Document de travaux dirigés (M.A.J. 30/11)

P3 TD
TRAVAUX DIRIGES
Semaine 37- Séance 1
Exercice 3: Etude de circuits simples par les lois de Kirchhoff
Déterminer la grandeur électrique demandée dans chacun des cas suivants. On
vérifiera la pertinence du résultat : dimension, signe, ordre de grandeur.
LOIS GENERALES DE L’ELECTROCINETIQUE
Exercice 1: Loi des nœuds
Objectif :
Appliquer les lois de Kirchhoff dans des circuits simples.
Déterminer la valeur de i4 sur tous les schémas suivants.
2016/2017
Ex.1
App.1
Ex.2
i?
R
2R
2R
E
App.2
i2?
1kΩ
Exercice 2: Loi des mailles
Calculer les valeurs des tensions U2.
2V
Ex.3
A
4kΩ
2kΩ
4V
M
App.3
App.4
A
R1
10 Ω
E1
i?
B
10 V
15 V
E
Réponse : 0,5 A dans le sens
trigonométrique
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P3 TD
2016/2017
A rédiger pour la semaine 38 – Séance 2
Exercice C1: Réseau à deux générateurs
Dans le montage ci-contre, déterminer l’expression
de l'intensité i du courant circulant dans la
résistance 2R de bornes A et B :
Par la formule de propagation des incertitudes, on en déduit ∆R.
On conclut en faisant la synthèse des résultats tenant compte du bon
nombre de chiffres significatifs.
Application : Le voltmètre APPA97 indique
L’ampèremètre M9803R indique
Les notices indiquent :
APPA97
M9803R
tension (en volts) :
1
5
. 6 8
intensité (en mA) :
2
2
3
Calibre
32 V
400 mA
. 8
Précision
± (0.5% rdg + 2d)
± (0.8% rdg + 5d)
Calculer R et son incertitude.
2 méthode : Incertitude déterminée à partir de plusieurs mesures
n groupes de TP font chacun une mesure de U et I pour une même
résistance. On calcule ainsi n valeurs de R. On constate une dispersion
des résultats. On écarte les valeurs aberrantes.
La valeur expérimentale affectée à R est la moyenne des n mesures :
R = . L'incertitude de répétabilité associée à la mesure
- pour un
niveau de confiance de 95 % - est :
=
, où sR est l’estimateur de
√
l’écart-type de la série de mesures (voir cours de mathématiques).
Synthèse des résultats.
Application : Tableau des 14 mesures et valeurs statistiques
ème
Semaine 38- Séance 2
Exercice 4: Mesures d’intensité et de tension
Objectif : Savoir brancher des appareils de mesure électrique.
On s’intéresse au troisième schéma de l’exercice 3.
1) Où positionner l’ampèremètre pour mesurer l’intensité du courant i dans la
résistance 2R ? dans le générateur de fém E ?
2) Où positionner le voltmètre pour mesurer la tension aux bornes de la
résistance R ? de la résistance 2R extérieure ?
Exercice 5: Incertitudes en électricité
Objectif : Evaluer des incertitudes, comme il sera pratiqué en TP.
On mesure une résistance par deux méthodes.
Deux types d’erreur entachent cette mesure : l’erreur systématique et
l’erreur aléatoire. Le calcul d’incertitude n’évalue pas l’erreur
systématique.
Voici deux méthodes d’évaluation de l’incertitude associée à l’erreur
aléatoire.
ère
1 méthode : Incertitude sur une mesure
On mesure U, on mesure I. On en déduit R sans arrondis. Le calcul
d’incertitudes va nous permettre de déterminer le bon nombre de chiffres
significatifs.
A l’aide de la notice, on détermine les incertitudes ∆U et ∆I.
Binôme
U (V)
I (A)
R (Ω )
Binôme
U (V)
I (A)
R (Ω )
page 2/18
1
4,525
0,06490
69,723
8
5,243
0,07502
69,888
2
8,332
0,1190
70,017
9
6,287
0,08979
70,019
3
12,35
0,1738
71,059
10
7,853
0,1116
70,367
4
0,436
0,006228
70,006
11
8,003
0,1168
68,519
5
6
7
1,025
2,036
3,587
0,01430
0,02856
0,07254
71,678
71,289
49,449
12
13
14
9,451
10,57
11,26
0,1301
0,1523
0,1611
72,644
69,402
69,894
R moyenne
68,854
Estimateur écart-type
5,6795637
ECARTTYPE.S.
Calculer R et préciser l’intervalle et le niveau de confiance de ce résultat.
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2016/2017
Exercice 6: Application des lois de Kirchhoff
Objectif : Savoir analyser qualitativement un circuit, et y appliquer les
lois de Kirchhoff.
Soit le réseau linéaire représenté ci-dessous. L’interrupteur K est ouvert.
A.N.: E1 = 8 V
R1 = 8 kΩ R3 = 4 kΩ
E2 = 16 V R2 = 8 kΩ
1)
2)
3)
Déterminer l'intensité et le sens conventionnel du courant traversant R3.
