UN APERCU DES NOTIONS ESSENTIELLES DE LA PHYSIQUE QUANTIQUE Avertissement : Ce document est un résumé très condensé des chapitres II, III et IV du support de cours écrit de PA101. Il ne saurait constituer à lui tout seul la « base de données de révision » permettant d’aborder sans risque les contrôles de connaissances. Il est avant tout destiné à faciliter la hiérarchisation de l’apprentissage de la mécanique quantique (MQ) et la structuration mentale associée, permettant ensuite d’affiner les connaissances. Les états quantiques sont des éléments d’un espace vectoriel, on sait les additionner et les multiplier par un coefficient complexe (principe de superposition). On note couramment l’état quantique d’un système sous la forme ψ , avec la dénomination « ket ». La connaissance de l’état quantique à un instant donné est la connaissance maximale autorisée par la MQ. A chaque grandeur physique issue de la physique classique est associé un opérateur agissant sur les états quantiques du système. Ces opérateurs sont spécifiquement définis par un postulat. On les appelle des « observables », et les postulats liés à la mesure montrent qu’il faut leur imposer d’être diagonalisables (la somme directe de leurs espaces propres forme l’espace entier). En outre ils doivent être hermitiques, ce qui assure que leurs valeurs propres sont réelles. Par contrecoup les espaces propres sont orthogonaux. Toute expérience et observation s’exprime dans le cadre des postulats liés à la mesure. Dans le cadre de la mécanique quantique, on ne peut obtenir une information sur un système physique que par le biais de la mesure d’une grandeur physique. Le résultat d’une mesure ne peut être qu’une valeur propre de l’observable associée à la grandeur physique mesurée. Cela impose de diagonaliser l’opérateur pour obtenir le spectre des résultats de mesure possibles. Le résultat d’une mesure est fondamentalement aléatoire. Cela signifie que pour un état quantique donné, des résultats différents peuvent aléatoirement être obtenus. La probabilité d’obtenir tel ou tel résultat est en revanche parfaitement déterminée, sa valeur fait intervenir à la fois l’opérateur lui-même, l’état quantique juste avant la mesure, et l’espace propre associé au résultat de mesure considéré : gn P( an ) = ∑ i =1 uni ψ 2 = ψ ψ ψ Πn ψ ψ ψ (base {u } orthonormée) i n (cas d’un spectre discret) gn Π n = ∑ uni uni i =1 est le projecteur sur l’espace propre correspondant à an (base othonormée). Cette probabilité n’est rien d’autre que le module carré de la composante de l’état avant mesure sur le sous-espace propre. Après une mesure l’état quantique ψ se trouve projeté en Π n ψ sur le sous-espace propre correspondant à an (principe de réduction du paquet d’ondes). Une mesure immédiatement après la première garantit donc de trouver le même résultat. C’est d’ailleurs ce qui permet de « préparer » un système dans un état quantique donné. Après une mesure, on connaît donc bien la grandeur physique mesurée (parfaitement pour un spectre discret, mais moyennant une incertitude de mesure pour un spectre continu). On peut donc dire du système qu’il possède une grandeur physique valant tant. En revanche en l’absence de mesure ou d’information préalable, une grandeur physique est fondamentalement indéterminée, et il est même faux de dire que le système possèderait une certaine énergie, bien définie, mais qu’on ne la connaît pas. La connaissance de toutes les distributions de probabilité des diverses grandeurs physiques revient à connaître l’état. Cette connaissance maximale est « lourde », et bien souvent excessive. Toutefois on peut se faire une idée de la nature de l’état en question par une information