optimisation d`écoulement des puissances par algorithmes intelligents

Électrotechnique et électroénergétique
OPTIMISATION D’ÉCOULEMENT DES PUISSANCES
PAR ALGORITHMES INTELLIGENTS
MIMOUN YOUNES 1, MOSTEFA RAHLI2, MOHAMED ABID 1, MALIKA KANDOUCI 1.
Mots-clé : Algorithmes génétiques (AG), Algorithmes colonies des fourmis (ACF),
Algorithme de D.F.P, Répartition optimale des puissances.
L’optimisation d’écoulement des puissances (optimal power flow ou OPF en anglais)
est l’une des fonctions principales de l'opération de production et du contrôle d'énergie
électrique. L'objectif général est la détermination optimale de production des unités afin
de réduire au minimum le coût de production tandis que le système actionne dans sa
limite de sécurité. Cet article présente une approche de l'algorithme de recherche de
colonie de fourmi pour ce problème. Cette méthode a été appliquée sur la partie ouest
du réseau algérien (220kV).
1. INTRODUCTION
L’optimisation d’écoulement des puissances (OPF), est un problème de
programmation non linéaire. Elle est employé pour déterminer les sorties
optimales du générateur dans le système d'alimentation, avec un objectif pour
réduire au minimum le coût de production total, tandis que le système fonctionne
dans sa limite de sécurité [1–3]. On a utilisé la méthode classique, élaborée par
Davidon Fletcher-Powel (D.F.P) [2–6]. Cette méthode est parmi celles qui ont été
utilisées dans le dispatching économique. En effet, cette méthode consiste en une
généralisation de la formule itérative de Newton [4]. Pour résoudre ce problème,
malheureusement cette méthode comme les méthodes déterministes souffrent de
trois problèmes principaux. Premièrement, ils peuvent ne pas pouvoir fournir la
solution optimale et se coincer habituellement à un optimal local, toutes ces
méthodes sont basées sur l'acceptation de la continuité de la fonction objective qui
n'est pas toujours réalisable dans la pratique.
Ces méthodes ne peuvent pas être appliquées avec les variables discrètes. Or
l'algorithme génétique (AG) et l'algorithme de recherche de colonie de fourmis
1
Laboratoire IRECOM, Université Sidi Bel Abbés Faculté d’ingénieur Département d’électrotechnique,
Sidi Bel Abbés, 22000 Algérie, [email protected]
2
Laboratoire ORE, USTO, BP 1505, Oran El M’naouer, 33000 Algerie
Rev. Roum. Sci. Techn. – Électrotechn. et Énerg., 52, 1, p. 3–12, Bucarest, 2007
4
Mimoun Younes et al.
2
(ACF) sont des méthodes appropriées pour résoudre ce problème, qui éliminent
les inconvénients ci-dessus.
Ces méthodes ont été appliquées sur la partie ouest du réseau algérien
(220 kV).
Dans cet article, on présente le problème posé par l’industriel et comment on
le modélise, et on lui donne une forme mathématique (un polynôme du deuxième
degré), en tenant compte des contraintes. Après, on développe l’algorithme à
colonie de fourmis, sans oublier de donner un bref aperçu sur l’algorithme
génétique. Enfin, nous simulons le fonctionnement de notre réseau avec les trois
méthodes, puis nous faisons une comparaison entre les trois méthodes.
2. MODÈLE MATHÉMATIQUE
La fonction du coût pour le ième générateur (unité de production) se présente
le plus souvent sous la forme d’un polynôme du deuxième degré [2, 3]:
2
f i ( P ) = a 0 + a1 PGi + a 2 PGi .
(1)
Les coefficients a0, a1, a2, sont propres à chaque unité de production, on les
détermine à l’aide des méthodes d'interpolation comme par exemple celles de
Lagrange, de Newton ou des Moindres Carrés.