Calculer la tension U entre les bornes A et B. Vérifier la pertinence du
résultat (dimension, ordre de grandeur).
Question libre : l’interrupteur K étant fermé, déterminer l’intensité et le sens
du courant dans K.
Exercice 8: Distribution des potentiels dans un circuit
Objectif : Expliquer le comportement d’un circuit par l’étude des
potentiels.
On s’intéresse au schéma App.2 de l’exercice 3.
On rappelle que i2 = -0,57 mA.
Le point M est choisi comme masse du circuit, ce qui signifie que, par
convention, le potentiel en M est nul.
Calculer les différentes valeurs de potentiel dans le circuit. En déduire les sens
conventionnels des différents courants.
Exercice 9: Montage amplificateur non inverseur
Le montage ci-après est constitué d’un amplificateur opérationnel et de
deux résistances. L’amplificateur est alimenté sous les potentiels +Vcc et –
Vcc. Les courants d’entrée i+ et i- sont nuls ; et la tension différentielle
ε = V+ - V- est également nulle.
A rédiger pour la semaine 39 – Séance 3
Exercice C2: Préparation du TP « Mesures de résistance »
Semaine 39- Séance 3
Exercice 7: Association de résistances
Objectif : Obtenir une résistance de valeur donnée grâce aux associations
de résistance.
On souhaite utiliser dans un montage une résistance de 180 Ω et on
dispose uniquement de trois résistances de 120 Ω.
Expliquer comment procéder en réalisant un schéma électrique du montage.
Ne pas omettre les contrôles de résultat.
1)
2)
3)
4)
5)
page 3/18
Analyse qualitative : Comparer les courants dans R1 et dans R2. Combien y at-il de valeurs de potentiel dans le montage ?
Appliquer la loi des mailles au parcours : M1,E,E-,S,M2,M1
Appliquer la loi des mailles au parcours : M1,E,E-,E+,M1
Des questions précédentes, déduire que Us = K Uc , où K ne dépend que de R1
et R2. Vérifier l’homogénéité du résultat.
Justifier le nom du montage
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2016/2017
A rédiger pour la semaine 40 – Séance 4
Exercice C3: Analyse qualitative du comportement d’un circuit
Dans le montage ci-dessous, les caractéristiques des composants R1,R2,E,η sont
positives.
Analyse qualitative (sans calculs) :
1) Combien
y-a-t-il
de
valeurs
d’intensité ?
2) Combien y-a-t-il de valeurs de
potentiel ?
3) Si seul le générateur de tension E était
activé, quels seraient les sens des
différents courants ?
1)
2)
3)
i
η
4)
U
E
Un générateur de f.é.m. E et de résistance interne r débite sur une charge R réglable.
Remplacer le générateur par son modèle équivalent de Thévenin.
Exprimer en fonction de E, R et r, l’intensité dans la maille puis la puissance
électrique absorbée par la charge. Vérifier l’homogénéité.
Pour quelle valeur de R la charge R reçoit-elle un maximum de puissance de la part
du générateur ? Calculer cette puissance maximale. Vérifier l’homogénéité.
Tracer en fonction de R les variations de la puissance P absorbée par R.
Exercice 11: Détecteur de flamme
R2
R1
4) Si seul le générateur de courant η était
activé, quels seraient les sens des
différents courants ?
5) Les deux générateurs sont activés. Pour quels courants peut-on prévoir les sens
conventionnels ?
6) Classer les différents potentiels.
Analyse quantitative :
Objectif: Concevoir un détecteur de flamme. Les composants seront choisis par
étude de leur caractéristique.
« Comme d’habitude », on prévoira le comportement du montage avant tout
calcul ; puis, après ceux-ci, on contrôlera la cohérence des résultats : dimension,
ordres de grandeur.
Documents :
Figure 2 : Caractéristique d’une photodiode
● dans l’obscurité
● en présence d’un rayonnement infrarouge.
Figure 3 : Caractéristique de transfert d’un comparateur simple
Figure 5 : Caractéristique d’une diode électroluminescente (DEL)
7) Déterminer en fonction de R1,R2,E,η l’intensité du courant dans chaque composant.
8) Choisir une masse, puis exprimer en fonction de R1,R2,E,η les différents potentiels
dans le circuit.
9) Les résultats obtenus sont-ils bien en accord avec l’analyse qualitative ?
Semaine 40 - Séance 4
2k R2
E
10V
A
1k R1
B
100k R3
Figure 1
Figure 2
RESEAUX LINEAIRES
Exercice 10: Puissance électrique maximale fournie par un générateur
A quoi sert d’avoir un générateur de puissance
nominale 20 W si on l’utilise dans des
conditions où il ne peut fournir que 2 W à la
charge qui lui est connectée ?
Dans cet exercice on étudie à quelle condition
sur la charge un générateur peut fournir un
maximum de puissance à celle-ci.
Figure 3
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C
2016/2017
Rp
DEL
Vmax = 3V
Pmax = 100 mW
Figure 4
Réseau n°1
Figure 5
Questions :
1) Bloc 1 (figures 1 et 2) : Comparer VA et VB :
Réseau n°2
Exercice 13: Mise au point d’une chaîne d’acquisition de position
fil électrique
relié à A
● dans l’obscurité ● en présence d’infrarouge.
