ENSIETA 95 M / pb1 /(4h) PREMIER PROBLÈME

ENSIETA 95 M / pb1 /(4h)
PREMIER PROBLÈME : THERMODYNAMIQUE
Ce problème a pour but l'étude thermodynamique d'une turbo machine à gaz comprenant une turbine de
compression (TC), une chambre de combustion (CC) et une turbine de détente (TD).
Le gaz utilisé (air) est considéré comme parfait. Ses caractéristiques sont :
- chaleur massique à pression constante : cp = 1 000 J.kg-1 K-1 (cp est constant)
- constante massique r
R
M
JK= = − 287 1 . (avec R = 8,314 J.mol-1.K-1 et M masse molaire du gaz)
Dans tout le problème, on néglige les variations d'énergie potentielle de pesanteur.
I- Relations préliminaires :
1 - Montrer que lorsqu'un fluide s'écoule avec un débit masse D
m
en régime permanent (figure 1), le premier principe de la
thermodynamique s'écrit :
DhvWQ
m.* *
∆+
= +
2
2
∆hv +
2
2 désigne la variation d’enthalpie massique et d’énergie
cinétique massique entre l’entrée et la sortie.
Q
*
est la puissance calorifique échangée avec l'extérieur.
W
*
est la puissance mécanique échangée avec l'extérieur ;
W
*
n'inclut pas la puissance des forces de
pression au niveau des surfces d'entrée et de sortie.
2 - Le fluide est dorénavant le gaz parfait envisagé. Sa pression est P, sa température T, sa masse volumi- que µ.
a - Donner la relation entre P, µ, r et T.
b - Donner l'expression de sa variation dh d'enthalpie massique lorsque sa température varie de T à T +
dT.
c - Dans le cas où l'écoulement est adiabatique, quelle forme prend alors le premier principe de la
thermodynamique, w désignant le travail massique échangé avec l'extérieur (comme
W
*
, w n'inclut pas le travail
des forces de pression au niveau des surfaces d'entrée et de sortie).
3 - Établir l'expression de l'entropie massique s(T, P) du gaz en fonction de s(T0, P0), c
p, r et des rapports
T
Tet
P
P
0 0 .

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s(T0, P0) désigne l'entropie massique dans les conditions (T0 et P0).

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4 - On considère le diagramme entropique du gaz étudié dans lequel on porte la température T en ordon-née et
l'entropie massique s en abscisse.
Montrer que dans cette représentation, les isobares correspondant aux pressions respectives P1 et P2 se
déduisent l'une de l'autre simplement par une application que l'on définira .
II - Étude de la turbomachine :
EIle comprend le turbocompresseur (TC), la
chambre de combustion (CC), et la turbine de
détente (TD), (figure 2). Le turbocompresseur
est entraîné par la turbine de détente par un
arbre (A) assurant une liaison mécanique
parfaite. On admet que :
- l'évolution du gaz dans (TC) et (TD) est
adiabatique.
- la combustion dans (CC) (dont les parois
sont indéformables) est isobare et réversible.
Le carburant (dont on néglige le débit masse
dm) ne modifie pas les propriétés du gaz.
- les variations d'énergie cinétique sont négligeables.
1 - On suppose que l'évolution de 1 kg de gaz peut être représentée par le cycle 1-2-3-4-1. Il est constitué de
deux isobares de pressions respectives P1 et P2 reliés par deux isentropiques. (figure 3)
a - Donner les coordonnées des 4 points 1-2-3-4 dans le
diagramme T-s.
Données: P1 = 1 bar T1= 300 K
P2 = 6,5 bar T3 = 1 300 K
s1 = 0
b - Exprimer en fonction de T
1, T2, T3, T4 et des
caractéristiques du gaz :
α - w12 : travail massique échangé entre le fluide et le rotor
(arbre(A)) du turbocompresseur.
β - w34 : travail massique échangé entre le fluide et le rotor
(arbre(A)) de la turbine de détente.
γ - wu : travail utile disponible sur l'arbre d'entraînement (A).
δ - q23 : quantité de chaleur massique fournie au gaz dans la chambre de combustion.

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c - Calculer le rendement thermodynamique η du cycle 1-2-3-4-1 en fonction du rapport des pressions
P
P2
1.
d - Calculer numériquement w12, w34, wu, q23 et η,

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2 - En réalité, le cycle décrivant l'évolution de 1 kg de gaz dans la machine est le cycle 1 -2'-3-4'-1 (figure 4),
comportant deux isobares 2'-3 et 4'-1 .
Par suite de l'existence de frottements fluides internes, les
transformations 1-2' et 3-4' dans (TC) et (TD) sont irréversibles.
On conservera pour P
1 , T 1 , s 1 , T 3 et P 2’ = P 2 les valeurs
numériques de la question 1 -a-.
a - Justifier la position des points 2' et 4' par rapport aux points 2
et 4.
b - On définit le rendement ηSC (en compression) du
turbocompresseur (TC) par rapport à l'isentropique par
ηSC
w
w
=12
12' .
w12’ est le travail massique réel échangé par le fluide avec le rotor
de (TC) et w12 le travail massique relatif à l'isentropique 1-2.
α - Justifier que w12’ > w12 et 0 < ηsc <1 .
β - Exprimer ηsc en fonction de T1, T2, T2' (T2' est la température réelle du gaz à la sortie de (TC) en 2').
γ - Calculer numériquement T2' et w12’ , si ηSC = 0,80.
δ - L'évolution du gaz lors de la compression (1-2') peut être décrite par une transformation polytropique définie
par :
PV
k
c= constante. Calculer l'exposant kc (constant) de la polytropique.
c - Le rendement (en détente) de la turbine (TD) par rapport à l'isentropique est ηSD = 0,85.
α - Définir ηSD en fonction de w34 et w34'.
β - Calculer T4', température réelle du gaz à la sortie de (TD), ainsi que w
34' et le coefficient (constant) kD de
l'exposant de la polytropique de détente dans (TD).
d - Calculer le rendement thermodynamique η' du cycle 1-2'-3-4'-1 . Le comparer à η.
e - Calculer les variations d'entropie massique ∆sc = s2' - s1 et ∆sD = s4' - s3.
3 - Calculer le débit masse Dm du gaz si l'on veut disposer d'une puissance utile de 3 MW (centrale thermique).
4 - Le pouvoir calorifique du carburant (pétrole), c'est-à-dire l'énergie dégagée par la combustion de 1 kg de
carburant, étant PCI = 42. 103 kJ. kg-1, déterminer le rapport des débits massiques de gaz Dm et de carburant dm.
On supposera la chambre de combustion parfaitement calorifugée. Commenter.