Afin de minimiser le coût de production total d’un réseau interconnecté, on
doit minimiser la somme des fonctions de coût des unités de production et poser la
formule globale sous la forme suivante :
nG


Min  f ( PG ) = ∑ f i ( PGi )  .
i =1


(2)
En prenant en considération les contraintes d’égalité suivantes:
nG
nc
i =1
j =1
nG
nc
i =1
j =1
∑ PGi − ∑ Pchj − PL = 0,
(3)
∑ QGi − ∑ Qchj − QL = 0;
ainsi que les contraintes d’inégalité:
PGimin ≤ PGi ≤ PGimax ,
min
max
QGi
≤ QGi ≤ QGi
,
(4)
3
Optimisation d’écoulement des puissances par algorithmes intelligents
5
où : f (PG) – fonction du coût total, nG – nombre de générateurs, nc – nombre de
nœuds consommateurs, PG i – puissance active générée au nœud i, QGi – puissance
réactive générée au nœud i, Pch j – puissance active consommée au nœud j, Qch j –
puissance réactive consommée au nœud j, PL – pertes totales dans le réseau, PGImax –
puissance active maximale, QGimax – puissance réactive maximale, PGimin –
puissance active minimale, QGimin – puissance réactive minimale.
3. LES ALGORITHMES À COLONIE DE FOURMIS
Les techniques d’optimisation issues des colonies de fourmis (Ant Colony
Optimization en anglais) ont été appliquées à divers problèmes d’optimisation
comme la coloration de graphes [9] et le problème du voyageur de commerce [10].
La figure 1 montre comment les fourmis arrivent à trouver le chemin le plus court.
Fig. 1 – Contournement d’un obstacle par une colonie de fourmis.
L’apparition d’un obstacle sur un chemin entre la source de nourriture et le
nid. Sur la Fig. 1, la présence d’un obstacle sur le chemin contraint les fourmis à en
faire le tour par l’un des deux chemins (A ou B). Quand les fourmis commencent à
arriver par la gauche du dessin, en moyenne, la moitié des fourmis choisissent le
plus long chemin (B) et l’autre moitié le plus court (A). Les fourmis déposant des
phéromones, le chemin A sera plus marqué que B pour un temps donné. Comme
les fourmis suivent en probabilité le chemin le plus marqué, le phéromone
s’amplifie et le chemin A devient majoritairement suivi par les ouvrières. Enfin,
l’aspect probabiliste du déplacement des fourmis assure qu’elles seront toujours à
la recherche d’une meilleure solution puisque même quand les fourmis choisissent
majoritairement le chemin A, la probabilité de choisir B ne devient pas nulle. De
plus, les phéromones étant des substances chimiques volatiles, elles s’évaporent
avec le temps, ce qui permet aux fourmis de continuer l’exploration de leur
environnement.
Dans une itération d’algorithme ACF, f agents (fourmis) construisent chacune
une solution d'après des décisions basées sur des critères heuristiques et sur des
6
Mimoun Younes et al.
4
traces de phéromone. Les traces sont mises à jour en examinant les solutions
obtenues pour notre cas (OPF) le coût minimal de la production d’énergie
électrique représenté par la formule globale (2) du réseau interconnecté. Elles sont
renforcées pour les décisions ayant donné de meilleures solutions et diminuées
pour les autres. Ce mécanisme permet d'améliorer progressivement les solutions au
cours des itérations [10]. En pratique, on construit f solutions initiales, puis on
répète l'itération générale suivante jusqu’à la réalisation d’un critère d’arrêt comme
un nombre maximum d’itérations ou un écart donné par rapport à une borne
inférieure :
1. mise à jour des traces de phéromone dans le réseau ;
2. génération de f nouvelles solutions par les fourmis, en exploitant les traces
de phéromone;
3.1. MISE À JOUR DES TRACES DE PHÉROMONE
Au début, pour tout couple d’arêtes à traiter (i, j), la quantité de phéromoneτij
est nulle [12]. On la met à jour au début de chaque itération selon la formule (5),
qui comprend un terme pour l’évaporation et un pour le renforcement.
f
τij ← ρτij + ∑ ∆τijλ , avec ∆τ ijλ =
λ=1
Fλ
.