2) Bloc 2 (figure 3) : A partir de la figure 3, expliquer le fonctionnement du
comparateur.
3) Bloc 3 (figures 4 et 5) : Que se passe-t-il ● si VC = +10 V ?
● si VC = -10 V ?
Quel est le rôle de RP ? Quelle valeur peut-on lui donner ?
4) Un détecteur de flamme déclenche un signal (sonore ou lumineux) en
présence d’une source infrarouge anormale. Comment agencer nos trois blocs
ci-dessus afin de réaliser un tel système ? Expliquer en quelques lignes.
R2
10 kΩ
électrode
mobile
+5V
A rédiger pour la semaine 41 – Séance 5
Exercice C4: Préparation du TP « Caractéristiques de dipôles »
Semaine 41- Séance 5
Exercice 12: Théorème de l’équivalence Thévenin / Norton
Le modèle de Norton convient bien aux calculs d’intensité. Le modèle de
Thévenin convient bien aux calculs de tension.
Dans les deux montages ci-dessous, Ru = R.
A l’aide de ce théorème, déterminer :
• dans le réseau 1, l’intensité dans Ru ;
• dans le réseau 2, la tension aux bornes de Ru.
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R1
V
Rv
10 MΩ
B
1 kΩ
A
électrodes
de cuivre
masse
solution de
sulfate de cuivre
Dans cette étude, on veut repérer la longueur du ressort. La mesure de
position se fait en utilisant une éprouvette contenant une solution de
sulfate de cuivre avec des électrodes en cuivre. Celle-ci se comporte
comme une résistance R. Elle dépend de la concentration de la solution et
de la distance entre les électrodes. L’électrode mobile est mécaniquement
reliée à l’extrémité du ressort. Elle mesure la tension UAM, qu’on peut lire
sur le voltmètre V de résistance RV = 10 MΩ.
Dans l’exemple traité la résistance de la solution entre A et M est prise
égale à
R
.
5
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2016/2017
On vérifiera systématiquement l’homogénéité des relations trouvées.
Schéma
électrique
équivalent
du
B
R2
montage :
1)
2)
Déterminer le modèle de Thévenin
(eT,RT) du réseau à gauche de A et M.
Exprimer U en fonction de eT, RT, Rv.
A.N. :
E=5V;
R1 = 1 kΩ ; R2 = 10 kΩ ;
R = 300 Ω; Rv = 10 MΩ.
A rédiger pour la semaine 42 – Séance 6
Exercice C5: Montage potentiométrique
4R
5
A
R1
E
R
5
Rv
U
1)
M
2)
On intercale dans le circuit un
montage suiveur. Ce montage est
alimenté sous deux potentiels +Vcc
et –Vcc. Il a deux propriétés
remarquables :
• La tension de sortie et la tension
d’entrée sont égales : ue = us.
• Le courant d’entrée i+ est nul.
Schéma équivalent avec suiveur :
3) Exprimer U en fonction des
caractéristiques des composants.
Faire l’application numérique.
4) Citer
deux
intérêts
de
l’introduction
du
montage
suiveur.
Déterminer la valeur numérique du rendement défini par:
A
R
5
U
A
4)
5
R1
R
Déterminer la puissance électrique PE fournie par le générateur E.
4R
E
A'
E
3)
B
R2
On réalise le montage ci-dessous dans
le cas particulier R1=R2=4R. Tous les
résultats de cet exercice seront
exprimés en fonction de E et R.
A l’aide de l’équivalence ThéveninNorton, déterminer l'intensité traversant la
résistance R.
En déduire la puissance P absorbée par R.
Rv
M
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=
.
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2016/2017
FORMULAIRE
NOMBRES COMPLEXES
j² = -1
PLAN COMPLEXE
z = a + j.b et θ = Arg z
+j
b
z 
b
 ⇒ tan θ =
a
a
cos θ = 
z 
b
sin θ
sin θ =
Formule d’Euler :
z
θ
c os θ + 1 a
-1
jB
Si z = A.e (A>0), alors :
Complexe conjugué :
z1 • z 2 = z1 • z 2
LA FONCTION ARCTANGENTE
z1
z2
1/2 π
Arctan x
1/4 π
0
-5
0
5
10
-1/4 π
-1/2 π
Elle prend ses valeurs entre −
π
2
et +
π
2
.
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=
z1
z2
Si a > 0 : Arg z = Arctan
b
a
e jθ = cosθ + j sinθ
e jθ = 1 et Arg e jθ = θ
|z| = A et Arg z = B
z = ze
=1
R
-j
-10
z = a 2 + b2
z = a + jb
z* = a - j b
z* = z
j Arg z
Arg z* = - Arg z
Arg (z1 z2) = Arg z1 + Arg z2
(z1 z2)*=z1* z2*
z 
Arg 1  = Arg z1 − Arg z 2
z 
 2
 z1

z
 2
*

z*
 = 1

z *2

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2016/2017
voie 1
RESEAUX LINEAIRES EN REGIME SINUSOIDAL FORCE
P
Semaine 42- Séance 6
C
L
Exercice 14: Tension, intensité, impédance et déphasage (2)
Trois dipôles R = 820 Ω ; L = 0,300 H et C = 0,470 µF sont associés en
série. La fréquence vaut 800 Hz.
