1. Thermodynamique

1. Rappels.
Rappels de
thermodynamique

Inconnues et relations…
1. Thermodynamique
(1)
La vitesse v
i
(3 composantes),
L’énergie interne massique U,
L’entropie massique η,
La masse volumique ou le volume spécifique ρ,
La température T,
La pression mécanique P,
La pression thermodynamique P
E
,
Le tenseur déformation volumique e
ij
(9 variables),
Le tenseur des contraintes surfaciques σ
ij
(9 variables).
27 inconnues
Mécaniques (14) :
oConservation de la masse (ou continuité),
oNavier-Stokes (3 relations),
oRelations entre le tenseur déformation et le
gradient de la vitesse (9 relations),
oRelation entre la pression mécanique et la
pression thermodynamique.
Thermodynamiques (10):
oFluide Newtonien (9 relations),
oÉquation d’état du fluide reliant P, ρ et T.
24 relations
Relations thermodynamiques supplémentaires (3):
o1er principe de la thermodynamique,
oRelation dT en fonction de (η,P
E
) ou (η,ρ) ,
oRelations dU en fonction de (η,P
E
) ou (η,ρ) ,

T
E
2
P
1
∂
ρ∂
ρ
=β
ρ
∂
∂
=β T
P
P
1
E
E
3
Coefficient de compressibilité isotherme (unité Pa
-1
=ms
2
kg
-1
):
Coefficient de compressibilité isochore (ou iso-ρ
ρρ
ρ) (unité K
-1
):
Coefficients thermodynamiques additionnels
1. Thermodynamique
(2)
32E
P
β
β
=
β
2
S
2
cρ
γ
=β
Relations entre coefficients
E
P
P
T
TC 
∂
η∂
=
ρ
∂
η∂
=T TC
V
V
P
C
C
=γ
E
P
T
1
∂
ρ∂
ρ
−=β
η
ρ∂
∂
=
E
2
S
P
c
Capacité calorifique à pression constante (unité : m
2
s
-2
K
-1
):
Capacité calorifique à volume constant (unité : m
2
s
-2
K
-1
)
Vitesse du son (ms
-1
)
Coefficient d’expansion thermique à pression constante
(isobare) (unité K
-1
):
Rapport des capacités calorifiques (sans unité):
Coefficients thermodynamiques de base
η
−
∂
ρ∂
=
E
2
S
P
c
Coefficients
thermodynamiques

1. Thermodynamique
(3)
dt
dP
dt
d
T
dt
dU
2
E
ρ
ρ
+
η
=
(
)
dt
dP1
dt
d
T
dt
/Pd
dt
dU
dt
dH
E
E
ρ
+
η
=
ρ
+=
Énergie interne:
couple thermodynamique
entropie/ masse volumique :
Enthalpie:
Couple thermodynamique entropie/ pression :
Énergie(s) par unité de masse
Température
dt
dPT
dt
d
T
dt
dT
CE
P
ρ
β
+
η
=
dt
dTc
dt
d
T
dt
dT
C
2
S
V
ρ
ργ
β
+
η
=
vdiv
Tc
dt
d
T
dt
dT
C
2
S
V
γ
β
−
η
=
entropie/pression :
entropie/masse volumique :
avec l’équation de continuité:
Couple thermodynamique :
Masse volumique
(
)
E
P,,f
η
ρ
dt
dP
c
1
dt
d
C
T
dt
d1
E
2
SP
ρ
+
η
β
−=
ρ
ρ
Équations d’état

1. Thermodynamique
(4)
Second principe
( ) ( ) ( )
T,SPT,DVSC
PPUE
dt
dρφ+ρφ+δ+δ=+ρ
Premier principe
( )
T,SPT,DINTERIEURE
P
dt
dU ρφ+ρφ+δ=ρ
( ) ( ) ( )
T,SPT,DNON,VSPC PPUHE
dt
dρφ+ρφ+δ+δ=++ρ
Autres formulations :
η
+
η
=
η
dt
d
dt
d
T
dt
d
T
IE
0
dt
d
T
I
>
η
Entropies réversible et irréversible :
avec