Lλ
(5)
Une idée simple est d’affecter des poids égaux F λ = 1 aux fourmis, mais alors
on ne tient pas compte de la qualité des solutions dans cette pondération
supplémentaire des solutions. Les f solutions étant triées par coûts décroissants,
une meilleure option est d’utiliser le rang de la fourmi en posant F λ =λ. Nous
utilisons en fait des poids plus fins qui tiennent compte de la distance maximale Gd
entre deux arêtes à traiter : la formule (6) définit ainsi une fonction affine du rang
m (entre 1 et f), prenant ses valeurs entre 1 et Gd.
Fλ =
Gd − 1
f − Gd
.
×λ +
f −1
f −1
(6)
3.2. CONSTRUCTION DE NOUVELLES SOLUTIONS
La règle de déplacement des fourmis est donnée suivant la formule (8), où α,
β sont deux paramètres contrôlant l’importance relative de l’intensité de la piste τij
et de la visibilité Vij, avec α = 0 seule la visibilité de j est prise en compte; le j le
plus proche parmi les arcs est choisi à chaque pas. Au contraire, avec β = 0, seules
les pistes des phéromones jouent. Pour éviter une sélection trop rapide d’un trajet,
un compromis entre ces deux paramètres, jouant sur les comportements de
diversification et d’intensification, est nécessaire. Après un tour complet, chaque
5
Optimisation d’écoulement des puissances par algorithmes intelligents
7
fourmi laisse une certaine quantité de phéromones ∆τijλ sur l’ensemble de son
parcours, quantité qui dépend de la qualité de la solution trouvée. La fourmi
aveugle ne prend pas en considération les traces de phéromone choisi au hasard j
parmi les K arcs les plus proches qui lui restent à traiter formule (7), avec une
probabilité Pa Avec la probabilité 1–Pa, elle tient compte des phéromones et choisit
j avec la formule (8). En prenant en considération les visibilités Vij et les tracesτij ,
pondérées par des puissances choisies α et β.
Pijλ =
1
K
si j ∈ Ω tλ
[V ] [τ ]
∑ [V ] [τ ]
α
Pijλ =
ij
α
ij
Pijλ = 0 ,
sinon
Pijλ = 0 ,
(7)
β
ij
q∈ψ iλ
sinon
β
si j ∈ ψ iλ
iq
(8)
où : f – nombre de fourmis. On identifie dans la suite les fourmis et leurs solutions,
stockées dans une table triée par coût total décroissant. La meilleure solution est
donc la dernière (indice f). Gd – la plus grande distance dans le graphe, Vij – mesure
de visibilité de l’arc j depuis l’arc i Vij = 1/dij, τij – taux de persistance des traces
de phéromone 0≤ τij ≤1, Fλ – poids constant affecté à la fourmi n° λ, Pa –
probabilité de déplacement aveugle, ignorant les traces de phéromone, K – nombre
d'arcs les plus proches considérés lors d'un déplacement aveugle,τij – quantité de
phéromone sur le chemin de l’arc i à l’arc j, ∆τijλ – ajout de phéromone par la
fourmi λ sur le chemin de l’arc i vers l'arc j, Lλ – coût total de la solution trouvée
par la fourmi λ, Tλ – liste "tabou" de la fourmi λ (ensemble des arcs déjà traités par
la fourmi), Ωtλ – ensemble des K arcs les plus proches de l'arc i (en terme de Vij),
non encore traités par λ, Ψtλ – ensemble des K meilleurs arcs (en terme de traceτij ),
non encore traités par λ, Pijλ – probabilité pour une fourmi λ de se déplacer de l’arc
i à l'arc j.
3.3. STRUCTURE DE L'ALGORITHME
La population des f fourmis comprend en fait fe fourmis "élitistes" et f–fe
fourmis "non-élitistes". Les élitistes assurent la convergence de l’algorithme, tandis
que les non élitistes explorent l’espace de recherche pour maintenir la diversité des
solutions et prévenir une convergence prématurée [12]. On remplace la dernière
solution d'une fourmi élitiste par la nouvelle seulement en cas d'amélioration. Par
contre, on remplace toujours la dernière solution d'une fourmi non élitiste par sa
nouvelle solution, qu'il y ait amélioration ou dégradation. La Fig. 2 nous montre le
principe de l’algorithme de fourmis.