L’intensité a pour équation horaire : = 7,00.10
3)
# = 50% &
'()
*
+
et , !" # = 50% &'(
Calculer l’intensité complexe i.
!"
A
M
l’impédance Z du dipôle RLC ;
le déphasage ϕ de u par rapport à i (u est la tension aux
bornes du dipôle RLC) ;
la tension u aux bornes du dipôle RLC.
Exercice 15: Réseau à deux mailles
Dans le circuit ci-contre, les deux
sources
délivrent
des
tensions
sinusoïdales u1(t) et u2(t), de même
fréquence. Les impédances complexes
y sont indiquées en ohms.
i
R
−
Figure 1
L’oscillogramme obtenu est reproduit figure 2.
voie 1: 5V/div
50
u1
voie 2: 5V/div
30+40j
Déterminer : 1)
2)
cos
voie 2
-50j
i
u2
vitesse de balayage: 2,5 ms/div
A rédiger pour la semaine 43/44 – Séance 7
Exercice C6: Préparation du TP « Montages à amplificateur opérationnel »
Semaine 43/44 – Séance 7
Exercice 16: Etude d’un oscillogramme
On réalise le montage représenté sur la figure 1, qui comporte un résistor
de résistance 10 Ω, une bobine d’inductance L et de résistance
négligeable, et un condensateur de capacité C. L’ensemble est alimenté
par un générateur fournissant une tension alternative sinusoïdale de
fréquence f.
Figure 2
1) Déduire de l’oscillogramme les valeurs de la fréquence f, de l’impédance Z du
dipôle (P,M) et du déphasage ψ de l’intensité i par rapport à la tension
appliquée aux bornes de tout le circuit.
2) Donner l’expression numérique de l’intensité instantanée i(t) et de la tension
instantanée uPM(t) en fonction du temps.
3) Déterminer en fonction de R,L,C,ω, les expressions littérales de l’impédance
complexe Z et de ψ.
C = 20 µF. En déduire la valeur de L.
4) Calculer les impédances de R, de L, de C. Comparer la somme de ces trois
impédances à l’impédance Z calculée au 1).
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P3 TD
2016/2017
Exercice 17: Phénomène de surtension
Un générateur entretient aux bornes d'un dipôle RLC série une tension
alternative sinusoïdale u(t).
On donne :
f = 650 Hz
Umax = 10 V
R = 10 Ω
L = 60 mH
C = 0,5 µF
1) On veut visualiser à l’oscilloscope la tension aux bornes du générateur et la
tension aux bornes du condensateur. Indiquer les branchements de
l’oscilloscope.
2) Calculer l’amplitude Ucmax de la tension aux bornes du condensateur.
Commenter.
A rédiger en préparation à l’IS - Semaine 45
Exercice C7: Résolution d’une maille
Ce circuit RC est alimenté en régime sinusoïdal par un générateur de
f.é.m. e (t) = Emax cosω t .
R
e(t)
C
s(t)
Quelle est, en régime permanent, la tension s(t) aux bornes du condensateur ?
Préciser l’expression de l’amplitude de s(t) et du déphasage de s par rapport à
e. Faire l’analyse dimensionnelle de ces résultats.
Exercice C8: Détermination des éléments d’une bobine
Pour déterminer la résistance et l’inductance d’une bobine, on effectue les
deux essais suivants :
• Alimentée sous la tension continue E = 10 V, la bobine est traversée par
un courant continu d’intensité I0 = 1 A.
• Alimentée sous la tension u(t) = 10cos100πt (en V), elle est traversée par
un courant d’amplitude Imax = 0,3 A.
En exploitant ces deux expériences, déterminer le schéma équivalent série de
cette bobine.
1)
2)
Semaine 46 – Séance 8
Exercice 18: Résolution d’un réseau en représentation complexe
Le circuit ci-contre est alimenté par une
source de tension sinusoïdale
u (t ) = U max cos ω t et de fréquence f = 50Hz.
Quelle est la représentation complexe de u(t) ? Donner en fonction de
R,L,C,ω,u : les expressions des grandeurs instantanées complexes iC , iL. En
déduire les amplitudes ICmax, ILmax ainsi que les déphasages respectifs ψC, ψL
de ces courants par rapport à u.
Application numérique.
2) De même, donner l’expression littérale de i ; puis de l’amplitude Imax et du
déphasage ψ de ce courant par rapport à u.
On donne: Umax = 12 V ; C = 1 µF ; L = 100 mH ; R = 200 Ω.
1)
Exercice 19: Théorème en représentation complexe
BUT : Appliquer Thévenin – Norton en complexes ; analyse dimensionnelle en
sinusoïdal.
Données : Emax = 120 V ; f = 50 Hz L = 12,8 mH ; C = 50 µF ;
Z = 5 + 4j
1) Par un calcul littéral, déterminer le modèle équivalent de Thévenin du dipôle
MN vu de Z.
