Dynamique des fluides dans des canalisations.

Chapitre 2. Cours SPCL - systèmes et procédés Tle STL
Dynamique des fluides dans des canalisations.
I. Expériences introductives.
1. Première expérience introductive.
Étudions la vitesse v de l'eau sortant d'un tuyau (pas trop fin),
dont la sortie est placée à une altitude z plus ou moins
importante. Ce tuyau est relié au fond d'un réservoir d'eau
(assez grand pour que la pression de l'eau y reste constante).
On remarque que, lorsque l'altitude z à la sortie du tuyau augmente, la vitesse v de l'eau diminue :
0
10
20
z
v
c'est à dire
010 20
z
v
Cette dernière courbe ressemble à une parabole d'équation
2
z k v cste
(avec
0
k
)
On peut le vérifier en traçant z en fonction de v
2 :
0200 400
z
v
2
On obtient bien une droite de coefficient directeur négatif, donc on a bien
2
z k v cste
(avec
0
k
)
donc
2
z k v cste
Ceci est caractéristique de la somme de l'énergie potentielle de pesanteur Epp (
m g z
) et de l'énergie
cinétique Ec (
2
12
mv
) qui constitue jusqu'ici l'énergie mécanique Em :
pp c m csteE E E
.
Dans ces conditions, l'eau a donc un comportement mécanique familier : il y a conservation de l'énergie
mécanique (de l'énergie potentielle de pesanteur se transforme en énergie cinétique et inversement).
2. Deuxième expérience introductive.
Étudions la vitesse v d'écoulement de l'eau et sa pression p en différents points d'une canalisation (pas trop
fine), dont l'altitude z est partout la même et dont la section S n'est pas partout la même.
On remarque que, lorsque la section S de la canalisation augmente, la vitesse v de l'eau diminue.
On constate donc que l'énergie cinétique Ec (qui est proportionnelle à v
2) varie, même si l'énergie potentielle de
pesanteur Epp (qui est proportionnelle à l'altitude z ) ne varie pas !
altitude z
tuyau
grand
réservoir
barrage
A
B
C
D
E
F
A
E

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Mais on remarque aussi que, lorsque la vitesse v de l'eau diminue, la pression p de l'eau augmente :
010 20 30
v
p
A
B
D
F
C
E
Cette courbe ressemble à une parabole d'équation
2
p k v cste
(avec
0
k
)
On peut le vérifier en traçant p en fonction de v
2 :
0100 200 300 400 500 600 700
v2
p
On obtient bien une droite de coefficient directeur négatif, donc on a bien
2
p k v cste
(avec
0
k
)
donc
2
p k v cste
En comparant avec les résultats de l'expérience précédente, on peut dire que ceci est caractéristique de la
somme de l'énergie cinétique Ec (qui est proportionnelle à v
2) et d'une autre énergie qui est proportionnelle à la
pression (et qui s'appelle énergie potentielle de pression) qui participe à l'énergie mécanique Em :
ici
c p pression csteEE
.
Ainsi, dans ces conditions, l'eau a à nouveau un comportement mécanique familier : il y a conservation de
l'énergie mécanique (de l'énergie cinétique se transforme en énergie potentielle de pression et inversement).
3. Troisième expérience introductive.
Étudions la vitesse v d'écoulement de l'eau et sa pression p en différents points d'une
canalisation (pas trop fine), dont
l'altitude z n'est pas partout la
même.
On remarque que, lorsque l'altitude z de la canalisation augmente, la vitesse v de l'eau ne change pas.
On constate donc que l'énergie potentielle de pesanteur Epp (qui est proportionnelle à l'altitude z ) a beau varier,
l'énergie cinétique Ec (qui est proportionnelle à v
2) ne varie pas !
Mais on remarque aussi que, lorsque l'altitude z de la canalisation augmente, la pression p de l'eau diminue :
z
p
A
B
D
F
C
E
Cette courbe est une droite de coefficient directeur négatif, donc
p k z cste
(avec
0 k
)
A
B
B
C
C
D
E
E
F