8
Mimoun Younes et al.
6
Fig. 2 – Organigramme de l’algorithme à colonie de fourmis.
Notons qu'à toute itération les fe solutions des fourmis élitistes sont les
meilleures solutions découvertes depuis le début de l'algorithme. L'algorithme est
renforcé par une remise à 0 périodique des traces de phéromone, qui constituent la
"mémoire" de l’algorithme. Ce nettoyage est effectué chaque fois que I itérations
ont été effectuées sans amélioration de la meilleure solution.
4. PRINCIPE DES ALGORITHMES GÉNÉTIQUES
Un algorithme génétique est un algorithme itératif, il manipule une
population de taille donnée. Cette population est formée de chromosomes. Chaque
chromosome représente le codage d'une solution potentielle au problème à
résoudre, il est constitué d'un ensemble de gènes [7, 8].
En appliquant les opérateurs génétiques (la sélection, le croissement et la
mutation) à la population initiale, on arrive à créer une nouvelle population
contenant le même nombre de chromosomes que la précédente mais qui ont des
qualités meilleures que les précédentes et ainsi de suite en répétant le même
processus on renouvelle à chaque fois la population à chaque génération en
améliorant les qualités des chromosomes qui sont mieux adaptées à leur
environnement qui est représenté par la fonction objective et de cette manière les
chromosomes vont tendre vers l'optimum de la fonction. La sélection des meilleurs
chromosomes est la première opération dans un algorithme génétique [11]. Au
cours de cette opération l'algorithme sélectionne les meilleurs éléments. Le
croissement permet de générer deux chromosomes nouveaux "enfants" à partir de
7
Optimisation d’écoulement des puissances par algorithmes intelligents
9
deux chromosomes sélectionnés "parents", tandis que la mutation réalise l'inversion
d'un ou plusieurs gènes d'un chromosome.
5. APPLICATION ET COMPARAISON DES RÉSULTATS
Dans cette dernière étape de notre travail, nous avons effectué la
comparaison des résultats obtenus dans les trois approches d’optimisation après son
application sur la partie ouest du réseau algérien (220 kV). Ce réseau est composé
de 12 jeux de barres dont deux jeux de barres sont de type PV ayant pour fonction
coût les expressions :
f1 ( PG1 ) = 0.085 PG21 + 150 PG1 + 2000 , f 2 ( PG 2 ) = 1.70 PG22 + 250 PG 2 + 3000 ;
(9)
avec les contraintes :
30 ≤ PG1 ≤ 510 , 10 ≤ PG 2 ≤ 70 ;
(10)
et avec la consommation totale :
∑ PCh = 505 MW .
(11)
5.1. CALCUL DES PERTES
On a considéré les pertes actives sous deux variantes :
5.1.1. PREMIÈRE VARIANTE
Comme une constante au niveau de l’équation de bilan dont la valeur est
déterminée par l’algorithme de Gauss-Seidel.
5.1.2. DEUXIÈME VARIANTE
Pour ce cas et pour les deux méthodes AG et ACF, les pertes actives ont été
calculées par la méthode des B-Coefficients [2].
5.1.3. TABLEAUX DES RÉSULTATS
Les trois algorithme DFP, AG et ACF ont été programmés dans
l’environnement Matlab. Les résultats obtenus sont présentés respectivement dans
les tableaux 1 et 2.
opt
obtenues dans
Le Tableau 1 présente les valeurs des paramètres PGopt
1 et PG 2
les trois approches, ainsi que la valeur de la fonction objectif dans le cas de la
première variante.
10
Mimoun Younes et al.
