Devoir en temps libre no 3: Optique géométrique

MPSI2, Louis le Grand Devoir en temps libre no3: Optique géométrique Pour le lundi 2 novembre
Problème 1 : Étude d’un appareil photographique
On étudie quelques caractéristiques de la conception d’un appareil photographique dont le but est de
former une image réelle d’un objet sur un capteur photographique (pellicule ou capteur CCD), au moyen
d’un système optique dioptrique nommé objectif.
Toutes les lentilles utilisées seront considérées minces et utilisées dans les conditions de Gauss sauf
mention explicite du contraire.
On rappelle les formules de conjugaison de Descartes et de Newton.
Soit une lentille mince Lde centre O, de foyers objet et image F et F0dont on note f0la distance focale.
Si A0et A sont deux points de l’axe optique conjugués par L,ona:
1
OA0−1
OA =1
OF0=1
f0et FA ·F0A0=−f02.
On rappelle également les formules du grandissement transversal γt. Si B et B0sont deux points conju-
gués, hors de l’axe optique, dans les plans conjugués contenant A et A0,ona:
γt=−F0A0
f0=f0
FA =OA0 OA .
I Objectif assimilé à une lentille unique
On modélise dans cette partie l’objectif comme une unique lentille, mince,
notée L, de distance focale f0et de centre optique O. Elle peut être trans-
latée devant le capteur, noté C. On note dla distance variable entre l’écran
et la lentille.
I.1. (a) Préciser si la lentille doit être convergente ou divergente pour
former une image réelle d’un objet réel. Illustrer par un schéma.
(b) Quelle doit être la valeur de la distance d, notée d∞pour que
l’image d’un objet à l’infini en amont de l’objectif soit nette sur
l’écran ?
L
O
C
d
I.2. On souhaite maintenant former une image nette d’un objet situé à une distance x(positive) finie en
amont de l’objectif, ie « faire la mise au point ». On doit pour cela déplacer l’objectif par rapport à
l’écran.
(a) Déterminer l’expression de la nouvelle distance d(x) entre l’objectif et l’écran. Préciser si on doit
rapprocher ou éloigner l’objectif de l’écran.
(b) On nomme tirage, noté t, la translation de l’objectif entre deux valeurs d(x2) et d(x1). Calculer
le tirage pour une mise au point entre l’infini et une distance x= 100f0puis entre x= 100f0et
x= 10f0. Commenter.
(c) Quelle est la plus petite valeur de xnotée xmin permettant de former une image sur l’écran si le
tirage est limité à une valeur tmax ? Calculer xmin pour tmax = 1cm.
I.3. On nomme angle de champ, noté α0, l’angle au sommet du cône dans
lequel doivent être situés des points pour que leur image par l’objectif
puisse se former sur le capteur photographique. Il est donc limité par
la diagonale du capteur (rectangulaire) utilisé, notée l.
L
O
C
f0
l
α0
(a) Déterminer l’expression de α0quand d=f0et calculer sa valeur pour l’objectif à lentille unique
considéré et un capteur de dimensions 24 ×36mm (pellicule argentique). Peut-on encore consi-
dérer qu’on est dans les conditions de Gauss ?
(b) Comment doit-on choisir la distance focale d’un objectif à lentille unique pour observer des
détails plus fins sur une photographie ?
(c) On dit qu’un objectif de distance focale f0= 50mm reproduit sur une pellicule 24 ×36 mm le
champ de vision de l’œil humain. En déduire une estimation de la taille de la rétine correspon-
dant à une vision précise.
(d) Les appareils photographiques numériques sont le plus souvent équipés de capteurs plus petits
que le format 24 ×36mm. Que peut-on dire des images formées par un appareil numérique et
un appareil argentique équipés du même objectif?
II Objectif bifocal
Pour créer un effet de « zoom » on peut utiliser un objectif dit « à focale va-
riable » formé en ajoutant en amont de la lentille Lprécédente un système
constitué de :
•deux lentilles divergentes L1et L3identiques. On désigne par f0
dla
valeur absolue de leur distance focale image commune.
•une lentille convergente L2placée entre les deux lentilles divergentes,
de distance focale image f0
c.
L1
O1
L2
O2
L3
O3
D
II.1. Dans une première configuration, on accole les lentilles L1et L2(on les a représentées légèrement
séparées pour faciliter la lecture sur la figure ci-dessus).
(a) Montrer que l’ensemble des deux lentilles L1et L2forme une lentille mince dont on précisera la
nature convergente ou divergente et dont on donnera la distance focale.
