L`AMPLIFICATEUR OPÉRATIONNEL

L’AMPLIFICATEUR OPÉRATIONNEL
I. L’AMPLIFICATEUR OPÉRATIONNEL IDÉAL
repère
I.1 Circuit intégré
Un Amplificateur Opérationnel (A.O.) est un circuit intégré accessible par
8 bornes. Il y a deux bornes d’entrée : VE ( 2 ) et VE ( 3) et une borne de
1
sortie VS (6).
2
−
8
+
Pour fonctionner, un A.O. doit être alimenté par deux sources continues de
+ Vcc
3
S
f.e.m. +VCC = 15V (7) et –VCC = -15V (4). Le point commun aux deux
4
sources définit la masse du montage1.
borne 7
- Vcc
7
6
5
borne 4
+ Vcc
- Vcc
Les bornes 1 et 5 servent à corriger une éventuelle tension de décalage. La borne 8 n’est pas connectée.
Sur un schéma, on omet généralement de représenter les tensions d’alimentation de l’A.O. mais elles sont
indispensables à son fonctionnement.
i+
VE
Représentation d'un A.O.
i−
+
VE
VS
−
Remarque importante : Des courants qui ne sont pas représentés sur le schéma arrivent et partent de la masse par les
alimentations. Il ne faut donc pas appliquer la loi des nœuds (donc le théorème de Millman) à la masse. On ne
l’appliquera pas en sortie de l’amplificateur opérationnel car on ne connaît pas le courant de sortie2.
I.2 Régimes de fonctionnement
On définit ε = VE − VE .
+
−
Remarque : Attention à l’orientation de la tension ε. Les bornes (+) et (–) ne sont pas équivalentes.
VS
Vsat
+
régime de
saturation positive
εmin
εmax
régime de saturation
négative
ε
régime linéaire
Vsat
−
Caractéristique de l’amplificateur opérationnel
1
Il n’y a pas de borne pour la masse sur le circuit intégré.
Le courant maximal débité par un A.O. est de l’ordre de grandeur de 20 mA. Ce courant n’est pas négligeable par rapport
aux autres courants et dans certaines conditions (par exemple résistance de charge petite), on peut avoir une saturation en
courant.
2
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On a trois régimes possibles :
régime linéaire : V = µ ε pour ε ∈ [ε ,ε ] . µ est le gain différentiel en continu ou gain statique.
régime de saturation positive : V = V .
régime de saturation négative : V = V . V et V ont des valeurs voisines en valeur absolue et très
S
0
min
0
max
sat +
S
S
sat −
sat +
sat −
légèrement inférieures à la tension d’alimentation. On prendra par la suite Vsat = Vsat et Vsat = −Vsat
+
(V
sat
−
= 15 V ) .
Ordres de grandeur : µ0 = 105 ; i + ≤ 10−11 A ; i − ≤ 10−11 A pour un TL081.
Conséquences pratiques :
•
•
Les courants i+ et i- sont négligeables devant les autres courants.
V
15
Pour être en régime linéaire, on doit avoir : ε ≤ sat ≈ 5 = 1,5 ×10−4 V . On néglige ε devant les autres
µ0 10
tensions. Étant donné l’ordre de grandeur de ε, l’amplificateur opérationnel sera sûrement saturé sans
précaution particulière.
La boucle de retour ou boucle de rétroaction doit revenir sur l’entrée inverseuse pour que l’amplificateur
opérationnel fonctionne en régime linéaire.
Dans les exercices, l’énoncé précise si l’amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire ou en régime
de saturation. S’il fonctionne en régime linéaire, il faut s’assurer qu’il n’y a pas de saturation en tension
(V
S
< Vsat ) . On pourra éventuellement tenir compte d’autres défauts de l’amplificateur opérationnel.
I.3 Modèle de l’amplificateur opérationnel idéal
A.O. idéal : µ0 = ∞ et i+ = i- = 0
•
•
•
i+ = 0
ε
En régime linéaire : ε = 0
Si ε < 0, alors VS = −Vsat (saturation
VE
i− = 0
−
VE
négative).
Si ε > 0, alors VS = Vsat (saturation
positive).
VS
+
Représentation d'un A.O. idéal
VS
Vsat
régime de
saturation positive
ε
régime de
saturation négative
régime linéaire
−Vsat
Caractéristique de l’A.O. idéal
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I.4 Méthode de résolution des montages comportant des amplificateurs opérationnels
De façon systématique, on appliquera le théorème de Millman (éventuellement la loi des nœuds en termes
de potentiel3 si on veut faire intervenir des intensités) à tous les nœuds sauf à la masse et à la sortie de
l’amplificateur opérationnel.
Il manque une équation qui est l’équation de fonctionnement de l’AO :
¾
¾
ε = 0 si l’amplificateur opérationnel idéal est en régime linéaire.
VS = Vsat ou VS = −Vsat si l’amplificateur opérationnel est en régime de saturation.
II. MONTAGES COMPORTANT DES AMPLIFICATEURS OPÉRATIONNELS
IDÉAUX EN RÉGIME LINÉAIRE
II.1 Montage soustracteur
R
R
R
Ve1
Ve 2
A
B
S
Ru
R
VS
M
On suppose l’amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire. Aucun courant ne rentre dans les entrées
(+) et (–) et ε = VB − VA = 0 .
Bilan des nœuds : 4 nœuds A, B, S et M.
Remarque : Dans certains montages, on ne représente pas la résistance Ru puisque comme on va
le voir, la tension de sortie est indépendante de Ru. On introduira toujours S comme inconnue.
Équations : Il y a donc 4 – 1 = 3 nœuds indépendants.
 théorème de Millman en A

 théorème de Millman en B
ε =0 ( régime linéaire )