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c’est-à-dire
z k p cste
(avec
1 / 0
kk
) donc
z k p cste
En comparant avec les résultats des expériences précédentes, on peut dire que l'on vérifie bien que la somme de
l'énergie potentielle de pesanteur Epp (qui est proportionnelle à l'altitude z ) et de l'énergie potentielle de
pression Ep pression (qui est proportionnelle à la pression p ) participe à l'énergie mécanique Em :
ici
pp p pression csteEE
.
Ainsi, dans ces conditions, l'eau a toujours un comportement mécanique familier : il y a conservation de
l'énergie mécanique (de l'énergie potentielle de pesanteur se transforme en énergie potentielle de pression et
inversement).
II. Loi de conservation de l'énergie d'un fluide incompressible en mouvement.
En régime stationnaire (quel que soit le lieu considéré, les grandeurs ne varient pas au cours du temps), on
appelle ligne de courant la courbe suivant laquelle se déplace un élément de fluide. Une ligne de courant est
tangente en chacun de ses points à la direction de déplacement du fluide en ce point.
Un tube de courant est formé par l'ensemble des lignes de courant s'appuyant sur une courbe fermée.
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à une toute petite quantité de fluide, on peut démontrer que,
dans les conditions précisées dans l'encadré ci-après :
2
12cste
m v m g z p V
avec m la masse de la toute petite quantité de fluide considérée et V son volume
en clair énergie cinétique + énergie potentielle de pesanteur + énergie potentielle de pression = constante
ou encore énergie mécanique = constante (car il n'y a pas de frottement)
On retrouve ainsi les remarques que l'on a pu faire lors des expériences introductives.
En divisant par V on trouve
2
1cste
2
m m V
v g z p
V V V
donc
2
1cste
2
ρ v ρ g z p
notée ptot
2
1constante
2
tot
ρ v ρ g z p p
ptot est appelé charge du fluide en Pa
avec ρ la masse volumique du fluide en kg/m3, v sa vitesse en m/s, g l'intensité du champ de pesanteur (en
général 9,81) en N/kg (ou en m/s2), z l'altitude en m et p la pression en Pa.
Cette équation, appelée relation de Bernoulli et basée sur le fait que l'énergie mécanique du fluide se conserve,
est applicable pour un fluide parfait (sans frottement) et incompressible en écoulement stationnaire, le long
d'une ligne de courant ou le long d'un tube de courant ou le long d'une canalisation, où il n'y a aucune machine
hydraulique (ni pompe ni turbine).
Interprétation énergétique : E
cinétique +
E
potentielle de pesanteur +
E
potentielle de pression =
E
mécanique = constante
La relation de Bernoulli appliquée à deux points A et B d'une même ligne de courant (ou d'un même tube de
courant ou d'une même canalisation) peut aussi s’écrire sous l'une ou l'autre des formes suivantes :
22
A A A B B B
11
22
tot
ρ v ρ g z p ρ v ρ g z p p
22
B A B A B A
1( ) ( ) 0
2
ρ v v ρ g z z p p
2
1Δ( ) Δ Δ 0
2
ρ v ρ g z p