(b) À quelle distance en aval du système des deux lentilles L1et L2doit-on placer la lentille L3pour
que le système des trois lentilles L1,L2et L3soit afocal ? On considère cette condition réalisée
dans toute la suite et on note D la distance O1O3correspondante.
(c) On considère un faisceau collimaté incliné d’un angle αpar rapport à l’axe optique incident
sur la lentille L1. Construire sur un schéma sa marche à travers le système des trois lentilles (on
représentera les lentilles accolées comme une seule lentille) et en déduire l’expression et la valeur
du grossissement G = α0/αavec α0l’angle formé par le faisceau émergent avec l’axe optique.
II.2. On ajoute enfin la lentille Ldu I après ce système de trois lentilles pour former de nouveau d’un objet
réel à l’infini une image réelle sur le capteur.
(a) Quelle doit être la distance dentre la lentille Let le capteur ? Que peut-on dire de la distance
entre Let L3?
(b) Déterminer le nouvel angle de champ α0
0. Quelle devrait être la distance focale d’un objectif à
lentille unique pour obtenir le même angle de champ ?
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.1/42015-2016

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II.3. On considère une deuxième configuration dans laquelle ce sont désormais
les lentilles L2et L3qui sont accolées, les positions relatives des lentilles L1
et L3étant inchangées.
(a) Montrer que le système des trois lentilles L1,L2et L3est de nouveau
afocal et donner son grossissement.
(b) En déduire le nouvel angle de champ α0
0quand on ajoute la lentille L
en aval de ces trois lentilles. Quel est l’intérêt du dispositif bifocal ?
L1
O1
L2
O2
L3
O3
D
II.4. On considère une situation intermédiaire entre les deux cas précédents, où
la lentille L2est déplacée entre les lentilles L1et L3, celles-ci restant fixes à
la même distance que précédemment. Pour simplifier, on considérera que la
lentille Lreste dans toute la suite accolée à la lentille L3.
(a) On considère une lentille convergente de distance focale f0
0et de foyers
objet et image F0et F0
0formant d’un objet réel A sur son axe optique
une image réelle A0. Déterminer la mesure algébrique AA0en fonction
de F0A et f0
0. Tracer l’allure de la courbe de AA0en fonction de F0A.
L1
O1
L2
O2
L3
O3
L
O
D
(b) Le système des trois lentilles L1,L2,L3reste-t-il afocal quand on translate la lentille L2entre L1
et L3? En déduire si le système optique doit s’allonger ou se raccourcir lors de la mise au point
sur l’infini. Justifier cependant que pour les paramètres du problème ce déplacement restera
faible.
Données : Distance focale de l’objectif à lentille unique f0= 50mm. Valeur absolue de la distance focale
des lentilles divergentes de l’objectif bifocal f0
d= 60mm. Distance focale de la lentille convergente de
l’objectif bifocal f0
c= 35mm.
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.2/42015-2016

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Correction du problème 1
I Objectif assimilé à une lentille unique
1. (a) Une lentille doit être convergente pour former une image réelle d’un objet réel.
(b) Par définition, l’écran doit être dans le plan focal image de la lentille, soit d∞=f0.
2. (a) Selon la relation de conjugaison de Descartes, on a :
1
x+1 d(x)=1 f0→d(x) = xf 0 x−f0.
Cette distance est supérieure à f0, on doit donc éloigner l’objectif de l’écran.
(b) On calcule :
t=d(100f0)−d∞=f02
100f0−f0t=d(100)−d(1000) = f010 9−100 99 
=f0
99 = 5,0·10−1mm = 5,0mm.
Il n’y a pas de mise au point à faire entre l’infini et 100f0en revanche le déplacement n’est plus
négligeable entre 100f0et 10f0.
(c) La relation de Descartes donne :
1
xmin +1 f0+tmax =1 f0→xmin =f0(f0+tmax) tmax = 30cm.
3. (a) On calcule l=√242+ 362= 43mm puis α0= 2arctanl
2f0=a46,5°. Cet angle est trop important
pour qu’on considère être dans les conditions de Gauss. On utilisera malgré tout les relations de
conjugaison établis dans leur cadre dans la suite.
(b) Pour qu’un objet vu de l’objectif sous un angle donné forme une image plus grande sur l’écran, il
suffit d’utiliser un objectif de plus grande distante focale f0, au prix cependant d’un plus grand
encombrement.
