Cours n°10 : Régimes transitoires des circuits du

Cours n°10 : Régimes transitoires des circuits
du premier ordre.
Avez- vous déjà observé le circuit d’allumage d’une lampe fluorescente (à tort appelée tube néon) dit circuit
ballast, il s’agit d’un circuit R,L (il y en a au dessus de nos têtes). La description du temps d’allumage nécessite
d’établir et de résoudre une équation différentielle dont la solution avec la condition initiale décrit la variation de
la tension en fonction du temps. Il s’agit de votre seconde modélisation dynamique quantitative d’un phénomène
physique après celle de la chute d’un corps. C’est un peu plus compliqué, il faudra utiliser un peu de
mathématiques, mais c’est fructueux ; on pourra d’ailleurs revenir sur la chute des corps pour voir au bout de
combien de temps le parachutiste atteint sa vitesse de chute limite...
Dans cette leçon, après avoir observé la lente charge d’un condensateur électrolytique à travers une résistance, on
s’attache à établir et résoudre l’équation différentielle du premier ordre qui décrit le phénomène. On voit ensuite
que le même comportement est obtenu pour un circuit R,L série.

I) Résolution des équations différentielles du premier ordre
1) Equation canonique et Conditions Initiales, constante de temps caractéristique =a/b
0
avec la C.I y(t=0) = y
1
est homogène avec , est homogène avec , est homogène avec 1,
a est homogène à un temps
b
est la forme canonique de l'équation différentiel
dy
a by c
dt
dy a
a by a b
dt T bT
a dy c
y
b dt b
 0 le avec la C.I y(t=0) = y
2) Etape 1 : Résolution de l’équation sans second membre (homogène), séparation des
variables
0
c'est la séparation des deux varuables y et le temps , y à gauche et le temps à droite
d1 dy
On sait que l'on préfère écrire d
dy
une dérivée c'est une petite varia
dy dy
a by a by
dt dt
dy b dt
ya
Ln y Ln y
yy
11
1
tion sur une autre la première correspondant à la seconde : Il est légitime de faire un produit en croix
On a donc d ( ) étant une constante dite constante d'intégration
()
bb
Ln y dt d t C C
aa
b
Ln y t C
a
   1
1
2
2 1 1
1
un petit coup d'exponentielle donne sans effort e e e
avec C e qui est une constante puisque C l'est et pour l'instant forcément tout aussi indéterminée que C
on
y(t)=e bt b bt
C
a a a
bC
a
bt bC
aa C
2 1
applelera C constante d'intergration comme C dont elle est la nouvelle incarnation
3) Etape 2 : Recherche de la solution particulière qui est la solution permanente de
l’équation avec second membre.
y(t)
y(t)= constant peut etre solution de l'équation avec second membre en effet =0 reporté dans l'équation donne
dt
c
.0 soit = b
dy
a by c
dt d
a b c
4) Etape 3 : Construction de la somme des 2 solutions précédentes et enfin
détermination de la constante d’intégration apparue dans l’étape 1 grâce à la Condition
Initiale.
2
20
la solution générale de l'équation avec second membre est la somme des deux solutions précédentes ( ) e
la constante C peut enfin etre déterminée grace à la CI y(t=0)=y
en effet
bt
a
dy c
a by c y t C
dt b
0
0 2 0 2 2 0
0
c
y =C donne y =C 1 soit C =y -
b
c
la solution complete de l'équation avec second membre s'écrit enfin : y(t)= y - b
bt
a
cc
ebb
c
eb
II) Charge d’un circuit R, C série par un générateur idéal de tension
uC=u
uR

( ) ( ) ( ) 0
( . ) . .
par raison de dimension RC est homogène à un temps on note =R.C le temps carcatéristique du circuit
.
C R C
dq q
i t u t u t u u U E si t
dt C
dq q d C u C u d u
R E comme q Cu R E RC u E
dt C dt C dt
du u E forme can
dt
 onique
1) Continuité de la charge et de la tension condensateur
La loi i = dq/dt implique que q(t) doit être une fonction continue, si il y avait à un instant quelconque une
discontinuité de q(t), soit un saut de q(t) la pente de q(t) serait infinie or la pente de q(t) c’est le courant qui en tant
que quantité physique ne peut être infini.
On retiendra donc que la charge et la tension condensateur (qui lui est proportionnelle q=Cu ) sont des grandeurs
continues du temps.
Pour notre problème on aura donc : q(t=0+)=q(t=0-)=0
A t=0 on ferme l’interrupteur
Le condensateur étant
initialement déchargé
q(t=0-)=0

2) Résolution
11
1
12
1 0 ( ) ( )
ici je n'ai pas mis -1/ en facteur mais c'est tout aussi correct que le raisonnement du I
()
2 recherche d
t t t
CC
du uE
dt du du du dt t
etape u u dLn u d C
dt dt u
t
Ln u C u e e e C e
etape
2
2
e la solution particulière ou permanente
on reporte u(t) = =constante dans on en déduit .0+ =E soit =E
etape 3
u(t)=E+
détermination de la constant d'intégration C grace à la C
t
du uE
dt
Ce
0
2 2 2
ondition initiale q(t)=0 qui a pour conséquence u(t)=0
0 = E +
solution générale de l'équation avec second membre : u(t) = + E = E (1- )
i(t) = CE (1- )
tt
t t t
C e E C C E
E e e
d CE E
e e e
dt R
3) Remarques
Détermination de R : sur les oscillogrammes qui donnent des tensions ce n’est pas possible
Certes le courant initial i(t=0) est E/R, mais la tension aux bornes de la résistance R i est
t
Ee
et ne dépend pas de R
Il faudrait un ampèremètre pour déterminer R
Détermination de  en examinant la ‘complétude ‘de la charge
1
( ) (1 ) ( ) (1 )
t t t t t
d d E
u t E e i t CE e CEe CEe e
dt dt R
τ
t
u
E
0.63 E
0.95 E
0.86 E
2τ
3τ

2
3
3
1
( ) (1 ) (1 ) 0.63
1
(2 ) (1 ) (1 ) 0.86
²
1
(3 ) (1 ) (1 ) 0.95
u E e E E
e
u E e E E
e
u E e E E
e
Détermination de  avec la tangente
0
tangente
tangente
equation de la tangente à la courbe i(t) à l'instant t=0
E 1 E 1 E 1 E
on a i(t)= ( 0)
R R R R
( ) la fonction tangente à i(t) en t=0
1E
( ) car cette droit
R
tt
di di
e e t e
dt dt
notons i t
E
i t t
R
tangenet
1E
e doit passer en E/R à t= 0 et avoir comme dérivée
R
cherchons maintenant la date à laquelle i ' 's annule c est à t
La solution particulière représente le courant permanent, la solution de l’équation homogène étant
évanescente
τ
t
t
i
u
τ
E
E/R