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Remarque : si v = 0 on obtient le principe fondamental de l'hydrostatique
cste
pρ g z
donc
A A B B
ρ g z p ρ g z p
donc
B A B A
( ) 0
ρ g z z p p
donc
B A A B
()
pp ρ g z z
En divisant tous les termes de la relation de Bernoulli par le produit
ρg
, on écrit tous les termes dans la
dimension d'une hauteur (comme si les pressions étaient exprimées en mètres de colonne de fluide) :
2
cste
2
tot
vp
zH
gρg
Htot est appelé hauteur totale (ou, là encore, charge du fluide) en m.
III. Loi de conservation de la masse d'un fluide incompressible en mouvement.
Le débit massique qm (en kg/s) est la masse de fluide qui traverse une section droite de la conduite (normale à la
conduite) en 1 seconde :
Δ
m
m
qt
avec m la masse de fluide (en kg) qui traverse cette section pendant la durée Δ t (en s).
Le débit volumique qV (en m3/s) est le volume de fluide qui traverse une section droite de la conduite en 1
seconde :
Δ
V
V
qt
avec V le volume de fluide (en m3) qui traverse cette section pendant la durée Δ t (en s).
En régime stationnaire, le débit d'un fluide incompressible est
le même à travers toutes les sections droites d'un même tube
de courant (il sort autant de fluide qu'il en rentre) donc,
comme on a pu le remarquer lors de la deuxième expérience
introductive, la vitesse du fluide est d'autant plus grande que
la section est faible :
en effet
Δ
Δ Δ Δ
V
V S l S v t
q S v
t t t
donc
cste
V
q S v
pour un fluide incompressible en écoulement stationnaire
IV. Applications de la loi de conservation de l'énergie d'un fluide incompressible.
1. Exemple d'un liquide idéal dans une canalisation.
Considérons un liquide (donc incompressible) idéal (donc sans frottement) s'écoulant dans une canalisation
jusqu'alors horizontale et de section constante. Voici comment évoluent les grandeurs lorsque le fluide
rencontre :
lorsque le fluide rencontre
énergie cinétique
2
12
cmvE
énergie potentielle
de pesanteur
pp mgzE
énergie potentielle
de pression
p pression pVE
énergie mécanique
m c pp p pression
E E E E
2
12
terme
ρv
terme ρgz
terme p
terme
tot
p
vitesse v
altitude z
pression p
charge
tot
p
toujours la même canalisation
=
=
=
=
une montée
=
↑
↓
=
une descente
=
↓
↑
=
un élargissement
↓
=
↑
=
un rétrécissement
↑
=
↓
=
Utilisation du symbole ↑ (si la grandeur augmente), ↓ (si la grandeur diminue) ou = (si la grandeur ne varie pas).
S
1
S
2
l
1 =
v
1Δ
t
l
2 =
v
2Δ
t

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2. Effet Venturi.
Considérons un écoulement à altitude constante, la relation
2
12cste
ρv ρgz p
devient
2
12cste
ρv p
.
Si l'écoulement du fluide subit un étranglement (la section S diminue) alors la vitesse v du fluide augmente (car
qV et donc
Sv
sont constants).
Donc, comme
2
12cste
ρv p
et que v augmente, la pression p diminue.
Effet Venturi : si l'écoulement du fluide subit un étranglement alors la vitesse du fluide augmente et donc la
pression diminue.
Interprétation énergétique : si l'écoulement du fluide subit un étranglement alors sa vitesse augmente donc son
E
cinétique augmente donc (son
E
potentielle de pesanteur étant constante) son
E
potentielle de pression diminue et donc la
pression diminue.
C'est ainsi que (voir images) :
- une balle de ping-pong se "collera" aux parois d'un entonnoir si on tente de la propulser en soufflant ;
- de même, deux feuilles de papier (ou deux plaques convergentes) seront attirées l'une vers l'autre (et non pas
écartées) si un fluide s'écoule entre-elles ;
- l'écoulement d'eau dans une trompe à eau permet de créer une plus faible pression et donc une aspiration des
gaz (qui sont alors entrainés avec l'eau) ;
- il en est de même pour les pulvérisateurs, sauf qu'il s'agit d'un écoulement de gaz aspirant (et entrainant avec
lui) un liquide ;
- les toitures peuvent être arrachées par le vent, non pas parce qu'il les pousse, mais parce qu'il les "aspire" ;
- lorsqu'un avion avance, le vent relatif fait que ses ailes sont "aspirées" vers le haut par la plus basse pression se
trouvant au-dessus d'elles.