On applique donc le théorème de Millman à tous les nœuds du montage sauf à la masse et en sortie de
l’A.O.
 1
VA  +
  R
 1
VB  R +
 
VA = VB
1  Ve1 VS
=
+
R  R R
1  Ve 2
=
R  R
Remarque : On peut appliquer le théorème de Millman en B car aucun courant ne rentre par l’entrée non
inverseuse. Il ne faut pas oublier la résistance entre B et la masse qui est un nœud.
La deuxième équation donne : VB =
Ve 2
. On en déduit que : 2VA = 2VB = Ve 2 = Ve1 + VS . D’où : VS = Ve 2 − Ve1
2
Commentaires :
3
•
On a un montage soustracteur.
•
VS est indépendant de Ru.
Le théorème de Millman n’est qu’une conséquence de la loi des nœuds en termes de potentiel.
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•
La relation précédente est valable à condition d’être en régime linéaire. On a une rétroaction de la sortie
sur l’entrée inverseuse. Un fonctionnement linéaire est donc possible. Il faut s’assurer qu’il n’y a pas de
saturation en tension ( VS < Vsat ) ou en courant ( isortie AO < isortie AO max ) .
Remarque : L’adjectif « opérationnel » de A.O. se justifie car des montages à base d’A.O.
permettent de réaliser des opérations mathématiques (soustracteur, inverseur, non-inverseur,
dérivateur, intégrateur,…).
II.2 Montage inverseur
R2
R1
A
ε
Ve
S
VS
M
On suppose l’amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire. Aucun courant ne rentre dans les entrées
(+) et (–) et ε = VM − VA = 0 .
  1
1  Ve VS
+
 théorème de Millman en A
VA  +  =
⇒   R1 R2  R1 R2 ⇒

ε =0 ( régime linéaire )

VA = 0
Pour un montage inverseur, le gain du montage vaut :
VS
R
=− 2
Ve
R1
Commentaires :
•
On a un montage inverseur (signe –). Le gain est indépendant de montage qui est après S. Il ne
dépend que de R1 et R2/
•
La relation précédente est valable à condition d’être en régime linéaire. On a une rétroaction de la sortie
sur l’entrée inverseuse. Un fonctionnement linéaire est donc possible. Il faut s’assurer qu’il n’y a pas de
saturation en tension ( VS < Vsat ) ou en courant ( isortie AO < isortie AO max ) .
II.3 Montage non-inverseur
R2
R1
A
S
ε
VS
Ve
M
On suppose l’amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire. Aucun courant ne rentre dans les entrées
(+) et (–) et ε = VM − VA = 0 .
  1
VS
1 
 théorème de Millman en A
 R 
VA  +  = 0 +
⇒
R
R
R2 ⇒ VS =  1 + 2  Ve

  1
2 
=0
régime
linéaire
ε
(
)
R1 



VA = Ve
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Pour un montage non-inverseur, le gain du montage vaut :
VS
R
= 1+ 2
Ve
R1
Commentaires :
•
On a un montage non-inverseur (signe +). Le gain est indépendant de montage qui est après S. Il
ne dépend que de R1 et R2/
•
La relation précédente est valable à condition d’être en régime linéaire. On a une rétroaction de la sortie
sur l’entrée inverseuse. Un fonctionnement linéaire est donc possible. Il faut s’assurer qu’il n’y a pas de
saturation en tension ( VS < Vsat ) ou en courant ( isortie AO < isortie AO max ) .
II.4 Montage suiveur
VS
Ve
On suppose l’amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire. Aucun courant ne rentre dans les entrées
(+) et (–) et ε = Ve − VS = 0 .
L’impédance d’entrée est Z e =
Ve
Ie
= ∞ et Z S = 0 (voir chapitre sur les impédances d’entrée et de sortie).
Quel est l’intérêt du suiveur dans le montage n°2 ?
Zg
Eg
Ve
VS
RC
Zg
Eg
RC
Ve
montage n°1
VS
montage n°2
Dans le montage n°1, la tension aux bornes de RC dépend de l’impédance Z g du générateur. Si on souhaite
avoir une tension indépendante de Z g , on utilisera le montage n°2.
Le montage suiveur est très souvent utilisé dans les problèmes de concours :
VS = Ve
L’impédance d’entrée est : Z e = ∞
L’impédance de sortie est : Z S = 0
Le montage suiveur permet d’avoir une tension aux bornes de la charge indépendante de l’impédance interne
du générateur utilisé. On a transformé le générateur réel en générateur parfait (car i+ = 0).
On dit qu’on a réalisé une adaptation d’impédances pour le transfert en tension.
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II.5 Montage sommateur inverseur
Ve1
Ve2
R1
R2
Ve3
R
R3
A
ε
S
VS
M
On suppose l’amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire. Aucun courant ne rentre dans les entrées
(+) et (–) et ε = VM − VA = 0 .
Équations :
ε = 0 ( régime linéaire )