partielle, typiquement les valeurs moyennes et les écarts types de ces distributions. On montre facilement la relation : A = ∑ a n P ( an ) = n Bien sûr A ψ ψ Aψ ψψ résulte de l’action de l’observable A sur ψ , ensuite le produit scalaire avec ψ est calculé etc … Entre deux mesures les états quantiques évoluent « par la grâce de l’équation de Schrödinger dépendant du temps » : ihd ψ / dt = H ψ Ici l’opérateur H est l’hamiltonien, associé à l’énergie totale du système. Pour une particule () r P2 + V R , pour un moment magnétique dans un dans un potentiel, c’est par exemple 2m r r r r r champ magnétique, on y inclura − M .B avec M = γL ou S etc … Cette équation permet de montrer l’existence d’états stationnaires. Les états stationnaires ont des distributions de probabilité de résultats de mesures constantes au cours du temps, quel que soit la grandeur physique. Cela implique que seule la phase globale de ces états peut dépendre du temps. On montre facilement que les états propres d’un opérateur hamiltonien indépendant du temps sont stationnaires. Ils vérifient : ψ (t ) = exp( −iEt / h) ψ ( 0 ) E étant l’énergie du système dans un tel état. Cette énergie est donc parfaitement déterminée, ce qui n’est pas le cas d’un état non stationnaire. Les états stationnaires sont des intermédiaires de calcul bien commodes pour résoudre des problèmes dépendant du temps : ils servent de base de décomposition bien adaptée : ψ (t ) = ∑ cn (0) exp(−iEn t / h ) ϕ n avec H ϕ n = En ϕ n n Les coefficients sont calculés comme des produits scalaires avec les états de base : c n (0) = ϕ n ψ (0) On montre facilement qu’un état presque stationnaire vérifie une relation exprime que plus un état évolue vite, moins bien est connue son énergie. ΔE. Δt ≈ h qui L’évolution au cours du temps des états quantiques peut s’apprécier de façon parcellaire mais utile par la variation temporelle des valeurs moyennes des diverses grandeurs physiques : d 1 dA A = A, H + dt ih dt dA est nul, sauf si l’opérateur dépend lui-même du temps. Bien sûr cette dt expression fait intervenir l’état quantique par l’intermédiaire des valeurs moyennes sur cet état. En général Le principe de réduction du paquet d’ondes a une conséquence importante : la notion nouvelle d’incompatibilité. Deux grandeurs physiques sont incompatibles s’il est fondamentalement impossible de les mesurer simultanément. Cela se traduit par l’inexistence d’une base d’états propres communs aux deux observables associées. Le critére d’incompatibilité est que le commutateur [ A, B ] = AB − BA ≠ 0 , et dans ce cas on en déduit une relation d’incertitude de Heisenberg : σA.σB ≥ 1 2 A, B dont le second membre dépend de général de l’état quantique du système. Cette relation exprime que si on connaît bien la grandeur A, en général on connaît mal B et vice-versa. Travailler dans l’espace des états quantiques revient à calculer des expressions du type A ψ , ψ A ψ etc … qui sont celles d’un espace vectoriel doté d’un produit scalaire hermitien, ψ ϕ vérifiant entre autres ψ ϕ * = ϕ ψ , et ψ A ϕ = ϕ A + ψ , où A+ est l’adjoint * de A qui est justement défini par cette relation. Il est donc souvent nécessaire de calculer des expressions duales, c'est-à-dire de passer de l’espace des états quantiques à son dual. Cela se fait par la règle simple de « conjugaison hermitique », consistant à remplacer les opérateurs par leurs adjoints (donc à ne pas les changer si ce sont des observables), à remplacer les kets par les « bras » qui sont des formes linéaires transformant des kets en nombres complexes, et à remplacer les complexes par leurs conjugués. Une telle transformation peut être commode pour calculer un produit scalaire