(c) On peut estimer la distance focale de l’œil à son diamètre, de l’ordre de 3cm. Pour une même
valeur de α, la longueur correspondante sur la rétine sera 30/50 ×l= 2,6cm.
(d) Pour un objectif de même distance focale, un objet vu sous un même angle occupera une portion
plus importante du petit capteur d’un appareil numérique : l’image semblera donc « zoomée ».
II Objectif bifocal
1. (a) Pour tout objet A, notons A1son image par L1et A0l’image de A1par L2: A −→
L1
A1−→
L2
A0. Les
relations de Descartes s’écrivent :
1
O1A1−1 O1A=−1
f0
d
1
O2A0−1
O2A1
=1
f0
c
Comme O1= O2pour des lentilles accolées, on en déduit :
1
O1A0−1
O1A=1
f0
c−1
f0
d≡1
f0
12
.
L’ensemble de ces deux lentilles est donc équivalent à une lentille mince de distance focale f0
12 =
f0
cf0
d
f0
d−f0
c= 84mm. Dans toute la suite, on désignera avec l’indice 12 les paramètres relatifs à cette
lentille.
(b) Le système sera afocal si le foyer image de L1+L2est confondu avec le foyer objet de L3. On doit
donc avoir D = O1O3= O1F0
12 + F0 12O3=f0 12 −f0
d= 24mm.
(c) On réalise ainsi une lunette de Gali-
lée. On a tanα= O12M/f 0
12 et tanα0=
O12M/f 0
d. On ne peut pas ici utiliser
l’approximation tanα'α. On calcule
donc α0= arctanf0
12/f 0
dαsoit α0=
55,9° et G = α0/α= 1,20. L’expression
est identique à celle d’une lunette as-
tronomique au signe près, positif ici.
αα′
F1
O1O2
A1A2
F′
2F′
1= F2
F1αF′
2α′
F2α′
2. (a) L’image d’un objet à l’infini par L1L2L3est un objet à l’infini pour L. On doit donc de nouveau
avoir d=d∞=f0. En revanche la distance entre L3et Lpeut être quelconque. On la choisira
cependant la plus petite possible pour réduire l’encombrement de l’objectif.
(b) Un faisceau collimaté initialement vu sous l’angle αest vu par la lentille Lsous l’angle α0tel
que tanα0= Gtanα. On a alors tanα0
0=l/f 0soit tanα0=l
f0G. Il a été réduit d’un facteur G, on
a donc réalisé un « zoom » ×G. Il faudrait une distance focale égale à f0f0
12/f 0
dpour réaliser le
même grossissement avec une lentille unique soit un dispositif de longueur f0
12/f 0
d= 72mm.
3. (a) D’après le principe du retour inverse ce système est le symétrique du précédent. Il est également
afocal et son grossissement est l’inverse du précédent G = 1/1,2 = 0,83.
(b) En adaptant le raisonnement précédent, l’angle de champ est désormais α0
0= 1,2α0. En transla-
tant la lentille L2de L1àL3on fait varier le « zoom » de ×0,83 à ×1,20.
4. (a)
La formule de conjugaison de Newton donne :
F0A·F0
0A0=−f0
02→FA ·F0F + FA + AA0=−f0 02
→AA0=−f0
02
FA + FF0−FA = f0
02
FA
+
FA + 2f0
0,
pour un objet réel dont l’image est réelle, ie pour FA 60. f0
0
4f0
0
D + 2f0
d
FA
AA0
(b) On applique l’étude précédente à la lentille L2, l’objet A étant l’image d’un objet à l’infini par
L1ie F0
1. Sur la figure ci-dessus, les points représentent les deux situations précédentes où L2est
en O1ou O3et où l’image de F0
1par L2est donc en F3, distant de F0 1de D + 2f0
d. On constate que
pour toutes les positions intermédiaires de L2l’image qu’elle forme de F0
1sera à une distance
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de F0
1inférieure, ie en amont de F3. Le système n’est alors plus afocal. L’objet pour la lentille L3
étant en amont de son foyer objet, son image sera réelle à distance finie. Cette image constitue
enfin un objet virtuel pour la dernière lentille Ldont l’image sera en amont de son foyer image
F0. Comme l’écran Cétait précédemment sur ce même foyer image, il désormais rapprocher Cde
Lpour que l’image s’y forme : le système optique est raccourci.
On remarque cependant que dans les deux positions extrêmes la distance AA0= D + 2f0
d=
144mm est très proche de son minimum AA0= 4f0
c= 140mm. L’image formée par Lsera certai-
nement très proche de F3durant toute la translation de L.
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