L
Faire l’analyse dimensionnelle des
M
résultats
Effectuer l’application numérique.
C
2) Déterminer, par un calcul numérique e(t)
u(t) Z
uniquement, la tension instantanée u(t)
aux bornes de Z.
page 9/18
~
N
P3 TD
2016/2017
FILTRAGE
2) Montrer qu’elle peut se mettre sous la forme canonique K =
A rédiger pour la semaine 47 – Séance 9
Exercice C9: Préparation du TP « Analyse et transformation d’un son »
Semaine 47 – Séance 9
Exercice 20: Filtre inductif
BUT : Déterminer les propriétés d’un filtre.
Le dipôle R,L ci-dessous fonctionne
en régime sinusoïdal forcé.
1)
Déterminer sa fonction de transfert
.
-!" # = .+ en fonction de R, L et ω.
R
u1
L
u2
/
Quel est l’ordre de cet opérateur ?
2) Déterminer la bande passante à – 3 dB de ce filtre. En déduire la nature de
celui-ci.
3) La nature de ce filtre n’aurait-elle pas pu être identifiée plus simplement, sans
calcul ?
Exercice 21: Phénomène de résonance
BUT : Lien entre filtrage et résonance.
Soit l’opérateur ci-dessous, constitué de composants parfaits. Le montage
est alimenté par une tension sinusoïdale v2 de pulsation ω.
A0
.
1

1 + jQ x − 
x

x est la pulsation réduite ; A0 un réel ; et Q le facteur de qualité du système.
On déterminera les expressions de A0, Q et x.
En déduire l’ordre de l’opérateur et la pulsation propre ω 0 du système.
3) Montrer que |K| passe par un maximum pour une valeur de x que l’on
déterminera. On dit alors que l’opérateur est à la résonance.
4) Tracer l’allure des variations de |K| en fonction de la pulsation ω. Quelle est la
nature du filtre ?
5) On s’intéresse à la bande passante du filtre ∆ω exprimée en pulsations.
Déterminer ∆ω en fonction de la pulsation propre ω 0 et du facteur de qualité
Q du système.
Méthode : on ne cherchera pas à déterminer les deux pulsations de coupure,
mais, directement la différence 34 − 3 .
6) Commenter l’allure de la courbe tracée au 4) en fonction des valeurs de Q.
A rédiger pour la semaine 48 – Séance 10
Exercice C10: Circuit électrique en surtension
On considère le circuit ci-contre
alimenté par une tension sinusoïdale
e(t) d’amplitude Emax = 3 V et de
pulsation ω.
La bobine a pour inductance :
L =7 mH
1)
2)
12
1) Déterminer la fonction de transfert 0!" # = 1 en fonction de R,R3,L,C,ω.
+
page 10/18
Déterminer analytiquement le modèle équivalent de Thévenin (eTh, ZTh) du
dipôle AB vu de la résistance R.
Faire l’analyse dimensionnelle des résultats.
Déterminer l’expression de la tension u complexe aux bornes de la résistance
R en fonction de eTh, ZTh, et R puis en fonction de e, L, C, ω, et R.
P3 TD
3)
•
•
•
2016/2017
On donne sans démonstration les résultats suivants :
1
Pulsation propre du réseau : ω0 =
LC
C
Soit Q = R
le facteur de surtension du réseau.
L
L’amplitude de la tension u(t) est maximale pour la pulsation :
ωr =
ω0
1
2Q 2
Les démonstrations ne sont pas demandées.
Nommer le phénomène physique mis en évidence.
L’expérience a permis de tracer l’amplitude Umax de la tension aux bornes
de la résistance en fonction de la fréquence de la f.e.m. sinusoïdale e(t),
l’amplitude Emax de e(t) étant maintenue constante. La courbe est
représentée ci-dessous.
1−
4)
On supposera dans toute la suite de l’exercice fr ≈ f0.
Déterminer graphiquement la fréquence de résonance fr.
En déduire la valeur de la capacité C du condensateur.
r
5.a) Déterminer graphiquement la valeur de l’amplitude U max
de la tension u(t) à
la fréquence fr.
5.b) Donner la définition de la bande passante à -3 dB.
Comment nomme-t-on les fréquences délimitant celle-ci ?
Déterminer graphiquement la largeur de la bande passante ∆f de cette
résonance. On exposera la méthode sur une reproduction de la courbe donnée
ci-dessus.
r
6.a) Déterminer l’expression analytique de U max
en fonction de Emax, R, L et C,
puis en fonction de Q et Emax.
6.b) Déterminer la valeur numérique de Q.
Commenter alors l’appellation facteur de surtension donnée à Q.
L’hypothèse fr ≈f0 est-elle bien justifiée ?
6.c) En déduire la valeur de la résistance R.
r
7) Déterminer l’expression analytique de l’amplitude I max
du courant i(t) dans
la résistance R en fonction de Emax, Q et R ; puis en fonction de Emax, L et C.
Cette valeur dépend-elle de R ?
Réaliser l’application numérique.
