m´ecanisme d’horloge physique est d´etaill´e dans le livre de Gerard Tel sous le
nom de Timer. En un processus, tout ´ev´enement (envoi, r´eception de message, et changement
d’´etat interne) se produit `a une date tdonn´ee et sa dur´ee est suppos´ee nulle (aucun d´elai d’attente
n’est suppos´e, ni entre la r´eception et l’envoi d’un message, ni dans une transition d’´etat interne).
Le seul coˆut en commmunication r´eside par cons´equent dans les d´elais (born´es) de transmission
des messages entre sommets.
Dans l’algorithme, chaque sommet utire ind´ependamment et uniform´ement des v.a. r´eelles
dans [0,1[, chacune not´ee tu(v), «temps »associ´e `a chaque voisin v. Si deux sommets uet v
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sont tous deux disponibles `a la date tu(v), un rendez-vous a lieu entre eux `a cette date. L’analyse
de cet algorithme de rendez-vous dans Gse ram`ene `a l’´etude du couplage maximal dans G. Le
protocole de communication utilis´e est une variante de celui de Francez, Rodeh et Demaine. Le
reste du chapitre est consacr´e `a l’analyse de la proc´edure, d’abord la probabilit´e d’obtenir k
rendez-vous, ensuite l’esp´erance du nombre de rendez-vous, puis l’impact de l’ajout d’une arˆete
ou d’un sommet, et enfin le nombre moyen de rendez-vous dans les graphes al´eatoires G(n, p).
Ces r´esultats font sens dans la mesure o`u ils ´etendent le protocole probabiliste de rendez-vous
de M´etivier, Saheb et Zemmari de 2003.
L’´etude de la la notion d’«efficacit´e »de ces algorithmes de rendez-vous probabilistes, est
esquiss´ee au dernier chapitre, Conclusions et perspectives ; elle a pour objet de permettre une
comparaison avec des algorithmes dits «id´eaux », et donc non n´ecessairement distribu´es. Dans cet
ultime chapitre, est ´egalement ´evoqu´ee l’analyse du temps de diffusion par inondation (Flooding)
dans un r´eseau avec d´elais de transmission al´eatoires. Mais il s’agit l`a d’un probl`eme difficile,
semblable `a celui de la propagation al´eatoire d’une rumeur dans un graphe r´esolu par Boris Pittel
en 1987.
Conclusions
Il faut souligner que l’ensemble de cet important travail ne se contente pas d’un survol des
questions abord´ees. Le m´emoire d’HDR de Akka concentre un travail de recherche th´eorique et
pratique de grande qualit´e men´e depuis de longues ann´ees. Il y manifeste une grande aisance et sa
parfaite maˆıtrise des probl`emes abord´e. De plus, celui-ci a d´ej`a co-encadr´e une th`ese (soutenue en
d´ecembre 2008) et deux m´emoires de DEA ou master (en 2005 et 2007) et poss`ede une exp´erience
en enseignement d´ej`a ancienne.
Je suis donc favorable `a l’obtention par Akka Zemmari d’une habilitation `a diriger des re-
cherches (sp´ecialit´e «Informatique »).
le 19 septembre 2009,
Christian Lavault
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