quelques applications de l`ansatz de bethe

UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE
LABORATOIRE DE PHYSIQUE THEORIQUE
DE L’ECOLE NORMALE SUPERIEURE
THESE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSITE PARIS 6
Sp´ecialit´e: PHYSIQUE THEORIQUE
pr´esent´ee par
Paul ZINN-JUSTIN
pour obtenir le titre de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITE PARIS 6
Sujet:
QUELQUES APPLICATIONS
DE L’ANSATZ DE BETHE
Soutenance le 8 juillet 1998 devant le jury compos´e de:
M. ANDREI Natan
M. BREZIN Edouard
M. DE VEGA Hector (rapporteur)
M. GERVAIS Jean-Loup
M. KAZAKOV Vladimir (directeur)
M. KOSTOV Ivan (rapporteur)
M. ZUBER Jean-Bernard

Remerciements
Je tiens `a exprimer ma reconnaissance `a tous ceux qui m’ont aid´e `a mener `a bien
mon travail de th`ese.
Je souhaite remercier tout d’abord les membres du jury: les rapporteurs H. De Vega
et I. Kostov, pour avoir accept´e cette tˆache ingrate, et pour un grand nombre de
passionnantes discussions, sur les mod`eles int´egrables et sur les mod`eles de matrices
respectivement; N. Andrei, pour avoir fait le d´eplacement depuis l’autre cˆot´e de
l’Atlantique, et pour m’avoir expliqu´e la physique du mod`ele de Kondo lors de notre
fructueuse collaboration; J-B. Zuber et E. Br´ezin, avec lesquels j’ai eu des rapports aussi
amicaux qu’instructifs; J.L. Gervais, qui m’a conseill´e dans mon travail `a de nombreuses
reprises; et V. Kazakov, mon directeur de th`ese, qui a accept´e de diriger mes recherches,
et qui m’a prodigu´e des conseils utiles.
Je remercie le Laboratoire de Physique Th´eorique de l’Ecole Normale Sup´erieure qui
m’a accueilli pendant ces trois ans: aussi bien les chercheurs avec qui j’ai eu des contacts
enrichissants, en particulier A. Georges, B. Julia, N. Sourlas et les th´esards D. Carpentier,
P. Chose, O. Parcollet, S. Silva, T. Wynter, que les secr´etaires M-C. Launay, M. Leliepvre
et N. Ribet pour leur aide inestimable.
Je remercie ´egalement les chercheurs du LPTHE (Jussieu) et du SPhT (Saclay)
qui m’ont aid´e dans mon travail de recherche, parmi lesquels O. Babelon, D. Bernard,
F. Smirnov et bien sˆur J. Zinn-Justin; ainsi que les nombreuses personnes que j’ai
rencontr´ees lors de mes d´eplacements, en particulier les chercheurs du Yukawa Institute
`a Kyoto pour leur accueil, et S. Hikami qui m’a invit´e `a l’universit´e de Tokyo.
Enfin, je remercie mon entourage qui m’a soutenu tout au long de mon travail de
th`ese.

RESUME: Quelques applications de l’Ansatz de Bethe
L’Ansatz de Bethe est une m´ethode utilis´ee dans les mod`eles quantiques int´egrables
pour une r´esolution explicite de ceux-ci. Cette m´ethode est expos´ee ici dans un cadre
g´en´eral, valable pour les chaˆınes de spin quantiques 1D, les mod`eles statistiques sur r´eseau
(du type mod`eles de vertex) 2D et les th´eories des champs relativistes `a 1 dimension
d’espace et 1 dimension de temps. Le lien avec les groupes quantiques est explicit´e.
Plusieurs applications sont alors pr´esent´ees. Le calcul des corrections de taille finie est
effectu´e par deux m´ethodes: les Equations Non-Lin´eaires Int´egrales, que l’on applique `a
l’´etude des ´etats du mod`ele de Toda affine en constante de couplage imaginaire sur un
espace compactifi´e, et leur interpolation entre la r´egion de haute ´energie (ultra-violette)
et de basse ´energie (infra-rouge); et les Equations d’Ansatz de Bethe Thermodynamique,
ainsi que les Equations de Fusion qui leur sont associ´ees, dont on se sert pour d´eterminer
la thermodynamique du mod`ele de Kondo multi-canal g´en´eralis´e. Ce dernier est ensuite
´etudi´e plus en d´etail, toujours par l’Ansatz de Bethe et les groupes quantiques, de fa¸con
`a caract´eriser le spectre des excitations de basse ´energie.
⋆mots-cl´es: mod`eles int´egrables, diffusion factoris´ee, Ansatz de Bethe, groupes quantiques,
effet Kondo.
ABSTRACT: A few applications of the Bethe Ansatz
The Bethe Ansatz is a method that is used in quantum integrable models in order
to solve them explicitly. This method is explained here in a general framework, which
applies to 1D quantum spin chains, 2D statistical lattice models (vertex models) and
relativistic field theories with 1 space dimension and 1 time dimension. The connection
with quantum groups is expounded. Several applications are then presented. Finite size
corrections are calculated via two methods: The Non-Linear Integral Equations, which
are applied to the study of the states of the affine Toda model with imaginary coupling,
and their interpolation between the high energy (ultra-violet) and low energy (infra-red)
regions; and the Thermodynamic Bethe Ansatz Equations, along with the associated
Fusion Equations, which are used to determine the thermodynamic properties of the gen-
eralized multi-channel Kondo model. The latter is then studied in more detail, still using
the Bethe Ansatz and quantum groups, so as to characterize the spectrum of the low
energy excitations.
⋆keywords: integrable models, factorized scattering, Bethe Ansatz, quantum groups,
Kondo effect.