RÉFÉRENTIEL TERRESTRE

1
x
z
y
nord
ouest
sud
est
Ωh≈λ Ωv
RÉFÉRENTIEL TERRESTRE
1) Définitions.
Pour des durées faibles par rapport à l'année, on peut considérer le référentiel
géocentrique RGcomme galiléen.  fe
Un référentiel terrestre (Oxyz) est un référentiel tournant autour de l'axe des  Ω
pôles géographiques, fixe dans ( RG), avec la vitesse angulaire constante
Ω=2π
86164 =7,29 10−5rad s−1.
Pour un point matériel de masse m situé en O sur la surface terrestre,
supposée sphérique de rayon R, la force d'inertie d'entraînement vaut:
fe=mΩ2 HO où H est le projeté orthogonal de O sur l'axe de rotation.
2)Statique dans un référentiel terrestre .
Si le point étudié est en équilibre dans le référentiel terrestre:  vr= 0 et  ac= 0 .
En admettant que le point est en O et que le champ de gravitation est radial en O,  g0=−g0 k , le poids de l'objet
est défini par  P=m g=m g0Ω2 HO =m Ω2R cosλsin λ i Ω2R cos2λ−g0 k .
Le vecteur champ de pesanteur  g n'est pas radial, sauf aux pôles et sur
l'équateur, sa direction définissant la verticale du lieu considéré (direction
d'un fil à plomb). Ω2 HO
De même le plan horizontal local, surface libre d'un liquide au repos, n'est pas  Ω g0 g
confondu avec le plan tangent à la surface terrestre.
Aux pôles gp=g0p et à l 'équateur ge=g0e −Ω2R :
∆g=gp−ge=∆g0Ω2R=∆g00,034 m s−2.
Expérimentalement on constate: gp−ge≈9,83−9,78 =0,05 m s−2, donc
∆g00, cette différence étant due à l'aplatissement de la Terre aux pôles
Rp=6 357 km et Re=6 378 km.
L'équilibre relatif du point s'exprime par  P F= 0 où  F est la résultante des forces réellement appliquées
autres que le poids (réaction d'un support, tension d'un fil...).
3) Dynamique dans un référentiel terrestre .
Si le point étudié est mobile dans le référentiel terrestre, la force d'inertie de Coriolis  fc= −m ac=2m  vr∧ Ω.
modifie la direction de la vitesse relative sans changer son module.
a. Mouvement dans un plan horizontal.
vr= ˙x i ˙y j Ω=Ωh iΩv k fc=2 m Ωv ˙y i− ˙x j−2 m Ωh˙y k= fch fcv .
fc
Ω  vr  fch  vr
fc
fch  Ω
Hémisphère nord Hémisphère sud
Soient dans le plan horizontal local, Ox orienté du nord vers le sud, Oy d'ouest en est et Oz vertical ascendant.
La composante horizontale Ωh≈ −Ωcosλdu vecteur  Ω est négative dans les deux hémisphères.
La composante verticale  fcv = −2 m Ωh˙ y k de la force de Coriolis s'ajoute au poids qu'elle modifie peu.
x
z
y
nord
ouest
sud
est
Ωh
≈λ Ωv
O
CY
Z
H
R
λ
N
S
z
x
C
O
Y
Z
H
λ
N
S
z

2
Dans l'hémisphère nord, la composante horizontale  fch =2 m Ωv˙ y i−˙ x j est orientée vers la droite quand
on regarde dans le sens de  vr, la trajectoire du point est donc déviée dans le sens horaire.
Dans l'hémisphère sud l'effet est opposé, la trajectoire est déviée dans le sens direct.
Bien que l'intensité de cette composante horizontale soit faible, si elle n'est pas compensée par une autre
force elle peut produire des effets notables sur des parcours de longue durée, notamment sur les courants
atmosphériques (vents alizés, cyclones...) et les courants maritimes.
L'expérience du pendule de Foucault (1851) est une vérification
directe de la rotation d'un référentiel terrestre par rapport au
référentiel géocentrique.
Une masse attachée à un fil de grande longueur (67 m sous la
coupole du Panthéon) oscille pratiquement dans un plan horizontal
si les oscillations sont de faible amplitude.
Pendant chaque demi-oscillation la trajectoire est légèrement
déviée vers la droite à Paris λ=49°51' donc le plan d'oscillation
tourne dans le sens horaire en effectuant un tour complet pendant
la durée T =2π
Ωsin λ=86164
sin 49,85=112 727 s ≈31,3 h.
b. Mouvement vertical. Déviation vers l 'est .
Soit un point matériel abandonné sans vitesse à l'altitude h à la date t = 0.
Sans tenir compte de la force de Coriolis, sa vitesse resterait constamment verticale et vaudrait à la date t,
vr= −g t  k où g est l'intensité du champ de pesanteur locale tenant compte de la force d'inertie d'entraînement.
Son altitude serait z =−1
2g t2h et la durée de la chute t0=
2 h
g.
Si l'on tient compte de la force de Coriolis,  fc
fc=2 m vr∧ Ω, initialement orientée vers l'est
quelque soit l'hémisphère, la trajectoire sera donc  Ω
légèrement incurvée vers l'est.
La composante vers l'est de la vitesse reste très
faible et on peut considérer qu'elle vaut toujours
vr≈ −g t  k, d 'où la force de Coriolis
fc=2 m −g t  k∧Ωh i =2 mg Ωcos λt j .
La composante de l'accélération vers l'est vaut ¨y=2gΩcosλt d'où la vitesse ˙y=gΩcos λt2et la
déviation vers l 'est y =1
3gΩcosλt3.
La durée de la chute n'étant pas sensiblement modifiée, la déviation vers l'est au sol peut aussi s'exprimer par
y0=1
3gΩcosλt0
3=2
3Ωcos λ
2h3
g.
Pour h = 158 m, Reich a mesuré en 1833 à Freiberg ( λ= 51°) une déviation égale à 28 mm, valeur en bon
accord avec la relation précédente.
A
B
C
D
E
z
O
h
y0
x
y
nord
ouest
sud
est
Ωh
≈λ