Semaine 48 – Séance 10
Exercice 22: Gestion économique de la distribution de l’énergie électrique
EDF propose plusieurs types d’abonnement aux usagers de l’énergie
électrique, dont l’abonnement « EDF Tempo ».
Dans ce cadre, l’abonné se voit facturer l’énergie au prix fort pendant les
périodes de grande consommation, tandis qu’il bénéficie d’un tarif réduit
pendant le reste du temps. EDF prévient l’usager d’un changement de tarif
en injectant un signal, dit « signal d’alerte », sur le réseau.
A la tension simple du secteur u(t) , de valeur efficace 240 V et de
fréquence 50 Hz, EDF superpose pendant un bref instant, un signal s(t) dit
signal d’alerte, de fréquence 175 Hz et d’amplitude égale à 1% de
l’amplitude du signal 50 Hz u(t). Ce procédé avertit l’usager que le tarif
du kWh va changer dans les heures qui suivent.
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2016/2017
P3 TD
Le problème porte sur le traitement de la tension S(t) = u(t) + s(t) délivrée de façon à détecter le signal d’alerte.
I Etude du transformateur
Un transformateur est un appareil permettant de modifier la tension efficace du signal reçu, avec un rendement
énergétique proche de 100%.
U
Données : Relation entre la valeur efficace d’une tension sinusoïdale et son amplitude : U eff = max
2
Rapport de transformation du transformateur : m =
S1
eff
Seff
=
1
30
Si on néglige le signal d’alerte s(t), la valeur efficace de S(t) est égale à 240 V. Calculer la valeur efficace de S1(t).
II Etude du FILTRE 1
On pose : S(t) = A cos(100πt) + B cos(350πt)
et
S1(t) = A1 cos(100πt) + B1 cos(350πt)
1) Calculer numériquement A1 et B1 ; puis représenter le spectre du signal S1(t).
ω
ω1
La fonction de transfert complexe du filtre 1 est de type : T ( jω ) =
.
ω
1+ j
ω1
Kj
2)
2.1 A l’aide des diagrammes pages 10 et 11 du chapitre 5, identifier l’ordre et la nature du filtre. Que représente ω1 pour
ce filtre ?
2.2 Le diagramme de Bode GdB(f) est représenté ci-dessous. Déterminer graphiquement la valeur de la pulsation de
coupure à -3 dB, et en déduire la bande passante.
Après filtrage, la tension de sortie s’écrit :
S2(t) = A2 cos(100πt + ΦA2) + B2 cos(350πt + ΦB2).
ΦA2 et ΦB2
sont les termes de phase à l’origine, non étudiés ici.
Déterminer les amplitudes des différentes composantes du signal de sortie S2(t), puis représenter le spectre des
amplitudes en sortie.
B
2.4 Calculer le rapport 2 .
A2
2.3
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2016/2017
P3 TD
III Etude du filtre 2 (réalisation analogique)
1) Exprimer en fonction de R,L,C,ω, la fonction de
transfert T2(jω) du filtre 2, définie par :
S ( jωt )
T 2 ( jω ) = 3
.
S 2 ( jωt )
2) A l’aide des diagrammes pages 10 et 11 du chapitre 5, identifier l’ordre et la nature du filtre. Déterminer, en fonction
de R,L,C, une pulsation ω2 caractérisant ce filtre, ainsi qu’un autre paramètre remarquable de celui-ci.
3)
On donne ci-dessous les abaques de ce type de filtre. On y porte en abscisse la pulsation réduite x =
ω
et en
ω2
ordonnée le gain en décibels.
m est un paramètre lié au facteur de qualité par : m =
1
.
2Q
On choisit m = 0,05 et f2 = 175 Hz.
Après filtrage, la tension de sortie s’écrit :
S3(t) = A3 cos(100πt + ΦA3) + B3 cos(350πt + ΦB3).
Déterminer les amplitudes des différentes composantes du signal de sortie S3(t), puis représenter le spectre des
amplitudes en sortie.
B
4) Calculer le rapport 3 .
A3
5) Par rapport à la problématique : Rendre le signal d’alerte détectable, expliquer le sens du traitement effectué.
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P3 TD
2016/2017
A rédiger pour la semaine 49 – Séance 11
Exercice C11: Préparation du TP « Diagrammes de Bode »
Semaine 49 – Séance 11
Exercice 23: Filtre de Hartley
3.a Par une étude asymptotique, déterminer les pentes des portions linéarisées de
la courbe.
3.b Dans le cas où L = 1,0 mH, C = 100,0 nF, R = 100 kΩ, déterminer les valeurs
numériques des coordonnées du maximum.
3.c Déterminer la bande passante à – 3 dB du filtre.
A rédiger pour la semaine 50 – Séance 12
Exercice C12: Etude expérimentale d’un filtre
u ( jωt )
Un filtre linéaire a pour fonction de transfert H ( jω ) = 2
, où u1(jωt)
u1 ( jωt )
et u2(jωt) sont respectivement les représentations complexes de la tension
d’entrée et de la tension de sortie. On relève expérimentalement les
valeurs du gain GdB = 20 log|H| en fonction de la fréquence f et on trace en
coordonnées semi-logarithmiques la courbe de réponse ci-dessous.