ψ ϕ dans le cas où on connaît le ket ψ par exemple sous la forme ψ = A χ + α υ . + * Alors ψ = χ A + υ α , et ψ ϕ = ( χ A+ + υ α * ) ϕ = χ A+ ϕ + α * υ ϕ = ϕ A χ + α * υ ϕ * Le formalisme général des kets admet des représentations particulières commodes. Ainsi lorsqu’on s’intéresse à un système à une particule, connaître ψ r revient à connaître la r fonction d’onde ψ (r, t ) (représentation R), ou de façon équivalente à connaître ψ ( p, t ) (représentation P). Ces deux fonctions sont transformées de Fourier l’une de l’autre : r r 1 i rr ψ ( p, t ) exp( p.r )d 3 p 3/ 2 ∫ h (2πh ) r r 1 i r r ψ ( p, t ) = ψ (r , t ) exp(− p ⋅ r )d 3 r 3/ 2 ∫ h (2πh) ψ (r , t ) = et vérifient (normalisation) r r 3 3 ∫ ψ ( r , t ) d r = ∫ ψ ( p, t ) d p = 1 2 2 Les produits scalaires s’expriment comme des intégrales : ψ ϕ = ∫ψ *ϕ .d 3 r (expression équivalente dans l’espace des impulsions) et les opérateurs sont de nature multiplicative et/ou différentielle agissant sur ces fonctions d’ondes. En particulier r r ⎛ϕ ⎞ ⎛ ϕ (r ) ⎞ ⎛ xψ ( r ) ⎞ ⎜ ⎟ r ⎜ r ⎟ r r ⎜ r ⎟ ⎜ χ ⎟ = R ψ ⇔ ⎜ χ ( r ) ⎟ = r ψ (r ) = ⎜ yψ ( r ) ⎟ ⎜ξ ⎟ ⎜ ξ ( rr ) ⎟ ⎜ zψ ( rr ) ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ r r ⎛ϕ ⎞ ⎛ ϕ (r ) ⎞ ⎛ − ih∂ xψ (r ) ⎞ ⎜ ⎟ r r r ⎜ ⎜ r ⎟ r ⎟ P ( r ) i = ⇔ = − ∇ χ ψ χ h ψ (r ) = ⎜ − ih∂ yψ (r ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ξ ⎟ ⎜ ξ (rr ) ⎟ ⎜ − ih∂ ψ (rr ) ⎟ z ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ () r r r r ϕ = V R ψ ⇔ ϕ (r ) = V (r ).ψ (r ) r r P2 h2 ϕ = ψ ⇔ ϕ (r ) = − Δψ ( r ) 2m 2m Les moments cinétiques sont quantifiés. Il en existe de deux sortes : les moments cinétiques orbitaux, qui résultent du mouvement des particules dans l’espace, et les moments cinétiques de spin, qui traduisent l’existence d’un mouvement interne des particules. Dans tous les cas les spectres de valeurs propres des composantes de ces moments cinétiques (qui sont des triplets d’opérateurs, puisqu’un moment cinétique est un vecteur) sont discrets : On a pour le moment cinétique orbital : l = ypz − zpy r r r x l = r Λp ly = zpx − xpz ⇒ r r r L = RΛP lz = xpy − ypx r r Lx = YPz − ZPy Ly = ZPx − XPz Lz = XPy − YPx r On en déduit LΛL = ihL , qui devient la relation de définition générale d’un moment cinétique et est donc également vérifiée pour les spins. Partant de cette relation pour un moment cinétique orbital ou spin r J On en déduit : r J , J = 0 , ce qui permet de rechercher les états propres d’une composante de moment 2 cinétique (usuellement Jz) en lui imposant d’être également état propre de son carré. On a alors les relations aux valeurs propres : J 2 j , m = j ( j + 1)h 2 j , m J z j , m = mh j , m nécessairement j est entier ou demi-entier et de plus: -j≤ m ≤ +j (m= -j, -j+1, -j+2, ..., j-1, j) si j est demi-entier alors m est demi-entier si j est j entier alors m est entier Pour un moment cinétique orbital, j (qu’on note l) ainsi que m est nécessairement entier ; En revanche pour un spin, s (qu’on note s) ainsi que m sont entiers ou demi-entiers. L’électron, le proton et le neutron sont des spins ½ : s=1/2, et m=±1/2. Le photon est une particule de spin 1, mais c’est un cas particulier lié à sa nature relativiste : la valeur m=0 est interdite, les valeurs m=±1 correspondent aux polarisations circulaires droite ou gauche. 3 1 S 2 ± = h2 ± Sz ± = ± h ± 4 2 On a pour un spin 1/2 : S+ + = S− − = 0 S+ − = h + S− + = h − avec S + = S x + iS y S − = S x − iS y les états + et − étant des états propres communs à S2 et à Sz. Les opérateurs S+ et S- (qui ne sont pas des observables) sont des intermédiaires de calcul qui permettent en particulier de calculer l’action des opérateurs Sx et Sy sur la base des états propres de Sz.