 théorème de Millman en A
ε = 0 ⇒ VA = 0

 Ve1 − VA Ve 2 − VA Ve 3 − VA VS − VA
+
+
+
=0
 R
R2
R3
R
1

•
•
V
V
V 
On en déduit que : VS = − R  e1 + e 2 + e 3 
 R1 R2 R3 
Cas particulier : R1 = R2 = R3 = R : VS = − (Ve1 + Ve 2 + Ve 3 )
Le montage est un additionneur inverseur. Pour avoir un montage sommateur, il suffit de rajouter un montage
inverseur derrière la sortie.
II.6 Montage dérivateur
a) Comportement temporel – régime transitoire
R
i
q
C
A
S
ε
Ve
VS
GBF
M
On suppose l’amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire. Aucun courant ne rentre dans les
entrées (+) et (–) et ε = VM − VA = 0 .
Équations :
ε = 0 ⇒ VA = 0
régime linéaire ⇒ ε = 0

⇒

 VS − VA
loi
des
noeuds
en
termes
de
potentiel
en
A

i + R = 0

Il faut relier l’intensité i à la tension d’entrée Ve.
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dq
et q = C (Ve − VA ) = CVe
dt
dV
VS = − RC e .
dt
Soit q la charge du condensateur. On a i =
On a donc C
dVe VS
+
=0 ⇒
dt
R
La sortie est donc proportionnelle à la dérivée du signal d’entrée.
Remarque : Cette expression est valable pour des signaux d’entrée en basse fréquence. Pour expliquer le
comportement du montage à haute fréquence, il faut prendre le modèle du premier ordre de
l’amplificateur opérationnel. Expérimentalement, on place en série une résistance R1 en série avec le
condensateur pour diminuer l’acuité de la résonance qui apparaît pour une certaine fréquence.
b) Comportement fréquentiel
Un GBF délivre une tension sinusoïdale ve ( t ) = Em cos (ωt ) . On cherche la tension de sortie en régime
sinusoïdal forcé. La tension de sortie est de la forme : vS ( t ) = Sm cos (ωt + ϕ ) . On utilise les amplitudes et
vS ( t ) = Sm cos (ωt + ϕ )
ve ( t ) = Em cos (ωt )
impédance complexes : 
et 
¨
Ve = Em
VS = S m exp ( jϕ )
ε = 0 ⇒ VA = 0
régime linéaire ⇒ ε = 0

⇒  1
, d’où VS = − jRCωVe

 VS
théorème
de
Millman
en
A

VA  R + jCω  = R + Ve jCω

 
 V = S = − jRCωV = RCω E
m
e
m
π
 S

On obtient : 
. La tension de sortie vaut : vS ( t ) = RCω Em cos  ωt − 
π
2

arg VS = ϕ = −
2

II.7 Montage intégrateur
q
i
R
C
A
S
ε
Ve
VS
GBF
M
On suppose l’amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire. Aucun courant ne rentre dans les entrées
(+) et (–) et ε = VM − VA = 0 .
ε = 0 ⇒ VA = 0
régime linéaire ⇒ ε = 0

⇒

 Ve
loi
des
noeuds
en
termes
de
potentiel
en
A

 R −i = 0

Il faut relier l’intensité i à la tension de sortie VS.
dq
et q = C (VA − VS ) = −CVS
Soit q la charge du condensateur. On a i =
dt
On a donc
Ve
dV
−C S = 0 ⇒
R
dt
VS ( t ) − VS ( 0 ) = −
t
1
Ve ( t ') dt ' .
RC 0
∫
On a donc un montage intégrateur.
Remarque : Expérimentalement, le montage va saturer car une petite perturbation va être intégrée et entraîner
une saturation de l’amplificateur opérationnel. On place alors une résistance en parallèle avec le
condensateur. On parle de montage pseudo-intégrateur.
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II.8 Montages de base à reconnaître
R2
R1
R2
A
R1
S
Ve
VS
Ve2
montage suiveur
R
R1
R
A
R
R2
Ve1
Ve3
VS
Ve
VS
R
= 1+ 2
Ve
R1
montage non inverseur
VS − R2
=
Ve
R1
montage inverseur
Ve1
VS
Ve
M
R
R3
B
VS
R
Ve2
A
ε
montage soustracteur
S
Sommateur inverseur
VS
M
R
i
q
C
A
ε
Ve
i
R
S
Ve
A
S
VS
GBF
M
M
montage intégrateur
montage dérivateur
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C
ε
VS
GBF
q
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