On réalise le montage ci-dessous :
G(dB)
1) Etablir sa fonction de transfert H ( jω ) =
s ( jωt )
e( jωt )
en fonction de R,L,C,ω.
45
2) A l’aide des diagrammes pages 10 et 11 du chapitre 5, identifier l’ordre et la
nature du filtre. Déterminer, en fonction de R,L,C, une pulsation ω0
caractérisant ce filtre, ainsi qu’un autre paramètre remarquable de celui-ci.
40
3) La courbe de gain du diagramme de Bode a l’allure représentée ci-dessous.
30
35
25
20
15
10
5
f(Hz)
0
10
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100
1000
10000
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1) Quelle est la nature du filtre ?
2) Déterminer les pentes des asymptotes. Quel est l’ordre de ce filtre (on s’aidera
des diagrammes pages 10 et 11 du chapitre 5) ?
3) Quelle est sa fonction de tranfert canonique ? Identifier les paramètres
caractéristique de ce filtre (au choix : H0,f0,Q,x ou H0,fc,x).
4) Calculer sa bande passante à -3 dB. Ce résultat vous semble-t-il en accord
avec la courbe ?
5) u1(t) est une tension alternative sinusoïdale d’amplitude U1max. Etablir
l’expression de l’amplitude U2max en fonction de U1max et GdB.
6.a Quelle est la valeur moyenne et la
fréquence de u1(t) ?
6.b Déterminer numériquement, puis
représenter le spectre de u2(t).
U (mV)
1k
200
100
40 mV
6) u1(t) est à présent une tension
périodique
dont
le
spectre
(amplitude,fréquence)
est
représenté figure 3.
200
600
f (Hz)
figure 3
Semaine 50 – Séance 12
Exercice 24: Filtres en cascade
Objectifs:
Concevoir un .filtre du deuxième ordre à l’aide de filtres du premier ordre.
Montrer que pour associer les filtres en cascade, il est préférable que
chaque cellule ait une impédance d’entrée infinie. C’est ce que permet un
montage suiveur.
On considère H 1 ( jω ) =
u 1 ( jωt )
, la
u e ( jωt )
fonction de transfert du filtre ci-contre
en sortie ouverte.
I Etude d’une cellule (R,C)
I.1) A l’aide du chapitre 5, rappeler la nature et l’ordre de ce filtre.
Quelle sont les expressions de H1 ; de sa pulsation de coupure ωc et de sa
pulsation réduite x ?
I.2) A l’aide des pages 10 et 11 du chapitre 5, tracer l’allure de la courbe de gain du
diagramme de Bode de H1.
I.3) Déterminer l’impédance d’entrée et l’impédance de sortie du filtre en sortie
ouverte.
II
On souhaite réaliser un filtre du deuxième ordre à l’aide du filtre précédent.
On associe pour cela deux cellules (R,C) en cascade.
u ( jωt )
Déterminer l’expression de la fonction de transfert H 2 ( jω ) = 2
(u2 est
u e ( jωt )
la tension en sortie de la deuxième cellule (R,C)).
Obtient-on un filtre du deuxième ordre de même nature que celui étudié au I ?
Quelles sont ses caractéristiques ?
III Introduction de montages suiveurs
III.1)
On connecte à présent un montage suiveur en entrée de la deuxième cellule
(R,C).
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0
u1
Suiveur
u
Cellule
(R,C)
u2
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On rappelle les deux propriétés
remarquables d’un montage
suiveur.
La tension de sortie et la
tension d’entrée sont égales :
ue = us.
Le courant d’entrée i+ est nul.
III.2)
On considère que le spectre de l’audition humaine s’étend de 20 Hz à
20 kHz, tandis que celui de la voix couvre un intervalle allant de 100 Hz à
2 kHz.
1) Tracer sur papier semi-logarithmique, le gabarit d’un filtre permettant de
transmettre la voix humaine avec une atténuation maximale de 10 dB, tout en
réduisant de 40 dB les sons aux limites du spectre audible.
Quelle est la nature du filtre répondant au cahier des charges ?
2)
On utilise le filtre RLC série représenté ci-contre :
2.a Exprimer en fonction de R,L,C,ω, la fonction de transfert H(jω) du filtre,
s ( jω t )
définie par : H ( jω ) =
e ( jωt )
2.b A l’aide des diagrammes pages 10 et 11 du chapitre 5, identifier la nature du
filtre. Déterminer, en fonction de R,L,C, la pulsation propre ω0 et le facteur de
qualité Q caractérisant ce filtre.
ε =0
us
ue
Ru
Déterminer la nouvelle expression de l’impédance d’entrée du montage.
Le montage complet est représenté ci-dessous.
ue
Cellule
(R,C)
0
u1
Suiveur
u
Cellule
(R,C)
u2
Montrer que, grâce au montage suiveur, la fonction de transfert
u ( jωt )
a pour expression le produit des fonctions de transfert
H '2 ( jω ) = 2
u e ( jωt )
individuelles.