8
Tableau 1
Données
Sonelgaz
PGopt
1
PGopt2
PL [ MW ]
Coût [$/h]
466,05
54,88
15,94
278 376,01
DFP
460,7594
GA
ACF
450,000000
449,824226
59,228181
69,864954
69,999884
14,987
14,865
14,830
275 342,69
270 392,79
270 298,227
opt
Le Tableau 2 présente les valeurs des paramètres PGopt
1 et PG 2 obtenues dans
les trois approches, ainsi que la valeur de la fonction objectif dans le cas de la
deuxième variante.
Tableau 2
Données
Sonelgaz
PGopt
1
DFP
GA
ACF
466,05
460,7594
450,117188
450,000000
PGopt2
54,88
59,228181
69,882938
69,983235
PL [ MW ]
15,94
Coût [$/h]
278 376,01
14,987
275 342,69
14,987
270 516,30
14,987
270 447,73
6. CONCLUSION
Cet article présente un algorithme à colonie de fourmis pour (OFP). Il a la
capacité de l’amélioration des solutions à la fin de chaque itération. Les résultats
trouvés montrent clairement son efficacité, car dans les deux cas étudiés nous
avons montré que les valeurs des fonctions coûts sont bonnes par rapport aux
données de la Sonelgaz et à la méthode classique (DFP) et même par rapport à la
méthode génétique.
Cette application sur l’OPF est très encourageante, car un nombre assez
faible d’itérations a été accordé à l’algorithme. Le processus de convergence
semble être correctement géré puisque sur certaines instances l’algorithme
améliore encore sa meilleure solution vers la dernière itération. Cela montre que
l’algorithme ne converge pas prématurément vers des minima locaux dont il ne
pourrait plus s’extraire. Ce bon comportement est probablement favorisé par la
remise à 0 périodique des traces de phéromone.
Le principal inconvénient de l'approche réside dans le coût relativement élevé
de la génération des solutions. Les temps de calcul pour une itération de
9
Optimisation d’écoulement des puissances par algorithmes intelligents
11
l'algorithme à fourmis nous ont conduit à réaliser un très faible nombre d'itérations
par rapport au nombre d'itérations réalisées par l'algorithme génétique.
APPENDIX
Choix des paramètres de l’AG :
– la taille de population = 110,
– probabilité de croissement = 0,9,
– probabilité de mutation = 0,01,
– itération maximum (nombre de génération) = 350.
Choix des paramètres de l’ACF :
– f = 40 fourmis,
– α = 0,5,
– β = 0,08 pondération pour la formule (8),
– ρ = 0,9,
– p – taux de persistance de la phéromone,
– K = 10,
– taille des ensembles Ψtλ et Ωtλ ,
– Pa = 0,1,
– probabilité de déplacement aveugle,
– fe = 5 fourmis elitilistes,
– Imax = 300 itérations.
Reçu le 1 juillet, 2005
REFERENCES
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linéaire à la répartition économique des puissances actives dans un réseau d’énergie
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Mimoun Younes et al.
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11. G. Fleury, Méthodes stochastiques et déterministes pour les problèmes NP-difficiles, Thèse de
l’Université Blaise Pascal, 1993.
12. Nicolas Monmarché, Algorithmes de fourmis artificielles applications à la classification et à
l’optimisation, Thèse de l’Université François Rabelais Tours, 2000.
13. P. Lacomme, C. Prins, W. Ramdane-Chérif, Competitive genetic algorithms for the Capacitated
Arc Routing Problem and its extensions, dans E.J.W. Boers et al. (éd.), Applications of
evolutionary computing, pp. 473-483, Lecture Notes in Computer Science 2037, Springer,
2001.
OPTIMAL POWER FLOW BY INTELLIGENT ALGORITHMS
MIMOUN YOUNES, MOSTEFA RAHLI, MOHAMED ABID,
MALIKA KANDOUCI
Key words: Genetic algorithm, Ant algorithm, DFP algorithm, Optimal power
flow.
The optimal power flow is one of the principal functions of the operation of production
and the power electric control. The general objective is the optimal determination of
production of the units in order to reduce the production cost to the minimum while the
system actuates within its safety limit. This article presents an approach of the Ant
Colony Optimization (ACO) for this problem. This method was applied to the western
part of the network Algeria (220 kV).