Obtient-on un filtre du deuxième ordre de même nature que celui étudié au I ?
Quelles sont ses caractéristiques ?
A rédiger pour la semaine 51/01 – Séance 13
Exercice C13: Préparation du TP « Filtre ADSL »
Semaine 51/01 – Séance 13
Exercice 25: Conception d’un filtre
On souhaite nettoyer l’enregistrement d’une conversation, rendue
difficilement audible par des bruits divers.
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2)
R
3.a Déterminer graphiquement la valeur
L
C
numérique de la pulsation propre ω0
du filtre adapté au gabarit.
3.b Pour le choix du facteur de qualité Q,
e(t)
s(t)
on se fixe le critère suivant : La bande
passante à -3 dB du filtre coïncide
M
avec le spectre de la voix humaine.
Déterminer la valeur numérique de Q.
3.c Comment choisir les pentes des portions linéarisées en basse et haute
fréquence, afin de respecter le cahier des charges traduit par le gabarit ? Le
filtre RLC convient-il ?
4)
On dispose de plusieurs filtres RLC identiques à celui de la question 2).
Comment procéder pour obtenir un filtre conforme au gabarit ?
Quel sera alors l’ordre du filtre ?
A rédiger pour la semaine 02 – Séance 14
Exercice C14: Amplificateur sélectif
Un amplificateur sélectif a pour fonction d’amplifier de manière sélective
les signaux dont la fréquence est dans la bande passante.
1)
Comme tout dipôle réel, une bobine
peut être représentée par un modèle
parallèle (Rp, Lp) d’admittance
1
1
Y=
+
. La bobine est
Rp jLpω
associée en parallèle avec un
condensateur C pour former un dipôle
d'admittance Y2.
Exprimer Y2.
i
C
c
R
i
p
L
p
Le montage de l'amplificateur sélectif
est construit autour d'un amplificateur
opérationnel.
EZ1 est une résistance R; Z2 est le dipôle E
Z1
précédent.
On rappelle les propriétés de
l’amplificateur opérationnel dans ve
E+
l’état de fonctionnement :
« amplificateur opérationnel idéal
M1
fonctionnant en régime linéaire :
• les courants d’entrée i+ et i- sont nuls.
• les potentiels v+ et v- sont égaux.
Z2
+
S
+
2.a Ecrire deux lois des mailles. En déduire l'amplification A =
vs
M2
vs
du montage
ve
en fonction de Z1 et de Z2.
2.b Montrer que A peut se mettre sous la forme:
1
A = − Ao ×
ω ωo
1 + jQo (
)
−
ωo ω
Donner: ● Ao en fonction de R et Rp;
● ωo en fonction de C et Lp;
● Qo facteur de qualité du montage en fonction de Rp, Lp et ωo.
2.c A l’aide des diagrammes pages 10 et 11 du chapitre 5, identifier la nature du
filtre.
3)
On prendra:
fo = 1600Hz
Qo = 28,6
Ao = 286
3.a Par une étude aux limites, déterminer les pentes des asymptotes à la courbe.
3.b Calculer le gain en ω0, puis représenter l’allure de la courbe de gain du
diagramme de Bode.
4)
Application au filtrage:
4.a
Soit ∆f la bande passante à –3 dB du filtre. On rappelle que : ∆f =
Calculer ∆f.
page 17/18
f0
.
Q0
P3 TD
4.b
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On donne le spectre du signal appliqué à l'entrée de l'amplificateur:
(mV)
100
60
20
0.8
1.6
3)
f
3.2 kHz
2.4
Par une simple étude qualitative, déterminer le spectre du signal de sortie
(amplitude et fréquence).
Semaine 02 – Séance 14
Exercice 26: Adaptation d’impédance
I.
Un générateur de force électromotrice e(t) = E 2 .cos ωt et d’impédance
complexe Zg = Rg + j.Xg alimente une charge Zu = Ru + j.Xu.
Rg + j.Xg
e(t)
1)
2)
Ru + j.Xu
Déterminer, en fonction de E, Ru, Rg, Xu, Xg, l’expression de la puissance
électrique moyenne absorbée par Zu.
Pour quelle valeur de (Ru, Xu) la puissance moyenne absorbée par Zu est-elle
maximale?
II. Application : Dans le montage étudié ci-dessus, le générateur a une
impédance de sortie purement résistive : Zg = r.
DONNEES NUMERIQUES : E = 18 V ; r = 25 Ω ; Zu = 5 - 10.j (en ohms).
1) Calculer la puissance moyenne absorbée par Zu.
2)
Pour transmettre une puissance maximale du générateur (e, r) à la charge
Zu, on branche en parallèle avec celle-ci un dipôle passif (D) à déterminer.
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Déterminer l’admittance complexe
du dipôle (D) pour que l’adaptation
d’impédance soit réalisée. En déduire
la nature et la valeur des éléments
constituant ce dipôle, sachant que la
fréquence vaut 100 Hz.
e(t)
Comparer les puissances moyennes
absorbées par Zu avant et après
adaptation d’impédance.
r
(D)
R u +j.Xu